中考数学之几何类比拓展探究题

最新中考数学专题训练---类比、拓展探究题1.如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠A ＝30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连接EF .(1)发现线段BE 与AF 的位置关系是______，＝______；AF BE(2)探究如图②，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)时，连接AF ，BE ，(1)中的结论是否仍然成立，请说明理由；(3)延伸如图③，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)时，延长FC 交AB 于点D ，若AD ＝6－2，直接写出旋转角α的度数．3第1题图1.解：(1)BE ⊥AF ，；3【解法提示】∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∴线段BE 与AF 的位置关系是BE ⊥AF ；∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝＝2，BC tan 30°3∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴＝＝.AF BE AC BC3(2)(1)中结论仍然成立．理由如下：如解图①，延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M ，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴EC ＝BC ，FC ＝AC ，∴＝＝，1212EC BC FC AC 12第1题解图①∵∠BCE ＝∠ACF ＝α，∴△BEC ∽△AFC ，∴＝＝＝，∠1＝∠2，AF BE AC BC 1tan 30°3∵∠BOC ＝∠AOM ，∴∠AMO ＝∠BCO ＝90°，∴BE ⊥AF ；(3)135°.【解法提示】如解图②，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠A ＝30°，第1题解图②∴AB＝4，∠B＝60°，∴DB＝4－(6－2)＝2－2，33∴BH＝DB·cos60°＝－1，DH＝DB·sin60°＝3－，33又∵CH＝2－(－1)＝3－，∴CH＝DH，33∴∠HCD＝45°，∴∠DCA＝45°，∴α＝180°－45°＝135°.2.如图所示，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°.探究发现(1)如图①，点E在AB上，点D与点C重合，点F为线段BD的中点，则线段EF与FC的数量关系是；∠EFD的度数为．EF＝FC90°问题应用(2)如图②，在图①的基础上，将△ADE绕A点旋转到如图②所示的位置，其中点D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点，则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论．拓展延伸(3)若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，连接BD，点F为线段BD的中点，且EF＝6，请直接写出FC的长．第2题图2.解：(1)EF ＝FC ；90°；(2)EF ＝FC ，EF ⊥FC ，证明如下：如解图①，延长CF 到点M ，使CF ＝FM ，连接DM 、ME 、EC，第2题解图①∵F 为BD 的中点，∴DF ＝FB ，在△BFC 和△DFM 中，，{FC ＝FM∠BFC ＝∠DFM BF ＝DF )∴△BFC ≌△DFM (SAS)，∴DM ＝BC ，∠MDB ＝∠FBC ，∴MD ＝AC ，MD ∥BC ，∴∠MDC ＝∠BCA ＝90°，∴∠MDE ＝∠CAE ＝135°，在△MDE 和△CAE 中，，{MD ＝CA∠MDE ＝∠CAE DE ＝AE )∴△MDE ≌△CAE (SAS)，∴ME ＝CE ，∠MED ＝∠CEA ，∴∠MEB ＋∠CEA ＝∠MED ＋∠MEB ＝90°，∴∠MEC ＝90°，又∵F 为CM 的中点，∴EF ＝FC ，EF ⊥FC ；(3)FC ＝6.【解法提示】如解图②，延长CF 到点M ，使CF ＝FM ，连接ME 、EC ，连接DM 交AE 于点G ，交AC 于点H ，∵F 为BD 的中点，∴DF ＝FB.第2题解图②在△BFC 和△DFM 中，，{FC ＝FM∠BFC ＝∠DFM BF ＝DF )∴△BFC ≌△DFM (SAS)，∴DM ＝BC ，∠MDB ＝∠CBF ，∴MD ＝AC ，HD ∥BC ，∴∠AHG ＝∠BCA ＝∠DEG ＝90°，又∵∠AGH ＝∠DGE ，∴∠MDE ＝∠CAE ，在△MDE 和△CAE 中，，{MD ＝CA∠MDE ＝∠CAE DE ＝AE )∴△MDE≌△CAE(SAS)，∴ME＝CE，∠MED＝∠CEA，∴∠CEA－∠AEM＝∠MED－∠AEM＝∠AED＝90°，∴∠MEC＝90°，又∵F为CM的中点，∴EF＝FC，EF⊥FC.∴FC＝6.3.已知△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H 分别为DE，BE，CD中点．(1)观察猜想当△ADE绕点A旋转时，如图①.填空：①线段GF、FH之间的数量关系为；GF＝FH②∠GFH＝；60°(2)问题解决在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图②，若AB＝3，AD＝2，求线段FH的长；(3)拓展延伸在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b(a＞b＞0)，请直接写出△FGH周长的最大值和最小值．第3题图3.解：(1)①60°；②GF ＝FH ；【解法提示】如解图①所示，连接BD 、CE ，并延长BD 交CE 于M ，设BM 交FH 于点O ，第3题解图①∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴BD ＝CE ，∠ADB ＝∠AEC .∵EG ＝GB ，EF ＝FD ，∴FG ＝BD ，GF ∥BD .12∵DF ＝EF ，DH ＝HC ，∴FH ＝EC ，FH ∥EC ，12∵BD ＝CE ，∴FG ＝FH .∵∠ADB ＋∠ADM ＝180°，∴∠AEC ＋∠ADM ＝180°，∴∠DME ＋∠DAE ＝180°，∴∠DME ＝120°，∴∠BMC ＝60°，∴∠GFH ＝∠BOH ＝∠BMC ＝60°；(2)如解图②所示，连接AF 、EC ，第3题解图②∵DF ＝EF ，AD ＝AE ，∴AF ⊥DE ，在Rt △AEF 中，AE ＝2，EF ＝DF ＝1，∴AF ＝＝，22－123在Rt △ABF 中，BF ＝＝，AB 2－AF 26由(1)知BD ＝CE ＝BF －DF ＝－1，6∴FH ＝EC ＝；126－12(3)△FGH 的周长的最大值为(a ＋b )，最小值为(a －b )．3232【解法提示】由(1)可知，△GFH 是等边三角形，GF ＝BD ，∴△12GFH 的周长＝3GF ＝BD ，∵AB ＝a ，AD ＝b ，∴BD 的长的最大值为a ＋32b ，最小值为a －b ，∴△FGH 的周长的最大值为(a ＋b )，最小值为(a －3232b )．4.如图①，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △EDB 中，AC ＝BC ，DE ＝BD ，∠ACB ＝∠EDB ＝90°，P 为AE 的中点．(1)观察猜想连接PC 、PD ，则线段PC 与PD 的位置关系是________，数量关系是________；(2)探究证明如图②，当点E 在线段AB 上运动时，其他条件不变，作EF ⊥BC 于F ，连接PF ，试判断△PCF 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸在点E 的运动过程中，当△PCF 是等边三角形时，直接写出△ACB 与△EDB的两直角边之比．第4题图4.解：(1)PC ⊥PD ，PC ＝PD ；【解法提示】如解图①，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点P 作PH ⊥BC 于H ，连接PF ，易得四边形EFBD 是正方形，∴EF ＝ED ，∠DEB ＝∠FEB ＝45°，∴∠PEF ＝∠PED ，在△PEF 和△PED 中，，∴△{EF ＝ED∠PEF ＝∠PED PE ＝PE )PEF ≌△PED (SAS)，第4题解图①∴PF ＝PD ，∠EPF ＝∠EPD ，∵AC ∥PH ∥EF ，点P 为AE 的中点，∴点H 是FC 的中点，∴CH ＝HF ，又PH⊥BC，∴PC＝PF，故△PCF是等腰三角形，∴∠CPH＝∠FPH，∴PC＝PD；∵∠HPB＝∠HPF＋∠EPF＝45°，∴∠CPD＝∠CPH＋∠HPF＋∠EPF＋∠EPD＝2(∠HPF＋∠EPF)＝90°，∴PC⊥PD.第4题解图②(2)△PCF为等腰三角形，理由如下：如解图②，过点P作PH⊥BC于点H，则AC∥PH∥EF，∵P为AE的中点，∴点H是FC的中点，∴CH＝HF，又PH⊥BC，∴PC＝PF，∴△PCF为等腰三角形；(3)＋2.3【解法提示】如解图③，过点E作EF⊥BC于点F，过点P作PH⊥BC于点H，由(1)知，四边形BDEF为正方形，设EF＝BF＝BD＝x，HF ＝y，第4题解图③∵△PCF 是等边三角形，∴PH ＝y ，3∵PH ∥EF ，∴△BEF ∽△BPH ，∴＝，即＝，EF PH BF BH x3y x x ＋y 解得y ＝x ，3＋12∴BC ＝x ＋2y ＝(＋2)x ，3∴＝＝＋2.BC BD （3＋2）x x3∴△ACB 与△EDB 的两直角边之比为＋2.35.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG 按图①位置放置，AD 与AE 在2同一条直线上，AB 与A G 在同一条直线上．(1)小明发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由；(2)如图②，小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE 的长；(3)如图③，小明将正方形ABCD 绕点A 继续逆时针旋转，线段DG 与线段BE 相交，交点为H ，写出△GHE 与△BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由．图①图②图③第5题图5.解：(1)如解图①，延长EB交DG于点H，第5题解图①∵四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴∠AGD＝∠AEB.在△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°，∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴∠DHE＝180°－∠AEB－∠ADG＝90°，即DG⊥BE；(2)如解图②,∵四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG，∴∠DAG＝∠BAE.∵AD＝AB，∠DAG＝∠BAE，AG＝AE.∴△ADG ≌△ABE(SAS)，∴DG＝BE.过点A作AM⊥DG于点M，第5题解图②∴∠AMD ＝∠AMG ＝90°，∵BD 是正方形ABCD 的一条对角线，∴∠MDA ＝45°.在Rt △AMD 中，∵∠MDA ＝45°，AD ＝2，∴DM ＝，AM ＝， 22在Rt △AMG 中，∵AM 2＋GM 2＝AG 2，∴GM ＝22AM AG -＝22)2()22(-，∴GM ＝.6∵DG ＝DM ＋GM ＝＋，26∴BE ＝DG ＝＋；26(3)△GHE 与△BHD 面积之和的最大值为6.理由：对于△EGH ，由于线段GE 是固定的，且BE ⊥DG ，故可得点H 在以EG 为直径的圆上，当点H 与点A 重合时，△EGH 中GE 边上的高最大为外接圆半径即 GE .同理对于△BDH ，点H 在以BD 为直径的12圆上，当点H 与点A 重合时，△BDH 中BD 边上的高最大为外接圆半径，即BD ，∴△GHE 与△BHD 面积之和的最大值是S 正方形ABCD ＋S 121212正方形AEFG ＝×22＋×(2)2＝2＋4＝6.121226.已知四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，∠EAF 的两边分别与线段CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.(1)如图①，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF 之间的数量关系；(2)如图②，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与点B、C重合)，求证：BE＝CF；(3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，直接写出点F到BC的距离．第6题图6.(1)解：AE＝EF＝AF；【解法提示】如解图①，连接AC，第6题解图①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ACE＝∠ACF＝60°，∴AB＝BC＝AC，即△ABC为等边三角形，又∵∠BAC＝∠1＋∠2＝60°，∠EAF＝∠2＋∠3＝60°，∴∠1＝∠3，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE ≌△ACF (ASA)，{∠1＝∠3AB ＝AC∠ABE ＝∠ACF )∴AE ＝AF ，又∵∠EAF ＝60°，∴△AEF 为等边三角形，∴AE ＝EF ＝AF ；(2)证明：如解图②，连接AC ，由(1)知，AB ＝AC ，∠ACF ＝60°，第6题解图②∵∠BAC ＝∠4＋∠5＝60°，∠EAF ＝∠5＋∠6＝60°，∴∠4＝∠6，在△ABE 和△ACF 中，，∴△ABE ≌△ACF (ASA)，{∠4＝∠6AB ＝AC∠ABE ＝∠ACF )∴BE ＝CF ；(3)解：点F 到BC 的距离为3－.3【解法提示】由(2)知，BE ＝CF ，如解图③，过点A 作AG ⊥CE 于点G ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，第6题解图③∵∠EAB ＝15°，∠ABC ＝60°，∴∠BAG ＝90°－∠ABC ＝30°，∴∠EAG ＝15°＋30°＝45°，∴△AEG 为等腰直角三角形，又∵AB ＝4，∴AG ＝AB ·cos ∠BAG ＝4×＝2，323∴BG ＝＝＝2，AB 2－AG 242－（23）2∵EG ＝AG ＝2，∴BE ＝EG －BG ＝2－2，33∴CF ＝2－2，3∵FH ⊥CE ，∴∠FCH ＝180°－∠BCD ＝60°，∴FH ＝CF ·sin ∠FCH ＝(2－2)×＝3－，3323∴点F 到BC 的距离为3－.37.已知在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G .(1)如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证： ＝；DE CF AD CD(2)如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得 ＝ 成立？并证明你的结论；DE CF AD CD(3)如图③，若BA ＝BC ＝6，DA ＝DC ＝8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，求 的值．DE CF第7题图7.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A ＝∠FDC ＝90°，∴∠ADE ＋∠GDC ＝90°，∵DE ⊥CF ，∴∠DCG ＋∠GDC ＝90°，∴∠ADE ＝∠DCF ，∴△AED ∽△DFC ，∴＝；DE CF AD DC (2)解：当∠B ＋∠EGC ＝180°时，＝成立，DE CF AD CD 证明：如解图①，在AD 上取点M ，且M 点不与F 点重合，使CM ＝CD，第7题解图①∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =CD ，AD ∥BC ，∴CM ＝AB ，∴四边形ABCM 是等腰梯形，∴∠AMC ＝∠A ，∵∠B ＋∠EGC ＝180°，∴∠BCG ＋∠BEG ＝180°，又∵∠AED ＋∠BEG ＝180°，∴∠AED ＝∠BCG ，∵AD ∥BC ，∴∠MFC ＝∠BCG ，∴∠MFC ＝∠AED ，∴△AED ∽△MFC ，∴＝，即＝；DE CF AD MC DE CF AD CD(3)解：如解图②，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，连接AC ，BD 交于点O，第7题解图②∵∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，∴∠AED ＋∠AFG ＝360°－180°＝180°，又∵∠CFH ＋∠AFG ＝180°，∴∠AED ＝∠CFH ，又∵∠DAE ＝∠CHF ＝90°，∴△AED ∽△HFC ，∴＝，DE CF AD HC由题意可知△ABD ≌△CBD ，故可知AC ⊥BD ，在Rt △ABD 中，AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10，∵sin ∠ADB ＝＝，AB BD AO AD∴AO ＝＝＝，AB ·AD BD 6×810245∴AC ＝2AO ＝，DO ＝＝，485AD 2－AO 2325根据等面积法：S △ACD ＝OD ·AC ＝HC ·AD ，1212∴HC ＝＝＝，OD ·AC AD 325×485819225∴＝＝＝.DE CF AD HC 81922525248.在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点E 在直线CD 上(与点C ，D 不重合)，连接AE ，平移△ADE ，使点D 移动到点C ，得到△BCF ，过点F 作FG ⊥BD 于点G ，连接AG ，EG .(1)问题猜想：如图①，若点E 在线段CD 上，试猜想AG 与EG 的数量关系和位置关系；(2)类比探究：如图②，若点E 在线段CD 的延长线上，其余条件不变，小明猜想(1)中的结论仍然成立，请你给出证明；(3)解决问题：若点E 在线段DC 的延长线上，且∠AGF ＝120°，正方形ABCD 的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE 的长度．第8题图8.(1)解：由平移得EF ＝CD ＝AD ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，∵FG ⊥BD ，∴∠DGF ＝90°，∴∠GFD ＋∠CDB ＝90°，∴∠DFG ＝45°，∴GD ＝GF ，在△AGD 和△EGF 中，，{AD ＝EF∠ADG ＝∠EFG DG ＝FG )∴△AGD ≌△EGF (SAS)，∴AG ＝EG ，∠AGD ＝∠EGF ，∴∠AGE ＝∠AGD ＋∠DGE ＝∠EGF ＋∠DGE ＝90°，∴AG ⊥EG ；(2)证明：由平移得EF ＝CD ＝AD ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，∵FG ⊥BD ，∴∠DGF ＝90°，∴∠GFD ＋∠CDB ＝90°，∴∠DFG ＝45°，∴GD ＝GF ，在△AGD 和△EGF 中，，{AD ＝EF∠ADG ＝∠EFG DG ＝FG )∴△AGD ≌△EGF (SAS)，∴AG ＝EG ，∠AGD ＝∠EGF ，∴∠AGE ＝∠AGD －∠DGE ＝∠EGF －∠DGE ＝90°，∴AG ⊥EG ；(3)解：画出图形如解图，DE＝2.3第8题解图【解法提示】同(1)可得，AG＝EG，AG⊥EG，∴∠GEA＝45°，∵∠AGF＝120°，∴∠AGB＝∠EGF＝30°，又∵∠GFD＝45°，∴由外角性质得∠CEG＝∠EFG＋∠EGF＝75°，∴∠AED＝∠CEG－∠GEA＝30°，在Rt△ADE中，AD＝2，∴DE＝2.39. (1)【感知】如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD ＝BE，连接AE、CD交于点M.填空：①线段AE、CD之间的数量关系是________；②∠EMC＝________；(2)【探究】如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD ＝BE ，延长EA 交CD 于点M ，请判断线段AE 、CD 之间的数量关系及求∠EMC 的度数，并说明理由；(3)【拓展】如图③，在△ABC 中，AB ＝AC ，F 是AC 上一点，且∠1＝∠2，点D 、E 分别在BA 、FB 的延长线上，且AD ＝BE ，若AF ＝CF ＝2BE ，32S △ABF ＝6，直接写出S △BCD 的值．第9题图9. 解：(1)①AE ＝CD ；②60°；【解法提示】①在等边△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∵AD ＝BE ，∴△ADC ≌△BEA (SAS)，∴AE ＝CD ；②∵△ADC ≌△BEA ，∴∠ADC ＝∠BEA ，∵在△ABE 中，∠BAE ＋∠ABE ＋∠BEA ＝180°，在△AMD 中，∠DMA ＋∠ADM ＋∠BAE ＝180°，∴∠DMA ＝∠ABE ＝60°，∴∠EMC ＝∠DMA ＝60°.(2)AE ＝CD ，∠EMC ＝60°，理由如下：在等边△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴∠ABE ＝∠DAC ＝120°，∵AD ＝BE ，∴△ADC ≌△BEA(SAS)，∴CD ＝AE ，∠ADC ＝∠BEA ，∵∠EAB ＝∠DAM ，∠ABC ＝∠BEA ＋∠EAB ＝60°，∴∠EMC ＝∠ADC ＋∠DAM ＝60°；(3)13.【解法提示】∵∠1＝∠2，∴AF ＝BF ，∠DAC ＝∠EBA ，∵AD ＝BE ，AC ＝AB ，∴△ADC ≌△BEA (SAS)，∴S △ADC ＝S △BEA ，∵AF ＝2BE ，AF ＝BF ，∴BF ＝2BE ，∴S △ABE ＝S △ABF ＝3，∴S △ADC ＝3，12∵AF ＝CF ，∴S △BFC ＝S △ABF ＝4，3223∴S △BCD ＝S △BCF ＋S △ABF ＋S △ADC ＝13.10. 在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点P 在线段BC上(不与点B 重合)，E 在线段BO 上，且∠BPE ＝∠BCA ，过点B 作BG ⊥12PE 交PE 的延长线于点F ，交AC 于点G .(1)发现当点P 与点C 重合时(如图①)，填空：PE 、BG 的数量关系为________，＝________；BF PE(2)探究当点P 不与点C 重合时(如图②)，求的值；BF PE(3)应用把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变(如图③)，若∠ACB ＝30°，直接写出的值．BF PE第10题图10. 解：(1)PE ＝BG ，；12【解法提示】∵四边形ABCD 是正方形，点P 与点C 重合，∴OB ＝OP ，∠BOC ＝∠BOG ＝90°.∵PF ⊥BG ，∴∠PFB ＝90°，∴∠GBO ＝90°－∠BGO ，∠EPO ＝90°－∠BGO ，∴∠GBO ＝∠EPO ，∴△BOG ≌△POE (ASA)，∴BG ＝PE .∵∠BPE ＝∠BCA ，∴∠BPE ＝∠GPF ，12∵PF ⊥BG ，∴BF ＝BG ，12∴BF ＝PE ，∴＝.12BF PE 12(2)如解图①，过P 作PM ∥AC 交BG 于M ，交BO 于N ，∴∠PNE ＝∠BOC ＝90°，∠BPN ＝∠OCB.第10题解图①∵∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠NBP ＝∠NPB ＝45°，∴NB ＝NP .∵∠MBN ＝90°－∠BMN ，∠NPE ＝90°－∠BMN ，∴∠MBN ＝∠NPE ，∴△BMN ≌△PEN (ASA)，∴BM ＝PE .∵∠BPE ＝∠ACB ，∠BPN ＝∠ACB ，12∴∠BPF ＝∠MPF .∵PF ⊥BM ，∴BF ＝MF ，即BF ＝BM .∴BF ＝PE ，即＝；1212BF PE 12(3).36【解法提示】如解图②，过点P 作PM ∥AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴∠BPN ＝∠ACB ＝30°，∠PNE ＝∠BOC ＝90°，由(2)同理可得BF ＝BM ，∠MBN ＝∠EPN，12第10题解图②∵∠BNM ＝∠PNE ＝90°，∴△BMN ∽△PEN ，∴＝，BM PE BN PN在Rt △BNP 中，tan30°＝＝，BN PN 33∴＝，即＝，∴＝.BM PE 332BF PE 33BF PE 36。

中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题（含答案）题型解读1.考查类型：①动点探究题；②平移、旋转、折叠探究题；③图形形状变化探究题.2.考查内容：①多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；②涉及平移、旋转或折叠的相关性质；③多与二次函数的性质有关.3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口．类型一动点探究题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．2.如图①，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F.(1)如图②，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC＋CF＝BC；(2)知识探究：①如图③，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G 的运动过程中，若ACCG ＝t ，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系(不需要写出证明过程)；(3)问题解决：如图④，已知菱形边长为8，BG ＝7，CF ＝65，当t ＞2时，求EC 的长度．图①3.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm .对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s )(0<t<6)，解答下列问题： (1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．4.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．类型二 平移、旋转、折叠探究题5.如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图①图②图③6.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．7.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD 的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N 在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②8.问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形．请你证明这个结论；实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图③中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图④中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．9.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．10.如图①，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，BP ＝1，∠MPN ＝90°，将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB(或AD)于点E ，PN 交边AD(或CD)于点F ，当PN 旋转至PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止．(1)特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ， 此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)；(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设AE ＝t ，△EPF 的面积为S ，试确定S 关于t 的函数关系式；当S ＝4.2时，求所对应的t 值．11.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．类型三图形形状变化探究题12.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.图①(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．图②(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝________(填写度数)．图③图④(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想∠BOC的度数为____________________(用含n的式子表示)．13.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．14.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°. (1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．15.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到E ，使得AE ＝OA ，以OB ，OC 为邻边作▱OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，再连接EF.(1)如图①，若△ABC 为等边三角形，求证：①EF⊥BC； ②EF ＝3BC ；(2)如图②，若△ABC 为等腰直角三角形(BC 为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；(3)如图③，若△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC ＝kBC ，请你直接写出EF 与BC 之间的数量关系．类型一 动点探究题1. 解：(1)根据题意BM ＝2t ，BN ＝BC －3t ，而BC ＝5×tan 60°＝5 3.∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15. (2)分类讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BM BN ，∴2t 53－3t ＝32，解得t ＝157.②当∠BNM ＝∠ACB ＝90°时，如解图②， △MBN ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BNBM， ∴53－3t 2t ＝32，解得t ＝52. 因此当运动时间是157秒或52秒时，△MBN 与△ABC 相似．第1题解图(3)由于△ABC 面积是定值，∴当四边形ACNM 面积最小时，△MBN 面积最大， 而△MBN 的面积是S ＝12BM ×BN ×sin B＝12×2t ×(53－3t)×12＝－32t 2＋532t ， 由于a ＝－32＜0， ∴当t ＝－5322×（－32）＝52时，△MBN 面积最大，最大值是－32×(52)2＋532×52＝2538， 因此四边形ACNM 面积最小值是12×5×53－2538＝7538.2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB ＝BC ， ∴AB ＝AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAF ， 在△BAE 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF AB ＝AC ∠B ＝∠ACF， ∴△BAE ≌△CAF(ASA )， ∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；(2)解：①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为： EC ＋CF ＝12BC.理由如下：如解图①，过点A 作AE′∥EG ，AF ′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.第2题解图①类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵G 为AC 中点，AE ′∥EG ， ∴CE CE′＝CG AC ＝12， ∴CE ＝12CE′，同理可得：CF ＝12CF′，∴CE ＋CF ＝12CE′＋12CF′＝12(CE′＋CF′)＝12BC ，即CE ＋CF ＝12BC ；②CE ＋CF ＝1tBC ；【解法提示】类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵AE ′∥EG ，ACCG ＝t ，∴CE CE′＝CG AC ＝1t，∴CE ＝1tCE′，同理可得：CF ＝1tCF′，∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t (CE′＋CF′)＝1t BC ，即CE ＋CF ＝1tBC.(3)解：如解图②，连接BD 与AC 交于点H.第2题解图②在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°， ∴BH ＝AB·sin 60°＝8×32＝43， AH ＝CH ＝AB·cos 60°＝8×12＝4，∴GH ＝BG 2－BH 2＝72－（43）2＝1， ∴CG ＝4－1＝3， ∴CG AC ＝38， ∴t ＝83(t ＞2)，由(2)②得：CE ＋CF ＝1t BC ，∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95.∴EC 的长度为95.3. 解：(1)分三种情况： ①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，第3题解图①∴AO ＝CO ＝5，∴AP ＝5， ∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ， 在矩形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE ，∠APO ＝∠OEC ， 又∵OA ＝OC ，∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.如解图①，作AG ∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形， ∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t. 又∵EC ＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2， 解得t ＝258.第3题解图②③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去． 综上可知，当t ＝5或t ＝258时，△AOP 是等腰三角形．(2)如解图②，作OM ⊥BC ，垂足是M ，作ON ⊥CD ，垂足是N. 则OM ＝12AB ＝3，ON ＝12BC ＝4，∴S △OEC ＝12·CE·OM ＝12·t·3＝32t ，S △OCD ＝12·CD·ON ＝12·6·4＝12.∵QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ， ∴S △DFQ S △DOC ＝(DQ DC)2，即S △DFQ 12＝(t 6)2，∴S △DFQ ＝13t 2，∴S 四边形OFQC ＝12－13t 2，∴S 五边形OECQF ＝S 四边形OFQC ＋S △OEC ＝12－13t 2＋32t ，即S ＝－13t 2＋32t ＋12(0＜t ＜6)．(3)存在．理由如下：要使S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9∶16，即(－13t 2＋32t ＋12)∶(12×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5； (4)存在．理由如下：如解图③，作DI ⊥OP ，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，第3题解图③作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝12·OC·DJ ＝12·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12，∴DJ ＝245.∵OD 平分∠POC ，DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ， ∴DI ＝DJ ＝245＝4.8.∵AG ∥PE ，∴∠DPI ＝∠DAG .∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB ，∴∠DPI ＝∠AGB ， ∴Rt △ABG ∽Rt △DIP.由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ， ∴AB DI ＝BG IP ，∴64.8＝8－2t IP， ∴IP ＝45(8－2t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得 (245)2＋[45(8－2t)]2＝(8－t)2， 解得t ＝11239.(t ＝0不合题意，舍去)4. (1)解：①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF. 【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD ＋BD ， ∴BC ＝CD ＋CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立． ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②结论为：BC ＝CD －CF. 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)解：如解图，过点E 作EM ⊥CF 于M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB ＝AC ＝22，第4题解图∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°， ∴CG ＝BC ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ， ∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3， ∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3， 则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1， ∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.类型二 平移、旋转、折叠探究题5. (1)解：BD ＝CF 成立．理由如下：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ， ∴△ACF ≌△ABD ，∴CF ＝BD.(2)①证明：由(1)得，△ACF ≌△ABD ， ∴∠HFN ＝∠ADN ， 在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ， ∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°，第5题解图∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF.②解：如解图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ， 在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°， ∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF ，∴△BMD ∽△FHD.∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝322＝3，∴MB ＝MA －AB ＝3－2＝1，BD ＝MB 2＋MD 2＝12＋32＝10， 又∵MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106，∴DH ＝9105.6. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF；③解：BE的长为33－4；【解法提示】由②知AF＝12AD＝12AB＝3，AE＝AC＝5，BF⊥AD，由勾股定理得EF＝AE2－AF2＝4.在等边△ABD中，AB＝6，BF⊥AD，∴BF＝32AB＝33，∴BE＝33－4.(2)解：BE＋CE的值为13；第6题解图【解法提示】如解图，∵∠DAG＝∠ACB，∴∠DAB＝2∠CAB.∵∠DAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CBA，∴AE∥BC，∵AE＝AC＝BC，∴四边形ACBE是菱形，∴CE 垂直平分AB ，BE ＝AC ＝5.设CE 交AB 于M ，则CM ⊥AB ，CM ＝EM ，AM ＝BM ， ∴在Rt △ACM 中，AC ＝5，AM ＝3， 由勾股定理得CM ＝4， ∴CE ＝8， ∴CE ＋BE ＝13.7. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CPO ＋∠DPA ＝∠DPA ＋∠DAP ＝90°， ∴∠DAP ＝∠CPO ， ∴△OCP ∽△PDA ， ∴S △OCP S △PDA ＝(CP DA)2，即14＝(CP8)2，∴CP ＝4，设CD ＝x ，则DP ＝x －4，AP ＝AB ＝CD ＝x ， ∵AP 2－DP 2＝AD 2， ∴x 2－(x －4)2＝82， 解得x ＝10， 故CD ＝10. (2)第7题解图线段EF 的长度始终不发生变化，为2 5.证明：如解图，过点N 作NG ⊥PB ，与PB 的延长线相交于点G ， ∵AB ＝AP ，∴∠APB ＝∠ABP ＝∠GBN ， 在△PME 和△BNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEP ＝∠NGB ＝90°∠MPE ＝∠NBG MP ＝NB， ∴△PME ≌△BNG(AAS )， ∴ME ＝NG ，PE ＝BG ， 在△FME 和△FNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEF ＝∠NGF ∠MFE ＝∠NFG ME ＝NG，∴△FME ≌△FNG(AAS )， ∴EF ＝GF ， ∴EF ＝12EG ，∵BP ＝BE ＋EP ＝BE ＋GB ＝EG ， ∴EF ＝12BP ，∵BP ＝BC 2＋CP 2＝82＋42＝45， ∴EF ＝12BP ＝2 5.8. (1)解：菱形．(2)证明：如解图①，作AE ⊥CC′于点E ， 由旋转得AC′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C′AE ＝12α＝∠BAC ，第8题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，BC ＝DC′， ∴∠BCA ＝∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BCA ， ∴AE ∥BC ， 同理AE ∥DC′， ∴BC ∥DC ′，∴四边形BCC′D 是平行四边形， 又∵AE ∥BC ，∠CEA ＝90°， ∴∠BCC ′＝180°－∠CEA ＝90°，∴四边形BCC′D 是矩形．(3)解：如解图①，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， ∵BA ＝BC ，∴CF ＝AF ＝12AC ＝12×10＝5.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2－CF 2＝132－52＝12. 在△ACE 和△CBF 中，∵∠CAE ＝∠BCF ，∠CEA ＝∠BFC ＝90°， ∴△ACE ∽△CBF ， ∴CE BF ＝AC BC ，即CE 12＝1013， 解得CE ＝12013.∵AC ＝AC′，AE ⊥CC ′， ∴CC ′＝2CE ＝2×12013＝24013.当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况： ①点C″在边CC′上，a ＝CC′－13＝24013－13＝7113，②点C″在边C′C 的延长线上，a ＝CC′＋13＝24013＋13＝40913.综上所述，a 的值为7113或40913.第8题解图②(4)解：答案不唯一，例：画出正确图形如解图②所示．平移及构图方法：将△ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为12AC 的长度，得到△A ′C ′D ，连接A′B ，DC.结论：四边形A′BCD 是平行四边形．9. 解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴S △AEF S △ACB ＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB )2， ∴(AE AB )2＝14. 在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52.(2)第9题解图①①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图①，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形． 又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②如解图①，连接AM ，AM 与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则ME ＝AE ＝x ，EC ＝4－x. ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴△ECM ∽△ACB. ∴EC AC ＝EMAB ， ∵AB ＝5，AC ＝4， ∴4－x 4＝x5， 解得x ＝209，∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169.在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2， 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43. ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S 菱形AEMF ＝4S △AOE ＝2OE·AO. 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠MAC ， ∴OE AO ＝CM AC. ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE·CM ，∴6OE 2＝209×43，∴OE ＝2109，∴EF ＝4109. (3)如解图②，第9题解图②过点F 作FH ⊥CB 于点H ，在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47， 设FH ＝x ，则NH ＝74x ，∴CH ＝NH －NC ＝74x －1.∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x.在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan ∠FBH ＝tan ∠ABC ， ∴HF BH ＝CA BC ， ∴x4－74x ＝43， 解得x ＝85，∴HF ＝85.∵∠B ＝∠B ，∠BHF ＝∠BCA ＝90°， ∴△BHF ∽△BCA ， ∴HF CA ＝BFBA，即HF·BA ＝CA·BF ， ∴85×5＝4BF ，∴BF ＝2，∴AF ＝AB －BF ＝3， ∴AF BF ＝32. 10. 解：(1)△ABP ∽△PCD. 【解法提示】∵∠MPN ＝90°， ∴∠APB ＋∠DPC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠APB ＋∠BAP ＝90°， ∴∠DPC ＝∠BAP ， 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABP ∽△PCD.(2)在旋转过程中，PEPF 的值为定值．如解图，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为G.第10题解图类比(1)可得：△EBP ∽△PGF ， ∴EP PF ＝PB FG， ∵∠A ＝∠B ＝∠FGB ＝90°， ∴四边形ABGF 是矩形， ∴FG ＝AB ＝2， ∵BP ＝1， ∴PE PF ＝12， 即在旋转过程中，PE PF 的值为定值12.(3)由(2)知△EBP ∽△PGF ， ∴EB PG ＝BP GF ＝12， 又∵AE ＝t ， ∴BE ＝2－t ，∴PG ＝2(2－t)＝4－2t ，∴AF ＝BG ＝BP ＋PG ＝1＋(4－2t)＝5－2t ，∴S ＝S 矩形ABGF －S △AEF －S △BEP －S △PFG＝2(5－2t)－12t(5－2t)－12×1×(2－t)－12×2×(4－2t)＝t 2－4t ＋5,即S ＝t 2－4t ＋5(0≤t ≤2)， 当S ＝4.2时，4.2＝t 2－4t ＋5，解得：t 1＝2－455，t 2＝2＋455(不合题意，舍去)．∴t 的值是2－455.11. 解：(1)如解图①，在△ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2，又∵D 是AB 的中点，第11题解图①∴AD ＝1，CD ＝12AB ＝1，又∵EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝DF ＝12，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°，∴△ACD 为等边三角形， ∴∠ADC ＝60°， 在△FGD 中，GF ＝DF·sin 60°＝34， ∴矩形EFGH 的面积S ＝EF·GF ＝12×34＝38.(2)如解图②，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，①当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，则0＜x ≤14，重叠部分的面积S ＝12x·3x ＝316，第11题解图②∴x ＝24＞14(舍去)， ②当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则14＜x ≤12，重叠部分的面积S ＝34x －12×14×34＝316， ∴x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316.第11题解图③(3)如解图③，作H 2Q ⊥AB 于Q ， 设DQ ＝m ，则H 2Q ＝3m ， 又DG 1＝14，H 2G 1＝12，在Rt △H 2QG 1中， (3m)2＋(m ＋14)2＝(12)2，解得m 1＝－1＋1316，m 2＝－1－1316＜0(舍去)，∴cos α＝QG 1F 1G 1＝－1＋1316＋1412＝3＋138.类型三 图形形状变化探究题12. (1)证明：∵△ABD 、△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠CAE ＝∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＋∠BAC ＝∠DAB ＋∠BAC ，即∠BAE ＝∠DAC ， 在△ABE 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC， ∴△ABE ≌△ADC(SAS )． (2)解：∠BOC ＝90°.理由如下： 由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA.∵∠FBA ＋∠FDA ＝180°，∴∠FBA －∠EBA ＋∠FDA ＋∠CDA ＝180°， 即∠FBO ＋∠FDO ＝180°.在四边形FBOD 中，∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝360°－∠F －(∠FBO ＋∠FDO)＝90°， ∴∠BOC ＝90°. (3)解：72°.【解法提示】∠BOC ＝180°－108°＝72°.(4)解：180°－180°·（n －2）n.【解法提示】由(3)可知，∠BOC 度数应为180°减去正多边形内角度数． 13. 解：(1)233.【解法提示】sin 120°＝32，故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α＝S 1S 2，理由如下： 如解图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，第13题解图则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝hb ，∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ， 又∵1sin α＝b h ，∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1. 又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1， ∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1， ∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1， ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1. 由(2)结论1sin α＝S 1S 2，可得1sin ∠A 1B 1C 1＝4m2m ＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝12，∴∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°. 14. (1)①证明：如解图①， ∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°，第14题解图①∴∠ACE ＝∠BCF ，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形， ∴AC BC ＝CECF＝2， ∴△CAE ∽△CBF.②解：∵AE BF ＝ACBC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝AE2＝2， 由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF ， 又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°，第14题解图②由CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6， 解得CE ＝ 6.(2)解：连接BF ，如解图②，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，AC BC ＝AE BF， 由AB BC ＝EFFC＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1， CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1，∴CE EF ＝ACAB ＝k 2＋1k ，AE BF ＝AC BC＝k 2＋1， ∴EF ＝kCE k 2＋1，EF 2＝k 2CE 2k 2＋1，BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1，∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)， ∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)， 解得k ＝104. (3)解：p 2－n 2＝(2＋2)m 2.【解法提示】如解图③，连接BF ，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°， 过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H ， 类比第(2)问得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，第14题解图③EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)， ∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2，∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.15. 证明：(1)①连接AH ，如解图①. 第15题解图①∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ，∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC.②由①得AH ＝32BC ，∵AH ＝12EF∴32BC ＝12EF ，∴EF ＝3BC.(2)EF ⊥AB 仍然成立，EF ＝BC.第15题解图②【解法提示】如解图②，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(2BH)2－BH2＝BH2，∴AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC.第15题解图③(3)EF＝4k2－1 BC.【解法提示】如解图③，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(kBC)2－(12＝(k2－14)BC2，2BC)∴AH＝12－1 BC，24k∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，12－1 BC＝12EF，24k∴EF＝4k2－1 BC.。

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题一、解答题1．如图，在ABC 中，4AC =，3BC =，90ACB ∠=︒，D 是边AC 上一动点（不与点A 、C 重合），CE BD ⊥，垂足为E ，交边AB 于点F ．(1)当点D 是边AC 中点时，求DE ，EC 的值；(2)设CD x =，AF y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；(3)当EFD △与EFB △相似时，求线段CD 的长．2．【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点C 把线段AB 分成两部分，如果BC AC AC AB=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．(1)【问题发现】如图1，点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，若2AB =，请直接写出CB 的值是__________．(2)【问题探究】如图2，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，在BA 上截取BD BC =，再在AC 上截取AE AD =，则AE AC的值为__________． (3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE 得折痕MN ，连接EN ，将AE 折叠到EN 上，点A 对应点H ，得折痕CE ，试说明：C 是AB 的黄金分割点．3．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．(1)如图1，在智慧三角形ABC 中，AD BC ⊥，AD 为该三角形的智慧线，1CD =，则BD 长为_____，B ∠的度数为_____．(2)如图2，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠︒＝，2AB =，F 是斜边BC 延长线上一点，连接AF ，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE （点A ，F ，E 按顺时针排列），90EAF ∠=︒, CF =AE 交BC 于点D ，连接EC ，EB ．当2BDE BCE ∠=∠时，求线段ED 的长；(3)如图3，ABC 中，5AB AC ==，BC =BCD △是智慧三角形，且AC 为智慧线，求BCD △的面积．4．【问题提出】如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA＝，4PB ＝，5PC ＝，求APB ∠的度数．(1)【尝试解决】将APC △绕点A 逆时针旋转60︒，得到AP B '△，连接PP '，则APP '为等边三角形． ∵3P P PA '==，4PB =，5P B PC '==，∴222=P P PB P B ''+∴BPP '为三角形∴APB ∠的度数为．(2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC 外部有一点P ，若∠BP A ＝30°，求证222PA PB PC +=．(3)【联想拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠︒＝，AB AC ＝．点P 在直线BC 上方且45APB ∠︒＝，PC BC ==求PA 的长．5．已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，连接 AF 交 BC 于点 O ，点 P 是 AF 的中点，过点 P 作 PH DG ⊥ 于 H ，2CD =，1CG =．(1)如图1，点 D ，C ，G 在同一直线上，点 E 在 BC 边上，求 PH 的长；(2)把正方形 CEFG 绕着点C 逆时针旋转 ()0180αα<<．①如图2，当点E 落在AF 上时，求CO 的长；②如图3，当DG =PH 的长．6．在ABC ∆中，点E 为AC 边上一动点，以CE 为边在CE 上方作等边CEN ．(1)如图1，EN 与AB 交于点P ，连接PC ，若tan A =，1AE =，5CN =，求PC 的长： (2)如图2．当N 与B 重合时，在BC 上取一点D ，过点D 作DF AC ∥，连接BF ，EF ，过C 作CH EF ⊥交EF 于点H ，若30FBC DFE ︒∠-∠=，求证：CH BF +=；(3)如图3，若BC AB ⊥，且4AB BC ==，过点B 作BQ AC ∥，I 为射线.BQ 上一动点，取AC 中点M ，连接MI ，过点B 作BK MI ⊥交M 于点K ，连接NK ，直接写出NK 的最小值．7．问题情境：如图1，在Rt △ABC 和Rt △BEF 中，∠ACB ＝∠EFB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，且M ，N 分别为AE ，CF 的中点．(1)猜想证明：如图2，将Rt △BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变．试判断54AM CN =是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(2)解决问题：如图3，将图2中的Rt △BEF 沿BF 所在直线折叠得到Rt BE F '，连接AE '，CF ，并分别取它们的中点P ，H ，连接CP ，FP ，PH ．①试判断CP 与FP 之间的数量关系，并说明理由．②若AB ＝2BE '，BC ＝2BF ，请直接写出PH 的长．8．【方法尝试】（1）如图1，矩形ABFC 是矩形ADGE 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转90︒所得的图形，CB ED 、分别是它们的对角线．则CB 与ED 数量关系________，位置关系________．【类比迁移】（2）如图2，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,9,6,3,2BAC DAE AC AB AE AD ∠=∠=︒====．将DAE 绕点A 在平面内逆时针旋转，设旋转角BAE ∠为()0360αα︒<︒，连接,CE BD ．请判断线段CE 和BD 的数量关系和位置关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在Rt ABC 中，90,6ACB AB ∠=︒=，过点A 作AP BC ∥，在射线AP 上取一点D ，连结CD，使得3tan4ACD∠=，请求写出线段BD的最大值．9．如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．【实践探究】(1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．(2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．10．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．(1)猜测探究：在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN，连接NB．①如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；②如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．(2)拓展应用：如图3，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝8，∠A 1B 1C 1＝60°，∠B 1A 1C 1＝75°，P 是B 1C 1上的任意点，连接A 1P ，将A 1P 绕点A 1按顺时针方向旋转75°，得到线段A 1Q ，连接B 1Q ．求线段B 1Q 长度的最小值． 11．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为AC 边上一点，连接BD ，作AP BD ⊥于点P ，过点C 作CE AC ⊥交AP 延长线于点E ．(1)如图1，求证：AD CE =；(2)如图2，以AD ，BD 为邻边作ADBF ，连接EF 交BC 于点G ，连接AG ，①求证：AG EF ⊥；②若点D 为AC 中点，EF 、AB 交于点H ，求BH AB的值． 12．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AC 边上的一点，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接BD ，P 为BD 中点，连接PC ，PE ．(1)求证：PC PE =；(2)将图1中ADE 绕着点A 顺时针旋转如图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；(3)若10AB =，6AD =，30BAC DAE ∠=∠=︒，在平面内，将Rt ADE △绕点A 旋转一周，当A ，C ，E 三点共线时，请直接写出PCE 的面积．13．如图1，在直角坐标系中，点()2,0A ，点()0,2C ，点D ，点E 分别为OA ，OC 的中点，ODE 绕原点O 顺时针旋转α角（090α︒<<︒）得11OD E ，射线1CD ，1AE 相交于点F ．(1)求证：11OCD OAE △≌△；(2)如图2，在ODE 旋转过程中，当点1D 恰好落在线段CE 上时，求AF 的长；(3)如图3，在旋转α角从090α︒≤≤︒逐渐增大ODE 旋转过程中，求点F 的运动路线长．14．已知ABC 为等边三角形，边长为4，点D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，连接AD 、BE ．AE CD =．(1)如图1，若2AE =，求BE 的长度；(2)如图2，点F 为AD 延长线上一点，连接BF 、CF ，AD 、BE 相交于点G ，连接CG ，已知60,∠=︒=EBF CE CG ，求证：2+=BF GE CF ；(3)如图3，点P 是ABC 内部一动点，顺次连接PA PB PC 、、++的最小值．15．【问题提出】（1）如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，设CD 的长为m ，点D 到边AB 的距离为n ，则m _______n ；（填“＞”“＜”或“＝”）【问题探究】（2）如图2，在梯形ABCD 中，90A ∠=︒，AD BC ∥，(201AB =，BD 为对角线，且45BDC ∠=︒，求BCD △面积的最小值；【问题解决】（3）某景点有一个形状为菱形ABCD 的草坪，如图3，AB ==60B ∠︒，现欲将该草坪扩建为BEF △，使得点E 、F 分别在BA 、BC 的延长线上，且边EF 经过点D ，为了节省成本，要求扩建后的草坪面积（BEF △的面积）尽可能小，问BEF △的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．16．综合与实践：数学课外小组研究了两个问题，请你帮助解答．问题一：如图1，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为矩形，连接CG ．问题二：数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为平行四边形，连接CG ．数学小组发现DF 与CG 仍然存在着特定的数量关系．(1)请直接写出CG 的长是______．如图2，当矩形AEGF 绕点A 旋转（如顺时针旋转）至点G 落在边AB 上时，DF =______，CG =______，DF 与CG 之间的数量关系是______．(2)当矩形AEGF 绕点A 旋转至如图3的位置时，（1）中DF 与CG 之间的数量关系是否还成立？并说明理由．(3)如图5，当平行四边形ABCD 绕点A 旋转（如顺时针旋转），其它条件不变时，数学小组发现DF 与CG 仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系是______．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，O 是对角线AC 的中点，连接BO 并延长交边AD 或边CD 于点E ．(1)如图1，当点E 在AD 上时，连接CE ，求证：四边形ABCE 是矩形．(2)如图2，当点E 在CD 上时，当AC ＝4，BC ＝3时，求DAC S △与OBC S的比值．(3)若DE ＝2，OE ＝3，直接写出CD 的长．18．已知在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一动点，作点B 关于AE 的对称点F ，BF 交AE 于点G ，连结DF ．(1)如图1，求DFB ∠的度数；(2)如图2，过点D 作DM BF ⊥交BF 的延长线于点M ，连结,CM CF ．若DF CM =，试探究四边形DFCM 的形状，并说明理由；(3)如图3，连结BD ，在AG 上截取=GT GB ，点P ，Q 分别是,AD BD 上的动点．若正方形ABCD 的面积为32，直接写出PTQ 周长的最小值．。

类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）【类型1】通过位置变化（图形变换）进行类比探究〖例1〗已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．（1）如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α（0°＜α≤360°）．则此时α＝；此时△COD是三角形（填特殊三角形的名称）．（2）如图2，固定等边△AOB不动，将（1）中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β（0°＜β≤360°）．①求证：AC＝BD；②当旋转角β为何值时，OC∥AB，并说明理由；③当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长．〖例2〗现有与菱形有关的三幅图，如图：（1）（感知）如图①，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF．若AC＝2，则CE+CF的长为．（2）（探究）如图②，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连结EF．若BC＝2，求CE+CF的长．（3）（应用）在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD延长线于点F，连结EF．若BC＝2，EF⊥BC时，借助图③求△AEF的周长．〖尝试练习〗1．如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB＝2√2，BD＝2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，如图2，直线AD、CE相交于点P．（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．2．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）探究猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：；（2）深入思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2√2，CD＝14BC，请求出OC的长．3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，求BE的长．【类型2】通过形状变化进行类比探究〖例3〗如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到AE，连接DE，CE．（1）求证：CE＝BD；（2）若α＝60°，其他条件不变，如图2．请猜测线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）若α＝90°，其他条件不变，如图3，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．〖例4〗如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC＝PE，PF交CD于点F．（1）求证：∠PCD＝∠PED；（2）连接EC，求证：EC＝√2AP；（3）如图2，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB＝60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系．〖尝试练习〗4．已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的顶点D，C点在DE上，且∠ADC＝∠EDG，连接AE，CG，如图1．（1）试猜想AE与CG有怎样的数量关系（直接写出关系，不用证明）；（2）将菱形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果∠ADC＝∠EDG＝90°，如图3，你认为AE和CG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．5．已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝√3，BC＝√6，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2√3，当△AED是直角三角形时，求BC的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．【自主反馈】7．如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD＝AE，AD与CE交于点F．（1）求∠DFC的度数；（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．①补全图形（图2中完成）；②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．8．已知△ABC是等腰三角形．（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．①求∠AED的度数；②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：DF＝BE；（3）如图3，点B、C的坐标分别是（0，0），（0，2），点Q是线段AC上的一个动点，点M是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图②，B'E与AC交于点F，DB'∥BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；②连接B'C，则△B'FC的形状为；（3）如图③，则△CEF的周长为．11．已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．12．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求CG的长．（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．13．我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．重温定理，识别图形（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE＝12DF，又可证图中的四边形为平行四边形，可得BC与DF的关系是，于是推导出了“DE∥BC，DE＝12BC”．寻找图形，完成证明（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF＝√2BE．构造图形，解决问题（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）答案与解析〖例1〗解：（1）如图1，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∠AOB＝60°，∵将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°＝α，∴△COD是等边三角形，答案为：60°，等边；（2）①∵△COD是等边三角形，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②如图2，当点C在点O的上方时，若OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝60°＝β，如图2﹣1，当点C在点O的下方时，若OC∥AB，∴∠ABO＝∠BOC＝60°，∴β＝360°﹣60°﹣60＝240°，综上所述：β＝60°或240°；③如图3，当点D在线段AC上时，过点O作OE⊥AC于E，∵等边△AOB的边长为4，点C为OA 中点，∴AO＝AB＝OB＝4，OC＝OD＝CD＝2，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∵OE⊥CD，OC＝OD，∴CE＝DE＝1，∴OE＝√OC2−CE2＝√3，∴AE＝√OA2−OE2＝√13，∴AC＝AE+CE＝1+√13＝BD；如图4，当点C在线段AD上时，过点O作OF⊥AD于F，同理可求DF＝CF＝1，AF＝√13，∴AC＝BD＝√13﹣1，综上所述：BD＝√13+1或√13﹣1．〖例2〗解：（1）感知：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB＝2，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴CE＝12BC，CF＝12CD＝1，∴CE+CF＝2．故答案为：2．（2）探究：如图，连结AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴CE+CF＝BC＝2．（3）应用：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠CAD＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠CAD﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE．∴∠CAE＝∠DAF．∵∠ACE＝∠ADF，AC＝AD∴△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形，∵EF⊥BC，∠ECF＝60°，∴CF＝2CE，∵CD＝BC＝2，∴CE＝2，∴EF=√CF2−CE2=2√3，∴△AEF的周长为6√3．〖尝试练习〗1．解：（1）AD＝CE，理由：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ， ∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD ＝CE ；（2）如图2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，在Rt △BHD 中，BD ＞BH ，∴当点D ，H 重合时，BD ＝BH ，∴BH ≤BD ，∴当BD ⊥AD 时，点B 到直线AD 的距离最大，∴∠EDP ＝90°﹣∠BDE ＝30°，同（1）的方法得，△ABD ≌△CBE （SAS ）， ∴∠BEC ＝∠BDA ＝90°，EC ＝AD ，在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝2√2， 根据勾股定理得，AD ＝√AB 2−BD 2＝2， ∴CE ＝2，∵∠BEC ＝90°，∠BED ＝60°， ∴∠DEP ＝90°﹣60°＝30°＝∠EDP ，∴DP ＝EP ，如图2﹣1，过点P 作PQ ⊥DE 于Q ， ∴EQ ＝12DE ＝1，在Rt △EQP 中，∠PEQ ＝30°， ∴EP ＝EQcos ∠DEP ＝2√33， ∴PC ＝2−2√33； （3）①当点D 在AE 上时，如图3，∴∠ADB ＝180°﹣∠BDE ＝120°，∴∠BDE ＝60°， 过点B 作BF ⊥AE 于F ，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，BD ＝2， ∴DF ＝1，BF ＝√3，在Rt △ABF 中，根据勾股定理得，AF ＝√AB 2−BF 2＝√5，AD ＝AF ﹣DF ＝√5﹣1，∴CE ＝AD ＝√5﹣1； ②当点D 在AE 的延长线上时，如图4，同①的方法得，AF ＝√5，DF ＝1，∴AD ＝AF +DF ＝√5+1，∴CE ＝AD ＝√5+1， 即满足条件的CE 的长为√5+1和√5﹣1． 2．解：（1）①正方形ADEF 中，AD ＝AF ， ∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ACB +∠ACF ═45°+45°＝90°， 即BC ⊥CF ；②△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD +CD ， ∴BC ＝CF +CD ；故答案为：BC ＝CF +CD ；（2）CF ⊥BC 成立；BC ＝CD +CF 不成立，CD ＝CF +BC ．理由如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ， ∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACF ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°．∴∠ABD ＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF ﹣∠ACB ＝135°﹣45°＝90°，∴CF ⊥BC ．∵CD ＝DB +BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF +BC ．（3）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2√2， ∴BC ＝4，∴CD ＝14BC ＝1，∴BD ＝5， 由（2）同理可证得△DAB ≌△FAC ，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴OD ＝OF ，∵∠DCF ＝90°，∴DF ＝√CD 2+CF 2＝√26，∴OC ＝√262．3．证明：（1）如图2，延长DG交BE于H，∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠C+∠CBA+∠ABE+∠BHD+∠CDH＝360°，∴90°+90°+∠ADG+∠CDH+∠BHD＝360°，∴∠BHD＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图3，连接BD，∵正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，∴BD＝√2AD＝8，GE＝√2AE＝6，∵BD2＝DE2+BE2，∴64＝（6+BE）2+BE2，∴BE＝√23﹣3．〖例3〗证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转α，∴AD＝AE，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE；（2）AC＝CD+CE，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，由（1）可知：BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴AC＝CD+CE；（3）∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△BAD≌△CAE∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴CE2+CD2＝DE2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2，∴CE2+CD2＝2AD2，∴BD2+CD2＝2AD2．〖例4〗（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，又∵PD=PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，AP＝CP，∵PC＝PE，∴AP＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，由（1）知，∠PCD＝∠PED，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠CFP﹣∠PCD＝180°﹣∠EFD﹣∠PED，即∠CPF＝∠EDF＝90°，∵PC＝PE，∴△CPE是等腰直角三角形，∴EC＝√2CP，由（1）知，AP＝CP，∴EC＝√2AP；（3）解：AP＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP ＝60°，∠BAD＝∠BCD，∠EDC＝∠DAB＝60°，又∵PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA ＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PC＝PE，∴PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP ＝∠AEP，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠CFP﹣∠PCF＝180°﹣∠EFD﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝EC，∴EC＝AP，〖尝试练习〗4．解：（1）AE＝CG，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是菱形，∴DA＝DC，DE＝DG，又∵∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（2）成立，理由如下：∵∠ADC＝∠EDG，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，又∵DA＝DC，DE＝DG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（3）AE⊥CG，理由如下：延长线段AE、GC交于点H，∵AD∥BC，∴∠CEH＝∠DAE，由（2）可知，△DAE ≌△DCG ，∴∠DAE ＝∠DCG ，∴∠CEH ＝∠DCG ， ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠ECH +∠DCG ＝90°，∴∠ECH +∠CEH ＝90°，∴∠CHE ＝90°，∴AE ⊥CG ． 5．（1）证明：由折叠的性质得：△ABC ≌△△ AEC ，∴∠ACB ＝∠ACE ，BC ＝EC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ．∴EC ＝AD ，∠ACB ＝∠CAD ，∴∠ACE ＝∠CAD ，∴OA ＝OC ，∴OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ，∵∠AOC ＝∠DOE ，∴∠CAD ＝∠ACE ＝∠OED ＝∠ODE ，∴AC ∥DE ； （2）解：∵平行四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠CDO ＝90°，CD ＝AB ＝√3，AD ＝BC ＝√6，由（1）得：OA ＝OC ，设OA ＝OC ＝x ，则OD ＝√6﹣x ，在Rt △OCD 中，由勾股定理得：（√3）2+（√6﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝3√64，∴OA ＝3√64， ∴△OAC 的面积＝12OA ×CD ＝12×3√64×√3＝9√28；（3）解：分两种情况：①如图3，当∠EAD ＝90°时，延长EA 交BC 于G ，∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ， ∵AD ∥BC ，∠EAD ＝90°，∴∠EGC ＝90°， ∵∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴∠AEC ＝30°， ∴GC ＝12EC ＝12BC ，∴G 是BC 的中点， 在Rt △ABG中，BG ＝√32AB ＝3，∴BC ＝2BG ＝6；②如图4，当∠AED ＝90°时∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ，由折叠的性质得：AE ＝AB ，∴AE ＝CD ，又∵AC=AC ，∴△ACE ≌△CAD （SSS ）， ∴∠ECA ＝∠DAC ，∴OA ＝OC ，∴OE ＝OD ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AED ＝∠CDE ， ∵∠AED ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴AE ∥CD ， 又∵AB ∥CD ，∴B ，A ，E 在同一直线上， ∴∠BAC ＝∠EAC ＝90°，∵Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴AC ＝√33AB ＝2，BC ＝2AC ＝4；综上所述，当△AED 是直角三角形时，BC 的长为4或6．6．证明：（1）∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠CFE ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ， 又∵四边形ECFG 是平行四边形， ∴四边形ECFG 为菱形；（2）△BDG 是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AD ∥BC ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∠BCF ＝120°，由（1）知，四边形CEGF 是菱形，∴CE ＝GE ，∠BCG ＝12∠BCF ＝60°，∴CG ＝GE ＝CE ，∠DCG ＝120°，∵EG ∥DF ，∴∠BEG ＝120°＝∠DCG ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，∵AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD ，∴△BEG ≌△DCG （SAS ），∴BG ＝DG ，∠BGE ＝∠DGC ，∴∠BGD ＝∠CGE ，∵CG ＝GE ＝CE ，∴△CEG 是等边三角形， ∴∠CGE ＝60°，∴∠BGD ＝60°，∵BG ＝DG ， ∴△BDG 是等边三角形；（3）如图2中，连接BM ，MC ，∵∠ABC ＝90°，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形，又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝√AB2+AD2＝26，∴DM＝√22BD＝13√2．【自主反馈】7．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，∵∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠ACE+∠DAC＝60°；（2）①根据题意补全图形如图2所示：②线段BE与CQ的数量关系为：CQ＝12BE；理由如下：∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，∴CE＝CP，∠ECP＝120°，∵∠DFC＝60°，∴AD∥CP，∴∠ADC＝∠DCP，∵△ABD≌△CAE，∴CE＝AD，∴AD＝CP，∴△ADQ≌△PCQ（AAS），∴CQ＝DQ＝12CD，∵AB＝BC，BD＝AE，∴BE＝CD，∴CQ＝12BE．8．解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，∴∠D＝12（180°﹣∠BAD）＝15°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝30°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；②BD＝2CE+√2AE；证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CE，过点A作AF⊥AE交DE于F，∴∠EAF＝90°，由旋转知，∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAF，由①知，∠AED＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF，∴EF＝√2AE，∵AC＝AD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴DF＝CE，∴BD＝BE+EF+DF＝CE+√2AE+CE ＝2CE+√2AE．9．解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°﹣30°）＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；（2）连接BF，∵点F是边AC中点，∴BF＝AF＝12AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12AC，∴∠FBA＝∠BAC＝30°，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB＝DE，∠DEA＝∠ABC＝90°，∴DE ＝BF ，延长BF 交AE 于点G ，则∠BGE ＝∠GBA +∠BAG ＝90°， ∴∠BGE ＝∠DEA ，∴BF ∥ED ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DF ＝BE ； （3）∵点B 、C 的坐标分别是（0，0），（0，2）， ∴BC ＝2，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝4，AB ＝2√3，若∠QMA ＝90°，CQ ＝MQ 时，如图3，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°，∴AQ ＝2x ，AM ＝√3x ， ∴AC ＝x +2x ＝3x ＝4，∴x ＝43，∴AM ＝43√3，∴BM ＝AB ﹣AM ＝2√3﹣4√33＝2√33，∴点M （2√33，0）； 若∠AQM ＝90°，CQ ＝QM 时，如图4， 设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°， ∴AQ ＝√3x ，AM ＝2x ， ∴AC ＝x +√3x ＝4，∴x ＝2√3﹣2，∴AM ＝4√3﹣4， ∴BM ＝2√3﹣（4√3﹣4）＝4﹣2√3， ∴点M （4﹣2√3，0）；综上所述：M （2√33，0）或（4﹣2√3，0）．10．（1）解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5（2）①证明：由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，B 'E ＝BE ，∠B 'DE ＝∠BDE ，∵DB '∥BC ，∴∠B 'DE ＝∠BED ，∴∠BDE ＝∠BED ，∴BD ＝BE ，∴B 'D ＝BE ，∴四边形BDB 'E 是平行四边形，又∵B 'D ＝BD ，∴四边形BDB 'E 为菱形；②解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝BD ， 由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵DB '∥BC ，∴DB '⊥AC ，∴∠ACB '＝90°﹣∠DB 'C ，由①得：四边形BDB 'E 为菱形， ∴AB ∥B 'E ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥B 'E ，∴∠EB 'C ＝90°﹣∠DCB '，∴∠ACB '＝∠EB 'C ， ∴FB '＝FC ，即△B 'FC 为等腰三角形；（3）解：连接B 'C ，如图③所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴BC ＝√22AB ＝5√2，∠B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，∠ACD ＝12∠ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∠B '＝∠B ＝45°，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∴∠FCB '＝∠FB 'C ，∴CF ＝B 'F ，∴△CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝5√2； 11．解：（1）BH ⊥HE ，BH ＝HE ；理由如下： 延长EH 交AB 于M ，如图1所示： ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AB ∥CD ∥EF ，AB ＝BC ，CE ＝FE ，∠ABC ＝90°，∴∠AMH ＝∠FEH ，∵H 是AF 的中点，∴AH ＝FH ，∴△AMH ≌△FEH （AAS ）， ∴AM ＝FE ＝CE ，MH ＝EH ，∴BM ＝BE ， ∵∠ABC ＝90°，∴BH ⊥HE ，BH ＝12ME ＝HE ；（2）结论仍然成立．BH ⊥HE ，BH ＝HE ．理由如下：延长EH 交BA 的延长线于点M ，如图2所示：∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，∴∠ABE ＝∠BEF ＝90°，AB ＝BC ，AB ∥CD ∥EF ，CE ＝FE ，∴∠HAM ＝∠HFE ，∴△AHM ≌△FHE （ASA ），∴HM ＝HE ，AM ＝EF ＝CE ，∴BM ＝BE ，∵∠ABE ＝90°， ∴BH ⊥EH ，BH ＝12EM ＝EH ；（3）延长EH 到M ，使得MH ＝EH ，连接AH 、BH ，如图3所示：同（2）得：△AMH ≌△FEH （SAS ），∴AM ＝FE ＝CE ，∠MAH ＝∠EFH ， ∴AM ∥BF ，∴∠BAM +∠ABE ＝180°，∴∠BAM +∠CBE ＝90°，∵∠BCE +∠CBE ＝90°∴∠BAM ＝∠BCE ，∴△ABM ≌△CBE （SAS ），∴BM ＝BE ，∠ABM ＝∠CBE ，∴∠MBE ＝∠ABC ＝90°，∵MH ＝EH ，∴BH ⊥EH ，BH ＝12EM ＝MH ＝EH ，在Rt △CBE 中，BE ＝√CB 2−CE 2＝12，∵BH ＝EH ，BH ⊥EH ，∴BH ＝√22BE ＝6√2．12．解：（1）GF ＝GC ．理由如下：如图1，连接GE ， ∵E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠B ＝90°，∴∠EFG ＝90°，∴Rt △GFE ≌Rt △GCE （HL ），∴GF ＝GC ； （2）设GC ＝x ，则AG ＝4+x ，DG ＝4﹣x ， 在Rt △ADG 中，62+（4﹣x ）2＝（4+x ）2， 解得x ＝94．∴GC ＝94；（3）（1）中的结论仍然成立．证明：如图2，连接FC ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∵将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∠B ＝∠AFE ，∴EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠ECF ，∵矩形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D ， ∵∠ECD ＝180°﹣∠D ，∠EFG ＝180°﹣∠AFE ＝180°﹣∠B ＝180°﹣∠D ，∴∠ECD ＝∠EFG ，∴∠GFC ＝∠GFE ﹣∠EFC ＝∠ECG ﹣∠ECF ＝∠GCF ，∴∠GFC ＝∠GCF ，∴FG ＝CG ；即（1）中的结论仍然成立．13．解：（1）∵AE ＝CE ，DE ＝EF ，∠AED ＝∠CEF ，∴△AED ≌△CEF （SAS ）， ∴AD ＝CF ，∠ADE ＝∠F ，∴BD ∥CF ，∵AD ＝BD ，∴BD ＝CF ，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴DF ＝BC ，DF ∥BC ， （2）证明：∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，即∠ABE +∠CBE ＝90° ∵△BEH 是等腰直角三角形，∴EH ＝2BE ＝2BH ，∠BEH ＝∠BHE ＝45°， ∠EBH ＝90°，即∠CBH +∠CBE ＝90° ∴∠ABE ＝∠CBH ， ∴△ABE ≌△CBH （SAS ）， ∴AE ＝CH ，∠AEB ＝∠CHB ，∴∠CHE ＝∠CHB ﹣∠BHE ＝∠CHB ﹣45°＝∠AEB ﹣45°， ∵四边形AEFG 是正方形， ∴AE ＝EF ，∠AEF ＝90°，∴EF ＝HC ，∠FEH ＝360°﹣∠AEF ﹣∠AEB ﹣∠BEH ＝225°﹣∠AEB ， ∴∠CHE +∠FEH ＝∠AEB ﹣45°+225°﹣∠AEB ＝180°， ∴EF ∥HC 且 EF ＝HC ， ∴四边形EFCH 是平行四边形， ∴CF ＝EH ＝√2BE ；（3）CF＝√3BE，如图，过点B作BH，使∠EBH＝120°，且BH＝BE，连接EH、CH，则∠BHE＝∠BEH＝30°，∵∠ABC＝∠EBH＝120°，∴∠ABE＝∠CBH，∵AB＝BC，BE＝BH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，∵∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠AEB﹣30°，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝210°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝180°，∴CH∥EF且CH＝EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH，过B作BN⊥EH于N，在△EBH中，∠EBH＝120°，BH＝BE，∴∠BEN＝30°，EH＝2EN，BE，∴EN＝√32∴EH＝√3BE，∴CF＝EH＝√3BE．。

类比探究之类比探索（一）一、单选题(共6道，每道16分)1.问题情境：在特殊四边形的复习课上，老师出了这样一道题：如图2，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，FH相交于点O，若∠HOE=∠D，试探究：EG与FH的数量关系．经过小组讨论后，小聪建议分以下两步进行：（1）特殊情况，探索结论当菱形ABCD是正方形时，如图1，EG与FH有怎样的数量关系呢？小聪想：要求EG与FH的数量关系，就要构造全等三角形或相似三角形，于是，分别过点G，H作GM⊥AB于点M，HN⊥BC于点N，证明△GME≌△HNF，从而得到EG=FH．则判定△GME≌△HNF使用的条件可能是( )A.HLB.ASA或AASC.SASD.AAA答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学中的类比探究2.（上接第1题）（2）特例启发，解答题目由此猜想：原题中EG与FH的数量关系是EG=FH，经过思考小聪给出了两种方案：方案一：分别过点G，H作GM⊥AB于点M，HN⊥BC于点N，即可证明结论；方案二：过点G作GM∥AD，交AB于点M，过点H作HN∥AB，交BC于点N，即可证明结论．下列说法正确的是( )A.方案一正确，方案二错误B.方案一错误，方案二正确C.两种方案都正确D.两种方案都错误答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质3.（上接第1，2题）（3）反思提升，拓展延伸课后小聪对本题进行了反思，提出如下猜想：将题目中的菱形ABCD改为平行四边形ABCD，如图3，若AB=a，AD=b，其他条件不变，则EG与FH的数量关系为( )A.EG=FHB.C. D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究4.如图1，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连接AD．问题引入：（1）当D是BC边的中点时，；当D是BC边上任意一点时，．（用图中已有线段表示）A.1:1，BD:CDB.1:2，BD:BCC.2:1，BC:BDD.1:2，CD:BC答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究5.（上接第4题）探索研究：（2）如图2，在△ABC中，O是线段AD上一点（不与点A，D重合），连接OB，OC，则．（用图中已有线段表示）A.OA:CDB.OA:ODC.OD:ADD.OA:AD答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究6.（上接第4，5题）拓展应用（3）如图3，O是线段AD上一点（不与点A，D重合），连接BO并延长，交AC于点F，连接CO并延长，交AB于点E，则的值为( )A.1B.2C.3D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。

专题10 类比、拓展探究题考向1 图形旋转引起的探究【母题来源】2021年中考日照卷【母题题文】问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为．【试题解析】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，故答案为：，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE＝∠DBF，又∵，∴△ABE∽△DBF，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，∴BE，AD＝2，DB＝4，∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，∴EF＝1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB＝∠BEF＝90°，∴DE，∵∠DEA＝30°，∴DG DE，由（2）可得：，∴，∴AE，∴△ADE的面积AE×DG；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：△ADE的面积AE×DG；故答案为：或．【命题意图】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力。

几何综合——旋转+线段1.已知∠ACD=90∘，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB.(1)问题发现如图(1)，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为，BD、AB、CB之间的数量关系为.(2)拓展探究当MN绕点A旋转到如图(2)位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想，并给予证明。

(3)解决问题当MN绕点A旋转到如图(3)位置时(点C. D在直线MN两侧),若此时∠BCD=30∘，BD=2时，CB= .解答：(1)如图1,过点CE作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90∘，∴∠ACE=90∘−∠ACB,∠BCD=90∘−∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴在四边形ACDB中,∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360∘，∴∠BAC+∠D=180∘，∵∠CE+∠BAC=180∘，∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90∘，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=AE+AB=DB+AB，(2)如图2,过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90∘，∴∠ACE=90∘+∠ACB,∠BCD=90∘+∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE=90∘−∠AFB,∠D=90∘−∠CFD，∵∠AFB=∠CFD，∴∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90∘，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=AE−AB=DB−AB，(3)如图3,过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90∘，∴∠ACE=90∘−∠DCE，∠BCD=90∘−∠DCE，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE=90∘−∠AFC,∠D=90∘−∠CFD，∵∠AFB=∠BFD，∴∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90∘，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=AB−AE=AB−DB，∵△BCE为等腰直角三角形，∴∠BEC=∠CBE=45∘，∵∠ABD=90∘，∴∠DBH=45∘过点D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，2.如图所示,平行四边形ABCD中,∠B=60∘,将一块含60∘的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转,且60∘角的顶点始终与点C重合,角的两边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F(不包括线段的端点).(1)问题发现：如图1，若平行四边形ABCD为菱形，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系，请证明你的猜想。

题型09 几何类比、拓展、探究题一、解答题1．如图1，ABC ∆（12AC BC AC <<）绕点C 顺时针旋转得DEC ∆，射线AB 交射线DE 于点F ． （1）AFD ∠与BCE ∠的关系是 ；（2）如图2，当旋转角为60°时，点D ，点B 与线段AC 的中点O 恰好在同一直线上，延长DO 至点G ，使OG OD =，连接GC ．①AFD ∠与GCD ∠的关系是 ，请说明理由；②如图3，连接,AE BE ，若45ACB ∠=o ，4CE =，求线段AE 的长度．2．（问题）如图1，在Rt ABC V 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C 作直线l 平行于AB ．90EDF ∠=︒，点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B ，另一边DF 与AC 交于点P ，研究DP 和DB 的数量关系．（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP DB =，请写出证明过程；（数学思考）（2）如图3，若点P 是AC 上的任意一点（不含端点A C 、），受（1）的启发，这个小组过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ，就可以证明DP DB =，请完成证明过程；（拓展引申）（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点A B 、），N 是射线BD 上一点，且AM BN =，连接MN 与BC 交于点Q ，这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验，发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若4AC BC ==，请你直接写出BQ 的最大值．3．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．(1)温故：如图 1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=6 ，AD=4，求正方形PQMN的边长．(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′,M′在BC边上，N′在△ABC内，连结B N′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．(3)推理：证明图2 中的四边形PQMN是正方形．(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N上截取NE=NM，连结EQ，EM(如图 3)．当tan∠NBM=34时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．4．问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为 1 的小正方形，其中a≥2 ，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4 种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2 个位置不同的2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2 ×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4 个棱长为1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2 ，b≥2 ，c≥2 ，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．5．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ,（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=;6．如图，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且2AB BC =，取EF 的中点M ，连接MD ，MG ，MB ．（1）试证明DM MG ⊥，并求MBMG的值． （2）如图，将如图中的正方形变为菱形，设()2090EAB αα∠=<<︒，其它条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．7．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：()1如图1，点A B C ，，在O e 上，ABC ∠的平分线交O e 于点D ，连接AD CD ，．求证：四边形ABCD 是等补四边形； 探究：()2如图2，在等补四边形ABCD 中AB AD ，＝，连接AC AC ，是否平分?BCD ∠请说明理由． 运用：()3如图3，在等补四边形ABCD 中，AB AD ＝，其外角EAD ∠的平分线交CD 的延长线于点105F CD AF ，＝，＝，求DF 的长．8．已知V ABC 内接于O e ，BAC ∠的平分线交O e 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图①，当120BAC ∠=o 时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ； （2）如图②，当90BAC ∠=o 时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）如图③，若BC =5，BD =4，求ADAB AC+ 的值．9．如图，在ABC ∆中，AB BC =，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 与BE 交于点F ，BH AB ⊥于点B ，点M 是BC 的中点，连接FM 并延长交BH 于点H ．（1）如图①所示，若30ABC ∠=o ，求证：DF BH +=； （2）如图②所示，若45ABC ∠=o ，如图③所示，若60ABC ∠=o （点M 与点D 重合），猜想线段DF 、BH 与BD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．10．将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADC的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）11．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC BD ⊥．试证明：2222AB CD AD BC +=+；(3)解决问题：如图3，分别以Rt ACB V 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．已知4AC =，5AB =，求GE 的长．12．（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．13．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BA 延长线上的一点，连接PC 交AD 于点F ，AP FD =．（1）求AFAP的值； （2）如图1，连接EC ，在线段EC 上取一点M ，使EM EB =，连接MF ，求证：MF PF =； （3）如图2，过点E 作EN CD ⊥于点N ，在线段EN 上取一点Q ，使AQ AP =，连接BQ ，BN ．将AQB ∆绕点A 旋转，使点Q 旋转后的对应点'Q 落在边AD 上．请判断点B 旋转后的对应点'B 是否落在线段BN 上，并说明理由．14．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，ABn BC=，M 是BC 上一点，连接AM （1）如图1，若1n =，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM BN =（2）过点B 作BP AM ⊥，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q . ①如图2，若1n =，求证：CP BMPQ BQ=②如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan BPQ ∠的值（用含n 的式子表示）15．⑴如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD DE 、，将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G . ①线段DB 和DG 的数量关系是 ； ②写出线段BE BF 、和DB 之间的数量关系.⑵当四边形ABCD 为菱形，ADC 60∠=o ，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD DE 、，将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2，点E 在线段上时，请探究线段BE BF 、和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ；若 BE 1,AB 2==,直接写出线段GM 的长度.16．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==，证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD Y 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ． （1）如图②，若ABCD Y 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ． （2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD Y 的面积为 ．17．如图1，在矩形ABCD 中，BC =3，动点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC 方向移动，作PAB ∆关于直线PA 的对称'PAB ∆，设点P 的运动时间为()t s（1）若AB =①如图2，当点B ’落在AC 上时，显然△PCB ’是直角三角形，求此时t 的值②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB ’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t 的值？若不存在，请说明理由（2）当P 点不与C 点重合时，若直线PB ’与直线CD 相交于点M ，且当t ＜3时存在某一时刻有结论∠P AM =45°成立，试探究：对于t ＞3的任意时刻，结论∠P AM =45°是否总是成立？请说明理由.18．在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，作CM AB ⊥交AB 于点M ，BN AC ⊥交AC 于点N ． （1）在图1中，求证：BMC CNB ∆≅∆；（2）在图2中的线段CB 上取一动点P ，过P 作//PE AB 交CM 于点E ，作//PF AC 交BN 于点F ，求证：PE PF BM +=；（3）在图3中动点P 在线段CB 的延长线上，类似（2）过P 作//PE AB 交CM 的延长线于点E ，作//PF AC 交NB 的延长线于点F ，求证：···AM PF OM BN AM PE +=．19．问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD 沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝52，请直接写出FH的长．20．箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO 交AB 于点D ，则1BOC B A C B ∠∠+∠∠+∠+∠＝＝．．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC A B C ∠∠+∠+∠＝”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用:（1）直接应用：①如图2，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．②如图3，ABE ACE ∠∠、的2等分线（即角平分线）BF CF 、交于点F ，已知12050BEC BAC ∠=∠=o o ，，则BFC ∠=③如图4，i i BO CO 、分别为ABO ACO ∠∠、的2019等分线12320172018i =⋯（，，，，，）．它们的交点从上到下依次为1232018O O O O ⋯、、、、．已知BOC m BAC n ∠=∠=o o ，，则1000BO C ∠= 度 （2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，2BC CD BCD BAD =∠=∠，．O 是四边形ABCD 内一点，且OA OB OD ==．求证：四边形OBCD 是菱形．21．如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当0α︒=时，AEBD= ；② 当时，AEBD= （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEDB的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.22．操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.(1)如图1，求证：BE＝BF；(2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类比探究：若DE＝a，CF＝b.①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)23．如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，.CD）24．（1）（探究发现）如图1，EOF ∠的顶点O 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，90EOF ︒∠=，将EOF ∠绕点O 旋转，旋转过程中，EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．则,,CE CF BC 之间满足的数量关系是 ． （2）（类比应用）如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“120BCD ∠=o 的菱形ABCD ”，其他条件不变，当60EOF ∠=o 时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）（拓展延伸）如图3，120BOD =o ∠，34OD =，4OB =，OA 平分BOD ∠，AB =且2OB OA >，点C 是OB 上一点，60CAD ∠=o ，求OC 的长．25．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，111111AB BC CDA B B C C D ==，求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFDE 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．26．在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F .（1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：1BE CFAE AF+=； （2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.27．如图，在等腰Rt ABC V 中，90,ACB AB ∠==o 点D ,E 分别在边AB ,BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90º得到EF ．（1）如图1，若AD BD =，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ．求证：2BD DO =． （2）已知点G 为AF 的中点．①如图2，若,2AD BD CE ==，求DG 的长．②若6AD BD =，是否存在点E ，使得DEG △是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由．28．(1)方法选择如图①，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+. 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM …小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =…请你选择一种方法证明．(2)类比探究（探究1）如图②，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，BC 是O e 的直径，AB AC =．试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．（探究2）如图③，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O e 的直径，30ABC ∠=︒，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．(3)拓展猜想如图④，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O e 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．29．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．①求证：DQ AE =； ②推断：GF AE的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，BC k AB =（k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE CP 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当23k =时，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长．30．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BD CP 的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BD CP 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP的值．。