中考数学专题题型讲练过关题型10类比、拓展探究题[2020年最新]

难题突破专题八类比、拓展探究题类比、拓展探究题是近两年中考热门考题，题型的模式基本分为三步：初步尝试、类比发现、深入探究，考查的知识点有：三角形旋转、平行四边形性质、相似、全等、矩形折叠、勾股定理等．此类问题解答往往是层层深入，从特殊到一般，然后是拓展运用．在解题时需要牢牢把握特殊情况、特殊位置下的结论，然后探寻一般情况下是否也成立，最后是类比应用．类比模仿是解决此类问题的重要手段．例题1：问题背景如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，∴∠ABD=∠BCE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（ASA）；（2）△DEF是正三角形；理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，∴△DEF是正三角形；（3）作AG⊥BD于G，如图所示：∵△DEF是正三角形，∴∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，∴c2=a2+ab+b2．例题2：如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．下面是两位学生有代表性的证明思路：思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，AB∥CD，利用平行四边形的性质得AB=EF，AB ∥EF，则CD=EF，CD∥EF，再根据平行线的性质得∠CDM=∠FEM，则可根据“AAS”判断△CDM ≌△FEM，所以DM=EM；证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AF∥BE，再根据平行线分线段成比例定理得到==1，所以DM=EM；（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形ABCD 为正方形得到AC=a，接着证明△ANF为等腰直角三角形得到NF=a+b，则NE=NF+EF=2a+b，然后计算的值；（4）由于==+=k，则=，然后表示出==?+1，再把=代入计算即可．【解答】解：（1）如图1，证法一：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AB=EF，AB∥EF，∴CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在△CDM和△FEM中，∴△CDM≌△FEM，∴DM=EM，即点M是DE的中点；证法二：∵四边形ABCD为菱形，∴DH=BH，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AF∥BE，∵HM∥BE，∴==1，∴DM=EM，即点M是DE的中点；（2）∵△CDM≌△FEM，∴CM=FM，设AD=a，CM=b，∵∠ABE=135°，∴∠BAF=45°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠NAF=45°，∴四边形ABCD为正方形，∴AC=AD=a，∵AB∥EF，∴∠AFN=∠BAF=45°，∴△ANF为等腰直角三角形，∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，∴===；（4）∵==+=k，∴=k﹣，∴=，∴==?+1=?+1=．例题3：【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．【考点】LO：四边形综合题．【分析】【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由=可得；【拓展应用】：由△APN∽△ABC知=，可得PN=a﹣PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ?PN═﹣（x﹣）2+，据此可得；【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．【解答】解：【探索发现】∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，又∠B=90°，∴四边形FEDB是矩形，则===，故答案为：；【拓展应用】∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴=，即=，∴PN=a﹣PQ，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ?PN=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+，∴当PQ=时，S矩形PQMN最大值为，故答案为：；【灵活应用】如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI==24，∵BI=24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG?BF=×（40+20）×（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；【实际应用】如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tanB=tanC=，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，且EH⊥BC，∴BH=CH=BC=54cm，∵tanB==，∴EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，BE==90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC?EH=1944cm2，答：该矩形的面积为1944cm2．专题训练1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是MD=ME ；（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）先判断出△AMF≌△BME，得出AF=BE，MF=ME，进而判断出∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，得出CE=BE，即可得出结论；（2）同（1）的方法即可；（3）同（1）的方法判断出AF=BE，MF=ME，再判断出∠ECB=∠EBC，得出CE=BE即可得出∠MDE=，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，∴MD=ME，故答案为MD=ME；（2）MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=，∴MD=ME．（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，在Rt△MDE中， =tan∠MDE=tan．2. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE ≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）BC+CD=AC；理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB+∠ACD=45°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=AC，，∵CE=CE+DE=CD+BC∴BC+CD=AC；（2）BC+CD=2AC?cosα．理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=α，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，∵∠ACB=∠ACD=α，∴∠ACB+∠ACD=2α，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，∴∠AEC=α，过点A作AF⊥CE于F，∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC?cos∠ACD=AC?cosα，∴CE=2CF=2AC?cosα，∵CE=CD+DE=CD+BC，∴BC+CD=2AC?cosα．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目．3. 【操作发现】（1）如图1，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：①求∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．【考点】RB：几何变换综合题．【分析】（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②DE=EF；理由如下：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②AE2+DB2=DE2，理由如下：∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．4.问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC 所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1S2= 12 ；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1S2的值；（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1S2的表达式（结果用a，b 和α的三角函数表示）．（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1S2的表达式，不必写出解答过程．【分析】（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1=22=，S2=（4）2=4，由此即可解决问题；（2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得=，推出=，推出xy=8，由S1=ADAMsin60°＝x，S2=DBsin60°＝y，可得S1S2=x y=xy=12；（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=ADAMsinα＝axsinα，S2=DBBNsinα＝bysinα，可得S1S2=（ab）2sin2α．（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，∵DE∥BC，∠EDF=60°，∴∠BND=∠EDF=60°，∴∠BDN=∠ADM=60°，∴△ADM，△BDN都是等边三角形，∴S1=22=，S2=（4）2=4，∴S1S2=12，故答案为12．（2）如图2中，设AM=x，BN=y．∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，∴△AMD∽△BDN，∴=，∴=，∴xy=8，∵S1=ADAMsin60°＝x，S2=DBsin60°＝y，∴S1S2=x y=xy=12．（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=ADAMsinα＝axsinα，S2=DBBNsinα＝bysinα，∴S1S2=（ab）2sin2α．Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=ADAMsinα＝axsinα，S2=DBBNsinα＝bysinα，∴S1S2=（ab）2sin2α．【点评】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式．锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。

类比、拓展类探究1．(1)【观察猜想】如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则线段BC、BD、CE之间的数量关系为________；(2)【问题解决】如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；(3)【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．第1题图解：(1)BC＝CE＋BD；【解法提示】∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D＋∠DAB＝∠DAB＋∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC，∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE,∴△ADB≌△EAC，∴BD＝AC，EC＝AB，∴BC＝AB＋AC＝CE＋BD；(2)如解图①，过点D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于点E ，第1题解图①易证△ABC ≌△DEA ， ∴DE ＝AB ＝2，AE ＝BC ＝4， ∴BE ＝AB ＋AE ＝6，在Rt △BED 中，由勾股定理得BD ＝62＋22＝210； (3)BD 的长为3 2.【解法提示】如解图②，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF ⊥AB 交BA 的延长线于点F ，则四边形BEDF 为矩形．第1题解图②易证△CED ≌△AFD ， ∴CE ＝AF ，ED ＝DF ， ∴四边形BEDF 为正方形， ∴BE ＝DF ＝BF ＝DE . 设AF ＝x ，DF ＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝42＋x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3， ∴BF ＝2＋1＝3，DF ＝3，在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝32＋32＝3 2.2．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF.【问题发现】(1)如图①，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是________，数量关系为________；【拓展探究】(2)如图②，若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，(1)中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明；【解决问题】(3)如图③，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．第2题图解：(1)EF⊥BC，EF＝3BC；【解法提示】如解图①，连接AH，第2题解图①∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，AH⊥BC，∴AH＝32BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH∥EF，AH＝12EF，∴EF⊥BC，32BC＝12EF，∴EF⊥BC，EF＝3BC.(2)EF⊥BC仍然成立，但EF＝BC.证明：如解图②，连接AH，第2题解图②∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH∥EF，AH＝12EF，∴EF⊥BC，12BC＝12EF，∴EF⊥BC，EF＝BC；(3)线段EF的长为7.【解法提示】如解图③，连接AH，第2题解图③∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，∴AH＝AB2－BH2＝7 2，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，∴EF＝2AH＝7.3．在等边△ABC中，F为BC的中点，D为BC上的动点，以AD为边作等边△ADE，过点F作AB的平行线FG，交AE于点G.【特例发现】(1)如图①，当点D 与点F 重合时，直线CE 和AB 的位置关系是________；DG 与AE 的位置关系是________．【类比探究】(2)如图②，当点D 移动到如图所示的位置时，上述结论还成立吗？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．【拓展延伸】(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝BC ，∠ADB ＝60°，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点E 作EF ∥CD 交AC 于点F ，若AD ＝5，CD ＝32，请直接写出线段EF 的长度．第3题图解：(1)CE ∥AB ；DG ⊥AE .【解法提示】∵△ABC 与△ADE 为等边三角形， ∴AB ＝AC ，AF ＝AE ，∠BAC ＝∠F AE ＝∠ABF ＝60°， ∵∠BAC ＝∠BAF ＋∠F AC ，∠F AE ＝∠F AC ＋∠CAE ， ∴∠BAF ＝∠CAE ，∴△ABF ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABF ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACE ，∴CE ∥AB ， ∵AB ∥FG ，∴CE ∥FG ∥AB ，∵点F 为BC 的中点，∴点G 为AE 的中点， ∵△AEF 为等边三角形，∴DG ⊥AE . (2)结论仍然成立．证明如下：∵△ABC 和△DAE 均为等边三角形， ∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABF ＝60°，∴∠ACE ＝∠BAC ，∴AB ∥CE . ∵FG ∥AB ，∴AB ∥FG ∥CE ，∵点F 是BC 的中点，∴点G 是AE 的中点， ∵△ADE 为等边三角形，∴DG ⊥AE . (3)线段EF 的长为74.【解法提示】如解图，过点A 作AG ＝AD ，交BD 于点G ，延长EF 交AD 于点H ，第3题解图∵∠ADB ＝60°，AB ＝AC ＝BC ， ∴△ABC 和△ADG 均为等边三角形，∴∠BAC ＝∠DAG ＝∠AGD ＝60°，AG ＝AD ＝5， ∴∠BAG ＝∠CAD ，∠AGB ＝120°，∴△ABG ≌△ACD ，∴∠AGB ＝∠ADC ＝120°，∴∠CDE ＝120°－60°＝60°. 又∵∠AGD ＝60°，∴CD ∥AG . ∵EF ∥CD ，∴EF ∥CD ∥AG . 在等边△ADG 中，∵AE ⊥GD ，∴点E 是DG 的中点，∴点H 是AD 的中点， ∴EH 是△ADG 的中位线，∴EH ＝12AG ＝52. 在△ACD 中，∵FH ∥CD ，∴FH 是△ACD 的中位线，∴FH ＝12CD ＝34， ∴EF ＝EH －FH ＝52－34＝74. 4．【问题发现】(1)如图①，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，连接EF ，则线段BE 、EF 、DF 之间的数量关系为________；【拓展探究】(2)如图②，在△ADC 中，AD ＝2，CD ＝4，∠ADC 是一个不固定的角，以AC 为边向△ADC 的另一侧作等边△ABC ，连接BD ，则BD 的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；【解决问题】(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，BC ＝42，若BD ⊥CD ，垂足为点D ，则对角线AC 的长是否存在最大值？若存在，请直接写出其最大值；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)BE＋DF＝EF；【解法提示】如解图①，延长CD至点G，使得DG＝BE，第4题解图①∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠DAG＋∠DAF＝45°，即∠GAF＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.（2）存在．在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，如解图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE.第4题解图②由旋转可得，CE＝AD＝2，BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴DE＝BD，∵DE≤DC＋CE＝4＋2＝6，∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，∴BD的最大值为6；(3)存在，AC的最大值为22＋2 6.【解法提示】如解图③，以BC为边作等边△BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，则BC＝BE，∠CBE＝60°.F第4题解图③∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°.∴∠ABD＋∠CBD＝∠CBE＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴AC ＝DE ，∵在等边△BCE 中，EF ⊥BC ， ∴BF ＝12BC ＝12×42＝22， ∴EF ＝3BF ＝3×22＝26，以BC 为直径作⊙F ，则点D 在⊙F 上，连接DF ， ∴DF ＝12BC ＝22，∴AC ＝DE ≤DF ＋EF ＝22＋26， 即AC 的最大值为22＋2 6. 5.【问题发现】(1)如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ；填空：①∠AEB 的度数为________；②线段AD 、BE 之间的数量关系为________． 【拓展探究】(2)如图②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE .请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由；【解决问题】(3)如图③，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出．．．．点A 到BP 的距离．第5题图解：(1)①60°；②AD＝BE；【解法提示】①∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，∵∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°.②由①得△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM；理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝180°－45°＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM，∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.(3)3－12或3＋12.【解法提示】∵PD＝1，∠BPD＝90°，∴BP是以点D为圆心，以1为半径的⊙D的切线，点P为切点．第一种情况：如解图①，过点A作AM⊥BP于点M，过点A作AP的垂线，交BP于点P′，可证得△APD≌△AP′B，∴PD＝P′B＝1，AP′＝AP，∵CD＝2，∴BD＝2，∵PD＝1，∴PB＝3，∴AM＝12PP′＝12(PB－P′B)＝3－12.第5题解图第二种情况：如解图②，同理可得AM ＝12PP ′＝12(PB ＋BP ′)＝3＋12. 综上所述，点A 到BP 的距离为3－12或3＋12.6．如图①，以▱ABCD 的较短边CD 为一边作菱形CDEF ，使点F 落在边AD 上，连接BE ，交AF 于点G .(1)猜想BG 与EG 的数量关系，并说明理由； (2)延长DE ，BA 交于点H ，其他条件不变， ①如图②，若∠ADC ＝60°，求 DGBH 的值；②如图③，若∠ADC ＝α(0°<α<90°)，直接写出．．．．DG BH 的值．(用含α的三角函数表示)第6题图解：(1)BG ＝EG ； 理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵四边形CDEF是菱形，∴EF＝CD，EF∥CD，∴AB＝EF，AB∥EF，∴∠BAG＝∠EFG，∠ABG＝∠FEG，∴△ABG≌△FEG(ASA)，∴BG＝EG；(2)①由(1)知△ABG≌△FEG，∴AG＝FG，设CD＝a，FG＝b，则AB＝a，AG＝b，∵四边形CDEF是菱形，∠ADC＝60°，∴△EFD是等边三角形，∠FDE＝60°，∴DF＝CD＝a，∵AB∥CD，∴∠HAD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH＝AD＝DF＋FG＋AG＝a＋2b，∴BH＝AB＋AH＝a＋a＋2b＝2a＋2b，∵DG＝DF＋FG＝a＋b，∴DGBH＝a＋b2a＋2b＝12；②DGBH＝cosα.【解法提示】如解图，分别过点C、H作CO⊥AD于点O，HN⊥AD于点N，第6题解图∵△ABG ≌△FEG ，∴AG ＝FG ， 设CD ＝a ，FG ＝b ，则AB ＝a ，AG ＝b ， ∵四边形CDEF 是菱形，∠ADC ＝α， ∴∠ADH ＝α，∴DF ＝2DO ＝2a cos α， ∴AD ＝DF ＋FG ＋AG ＝2a cos α＋2b ， ∵AB ∥CD ，∴∠HAD ＝∠ADC ＝α， ∴AN ＝12AD ＝a cos α＋b ， ∴AH ＝ANcos ∠HAD ＝a cos α＋b cos α，∴BH ＝AB ＋AH ＝a ＋a cos α＋b cos α＝2a cos α＋bcos α，∵DG ＝DF ＋FG ＝2a cos α＋b ， ∴DG BH ＝2a cos α＋b2a cos α＋b cos α＝cos α.7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点(不与点B 、C 重合)，连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 顺时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ .(1)如图①，当点P 在线段BC 上时，线段BQ 与CP 的数量关系为________； (2)如图②，当点P 在CB 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝15°，BP＝4，请直接写出BQ的长．第7题图解：(1)BQ＝CP；【解法提示】如解图①，连接OQ，第7题解图①∵PQ是由OP旋转60°得到的，∴△OPQ是等边三角形，∴∠POQ＝60°，OP＝OQ.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，∵CO＝BO，OP＝OQ，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ；(2)成立，证明如下：如解图②，连接OQ，第7题解图②∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，∴△PQO是等边三角形，∴OQ＝OP，∠POQ＝60°.∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°＝∠POQ，∴∠COB＋∠BOP＝∠BOP＋∠POQ，即∠COP＝∠BOQ，∵OC＝OB，PO＝OQ，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ；(3)BQ的长为43－4.【解法提示】如解图③，连接OQ，第7题解图③∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，∴△PQO是等边三角形，∴∠POQ＝60°，PO＝OQ，由(2)知△OBC是等边三角形，∴OB＝OC，∠BOC＝∠POQ＝60°，∴∠BOQ＝∠COP，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ，∠CPO＝∠BQO，过Q作QD⊥BP于D，∵∠QPO＝∠PQO＝60°，∠BPO＝15°，∴∠QPD＝45°，∵∠QDP＝90°，∴∠PQD＝45°，∴PD＝DQ，∴∠DQO＝15°，∵∠BQO＝∠BPO＝15°，∴∠BQD＝30°，∴BQ＝2BD，PD＝QD＝3BD，∴BP＝DB＋PD＝BD＋3BD，∵BP＝4，∴BD＝23－2，∴BQ＝2BD＝43－4.8．在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE＝α，点E 在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE＋∠ABE＝90°.(1)如图①，当α＝60°时，线段BD与CE的数量关系为________，线段EA，EB，EC的数量关系为________；(2)如图②，当α＝90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，当点E在线段CD上时，若BC＝25，请直接写出△BDE 的面积．第8题图解：(1)BD＝CE；BE2＋CE2＝EA2；【解法提示】∵∠ABC＝∠ADE＝α＝60°，DA＝DE，BA＝BC，∴△ADE, △ABC是等边三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，∵DA＝EA，BA＝AC，∴△DAB ≌△EAC ，∴BD ＝CE ，∠DBA ＝∠ECA ，∴∠DBA ＋∠ABE ＝∠ECA ＋∠ABE ＝90°，∴BD 2＋BE 2＝DE 2.∵△ADE 是等边三角形，∴DE ＝AE ，∴BD 2＋BE 2＝AE 2即EC 2＋EB 2＝EA 2.(2)12CE 2＋BE 2＝12AE 2；理由如下：∵∠ADE ＝∠ABC ＝90°，∴∠DAE ＝∠BAC ＝45°，AE ＝2AD ，AC ＝2AB ，∴∠DAB ＝∠EAC ，∴△DAB ∽△EAC ，∴∠DBA ＝∠ECA ，BD CE ＝AD AE ＝12， ∴∠DBE ＝90°，∴BD 2＋BE 2＝DE 2，即(22CE )2＋BE 2＝(22AE )2，则12CE 2＋BE 2＝12AE 2；(3)2.【解法提示】如解图，第8题解图∵∠EBC ＋∠EBA ＝90°，∴∠EBC ＝∠ECA ，∴∠EBC ＋∠ECB ＝∠ECA ＋∠ECB ＝∠BCA ＝45°，∵点D ，E ，C 在一条直线上，∴∠BED ＝45°，∵∠DBE ＝90°，∴∠BDE ＝45°，∴BD ＝BE ，设BD ＝x ，则DE ＝CE ＝AD ＝2x ，在Rt △ADC 中，AC ＝2BC ＝210，AD 2＋CD 2＝AC 2，即(2x )2＋(22x )2＝(210)2，解得x ＝2或x ＝－2(舍)．则S △BDE ＝12BD ·BE ＝12×2×2＝2.9．已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 交于点G .(1)如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF .求证：DE ·CD ＝CF ·AD ；(2)如图②，若四边形ABCD 是平行四边形．试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得DE ·CD ＝CF ·AD 成立？并证明你的结论；(3)如图③，若BA ＝BC ＝3，DA ＝DC ＝4，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出DE CF 的值．第9题图(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴DECF＝ADCD，∴DE·CD＝CF·AD；(2)解：当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°，∵∠B＋∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴DFDG＝DEDA，∵∠B＝∠ADC，∠B＋∠EGC＝180°，∠EGC＋∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴DFDG＝CFCD，∵DFDG＝DEDA，DFDG＝CFCD，∴DE·CD＝CF·AD，即当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立；(3)解：DECF＝2524.【解法提示】如解图，过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，第9题解图∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD.∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，⎩⎪⎨⎪⎧AD＝CDAB＝BCBD＝BD，∴△BAD≌△BCD(SSS)，∴∠BCD ＝∠A ＝90°，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∵∠ABC ＋∠CBM ＝180°，∴∠MBC ＝∠ADC ，∵∠CND ＝∠M ＝90°，∴△BCM ∽△DCN ，∴CM CN ＝BC CD ，∴CM x ＝34，∴CM ＝34x ，在Rt △CMB 中，CM ＝34x ，BM ＝AM －AB ＝x －3，由勾股定理得：BM 2＋CM 2＝BC 2，∴(x －3)2＋(34x )2＝32，解得x ＝0(舍去)，x ＝9625， ∴CN ＝9625，∵∠A ＝∠FGD ＝90°，∴∠AED ＋∠AFG ＝180°，∵∠AFG ＋∠NFC ＝180°，∴∠AED ＝∠CFN ，∵∠A ＝∠CNF ＝90°，∴△AED ∽△NFC ，∴DECF＝ADCN＝49625＝2524.10. 已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在BC、AC边上，连接BE、AD交于点P.设AC＝kBD，CD＝kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：(1)如图①，若k＝1，则∠APE的度数为；(2)如图②，若k＝3，试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数；(3)如图③，若k＝3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，(2)中的结论是否成立，请说明理由．第10题图解：(1)45°；(2)(1)中的结论不成立，理由如下：作AF∥CB，BF∥AD，AF、BF相交于点F，连接EF，交AD于点H，如解图①，∵AF∥CB，BF∥AD，第10题解图①∴∠FBE ＝∠APE ，∠F AC ＝∠C ＝90°，四边形ADBF 是平行四边形． 由题意知AC ＝3BD ，CD ＝3AE ，∴AC BD ＝CD AE ＝3，又∵BD ＝AF ，∴AC AF ＝CD AE ＝3，又∵∠F AC ＝∠C ＝90°，∴△F AE ∽△ACD ，∴AC AF ＝AD EF ＝BF EF ＝3，∠FEA ＝∠ADC ，又∵∠ADC ＋∠CAD ＝90°，∴∠FEA ＋∠CAD ＝90°＝∠EHD ，∵AD ∥BF ，∴∠EFB ＝90°，在Rt △EFB 中，tan ∠FBE ＝EF BF ＝33，∴∠FBE ＝30°，∴∠APE ＝30°，∴(1)中结论不成立；(3)(2)中的结论成立，其理由如下：如解图②，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，DH 、EH 相交于点H ，连接AH ，第10题解图②∵EH ∥CD ，DH ∥BE ，∴∠APE ＝∠ADH ，∠HEC ＝∠C ＝90°，四边形EBDH 是平行四边形， ∴BE ＝DH ，EH ＝BD ，由题意知AC ＝3BD ，CD ＝3AE ，∴AC BD ＝CD AE ＝3，又∵BD ＝EH ，∴AC EH ＝CD AE ＝3，又∵∠HEA ＝∠C ＝90°，∴△ACD ∽△HEA ，∴AD AH ＝AC EH ＝3，∠ADC ＝∠HAE ，∠CAD ＋∠ADC ＝90°，∴∠HAE ＋∠CAD ＝90°，∴∠HAD ＝90°，在Rt △DAH 中，tan ∠ADH ＝AH AD ＝33，∴∠ADH ＝30°，∴∠APE ＝30°.。

专题10 类比、拓展探究题考向1 图形旋转引起的探究【母题来源】2021年中考日照卷【母题题文】问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①；②直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为．【试题解析】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，故答案为：，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE＝∠DBF，又∵，∴△ABE∽△DBF，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，∴BE，AD＝2，DB＝4，∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，∴EF＝1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB＝∠BEF＝90°，∴DE，∵∠DEA＝30°，∴DG DE，由（2）可得：，∴，∴AE，∴△ADE的面积AE×DG；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：△ADE的面积AE×DG；故答案为：或．【命题意图】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力。

中招考试几何类比探究题集锦（附参考答案）参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ABD≌△ACF；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，请直接写出DE2，BD2，CE2三者之间的等量关系．【解答】解：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAE+∠CAF=α∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠BAD+∠CAE=∠BAC﹣∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，第1页（共33页）第2页（共33页）∴△ABD ≌△ACF （SAS ），（2）由（1）知，△ABD ≌△ACF （SAS ），∴CF=BD ，∠ACF=∠B ，∵AB=AC ，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB +∠ACF=45°+45°=90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2=CF 2+CE 2，∴DE 2=BD 2+CE 2，（3）DE 2=BD 2+CE 2；理由：如图，∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠DAE=α，∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，∴EF=DE ，AF=AD ，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAF=∠EAF +∠CAE=α+∠CAE∴∠BAD=∠BAC ﹣∠DAC=2α﹣∠DAC=2α﹣（∠DAE ﹣∠CAE ）=2α﹣（α﹣∠CAE）=α+∠CAE∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，∴DE2=BD2+CE2，2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF 均为等第3页（共33页）边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）DE=BD+CE．理由如下：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，第4页（共33页）∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）DF=EF．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CAE，BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，第5页（共33页）∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．3．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC=CD+CE．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC 上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．第6页（共33页）【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B=60°，故答案为：60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC=CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵AC=BC=BD+CD，∴AC=CD+CE；故答案为：AC=CD+CE；（2）∠ACE=45°，AC=CD+CE，理由是：如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，第7页（共33页）∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∵BC=CD+BD，∴BC=CD+CE，∵在等腰直角三角形ABC中，BC=AC，∴AC=CD+CE；（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，∴BD=2，BC=，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，由（2）得：AC=BC+CD，∴AC===．第8页（共33页）4．【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC ：S△AEF的值．【解答】证明：第一种情况：点E是线段BC上的任意一点，可作三种辅助线：方法一：如图1，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，第9页（共33页）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；方法二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似方法一；方法三：延长FC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG是等边三角形，第10页（共33页）∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，即∠GEF=∠AEC，∴△GEF≌△CEA，∴AE=EF．第二种情况：点E是线段BC延长线上的任意一点如图2，可作三种辅助线：①在CF上截取CG=CE，连接GE②延长AC到G，使CG=CE，连结EG；③或延长BA到G，使BG=BE，连结EG．第②种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，第11页（共33页）∴∠AEG=∠CEF，∴△AEG≌△FEC，∴AE=EF．第三种情况：点E是线段BC反向延长线上的任意一点如图3，可作三种辅助线：①延长AB到G，使BG=BE，连结EG；②延长CF到G，使CG=CE，连结EG；③在CE上截取CG=CF，连结GF现就第①种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AB到G，使BG=BE，连结EG，易证△BEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，第12页（共33页）∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，∴∠BAE=∠CEF，∵AB=BC，BG=BE，∴AB+BG=BC+BE，即AG=CE，∴△AEG≌△EFC，∴AE=EF．拓展应用：如图4：作CH⊥AE于H点，∴∠AHC=90°．由数学思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC∽△AEF．第13页（共33页）∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，∴∠CAH=30°，AH=EH．∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，∴．∴==．5．问题情境：在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）操作发现：当点O为AC中点时：①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系：AE2+CF2=EF2（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；第14页（共33页）（2）类比延伸：当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若=，请直接写出=．【解答】解：（1）①猜想：AE2+CF2=EF2，连接OB，如图1，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．∴∠EOB=∠FOC，在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；故答案为：AE2+CF2=EF2；第15页（共33页）②成立．证明：连结OB．如图2，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC．在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；（2）=，如图3，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．∵∠B=90°，第16页（共33页）∴∠MON=90°，∵∠EOF=90°，∴∠EOM=∠FON．∵∠EMO=∠FNO=90°，∴△OME∽△ONF，∴=，∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，∴△AOM∽△OCN，∴=，∵=，∴=，故答案为．第17页（共33页）第18页（共33页）6．阅读发现：（1）如图①，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD ，AE ．易证：△BCD ≌△BAE ．（不需要证明） 提出问题：（2）在（1）的条件下，当BD ∥AE 时，延长CD 交AE 于点F ，如图②，求AF 的长．解决问题：（3）如图③，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD ，AE ．当∠BAE=45°时，点E 到AB 的距离EF 的长为2，求线段CD的长为 ．【解答】（2）解：如图②中，AB与CF交于点O．由（1）可知：△BCD≌△BAE，∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，∴∠AFO=∠CBO=90°，∴CF⊥AE，∵BD∥AE，∴BD⊥CF，在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，∴CD=AE==2，∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，∴四边形EFDB是矩形，∴EF=BD=1，∴AF=AE﹣EF=2﹣1．（3）解：在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，∴AB=BC，BE=BD，∴==，∵∠ABC=∠EBD=90°，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE∽△CBD，∴==，第19页（共33页）第20页（共33页）在RT △AEF 中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，∴AF=EF=2，AE=2，∴=，∴CD=．故答案为．7．如图1，两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中S1与S2的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BD=CD，BC=9，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请求相应的BF的长．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，第21页（共33页）∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；故答案为：DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2=×2×2=2；故答案为：S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，第22页（共33页）∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，第23页（共33页）∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×6÷cos30°=3÷=2，∴BF1=2，BF2=BF1+F1F2=2+2=4，故BF的长为2或4．8．问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．类比归纳：第24页（共33页）在图（1）中，若，则的值等于；若，则的值等于；若（n 为整数），则的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广：如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN，设，则的值等于．（用含m，n的式子表示）【解答】解：（1）方法一：如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM=EM，BN=EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．∵，∴CE=DE=1．第25页（共33页）设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，NE2=CN2+CE2．∴x2=（2﹣x）2+12，解得x=，即BN=．在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=y，则DM=2﹣y，∴y2+22=（2﹣y）2+12，解得y=，即AM=（6分）∴．方法二：同方法一，BN=．如图（1﹣2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形．∴NG=CD=BC．同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AG=BN=∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠BNM=90度．∵NG⊥BC，∴∠MNG+∠BNM=90°，第26页（共33页）∴∠EBC=∠MNG．在△BCE与△NGM中，∴△BCE≌△NGM，EC=MG．∵AM=AG﹣MG，AM=﹣1=．∴．（2）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接BE，=，不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN2=NC2+CE2，x2=（n﹣x）2+12，x=；作MH⊥BC于H，则MH=BC，又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，∴NH=EC=1，AM=BH=BN﹣NH=﹣1=则：==．故当=，则的值等于；若=，则的值等于；第27页（共33页）（3）若四边形ABCD为矩形，连接BE，=，不妨令CD=n，则CE=1；又==，则BC=mn，同样的方法可求得：BN=，BE⊥MN，易证得：△MHN∽△BCE．故=，=，HN=，故AM=BH=BN﹣HN=，故==．故答案为：；；；．第28页（共33页）第29页（共33页）9．阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，点P 在BC 边上，当∠APD=90°时，易证△ABP ∽△PCD ，从而得到BP•PC=AB•CD ，解答下列问题．（1）模型探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，结论BP•PC=AB•CD 仍成立吗？试说明理由；（2）拓展应用：如图3，M 为AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=45°且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．AB=，AF=3，求FG 的长．【解答】解：（1）∵∠APC=∠APD +∠CPD ，∠APC=∠BAP +∠B （三角形外角定理），∠B=∠APD （已知），∴∠BAP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD∴=，∴BP•PC=AB•CD；（2）∵∠AFM=∠DME+∠E（三角形外角定理），∠DME=∠A（已知），∴∠AFM=∠A+∠E（等量代换），又∠BMG=∠A+∠E（三角形外角定理），∴∠AFM=∠BMG．∵∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM．当∠A=∠B=45°时，∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，即AC⊥BC且AC=BC．∵M为AB的中点，∴AM=BM=，AC=BC=4．又∵△AMF∽△BGM，∴，∴BG===，又∵，CF=4﹣3=1，∴．第30页（共33页）10．基本模型如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，（1）模型拓展如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？（2）模型应用①如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？【解答】解：（1）成立，∵∠A=180°﹣（∠B+∠APB），第31页（共33页）∠CPD=180°﹣（∠1+∠APB），∠B=∠1，∴∠A=∠CPD，∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵∠B=∠APQ，∴∠B=∠APQ=∠C，由（1）知，△ABP∽△PCD，∴=，∴=，∴CQ=；②设BP=x，CQ=y．∵∠B=∠APQ=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴=，即=，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，第32页（共33页）∴当x=时，y=，最大即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为．第33页（共33页）。

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２、4 的平方根是＿＿＿＿。

３、－27 的立方根是＿＿＿＿。

４、－2 的绝对值是＿＿＿＿。

５、2004年我国外汇储备3275.34亿美元，用科学记数法表示为＿＿＿＿亿美元。

中考数学复习专题讲座探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲考点一：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．例1 （2015•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专项训练1．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在ABC △中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是 ，NB 与MC 的数量关系是 ；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△111A B C 中，118A B =，11160A B C ∠=︒，11175B AC ∠=︒，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75︒，得到线段1AQ ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．2．在图1，2，3中，已知ABCD ，120ABC ∠=︒，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且120EAG ∠=︒．（1）如图1，当点E 与点B 重合时，CEF ∠= ︒；（2）如图2，连接AF ．①填空：FAD ∠ EAB ∠（填“>”，“ <”，“=” )；②求证：点F 在ABC ∠的平分线上；（3）如图3，连接EG ，DG ，并延长DG 交BA 的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，求BC AB的值．3．【问题探究】（1）如图1，ABC △和DEC △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD 与BD 之间的位置关系： ；②若10AC BC ==，2DC CE ==，则线段AD 的长为 ；【拓展延伸】（2）如图2，ABC ∆和DEC ∆均为直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC =，7BC =，3CD =，1CE =．将DCE △绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角BCD ∠为(0360)αα︒<︒，作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．4．如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且2AB BC=，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM MG⊥，并求MBMG的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设2(090)EABαα∠=<<︒，其它条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．5．如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，60BAD ∠=︒，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转(030)αα︒<<︒，得到菱形AB C D '''，B C ''交对角线AC 于点M ，C D ''交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当//MN B D ''时，求α的大小．（2）如图2，对角线B D ''交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C B ''交AB 于点E ，连接EH ．当HEB '△的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．6．思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD AB ∥交AP 的延长线于点D ，此时测得200CD =米，那么A ，B 间的距离是米．思维探索：（2）在ABC △和ADE △中，AC BC =，AE DE =，且AE AC <，90ACB AED ∠=∠=︒，将ADE △绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时ADE △的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当ADE △在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ；②如图3，当90α=︒时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当150α=︒时，若3BC =，1DE =，请直接写出2PC 的值．7．综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD 沿对角线AC 所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C 的直线折叠，使点B ，点D 都落在对角线AC 上．此时，点B 与点D 重合，记为点N ，且点E ，点N ，点F 三点在同一条直线上，折痕分别为CE ，CF ．如图2．第二步：再沿AC 所在的直线折叠，ACE △与ACF △重合，得到图3． 第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C 与点F 重合，如图4，展开铺平，连接EF ，FG ，GM ，ME ．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，BEC 的度数是，AE BE的值是 ． （2）在图5中，请判断四边形EMGF 的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形： ．8．如图，在直角坐标系中，直线132y x=−+与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为1x=的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC△相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．题9．已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当3MN =时，求点M 的坐标．10．如图，抛物线2542y mx mx =−−与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，与y 轴交于点C ，且21112x x −=． （1）求抛物线的解析式；（2）若1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 是抛物线上的两点，当12a x a +，292x 时，均有12y y ，求a 的取值范围；（3）抛物线上一点(1,5)D −，直线BD 与y 轴交于点E ，动点M 在线段BD 上，当BDC MCE ∠=∠时，求点M 的坐标．11．如图，抛物线2y ax bx c =++经过(3,0)A −，(1,0)B ，(0,3)C 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC △面积为3，求点P 的坐标；（3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与ABC △相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B −，且过点(2,2)C −．（1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PBA S =△，求点P 的坐标；（3）在抛物线上(AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．13．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A −，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）BCD △的面积等于AOC △的面积的34时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D −−和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且22MN =，动点Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线233373848y x x =+−与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，CAD ∆绕点C 顺时针旋转得到CFE ∆，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作1DD x ⊥轴于点1D ，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM x ⊥轴，点M 为垂足，使得PAM △与1DD A △相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答这样的点P 共有几个？。

3中考数学类比探究实战演练（六）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题2.（10 分）已知：△ABC 是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°，点M 在边AC 上，点N 在边BC 上（点M，点N 不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM．射线AG∥BC，延长BM 交射线AG 于点D，点E 在直线AN 上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时．①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE 的度数．（2）当∠ACB=α，其他条件不变时，∠BDE 的度数是（用含α的代数式表示）；（3）若△ABC 是等边三角形，AB= 3 ，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F，请直．接．写出线段CF 的长．1中考数学类比探究实战演练（七）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题2.（10 分）已知在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD 交BB′于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若AB≠AC，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连接EF 交BC 于点O，设△COE 的面积为S1，△COF 的面积为S2，求S1（用含α的式子表示）．S27中考数学类比探究实战演练（八）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB= ，AC=2，过点B 作直线m∥AC，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B 的对应点分别为A′，B′），射线CA′，CB′分别交直线m 于点P，Q．（1）如图1，当P 与A′重合时，求∠ACA′的度数．（2）如图2，设A′B′与BC 的交点为M，当M 为A′B′的中点时，求线段PQ 的长．（3）在旋转过程中，当点P，Q 分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA′B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．3中考数学类比探究实战演练（九）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22. （10 分）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC 于点D，则D 为BC 的中点，∠BAD=1∠BAC=60°，于是BC=2BD=．2 AB AB迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C 三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD 之间的等量关系式．拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC=120°，在∠ABC 内作射线BM，作点C 关于BM 的对称点E，连接AE 并延长交BM 于点F，连接CE，CF．①求证：△CEF 是等边三角形；②若AE=5，CE=2，求BF 的长．图1图2图34中考数学类比探究实战演练（十）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）在正方形ABCD 中，点E，F 分别在边BC，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1）．求证：△AEG≌△AEF．（2）若直线EF 与AB，AD 的延长线分别交于点M，N（如图2）．求证：EF2=ME2+NF2．（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF 之间的数量关系．中考数学类比探究实战演练（十一）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）【操作发现】（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D．在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB 上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF 的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由．【类比探究】（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D．在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB 上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：①∠EAF 的度数；②线段AE，ED，DB 之间的数量关系．图1图2中考数学类比探究实战演练（十二）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD 于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF；②AE+AF=AC．（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点 C 作CH⊥AD 于点H，求证：AE=2FH．（3）深入探究如图3，若AD=3AB，探究得：AE 3AF的值为常数t，则t= ．AC图1 图2 图3中考数学类比探究实战演练（十三）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC，连接PE，BD，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1 中，PA+PB+PC 的最小值为．（2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC 内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB=5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA，PC，请直接写出PA+PB+PC 的最小值（保留作图痕迹）．8中考数学类比探究实战演练（十四）做题时间： 至 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共 分钟日期：月日三、解答题22. （10 分）在△ABC 中，∠A =90°，点 D 在线段 BC 上，∠EDB = 1∠C ，2BE ⊥DE ，垂足为 E ，DE 与 AB 相交于点 F ．（1） 如图 1，若点 D 与点 C 重合，AB =AC ，探究线段 BE 与 FD 的数量关系． （2） 如图 2，若点 D 与点 C 不重合，AB =AC ，探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明．（3） 如图 3，若点 D 与点 C 不重合，AB =kAC ，求BE的值（用含 k 的式子FD表示）．图 1图 2图 39中考数学类比探究实战演练（十五）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）问题背景：已知∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与A，B 重合），DE 交AC 所在直线于点M，DF 交BC 所在直线于点N，记△ADM 的面积为S1，△BND 的面积为S2．（1）初步尝试：如图1，当△ABC 是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2 时，则S1·S2= ．（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D 沿AB 平移，使AD=4，再将∠EDF 绕点 D 旋转至如图 2 所示位置，求S1·S2 的值．（3）拓展延伸：当△ABC 是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．①如图3，当点 D 在线段AB 上运动时，设AD=a，BD=b，求S1·S2 的表达式（结果用a，b 和α的三角函数表示）；②如图4，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1·S2的表达式，不必写出解答过程．图1 图2 图3图 410中考数学类比探究实战演练（十六）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）点A，B 分别是两条平行线m，n 上任意一点，在直线n 上找一点C，使BC=kAB，连接AC，在直线AC 上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF 交直线m 于点F．（1）如图1，当∠ABC=90°，k=1 时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC=90°，k≠1 时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°＜∠ABC＜90°，k=1 时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．图1 图2 图3112中考数学阅读理解问题实战演练（一）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由．（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A′BC，连接AA′交直线BC 于点D．若点B 是△AA′C 的重心，求AC的值．BC（3）应用拓展：如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直线l1 上，点A 在直线l2 上，有一边的长是BC 的倍．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，A′C 所在直线交l2 于点D，求CD 的值．123中考数学阅读理解问题实战演练（二）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22. （10 分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3 个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD 平分∠ABC．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG= 30°，连接EG，若△EFG 的面积为2 ，求FH 的长．13【参考答案】中考数学类比探究实战演练（六）22. （1）①证明略；②∠BDE 的度数为90°；（2）α或(180°-α)；（3）CF 的长为3或4 3 ．2中考数学类比探究实战演练（七）22. （1）证明略；（2）CD=2BE·tan2α；（3）S1S2= sin(45︒-α) ．中考数学类比探究实战演练（八）22. （1）∠ACA′的度数为60°；（2）线段PQ 的长为7；2（3）四边形PA′B′Q的最小面积为3 - 3 ．中考数学类比探究实战演练（九）22. （1）①证明略；② 3 AD+BD=CD；（2）①证明略；②BF 的长为3 3 ．中考数学类比探究实战演练（十）22. （1）证明略；（2）证明略；（3）EF2=2(BE2+DF2)．中考数学类比探究实战演练（十一）22. （1）①∠EAF=120°；②DE 与EF 相等，理由略；（2）①∠EAF=90°；②DB2+AE2=ED2．中考数学类比探究实战演练（十二）22. （1）证明略；（2）证明略；（3）7 ．中考数学类比探究实战演练（十三）22. （1）4 3 ；（2）①PA+PB+PC 的最小值为61 ；142 ②PA +PB +PC 的最小值为 5 6 + 5 2（ 5 2也正确）．中考数学类比探究实战演练（十四）22. （1）BE = 1 ； FD 2 （2） BE = 1，证明略；FD 2 （3） BE = k ．FD 2中考数学类比探究实战演练（十五）22. （1）12；（2）S 1·S 2 的值为 12；（3）① S ⋅ S = 1 (ab )2 sin 2 α；② S ⋅ S = 1(ab )2 sin 2 α．1 2 4 1 24中考数学类比探究实战演练（十六）22. （1）EF =EB ，证明略； （2） 不成立， EF = 1；EB k（3） EF =EB ，证明略．中考数学阅读理解问题实战演练（一）22. （1）△ABC 是“等高底”三角形，理由略；（2） AC= BC13 ；2 （3） C D 的值为 2 10， 2 3或 2．中考数学阅读理解问题实战演练（二）22. （1）图略；（2） 证明略； （3） FH 的值为2 ．152 +3 2。

【必刷题】2024九年级数学上册数学思维拓展专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 若a+b=5，ab=1，则a²+b²的值为（）A. 10B. 17C. 26D. 302. 下列各数中，是无理数的是（）A. √9B. √16C. √3D. π3. 已知一组数据的方差是9，那么这组数据每个数据都加5后，方差变为（）A. 4B. 9C. 14D. 244. 下列函数中，是正比例函数的是（）A. y=2x+1B. y=x²C. y=3xD. y=x15. 在平面直角坐标系中，点P(a,b)关于原点对称的点是（）A. (a,b)B. (a,b)C. (a,b)D. (b,a)6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形B. 矩形C. 正五边形D. 半圆7. 下列方程中，是一元一次方程的是（）A. 2x+3y=6B. x²+3x+2=0C. 3x5=0D. xy=38. 若平行线l1：2x+3y+1=0，l2：2x+3y+c=0，则l1与l2的距离是（）A. |c|/√13B. c/√13C. √13/|c|D. √13/c9. 已知一组数据的平均数是50，那么这组数据的中位数可能是（）A. 45B. 50C. 55D. 6010. 下列关于x的不等式中，有解的是（）A. x²<0B. x²=0C. x²>0D. x²≤0二、判断题：1. 互为相反数的两个数的和为0。

（）2. 一组数据的众数只有一个。

（）3. 两条平行线上的任意两点到第三条直线的距离相等。

（）4. 中心对称图形一定是轴对称图形。

（）5. 任何两个实数的和都是实数。

（）三、计算题：1. 已知一组数据：2，3，5，7，x，求x的值，使得这组数据的平均数为5。

2. 若一个正方形的边长为a，求其面积。

3. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

类比探究专练训练1、(2020年辉县，一摸）问题发现：如图，在正方形ABCD中，点E 是BC上的动点,点F是CD上的动点，∠EAF=45°，则线段BE,EF,DF 之间的数量关系是（）（截长补短）延长CB到G，使得BG=DF，再证全等（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E是1∠BAD，则线段BE,EF,DF BC上的动点，点F是CD上的动点，∠EAF=2之间有什么数量关系？并说明理由（3）①如第二个图，点E在CB的延长线上，F是直线CD上的动点，（2）中的其他条件不变，请直接写出线段BE,EF,DF之间的数量关系是（）②如下图，若∠B+∠D≠180°（2）中的其他条件不变，请直接写出线段BE,EF,DF之间的数量关系是（）旋转结构1、在△ABC和△ADE中，BA=BC,DA=DE,且∠ABC=∠ADE=α，点E在△ABC的内部，连接EC,EB,EA,BD，并且∠ACE+∠ABE=90°观察猜想：（1）如图，当α=60°时，线段BD和CE的数量关系为（），线段EA,EB,EC的数量关系为（）（2）如图，当α=90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，请说明理由（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=52,请直接写出△BDE 的面积222102522121=∴=∴=→===∴===∴BD m AB BC AD EC DE DE BD AE AD EC BD AEC ADB ΘΘΘ又∽△△/2（2019年郑州一中三模）等腰直角三角形ABC 中，AC=BC=24,E 为AC 中点，以CE 为斜边作如图所示等腰直角三角形CED ， （1）观察猜想：如图，过点D 作DF ⊥AE 于点F ，交AB 于点G ，线段CD 与BG 的关系为（ ）延长CD交AB于点H，CD⊥BG，且CD=BG（2）如图，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过点D作DF⊥AE于点F，过点B作DE的平行线与直线FD交于点G，（1）中结论是否成立？请说明理由过点C作GH⊥CE，交ED的延长线于点H，△BCH和△ACE属于旋转全等，易证BH⊥AE，∵DF⊥AE，∴BH∥DF,∵BG∥HE，∴BHDG是平行四边形,∴CD⊥BG，且CD=BG（3）拓展延伸：如图所示，点E，D,G共线时，直接写出DG的长度3、（2019年周口二模）在△ABC中，∠ABC是锐角，点M在射线AB上运动，连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转90°，得到CN，连接MN．（1）问题初现：若BC=A C，∠ABC=90°，当M在线段AB上时（不与点A重合），如图1所示，请你直接写出线段BN和AM的位置关系是________，数量关系是__________；（2）深入探究：当M在线段AB的延长线上时，如图2所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；（3）类比拓展：如图，∠ACB≠90°，点M在线段AB上运动且不与点A重合，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=24，当BM=（）时，BP的最大值为（）/4、在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=90°，D为直线BC上一动点（不与点B,C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAE，使∠DAE=90°，连接CE（1）观察猜想：如图1所示，当D在线段B C上时，BC和CE 的位置关系是（），CE,DC,BC之间的数量关系为（）EDCBA（2）数学思考：当D 在线段CB 的延长线上时，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；（3）拓展延伸：当点D 在线段BC 的延长线上时，将△DAF 沿线段DE 翻折，使得点A 与点E 重合，连接CE,CF,若4CD=BC ，AC=22,请直接写出线段CF 的长CF235、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P在射线BD上，以AP为边向右侧作等边△APF，点F的位置随着点P的位置变化而变化（1）当点F在菱形ABCD内部或边上时，连接CF,BP与CF的数量关系是（）CF与AD的位置关系是（）当点F在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由（3）当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BF ，若AB=32,BF=192,求四边形ADPF 的面积6、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为射线BC 上任意一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE（1）如图，当点D在BC边上（不与点B,C重合）时，请直接写出∠BCE的度数（2） 如图，当点D 在BC 的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）如图，在（2）的条件下，连接ED 并延长，交AC 的延长线于点F,若AC=4,AD=6，请直接写出线段CF 的长594661353135324541=∴=∴==∴︒=∠+∠︒=∠+∠︒=∠=∠FC FA DC FDAC DA DA FA DACFAD F ∽△△，7、（2015年河南中考卷22题）如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现①当︒=0α时，_____________=BD AE； ②当︒=180α时，__________AEBD=． BCA图1D E2545252,4548,4==∴====∴=∴==BD AE EC AE DC BD AC BC AB251256125652,54==∴==∴==BD AE BD AE CE AC（2）拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，DBAE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．EDAC图225854212154,8,4524,2===∴∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∠=∠=====∴==BC AC BD AE BCD ACE CA CE BCD ACE BC CD AC BC AB CE DC DE ∽△△Θ（3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．备用图AC541181,41815421,41==∴∴∴====∴=====AC BD ABCD BC AD CD AB AD AC E D CD AB 是矩形由勾股定理算出/8、（2019年南阳模拟）（1）在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形CFE 中，∠BAC=∠EFC=90°,当点E,A 重合时，BE,AF 的数量关系是（ ）（2）将△CEF 绕点C 旋转，连接BE,AF ，线段BE 和AF 的数量关系有无变化？仅就下图给出证明22121==∴∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∠=∠=ACBCAF BE ACF BCE CFCE ACF BCE BC AC ∽△△ （3）当AB=AC=2,△CEF 旋转到B,E,F 三点共线时，直角写出线段AF 的长⎪⎩⎪⎨⎧+=-=∴=⎪⎩⎪⎨⎧+=-==∴===∴131322626622222121AF AF AF BE BE BE BF BC EF CF ACF BCE 相似比是∽△△Θ最小时，底当且仅当PQ mm m m S S s ABCPQC A PQB 33213311=-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=-= ()m m m m b a abb a 32302222•≥+∴≥-≥+Θ9、（2019年焦作一模）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．PEDA BC 图1()BE AP BE CD AP ⊥==,21211()BE AP BE AP ⊥=,212倍长中线法：延长AP 到F ，使得PF=AP 易证AD=CF=AEACF BAE AC AB ACF BAE CF AE ςς≌∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠= ()410410213+≤≤-=BE BEAP/10、(2019年镇平三模）如图，已知直角三角形ABC ，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D 是AC 边上一点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接EF,CF（1）发现问题：线段EF,CF 之间的数量关系为（ ）；∠EFC 的度数为（ ） （2）拓展与探究：若将△AED 绕点A 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°）如图所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由取AB,AD 的中点M,N ，易证ANFM 是平行四边形 ∴MF=AN=NE=ND NF=AM=MB=MC∠BMF=∠MAN=∠FND∴∠ENF=60°-∠FND=∠FMC=60°-∠BMFFCEF ENF FMC NFMC ENF FMC NE MF =∴∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ςς≌ ()()︒=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠120FBC ABD FCB MCF FCB FBC ABD MCF DFCABD MCF DFC NFD EFN EFC （3）拓展与运用：如图所示，将△AED 绕点A 旋转的过程中，当点D 落在AB 边上时，AB 边上另有一个点G ，AD=DG=GB,BC=3，连接EG ，请直接写出EG 的长度()735.05.222=+=EG11、（2019年新乡模拟）在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=4,AE=2,其中△ABC 固定，△ADE 绕点A 做旋转，点F,M,N 分别为线段BE,BC,CD 的中点，连接MN,NF（1）问题提出：如图，当AD 在线段AC 上，∠MNF 的度数为（ ）线段MN 和NF 的数量关系为（ ）辅助线作法：连接CE,BD,并延长BD交CE于点G易证△BAD≌△CAE,得到BD=CE,BD⊥CE由中位线定理知：MN和MF相等且垂直，∴∠MNF=45°（2）深入讨论：如图，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数，线段MN和NF的数量关系辅助线作法：连接CE,BD,易证△BAD≌△CAE,得到BD=CE,BD⊥CE由中位线定理知：MN和MF相等且垂直，∴∠MNF=45°（3）拓展延伸：如图，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为（）以点A为圆心AD长为半径作圆，当PB与圆相切时，点P到BC的距离最小，△BCP的面积最小△ABD≌△ACE可证出ADPE为正方形12、(2019年宛城一模）已知在△ABC中，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°。