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23.2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形教学目标【知识与技能】在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上,会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度价值观】在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用,并提高学生将数学知识应用于实际的意识,从而体验“从实践中来,到实践中去”的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦,产生后继学习激情,增强学好数学的信心.教学重难点【教学重点】直角三角形的解法。
【教学难点】灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
课前准备课件、教具等。
教学过程一、情境导入在直角三角形中，除了直角外，一共有五个元素，即三角形的三条边和两个锐角．尝试探究已知哪些元素能够求出其他元素．二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】已知斜边和一直角边解直角三角形李1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝23，a ＝3，解这个直角三角形．解析：已知一条斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数．解：在Rt △ABC 中，b ＝c 2－a 2＝12－9＝ 3.∵sin A ＝a c ＝323＝32，∴∠A ＝60°. ∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°.方法总结：在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解．【类型二】已知两直角边解这个直角三角形例2 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3－1，b ＝3－3，解直角三角形．解析：根据直角三角形中各元素之间的关系，选择合适的式子求解．解：由tan B ＝b a ，得tan B ＝3－33－1＝ 3. ∴∠B ＝60°，则∠A ＝30°.由sin A ＝a c ，得c ＝a sin A ＝3－112＝23－2. 【类型三】已知直角三角形一边一锐角解直角三角形例3 在Rt △ABC 中，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C ＝90°，∠B ＝60°，a ＝4，解这个三角形．解析：如图所示，本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值，可根据直角三角形中各元素之间的关系解决．解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°，∴c ＝2a ＝2×4＝8.由tan B ＝b a ，知b ＝a ·tan B ＝4·tan60°＝4 3.(或b ＝c 2－a 2＝82－42＝43) 方法总结：解直角三角形时，正确选择关系式是关键，选择关系式遵循以下原则：(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式；(2)选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算．探究点二：解直角三角形的简单应用【类型一】利用直角三角形求面积例4 在△ABC 中，∠A ＝55°，b ＝20cm ，c ＝30cm ，求三角形ABC 的面积S △ABC .(精确到0.1cm 2)解析：(1)求三角形面积需要作高；(2)需构造直角三角形．解：作AB 上的高CD ，在Rt △ACD 中，∵CD ＝AC ·sin A ＝b ·sin A .∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12bc ·sin A . ∵∠A ＝55°，b ＝20cm ，c ＝30cm ，∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×20×30·sin55° ＝12×20×30×0.8192＝245.8(cm 2)．方法总结：求三角形面积可先作高构造直角三角形，然后用已知量的三角函数表示出高，代入数据即可求得．【类型二】构造直角三角形解决问题例5 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，将此矩形折叠，使C 点和A 点重合，求折痕EF 的长．解析：由题意可知A 点和C 点关于直线EF 对称，连接AC ，则AC ⊥EF ，且OA ＝OC ，于是构造了Rt △AOE ，利用解直角三角形的知识求出OE 即可．解：如图，连接AC ，则AC ⊥EF ，OA ＝OC ，∴∠AOE ＝90°.又∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10，∴OA ＝5.在Rt △ADC 中，tan ∠DAC ＝DC AD ＝68＝34.在Rt △AOE 中，tan ∠EAO ＝OE AO ，∴OE ＝AO ·tan∠EAO ＝AO ·tan∠DAC ＝5×34＝154.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COF ，OA ＝OC ，∠OAE ＝∠OCF ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF .∴EF ＝2OE ＝2×154＝152. 方法总结：折叠后折痕两边的图形成轴对称，从而利用对称性构造直角三角形，并利用解直角三角形求出线段的长．三、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思教学过程中引导学生对所学理论知识进行系统的复习，归纳整合成一个知识网络，能够清楚认识到各个知识点之间的联系，为接下来综合应用的学习打下基础．教学过程中还应当把握教学进度，确保学生能够牢牢把握基础知识．。
23.2 解直角三角形及其应用第一课时1、重点：会利用条件解直角三角形。
2、难点：根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。
教学过程： 1、复习回忆直角三角形三边的关系: 勾股定理 a 2+b 2=c 2.直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=90°. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 互余两角之间的三角函数关系:sinA=cosB . 同角之间的三角函数关系:＊特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.2、新课探究：有以上的关系，如果知道了五个元素中的两个元素〔至少有一个是边〕，就可以求出其余的三个元素。
在直角三角形中，除直角外，由元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
例1 在RT △ABC 中,∠C=90°,∠B=42°6′,c=287.4,解这个三角形。
解：∠A=90°-42°6′=47°54′a=c·× ACacbBcaB A ==cos sin cbB A ==sin cos .cos sin tan AAA =1sin cos 22=+B A 得由,cos caB =b=c ·s ×例2 在△ABC 中，∠A=55°,b=20cm,c=30cm,求三角形的面积〔准确到2〕解：如图，作AB 上的高CD ，在RT △ACD 中，CD=AC ·sinA=b ·sinA.当∠A=55°，b=20cm,c=30cm 时，有3、练习：(1)在RT △ABC 中，∠C=90°,AC=6, ∠BAC 的平分线AD= ，解此直角三角形。
(2)如图,根据图中数据,求△ABC 其余各边的长,各角的度数和△ABC 的面积(3)如图,根据图中数据,求△ABC 其余各边的长,各角的度数和 △ABC 的面积.4、小结：本节课主要学习了如何利用条件，选用适宜的三角关系式解直角三角形，这是需要我们熟练掌握的，为后面学习解决实际问题提供打下根底。
23.2 第1课时 解直角三角形知识点 1 已知一边一锐角解直角三角形1．如图23－2－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( )A. 4 33 B ．4 C ．8 3 D ．4 3图23－2－12．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC 等于( ) A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的对边a ＝4，cos B ＝23，则斜边c 的长为________．4．如图23－2－2，AD ⊥CD ，∠ABD ＝60°，AB ＝4 m ，∠C ＝45°，则AC ＝________．图23－2－25．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .已知∠B ＝60°，c ＝20，解这个直角三角形．知识点 2 已知两边解直角三角形6．如图23－2－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，那么∠B 的度数为( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．15°图23－2－37．在△ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，c ＝6，则下列解该直角三角形的结果中完全正确的一组是( )A ．∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝2 33B ．∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝ 3C ．∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝ 3D ．∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝628．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，b ＝7，解这个直角三角形．(角度精确到1″)知识点 3 将斜三角形转化为直角三角形 9．已知等腰三角形的腰长为2 3，底边长为6，则底角的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 10．［教材例2变式］如图23－2－4，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若∠A ＝60°，b ＝20 cm ，c ＝30 cm ，求BC 的长．图23－2－411．如图23－2－5，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D .若AC ＝6 2，∠C ＝45°，tan B ＝3，则BD 等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3图23－2－512．如图23－2－6，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝32，AC ＝2 3，则AB 的长度为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7图23－2－613．［2017·义乌］以Rt △ABC (∠B ＝90°)的锐角顶点A 为圆心，适当长为半径作弧，与边AB ，AC 分别交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A 作直线，与边BC 交于点D ，若∠ADB ＝60°，点D 到AC 的距离为2，则AB 的长为________．14．［2017·临沂］如图23－2－7, 在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O .若AB ＝4，BD ＝10，sin ∠BDC ＝35，则▱ABCD 的面积是________．图23－2－715．在△ABC 中，AB ＝8，∠B ＝30°，AC ＝5，则BC ＝________．16．如图23－2－8，已知 tan C ＝43，点P 在边CA 上，CP ＝5，点M ，N 在边CB 上，PM ＝PN .若MN ＝2，求PM 的长．图23－2－817．如图23－2－9，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，cos C ＝22，sin B ＝13，AD ＝1.(1)求BC 的长；(2)求tan ∠DAE 的值．图23－2－918．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，有一个锐角为60°，BC ＝6.若点P 在直线AC 上(不与点A ，C 重合)，且∠ABP ＝30°，则CP 的长为__________．19．一副三角尺按图23－2－10放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝12 2，求CD 的长．图23－2－10教师详解详析1．D [解析] ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8， ∴cos B ＝BC AB ，即cos 30°＝BC 8，∴BC ＝8×32＝4 3.故选D .2．D3．6 [解析] 由余弦定义，得cos B ＝4c ＝23，解得c ＝6.4．2 6m [解析] 在Rt △ABD 中，∠D ＝90°，∠ABD ＝60°，AB ＝4.∵sin ∠ABD ＝ADAB ，即sin 60°＝AD4，∴AD ＝2 3.∵在Rt △ACD 中，∠D ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝2 3， ∴sin ∠ACD ＝AD AC ，即sin 45°＝2 3AC ，∴AC ＝2 6 m .5．解：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠B ＝60°，∴∠A ＝180°－∠C－∠B＝180°－90°－60°＝30°，∴a ＝12c ＝12×20＝10，∴b ＝c 2－a 2＝202－102＝10 3. 6．C 7.C8．[解析] 由勾股定理，可先求得c 的值．然后选用tan A ＝ab ，利用计算器求得锐角A ，最后根据两锐角互余，可得另一锐角B 的度数．解：∵a＝5，b ＝7，∴c ＝a 2＋b 2＝52＋72＝74.∵tan A ＝a b ＝57，∴∠A ≈35°32′16″，则∠B≈54°27′44″.9．A [解析] 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2 3，BC ＝6，过点A 作AD⊥BC 于点D ，则BD ＝3.在Rt △ABD 中，cos B ＝BD AB ＝32 3＝32，∴∠B ＝30°，即等腰三角形的底角为30°.10．解：如图，过点C 作CD⊥AB，垂足为D. 在Rt △ACD 中，∵sin A ＝CD AC ，cos A ＝ADAC ，∴CD ＝b sin 60°＝20×32＝10 3，AD ＝b cos 60°＝20×12＝10，BD ＝30－10＝20， ∴BC ＝（10 3）2＋202＝10 7(cm )．11． A[解析] ∵AC＝6 2，∠C ＝45°， ∴AD ＝AC·sin 45°＝6 2×22＝6. ∵tan B ＝3，∴AD BD ＝3，∴BD ＝AD3＝2.故选A .12． B[解析] 过点C 作CD⊥AB 于点D. ∵sin A ＝CDAC，∴CD ＝AC·sin A ＝AC·sin 30°＝2 3×12＝ 3.∵cos A ＝ADAC，∴AD ＝AC·cos 30°＝2 3×32＝3. ∵tan B ＝CD BD ＝32，∴BD ＝2.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋2＝5. 故选B .13．2 3 [解析] 如图，由题意可知AD 平分∠BAC.作DE⊥AC，垂足为E ，则DE ＝2，所以BD ＝DE ＝2.在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝ABBD ，所以AB ＝2×3＝2 3.14．24 [解析] 根据sin ∠BDC ＝35可以求出△BCD 中BD 边上的高，从而求出▱ABCD 的面积．过点C 作CE⊥BD 于点E ，在Rt △ECD 中，∵sin ∠BDC ＝35＝CE CD ＝CE AB ，AB ＝4，∴CE ＝125，S ▱ABCD ＝2×12×BD×CE＝24.15． 4 3±3[解析] 由于∠C 可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．如图，过点A 作BC 边的垂线，设垂足为D.首先在Rt △ABD 中，求出AD 的长，进而可在两个直角三角形中求出CD ，BD 的长．16．解：如图，过点P 作PD⊥MN 于点D.∵tan C ＝PD CD ＝43，∴设PD ＝4x ，则CD ＝3x. ∵CP ＝5，∴由勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝52， 解得x ＝1，∴PD ＝4.∵MN ＝2，PM ＝PN ，PD ⊥MN ，∴MD ＝1， ∴PM ＝42＋12＝17.17．解：(1)在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.∵cos C ＝22，∴∠C ＝45°. 在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，AD ＝1，∠C ＝45°，∴CD ＝AD ＝1. 在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝AD AB ＝13，AD ＝1，∴AB ＝ADsin B ＝3，∴BD ＝AB 2－AD 2＝2 2，∴BC ＝BD ＋CD ＝2 2＋1. (2)∵AE 是BC 边上的中线， ∴CE ＝12BC ＝2＋12，∴DE ＝CE －CD ＝2－12，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝2－12.18． 2 3或4 3或6[解析] (1)如图①，∠ABP ＝30°. ∵∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝30°. ∵BC ＝6，∴AB ＝3， ∴AC ＝3 3.在Rt △BAP 中，tan 30°＝APAB ，∴AP ＝AB·tan 30°＝3×33＝3，∴CP＝3 3－3＝2 3.(2)如图②，由图①知AB＝3，AC＝3 3.又∠ABP＝30°，∴AP＝3，∴CP＝3 3＋3＝4 3.(3)如图③，∵∠ABC＝∠ABP＝30°，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠P，∴BC＝BP.∵∠C＝60°，∴△CBP是等边三角形，∴CP＝BC＝6.故答案为2 3或4 3或6.19．解：如图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12 2，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝45°，∴BM＝BC·sin45°＝12 2×22＝12，∴CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan60°＝4 3，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.。
