二次函数基本概念图像及性质

二次函数所有公式二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是一种简单而常用的函数形式。

它的标准形式可表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。

在这篇文章中，我将介绍二次函数的一些重要公式和性质。

一、基本概念和定义1. 定义：二次函数是一种具有形式f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。

2.顶点：二次函数的图像是一个抛物线，它的顶点是图像的最低点（如果a>0）或最高点（如果a<0）。

（h，k）表示顶点的坐标，其中h=-b/（2a），k=f(h)。

3.轴对称：二次函数的图像是关于顶点所在的直线x=h对称的。

4.开口方向：如果a>0，则图像开口向上；如果a<0，则图像开口向下。

二、常用公式1. 零点：二次函数的零点是函数值为0时对应的x值。

可以使用求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a 来求解二次方程ax² + bx + c = 0的根。

2. 判别式：判别式是二次方程的求解公式中的一部分，其定义为D = b² - 4ac。

判别式可以判断二次方程的根的性质：a)如果D>0，则方程有两个不相等的实数根。

b)如果D=0，则方程有两个相等的实数根。

c)如果D<0，则方程没有实数根。

3. 平移公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若向左平移h个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c；若向右平移h个单位，得到函数y = a(x + h)² + bx + c；若向上平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c + k；若向下平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² +bx + c - k。

4. 拉伸和压缩公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若a > 1，则函数的图像在x轴方向上被缩短；若0 < a < 1，则函数的图像在x轴方向上被拉长；若a < 0，则函数的图像上下翻转。

完整版)二次函数知识点复习二次函数知识点一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax²的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值。

a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值。

2.y=ax²+c的性质：上加下减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值c。

a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值c。

3.y=a(x-h)²的性质：左加右减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。

性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值。

ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值。

4.y=a(x-h)²+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。

性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值k。

ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值k。

三、二次函数图象的平移平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k，确定其顶点坐标（h，k），具体平移方法如下：保持抛物线y=ax²的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。

一、全面理解二次函数的定义（1）二次函数有四种表达形式①二次一项式型：形如y=ax2（a是常数，且a≠0），x取任意实数。

②二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0），x取任意实数。

③二次二项式型：形如y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。

④二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c ≠0），x取任意实数。

（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。

（3）二次函数解析式的三种形式二、掌握二次函数的图像和性质①y=ax2（a是常数，且a≠0）的图像和性质②y=ax 2+bx （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0）的图像和性质 ③y=ax 2+c （a 是常数，且a ≠0，c 是常数，c ≠0）的图像和性质④y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0）的性质 a ＞0时 ，开口向上；a ＜0时，开口向下顶点坐标是（-a b 2，a b ac 442-），对称轴是直线x=-a b 2。

当a ＞0时 ，函数有最小值，y=a b ac 442-；a ＜0时，函数有最大值，y=a b ac 442-；性质：当a ＞0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大； 当a ＜0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小. 一、填空题 1．已知a ≠0，(1)抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为______，对称轴为______． (2)抛物线y ＝ax 2＋c 的顶点坐标为______，对称轴为______． (3)抛物线y ＝a(x －m)2的顶点坐标为______，对称轴为______．2．若函数122)21(++-=m m x m y 是二次函数，则m ＝______．3．抛物线y ＝2x 2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y 随x 增大而减小；当x______时，y 随x 增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______． 4．抛物线y ＝－2x 2的开口方向是______，它的形状与y ＝2x 2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．5．抛物线y ＝2x 2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝2x 2向______平移______个单位得到．6．抛物线y ＝3(x －2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．二、选择题7．要得到抛物线2)4(31-=xy，可将抛物线231xy=( )A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向右平移4个单位D．向左平移4个单位8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )A．y＝2x2与y＝3x2 B．2212+=xy与2122+=xyC．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－29．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231xy-=的图象相同的抛物线是( )A．2)5(31-=xyB．5312--=xyC．2)5(31+-=xyD．2)5(31+=xy三、会结合图像确定y= 2ax+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0）的四种符号a的符号：看抛物线的开口方向：开口向上，a＞0；开口向下a＜0;b的符号：有对称轴的位置和的a符号确定：对称轴是y轴，b=0；对称轴在原点的左侧：0 2ab-，对称轴在原点的右侧，0 2ab-；c的符号：看抛物线与y轴交点的位置：交点在原点，c=0；交点在原点以上，c＞o；交点在原点以下，c＜0。

二次函数基本概念与图象二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍二次函数的基本概念与图象及相关性质。

一、二次函数的定义二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a不等于零。

其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，而b则决定了二次函数的图象在x轴方向上的位置，c为二次函数在y轴上的截距。

二、二次函数图象的性质1. 开口方向：当a大于零时，二次函数开口向上；当a小于零时，二次函数开口向下。

2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

3. 对称轴：二次函数的对称轴为x = -b/2a。

4. 零点：当二次函数存在零点时，其零点可通过求解ax^2 + bx + c = 0的解得。

三、二次函数图象的变化与平移1. a的变化：改变a的值可以使得二次函数图象的开口方向发生改变，当a的绝对值增大时，开口越窄，图象变得更陡；当a的绝对值减小时，开口越宽，图象变得更平缓。

2. b的变化：改变b的值可以使得二次函数图象在x轴方向上平移，当b为正时，图象向左平移；当b为负时，图象向右平移。

平移的距离与|b|成正比。

3. c的变化：改变c的值可以使得二次函数图象在y轴方向上平移，当c为正时，图象向上平移；当c为负时，图象向下平移。

平移的距离与|c|成正比。

四、二次函数的特殊情况1. 完全平方式：当二次函数的顶点坐标为(0, 0)时，称其为完全平方式，表示为f(x) = ax^2。

2. 平移形式：当二次函数的顶点坐标为(h, k)时，表示为f(x) = a(x-h)^2 + k。

五、二次函数的实际应用1. 物理学上，二次函数可用于描述自由落体运动、抛物线轨迹等。

2. 经济学中，二次函数可用于描述成本、收益等与产量关系的图象。

3. 数学建模中，二次函数可用于拟合实验数据、预测趋势等。

总结：二次函数作为一种重要的函数形式，具有广泛的应用和重要的数学性质。

二次函数的图像和性质----基础概念1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。

限制条件：（1）自变量的最高次数是；（2）二次项系数。

2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。

（1）一般式：；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（，），对称轴是。

注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。

离开它用一般形式也可以。

※（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）此时抛物线的对称轴为直线x=221xx+。

注意：（1）当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为。

这个交点是抛物线的什么点？（2）是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？（3）利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。

实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。

▲三种二次函数的解析式的联系：针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k=。

当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。

3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条线，它是一个对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的点。

不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。

（1）形状----开口大小。

由决定，越大，开口越。

（2）开口方向：由决定。

当a>0时，函数开口方向向；当a<0时，函数开口方向向；（3）对称轴：直线x= ；注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。

例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？▲（4）顶点坐标公式：（，）；利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

二次函数与三角函数的图像与性质一、二次函数的图像与性质1.图像特点：二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

开口向上的抛物线顶点在最低点，开口向下的抛物线顶点在最高点。

2.性质：二次函数的图像具有对称性，对称轴是抛物线的轴线，即x = -b/2a。

对称轴上的点关于抛物线对称。

3.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

顶点是抛物线的最高点或最低点，取决于a的正负。

4.零点：二次函数与x轴的交点称为零点。

二次函数最多有两个零点。

5.开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

6.增减性：当a > 0时，随着x的增大，y值增大；当a < 0时，随着x的增大，y值减小。

二、三角函数的图像与性质1.正弦函数（sin x）：–图像特点：正弦函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为2π。

–性质：正弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，正弦函数是增函数；在π到2π之间，正弦函数是减函数。

2.余弦函数（cos x）：–图像特点：余弦函数的图像与正弦函数相似，也是一条周期性波动的曲线，周期为2π。

–性质：余弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，余弦函数是减函数；在π到2π之间，余弦函数是增函数。

3.正切函数（tan x）：–图像特点：正切函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为π。

–性质：正切函数的值域为全体实数，在每个周期内，正切函数是增函数。

4.弧度制与角度制的转换：–弧度制：π rad = 180°。

–角度制：1° = π/180 rad。

5.三角函数的定义：–正弦函数：sin x = 对边/斜边。

–余弦函数：cos x = 邻边/斜边。

–正切函数：tan x = 对边/邻边。

三、二次函数与三角函数的图像与性质的联系与区别1.联系：二次函数与三角函数都是周期性函数，具有周期性波动的特点。

2023二次函数的图象与性质CATALOGUE 目录•引言•二次函数的定义和表达式•二次函数的图象特征及画法•二次函数的性质及研究方法•案例分析•研究展望与总结01引言理解二次函数的概念和重要性掌握二次函数的图象和性质学习二次函数的实际应用目的和背景课程内容和结构分析二次函数的图象特征介绍二次函数的基本概念讲解二次函数的应用场景探讨二次函数的性质和变化规律02二次函数的定义和表达式二次函数是一种多项式函数，其表达式的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$。

在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，二次项的系数是 $a$，一次项的系数是 $b$，常数项是 $c$。

二次函数的定义二次函数的表达式可以因 $a$ 的符号不同而分为两类：$a>0$ 时，函数图像开口向上；$a<0$ 时，函数图像开口向下。

图像的对称轴为 $x=-b/2a$，顶点坐标为 $(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。

二次函数的表达式$a$决定函数图像的开口方向和大小，$a$ 越大，开口越小；$a$ 越小，开口越大。

参数的意义$b$影响函数图像的对称轴位置，$b=0$ 时，对称轴为 $y$ 轴；$b>0$ 时，对称轴在 $y$轴左侧；$b<0$ 时，对称轴在 $y$ 轴右侧。

$c$决定函数图像与 $y$ 轴的交点位置，$c>0$ 时，交点在 $x$ 轴上方；$c<0$ 时，交点在$x$ 轴下方。

03二次函数的图象特征及画法二次函数的图象开口方向01二次函数的开口方向取决于二次项系数a的符号，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

顶点02二次函数的顶点坐标为( -b/2a, (4ac-b^2)/4a )，该点是二次函数的最小值或最大值点。

对称轴03二次函数的对称轴为x = -b/2a，该轴与函数图像的最低点或最高点相切。

首先，根据函数表达式确定自变量的取值范围，然后，根据自变量的取值范围选择适当的x值，计算对应的y值。

二次函数百科
摘要：
1.二次函数的定义与基本概念
2.二次函数的性质与图像
3.二次函数的应用领域
正文：
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（其中a≠0）的函数，其中a、b、c 为常数，x 为自变量，y 为因变量。

它是一种多项式函数，也是数学中最基本、最重要的函数类型之一。

二次函数在数学、物理、化学、工程等领域具有广泛的应用。

二次函数的性质与图像：
1.开口方向：当a>0 时，二次函数的图像开口向上，表示函数有最小值；当a<0 时，二次函数的图像开口向下，表示函数有最大值。

2.对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a，即直线x=-b/2a。

3.顶点：二次函数的顶点为(-b/2a, c - b^2/4a)，是函数的最值点。

二次函数的应用领域：
1.物理学：在物理学中，二次函数常常用于描述物体的位移、速度、加速度等运动规律。

2.工程学：在工程领域，二次函数被广泛应用于设计建筑物的拱形结构、机械设备的优化设计等。

3.经济学：在经济学中，二次函数可以用于描述生产成本、市场需求等经济指标的变化规律。

4.数学分析：在数学分析中，二次函数是微积分、概率论等高级数学分支的基础。

综上所述，二次函数作为一种基本的数学函数，具有重要的理论意义和广泛的应用价值。

二次函数概念与性质二次函数是高中数学学科中的一个重要内容，是解决实际问题和数学建模的常用工具之一。

在本文中，我们将探讨二次函数的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用该函数。

一、二次函数的定义二次函数是指函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$（其中 $a\neq 0$），其中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$、$c$ 是常数。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由 $a$ 的正负决定。

当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下。

二、二次函数的性质1. 零点：二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的零点就是方程$ax^2+bx+c=0$ 的解。

利用求根公式可以求得零点的坐标。

如果零点存在，那么抛物线与 $x$ 轴相交于该点。

2. 对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称。

对称轴的方程可以通过将 $x$ 替换为 $-\frac{b}{2a}$ 得到。

对称轴将图像划分为两个对称的部分。

3. 顶点：对称轴与抛物线的交点称为顶点。

顶点的坐标可以通过将$x$ 替换为 $-\frac{b}{2a}$ 得到，再带入函数表达式求得 $y$ 的值。

4. 最值：当二次函数的开口向上时，最小值为顶点的纵坐标；当二次函数的开口向下时，最大值为顶点的纵坐标。

5. 单调性：当 $a>0$ 时，二次函数递增；当 $a<0$ 时，二次函数递减。

6. 函数图像：通过确定顶点、零点和对称轴等关键点，可以绘制出二次函数的图像。

借助图像可以更直观地理解函数的性质。

三、二次函数的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。

例如：1. 物体自由落体：当一个物体自由落体时，其下落过程可以用一个二次函数来描述。

通过分析二次函数的图像，我们可以得到物体的运动规律，计算出物体的高度、速度等相关信息。

2. 抛体运动：抛体运动也可以使用二次函数来描述。

二次函数可以帮助我们预测抛体的轨迹、最高点、最远距离等。

二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.2y ax c=+的性质：上加下减。

a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()00，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．a < 向下()00，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质3.()2y a x h =-的性质：左加右减。

a > 向上()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．a < 向下()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．a < 向下()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4.()2y a x h k=-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．a < 向下()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴cbx axy ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，cbx ax y ++=2变成mc bx ax y +++=2（或mc bx axy -++=2） ⑵cbx axy ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，cbx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或cm x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y axbx c=++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y axbx c=++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴a b x 2-=在y 轴左边则>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=++关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2=---；y ax bx c()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2=---；y a x h k2. 关于y轴对称2=++关于y轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+；()2=-+关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k()2=++；y a x h k3. 关于原点对称2=++关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by axbx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x …-7 -6-5-4-3-2 -1…y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2y=x 22y=2x y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2x 2-4y=2x +2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 2y (2)50 23--2 23- 0 25…【例2】求作函数342+--=x xy 的图象。

二次函数知识点总结与重难点精析一、引言本文旨在总结九年级数学中的二次函数知识点，重点探讨二次函数的基本概念、图象与性质，以及相关应用。

希望通过本文的阅读，能够帮助同学们更好地理解和掌握二次函数的相关知识，提高数学学科的成绩和兴趣。

二、二次函数的基本概念1.二次函数定义：一般地，形如y = ax²+ bx + c(a、b、c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

其中，x为自变量，y为因变量。

2.二次函数图象：二次函数的图象是一条抛物线，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b²)/4a)，对称轴为x=-b/2a。

三、y=ax²的图象与性质1.定义域：对于y=ax²，其定义域为全体实数。

2.值域：当a>0时，值域为[0. +∞);当a<0时，值域为(0. +∞)。

3.奇偶性：当a=0时，既是奇函数又是偶函数;当a≠0时，是偶函数。

4.对称性：二次函数y=ax²的图象关于y轴对称。

5.增减性：当a>0时，在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0.+∞)上单调递增;当a<0时，在区间(-∞，0)上单调递增，在区间(0.+∞)上单调递减。

6.最值：当a>0时，有最小值0;当a<0时，有最大值0.四、重难点分析1.重点掌握y=ax²的图象与性质。

包括抛物线的形状、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等。

2.理解并掌握二次函数的定义域、值域和奇偶性等基本性质。

3.能够根据二次函数的图象和性质进行分类讨论，准确地确定函数的单调性和最值。

4.能够运用二次函数的知识解决实际问题，如利用二次函数的最值求最优化问题等。

五、知识点应用1.求二次函数的最大(小)值：要结合函数的图象和性质，首先确定函数的对称轴和开口方向，然后根据函数的单调性求出最大(小)值。

2.求二次函数的零点：通过观察函数的图象和性质，找到函数与x轴的交点坐标，即为函数的零点。

二次函数的知识点总结二次函数是高中数学中重要的一部分，它在数学和实际问题中都起到了重要作用。

本文将对二次函数的基本定义、性质、图像、应用等方面进行总结和探讨。

一、基本定义和性质二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。

二次函数的定义域为全体实数集R。

1. 零点和根：二次函数f(x)的零点为方程f(x) = 0的解，也称为根。

根的个数与二次函数与x轴的交点数有关，最多有两个根。

2. 对称轴和顶点：二次函数的对称轴是x = -b/2a，对称轴上的点称为顶点，坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 函数增减性：当a>0时，二次函数开口向上，函数值随x增大而增大；当a<0时，二次函数开口向下，函数值随x增大而减小。

二、图像与性质二次函数的图像是一条平滑的曲线，其形状和位置与a、b和c的值有关。

1. 开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2. 平移与伸缩：对于一般形式的二次函数y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标。

当h>0时，图像向左平移；当h<0时，图像向右平移。

当a>1时，图像纵向收缩；当0<a<1时，图像纵向拉伸。

3. 最值：当a>0时，函数的最小值为k；当a<0时，函数的最大值为k。

三、应用二次函数在实际问题中有广泛的应用，下面举几个例子说明：1. 自由落体运动：假设一个物体自由下落，不考虑空气阻力的影响。

物体从起始位置开始下落，其高度随时间变化可以用二次函数进行建模。

通过分析二次函数的图像，可以求得物体的最大高度、落地时间等信息。

2. 抛物线的跳远问题：假设一个运动员以一定的速度和角度抛出物体，求物体的飞行轨迹和落地点。

通过建立二次函数模型，可以分析出物体的最远距离和落地点的位置。

3. 生活中的经济问题：二次函数也可以用来分析一些与经济有关的问题，例如成本与产量之间的关系、利润最大化问题等。

二次函数的定义、图像及性质一、基本概念:1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠）的函数,叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、基本形式1。

二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.2y ax c =+的性质：（上加下减)3。

()2y a x h =-的性质：（左加右减） 4。

()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1。

平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，;⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2。

平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移,负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左(右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。

高中数学二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。

本文将对二次函数的基本知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。

一、基本定义与性质1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

a称为二次函数的二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。

2. 基本性质：a) 对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，它通过抛物线的顶点。

对称轴的方程可以通过x = -b/2a来确定。

b) 顶点：二次函数的顶点是抛物线上最高或最低的点，它对应于函数的最值。

顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

c) 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。

若a > 0，则抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。

二、图像与轨迹1. 抛物线的图像：二次函数的图像是一个抛物线，其形状、开口方向和位置由函数的系数决定。

a) 当a > 0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；b) 当a < 0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；c) 若a的绝对值较大，则抛物线较为扁平，开口较为宽；d) 若a的绝对值较小，则抛物线较为狭长，开口较为窄。

2. 轨迹与参数：通过调整二次函数的系数可以改变抛物线的形状和位置，从而得到不同的轨迹。

a) a的变化：改变a的值可以使抛物线的开口方向和形状发生变化；b) b的变化：改变b的值可以使抛物线在x轴方向上发生平移，即改变对称轴位置；c) c的变化：改变c的值可以使抛物线在y轴方向上发生平移，即改变抛物线在y轴上的截距。

三、二次函数的解析式1. 一般式：二次函数的一般式形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

a) 一般式可以直观地表示二次函数的系数和常数项，并可用于进行系数之间的比较和运算；b) 一般式中的a不等于0，通过a的正负可以确定抛物线的开口方向。

一、研究函数的图象和性质：二次函数的图象是抛物线。

（1）研究抛物线的图象特点主要包括：开口方向、顶点坐标、对称轴.（2）研究抛物线的图象性质主要包括：增减性以及最大（小) 值．1、二次函数y=ax²的图象及性质：2、二次函数y=ax²+k的图象及性质：抛物线y=ax²+k是由顶点在原点的抛物线y=ax²向上（下）平移个单位得到的.3、二次函数y=a（x-h）²的图象及性质：抛物线y=a(x—h)2是由顶点在原点的抛物线y=ax²向右(左)平移个单位得到的.4、二次函数y=a（x-h）²+k 的图象及性质：抛物线y=a(x—h)2+k是由顶点在原点的抛物线y=ax²先向上（下）平移个单位.再向右(左)平移个单位得到的.当k>0时,向平移；当k<0时,向平移.当h>0时,二次函数知识点归纳5.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象及性质：条件图象特点性质开口对称轴顶点增减性最大(小)值a＞0a＜0二、配方法的步骤：（1）提取a（每一项除以a）；（2）在提取a后的括号内加上一次项系数绝对值一半的平方再减去它；（3）配方；（4）整理形式y=a（x-h）²+k.三、有关抛物线与坐标轴交点的问题：1.求抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点：把x＝0代入求y，得（0，c）；2.求抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点：把y＝0代入求x.交点个数由一元二次方程ax²+bx+c=0的根决定,而方程ax²+bx+c=0的根由△(即b²-4ac )决定.分三种情况:①当△＞0时，方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数解x1,x2，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0），②当△=0时，方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数解x1=x2，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴只有一个交点（即顶点在x轴上）；③当△＜0时，方程ax²+bx+c=0没有实数解，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴无交点。