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人教版八年级下册期中备考提升训练类比探究问题➢知识点睛1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2.类比探究的处理思路：（1）类比是解决类比探究的第一原则，即类比上一问思路，迁移解决下一问；（2）对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．①若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决；②若不属于常见结构，依据不变特征大胆猜测、尝试、验证、构造．3.类比探究常见结构举例（1）中点结构直角+中点平行夹中点见中点，要倍长斜边中线延长证全等倍长之后证全等多个中点，考虑中位线（2）旋转结构常见模型11如图，△ABC，△ADE 均为等边三角形，则出现了AB=AC，AD=AE 等线段共端点的结构，所以连接BD，CE，可以证明△ABD≌△ACE，即把△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE．常见模型2如图，正方形ABCD 中，点E，F 分别在边BC，CD 上，且∠EAF=45°，则EF=BE+DF．思路提示：正方形四条边都相等，提供了等线段共端点，所以考虑构造旋转解决问题，即找到等线段AD=AB，把线段AD 绕点A 顺时针旋转90°，与线段AB 重合，则AD 所在△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°得到△ABG．（3）直角结构直角结构——斜直角放正➢精讲精练【中点结构】1.已知P 是Rt△ABC 的斜边AB 上一动点（不与点A，B 重合），分别过点A，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为点E，F，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE 与B F 的位置关系是，QE 与Q F 的数量关系是．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA（或AB）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．2.如图，四边形ABCD 和四边形CGEF 均为正方形，M 是线段AE 的中点．（1）如图1所示，点B，C，G 在同一条直线上，DM 的延长线交E F 于点N，位置关系为连接F M，则D M 与F M 的数量关系为，（直接写出答案，无需写证明过程）．（2）如图2，当点B，C，F 在同一条直线上，DM 的延长线交EG 于点N，其余条件不变，试探究线段DM 与FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，当点E，B，C 在同一条直线上，DM 的延长线交CE 的延长线于点N，若此时点A 恰好为CG 的中点，AB=1，其余条件不变，请直接写出FM 的长度．43.已知等腰三角形ABC 中，∠ACB=90°，点E在AC 的延长线上，且∠DEC=45°，M，N 分别是DE，AE 的中点，连接MN，交直线BE 于点F．当点D 在CB的延长线上时，如图 1 所示，易证MF +FN =1BE ．2（1）如图2，当点D 在CB 边上时，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 的延长线上时，如图3 所示，请直接写出线段MF，FN，BE 之间的数量关系（不需要证明）．4.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到点E，使得AE=OA，以OB，OC 为邻边作□OBFC，连接OF，与BC 交于点H，连接EF．（1）问题发现如图1，若△ABC 为等边三角形，线段E F 与B C 的位置关系是，数量关系为．（2）拓展探究如图2，若△ABC 为等腰直角三角形（BC 为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明．（3）解决问题如图3，若△ABC 是等腰三角形，AB=AC=2，BC=3，请你直接写出线段EF 的长．5.操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角形的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD 上，连接AF，取AF 中点M，EF 的中点N，连接MD，MN．（1）连接AE，求证：△AEF 是等腰三角形．猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD，MN 的数量关系和位置关系．（不需要证明）结论1：MD，MN 的数量关系是；结论2：MD，MN 的位置关系是．拓展与探究：（3）如图2，将图1 中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【旋转结构】6.以四边形ABCD 的边AB，AD 为边分别向外侧作等边△ABF 和等边△ADE，连接EB，FD，交点为G．（1）问题发现：当四边形A BCD 为正方形时（如图1），EB 和F D 的数量关系是．（2）拓展探究：当四边形ABCD 为矩形时（如图2），EB 和FD 具有怎样的数量关系？请加以证明．（3）问题解决：四边形ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD 是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3 中求出∠EGD 的度数．7. 已知四边形 ABCD 是菱形，AB =4，∠ABC =60°，∠EAF 的两边分别与射线 CB ，DC 相交于点 E ，F ，且∠EAF =60°．（1） 如图 1，当点 E 是线段 C B 的中点．线段 AE ，EF ，AF 之间的数量关系； （2） 如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B ，C 重合），求证：BE =CF ；（3） 如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且∠EAB =15°时，求点 F 到 BC 的距离．108.如图1，在正方形ABCD 中，点E，F 分别为DC，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．小明是这样解决的：延长CB 到点G，使BG=DE，连接AG，再证明△GAF≌△EAF，可证得结论．感悟小明的解题方法，运用你所积累的经验和知识，完成下题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E 是CD 上一点，且∠BAE=45°，DE=4，求BE 的长．（2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF，AG 与边BC 的交点分别为D，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），在旋转过程中，等式BD2+CE2=DE2 始终成立，请说明理由．9.问题背景如图1，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，EF 分别是BC，CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．（2）探索延伸如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F 分别是BC，CD 上的点，且∠EAF= 1 ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．2（3）结论应用如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 海里/小时的速度前进，1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离.【直角结构】10.情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE= ．问题探究：如图2，△ABC 中，AH⊥BC 于点H，以A 为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACF，过点E，F 作射线HA 的垂线，垂足分别为M，N，试探究线段EM 和FN 之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：如图，△ABC 中，AH⊥BC 于点H，以A 为直角顶点，分别以AB，AC 为一边，向△ABC 外作正方形ABME 和正方形ACNF，连接EF 交射线HA 于点G，试探究线段EG 和FG 之间的数量关系，并说明理由．11.（1）观察猜想如图1，点B，A，C 在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC 且∠DAE=90°，AD=AE，则B C，BD，CE 之间的数量关系为；（2）问题解决如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC 为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD 的长；图1图2（3）拓展延伸如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接写出BD 的长．12.问题原型：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．过点D 作△BCD 的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD 的面积为1a2 ．2初步探究：如图2，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a 的代数式表示△BCD 的面积，并说明理由．简单应用：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB=AC，BC=a．将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．直接写出△BCD 的面积．（用含a 的代数式表示）213.已知边长为的正方形A BCD 中，P 是对角线A C 上的一个动点（与点A，C 不重合），过点P 作PE⊥PB，PE 交射线DC 于点E，过点E 作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB=PE．（2）在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．（3）在点P 的运动过程中，△PEC 能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP 的长；如果不能，试说明理由．【其他类型】14.如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且P A=PE，PE 交CD 于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．15.如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN 交射线AB 于点E，过点C 作CF∥AB，交直线DN 于点F．（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图 1 ，求证：CF+BE=CD．（提示：过点F 作FM∥BC，交射线AB 于点M）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3．请分别写出线段CF，BE，CD 之间的数量关系，不需要证明．（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC4 CD= ．，则B E= ，318。
通过类比联想引申拓展研究典型题目摘要：一、引言：类比联想的意义和价值二、研究典型题目的方法论1.分析题目背景和条件2.寻找类比对象和关系3.运用类比联想进行拓展思考4.总结解题经验和技巧三、类比联想在典型题目中的应用实例1.数学题目的类比联想2.科学实验的类比联想3.语文题目的类比联想4.社会问题的类比联想四、类比联想引申拓展的注意事项1.确保类比关系的合理性2.防止过度引申和偏离主题3.保持逻辑性和条理性五、总结：类比联想在解决问题中的重要作用正文：一、引言类比联想，作为一种思维方式，在我们的生活和工作中具有广泛的应用。
它可以帮助我们从一个已知的问题或现象中提炼出规律，进而解决新的、相似的问题。
在研究典型题目的过程中，类比联想发挥着至关重要的作用。
本文将从类比联想的意义和价值出发，探讨如何利用类比联想研究典型题目，以及类比联想在典型题目中的应用实例和注意事项。
二、研究典型题目的方法论1.分析题目背景和条件：在解决典型题目时，我们首先要对题目的背景和条件进行全面、深入的分析。
这有助于我们了解题目的本质，从而找到解决问题的切入点。
2.寻找类比对象和关系：在分析题目背景和条件的基础上，我们要寻找与之相似的已知问题或现象，进而建立类比关系。
类比对象可以是现实生活中的实例、历史事件、其他学科的知识等。
3.运用类比联想进行拓展思考：在建立类比关系后，我们要运用类比联想进行拓展思考。
这一过程需要我们充分发挥想象力和创造力，从已知问题中提炼出规律，并尝试将其应用于新问题。
4.总结解题经验和技巧：在完成类比联想后，我们要对新问题进行总结，提炼出解题经验和技巧。
这些经验和技巧可以为我们今后解决类似问题提供指导。
三、类比联想在典型题目中的应用实例1.数学题目的类比联想：在数学领域，许多题目都可以通过类比联想找到解题思路。
例如，线性方程组的求解可以类比为图形在平面内的运动，从而利用向量运算求解。
2.科学实验的类比联想：在科学实验中，类比联想可以帮助我们发现新的实验方法和思路。
几何类比探究题型题型解读|模型构建|通关试练几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度。
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．模型01图形旋转模型模型一、A字形(手拉手)及其旋转模型二、K字型及其旋转手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边对应相等，可证明两个三角形全等(边角边)组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型。
在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形。
模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有。
模型02图形平移模型探究1.四边形平移变换四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．2.三角形平移变换三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.3.其它图形平移类比探究问题综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.模型03动点引起的题型探究动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目。
D类比探究之图形变化1. （2011福建南平）（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ．猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．图1 图22.（2011北京）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG 的度数.图1 图2 图33.（2011大连）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）当AB＝AC时（如图1），①∠EBF＝_______°；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当AB＝kAC时（如图2），求B EF D的值（用含k的式子表示）．图1 图24. (2009武汉)如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点． （1）求证：； （2）当为边中点，时，如图2，求的值；（3）当为边中点，时，请直接写出的值．图1 图2R t A B C △90B A C ∠=°AD BC ⊥D O A C B O A D F O E O B ⊥B C E A B F C O E △∽△O A C 2A C AB =O F O E O AC A C n A B=O F O El类比探究之图形运动1.（2008河北）如图1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点，连接，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点，连接，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．图1 图2A B C△B C l A C B C⊥A C B C=E F P△F P l E F A C EF FP=A B A PE F P△l E P A C Q A P BQ BQ A PE F P△l E P A CQ A P BQ BQ A P4. （2009辽宁抚顺）已知：如图所示，直线M A N B M AB ∠∥，与N B A ∠的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线M A N B 、分别相交于点D E 、． （1）如图1所示，当直线l 与直线M A 垂直时，猜想线段A D B E A B 、、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l 与直线M A 不垂直且交点D E 、都在A B 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）当直线l 与直线M A 不垂直且交点D E 、在A B 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段A D B E A B 、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．图1 图2 备用图备用图5. （2009河北）在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM =MH ，FM ⊥MH ；（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH 是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE 缩短到图3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）图1A HC (M )D EB FG (N )G图2AHC DBFNMAHCD图3 BFG MN5. （2011辽宁沈阳）已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF =60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时， ①求证：∠ADB =∠AFC ；②请直接判断结论∠AFC =∠ACB ＋∠DAC 是否成立；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC =∠ACB ＋∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的等量关系． 图1 图2 图3类比探究之阅读理解1. （2009青海）请阅读，完成证明和填空．九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC 中，在A B A C 、边上分别取点M N 、，使B M A N =，连接B N C M 、，发现B N C M =，且60N O C ∠=°． 请证明：60N O C ∠=°．（2）如图2，正方形A B C D 中，在A B B C 、边上分别取点M N 、，使A M B N =，连接A N D M 、，那么A N =，且D O N ∠=度．（3）如图3，正五边形A B C D E 中，在A B B C 、边上分别取点M N 、，使A M B N =，连接A N E M 、，那么A N =，且E O N ∠=度． （4）在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论． 请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ．图1图2图36.（2009黑龙江齐齐哈尔）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．图1图2图37. （2009浙江嵊州）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC 中，若AB =5，AC =3，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使得DE =AD ，再连接BE （或将△ACD 绕点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB 、AC 、2AD 集中在△ABE 中，利用三角形的三边关系可得2＜AE ＜8，则1＜AD ＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ． ①求证：BE +CF ＞EF ；②若∠A =90°，探索线段BE 、CF 、EF 之间的等量关系，并加以证明． （3）问题拓展：如图，在四边形ABDC 中，∠B +∠C =180°，DB =DC ，∠BDC =120°，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE 、CF 、EF 之间的数量关系，并加以证明．6.（2010江苏连云港）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．例如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A 能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．图1图2。
《通过类比联想引申拓展研究典型题目》一、引言在我们的学习和研究过程中，常常会遇到各种典型题目，这些题目往往是我们理解和掌握知识的一个重要途径。
然而，有时候典型题目的范围和深度可能有限，无法完全覆盖某一知识点的全部层面。
我们需要通过类比联想的方式来引申拓展研究典型题目，从而更全面地理解和掌握所学知识。
二、类比联想的重要性1. 提高理解深度：通过类比联想，我们可以将已有的知识和经验与新学习的知识进行对比和联系，从而更深入地理解新知识的内涵和外延。
2. 拓展研究广度：类比联想能够帮助我们从不同的角度和层面来思考和研究典型题目，拓展我们的研究广度，使得我们对知识的掌握更加全面。
3. 培养创新意识：通过类比联想，我们可以发现不同知识之间的联系和共性，从而培养出更加开放和创新的思维方式。
三、如何通过类比联想引申拓展研究典型题目1. 找出典型题目的核心思想和关键要点，对其进行梳理和总结。
2. 寻找类比对象，即已有的知识和经验，与典型题目进行对比和联系，找出二者之间的共性和差异。
3. 利用类比对象中的理论和方法，来解决典型题目中的难点和问题。
4. 对类比联想得出的新观点和新方法进行验证和实践，从而得出有力的论证和结论。
四、案例分析以数学中的典型题目为例，比如求解一个复杂的方程。
我们可以采用类比联想的方式，将这个方程与已有的简单方程进行对比，找出二者之间的共性和差异。
然后可以利用已有的解方程的方法和技巧，来解决这个复杂方程中的难点和问题。
最终得出新的解题思路和方法，对典型题目进行深入和全面的研究。
五、总结与展望通过类比联想引申拓展研究典型题目，可以帮助我们更加全面和深入地理解所学知识。
在今后的学习和研究中，我们应该注意培养类比联想的能力，不断挖掘和发掘知识之间的联系和共性，从而提高我们对知识的掌握和运用能力。
六、个人观点和理解在我的个人观点中，类比联想是一种非常有效的学习和研究方法。
通过类比联想，我们可以将已有的知识和经验应用到新的问题和挑战中，从而更加灵活地应对各种学习和研究情境。
类比拓展探究题1. 在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点P 在线段BC 上（不含点B ），∠BPE =12ACB ∠，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，垂足为F ，交AC 于点G . （1）当点P 与点C 重合时（如图①），求证：△BOG ≌△POE ；（2）（2）通过观察、测量、猜想：BFPE = ，并结合图②证明你的猜想；（3）把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB =α，求BF PE 的值.（用含α的式子表示）第1题图解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，P 与C 重合，∴OB =OP ，∠BOC =∠BOG ，∵PF ⊥BG ，∴∠PFG =90°，∴∠GBO =90°-∠BGO ，∠EPO =90°-∠BGO ，∴∠GBO =∠EPO ，在△BOG 和△POE 中，GBO EPO OB OPBOG COE∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△BOG ≌△POE （ASA ）.（2）猜想：12BFPE =.证明：如解图①，过点P 作PM ∥AC交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴∠PNE =∠BOC =90°，∠BPN =∠OCB ，∵∠OBC =∠OCB =45°，∴∠NBP =∠NPB ，∴NB =NP ， 第1题解图① ∵∠MBN =90°-∠BMN ，∠NPE =90°-∠BMN ，∴∠MBN =∠NPE ，在△BMN 和△PEN 中，90MBN EPN NB NPMNB ENP ∠=∠=∠=∠=︒⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△BMN ≌△PEN （ASA ），∴BM =PE ，∵∠BPE =12ACB ∠，∠BPN =∠ACB ， ∴∠BPF =∠MPF ，∵PF ⊥BM ，∴BF =MF ，即BF =12BM ， ∴BF =12PE ，12BF PE =即. （3）如解图②，过点P 作PM ∥AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴∠BPN =∠ACB =α，∠PNE =∠BOC =90°，由（2）同理可得：BF =12BM ，∠MBN =∠EPN ，∵∠BNM =∠PNE =90°，∴△BMN ∽△PEN ， ∴BMBNPE PN =， 第1题解图②在Rt △BNP 中，tan α =BNPN ，∴tan BMPE α=，即2tan BFPE α=，∴tan 2PE α=.2. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6 cm ，BC =3 cm ，点E 是线段BC 上的一个动点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点 B 落在点'B 处，射线'AB 交CD 或DC 的延长线于点M .（1）操作发现 当BECE=1时，CF = cm ；（2）问题解决 当BECE =2时，求DM AD 的值；（3）深入探究 根据（1）（2）的结论，探究DMAD 的取值范围. 第2题图解：（1）6；【解法提示】∵BE =CE ，∠BEA =∠CEF （对顶角相等），∠B =FCE =90°，∴△AEB ≌ △FEC ，∴CF =AB =6 cm .（2）∵AB ∥CF ，∴△ABE ∽△FCE ， ∴BEAB CEFC =， ∵2BECE=， ∴2ABFC =，∴FC =2AB=3 cm ，∵AB ∥CF ，∴∠BAE =∠F ，又∠BAE =∠'B AE ，∴∠'B AE =∠F ，∴MA =MF ，设MA =MF =k ，则MC =k -3，DM =9-k ，在Rt △ADM 中，由勾股定理得：222(9)3k k =-+，解得k =MA =5，∴DM =4，∴3AD =，（3）当E 与C 重合时，DMAD 有最小值，此时△ADM ∽△'CB M ，从而''ADDMCB B M =，由BC ='B C =AD 得DM ='B M ，在Rt △ADM 中，设DM =x ，则AM ='''6AB B M AB B M x -=-=-，由勾股定理得：2223(6)x x +=-， 解得9=4x ，此时34DM AD =，当E 从C 向B 运动时，DM 不断增大，则34DM AD ≥. 3. 如图①，已知，在等腰直角△ABC 中，∠BAC = 90°，点D 在BC 上．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．第3题图(1) 问题解决 求证：CF =BD ；(2) 问题变式 如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，猜想CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系并说明理由；(3) 问题拓展 如图③，已知，点D 是等边△ABC 的边BC 延长线上的一点，连接AD ，以AD 为边作菱形ADEF ，并且使∠F AD =60°，CF 垂直平分AD ，猜想CG 与FG 之间的数量关系并证明你的结论．(1)证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =45°，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∴∠BAC =∠BAD +∠DAC =90°，∠DAF =∠CAF +∠DAC =90°，∴∠BAD =∠CAF ，在△BAD 和△CAF 中，BAD CAF AD AF∠=∠=⎪⎨⎪⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ）. ∴CF =BD .(2)CF =BC -CD ，理由：∵∠BAC =∠DAF =90°， ∴∠BAC +∠CAD =∠DAF +∠CAD ， 即∠BAD =∠CAF ，在△BAD 和△CAF 中， AB AC BAD CAF AD AF=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BAD ≌ △CAF （SAS ）. ∴AD =CF ，∴CF =BC +CD .(3) CG =13GF ， ∵CF 垂直平分AD ，∴AC =DC ，∴∠CAD =∠CDA ，在等边△ABC 中，∠ACB =60°，∴∠CAD =12CDA ∠=30°， 在Rt △ACG 中，CG =AC ， ∵∠F AD =60°，∴∠AFG =30°，∴∠CAF =90°，∴在Rt △ACF 中，AC =12CF , ∴CG =14CF ，CG =13FG .。
难题突破专题八类比、拓展探究题类比、拓展探究题是近两年中考热门考题，题型的模式基本分为三步：初步尝试、类比发现、深入探究，考查的知识点有：三角形旋转、平行四边形性质、相似、全等、矩形折叠、勾股定理等．此类问题解答往往是层层深入，从特殊到一般，然后是拓展运用．在解题时需要牢牢把握特殊情况、特殊位置下的结论，然后探寻一般情况下是否也成立，最后是类比应用．类比模仿是解决此类问题的重要手段．例题1：问题背景如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，∴∠ABD=∠BCE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（ASA）；（2）△DEF是正三角形；理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，∴△DEF是正三角形；（3）作AG⊥BD于G，如图所示：∵△DEF是正三角形，∴∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，∴c2=a2+ab+b2．例题2：如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．下面是两位学生有代表性的证明思路：思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，AB∥CD，利用平行四边形的性质得AB=EF，AB ∥EF，则CD=EF，CD∥EF，再根据平行线的性质得∠CDM=∠FEM，则可根据“AAS”判断△CDM ≌△FEM，所以DM=EM；证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AF∥BE，再根据平行线分线段成比例定理得到==1，所以DM=EM；（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形ABCD 为正方形得到AC=a，接着证明△ANF为等腰直角三角形得到NF=a+b，则NE=NF+EF=2a+b，然后计算的值；（4）由于==+=k，则=，然后表示出==•+1，再把=代入计算即可．【解答】解：（1）如图1，证法一：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AB=EF，AB∥EF，∴CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在△CDM和△FEM中，∴△CDM≌△FEM，∴DM=EM，即点M是DE的中点；证法二：∵四边形ABCD为菱形，∴DH=BH，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AF∥BE，∵HM∥BE，∴==1，∴DM=EM，即点M是DE的中点；（2）∵△CDM≌△FEM，∴CM=FM，设AD=a，CM=b，∵∠ABE=135°，∴∠BAF=45°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠NAF=45°，∴四边形ABCD为正方形，∴AC=AD=a，∵AB∥EF，∴∠AFN=∠BAF=45°，∴△ANF为等腰直角三角形，∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，∴===；（4）∵==+=k，∴=k﹣，∴=，∴==•+1=•+1=．例题3：【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．【考点】LO：四边形综合题．【分析】【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由=可得；=PQ•PN═﹣【拓展应用】：由△APN∽△ABC知=，可得PN=a﹣PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN（x﹣）2+，据此可得；【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．【解答】解：【探索发现】∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，又∠B=90°，∴四边形FEDB是矩形，则===，故答案为：；【拓展应用】∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴=，即=，∴PN=a﹣PQ，设PQ=x，=PQ•PN=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+，则S矩形PQMN最大值为，∴当PQ=时，S矩形PQMN故答案为：；【灵活应用】如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI==24，∵BI=24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；【实际应用】如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tanB=tanC=，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，且EH⊥BC，∴BH=CH=BC=54cm，∵tanB==，∴EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，BE==90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2，答：该矩形的面积为1944cm2．专题训练1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是MD=ME ；（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）先判断出△AMF≌△BME，得出AF=BE，MF=ME，进而判断出∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，得出CE=BE，即可得出结论；（2）同（1）的方法即可；（3）同（1）的方法判断出AF=BE，MF=ME，再判断出∠ECB=∠EBC，得出CE=BE即可得出∠MDE=，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，∴MD=ME，故答案为MD=ME；（2）MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=，∴MD=ME．（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，在Rt△MDE中， =tan∠MDE=tan．2. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE ≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）BC+CD=AC；理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB+∠ACD=45°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=AC，∵CE=CE+DE=CD+BC，∴BC+CD=AC；（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=α，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，∵∠ACB=∠ACD=α，∴∠ACB+∠ACD=2α，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，∴∠AEC=α，过点A作AF⊥CE于F，∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，∴CE=2CF=2AC•cosα，∵CE=CD+DE=CD+BC，∴BC+CD=2AC•cosα．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目．3. 【操作发现】（1）如图1，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：①求∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．【考点】RB：几何变换综合题．【分析】（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②DE=EF；理由如下：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②AE2+DB2=DE2，理由如下：∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．4.问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1S2= 12 ；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1S2的值；（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1S2的表达式，不必写出解答过程．【分析】（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1=22=，S2=（4）2=4，由此即可解决问题；（2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得=，推出=，推出xy=8，由S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，可得S1S2=x y=xy=12；（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S 1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，可得S1S2=（ab）2sin2α．（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，∵DE∥BC，∠EDF=60°，∴∠BND=∠EDF=60°，∴∠BDN=∠ADM=60°，∴△ADM，△BDN都是等边三角形，∴S1=22=，S2=（4）2=4，∴S1S2=12，故答案为12．（2）如图2中，设AM=x，BN=y．∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，∴△AMD∽△BDN，∴=，∴=，∴xy=8，∵S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，∴S1S2=x y=xy=12．（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，∴S1S2=（ab）2sin2α．Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，∴S1S2=（ab）2sin2α．【点评】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式．锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。
学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究问题的处理思路是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究问题的处理思路是什么？答：类比探究问题的处理思路为：（1）类比探究往往会围绕一个不变结构进行考查．类比探究中常见的不变结构有：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．（2）若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题．①根据题干条件，结合支干条件先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找不变特征．③结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证．若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究专题（二）——直角结构一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连接CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N.（1）当F为BE中点时，线段AM与CE的数量关系是( )A. B.C.AM=CED.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角结构2.（上接第1题）（2）若，则的值是( )A.3B.2C.4D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角结构3.（上接第1，2题）（3）若，则n的值是( )时，MN∥BE．A. B.3C.4D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角结构4.正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，连接PB．（1）过点P作PF⊥CD于点F，PE⊥PB，交CD（或CD的延长线）于点E，如图1和图2所示，则DF和EF之间的数量关系是( )A. B.C.DF=EFD.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角结构5.（上接第4题）（2）在（1）中，当点P在线段OA上时，如图所示，则线段PA，PC，CE 之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角结构6.（上接第4，5题）（3）在（1）中，当点P在线段OC上时（不与点O，C重合），类比（2）中的做法，可以判断线段PA，PC，CE之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角结构。
