新北师大九年级数学上册第一章知识点归纳.(优选)

九年级数学上册学问点归纳（北师大版）第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步相识第四章图形的相像第五章投影及视图第六章反比例函数（八下前情回忆）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线相互平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线相互平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的间隔：若两条直线相互平行，则其中一条直线上随意两点到另一条直线的间隔相等。

这个间隔称为平行线之间的间隔。

第一章特殊平行四边形1菱形的性质及断定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线相互垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质及断定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的断定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(依据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3正方形的性质及断定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的断定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线相互垂直的矩形是正方形。

北师大版九年级数学知识点汇总(总16页)第一章整式与代数式一、定义1、定义1：整式整式是由常数和未知数的乘积以及未知数的幂次构成的一个或多个项的表达式。

2、定义2：代数式代数式是数学中由常数、未知数、及他们的运算符号组成的符号表达式的总称。

二、运算1、加减运算在加减运算中，同类项要求具有相同的底数和指数，再将它们的系数相加减，整式中一些未知数有相同指数，可以合并为一项。

2、乘除运算乘除运算中，同一式子中的若干未知数及其指数要求相同，否则将它们拆开，系数则相乘、相除，未知数则相乘、相除。

三、同类因式1、定义：同类因式是指有相同底数和指数的项。

2、形式当底数相同，有两种形式出现：（1）乘积形式，如：（a+b）2；（2）对比形式，如a2：b2；当指数相同，有三种形式出现：（1）口诀形式，如：a2b2；（2）引号形式，如：(a+b)2；（3）下标形式，如：a2/b2。

第二章平方差一、定义1、定义1：平方平方是数学中指一个数的平方，也可以表示为n²。

2、定义2：差差是指在数学中表示两个或多个数之间的差，也可以表示为a-b。

二、运算1、解平方差要解方程：x²-a=b，须将a和b分别平方，变为x²-a²=b²，再根据等式左右两边分别加或减a²，变为：x²±2a x±a²=b²，再用平方根法求出x的值。

2、完全平方差要解方程：ax²+2bx+c=0，首先设：x²+2px+q=0，其中p=b/a，q=c/a，再将上式化为完全平方差的形式：（x+p）²=q-p²，最后解出 x=–p±√q–p² 。

三、巧解平方差当a、b、c的数值比较简单且不能完全平方差时，则可用巧解方法。

只要将a、b、c 做互质处理，即将a与b、c求公约数，将a、b、c分解为两个数的乘积，如果形式中乘积可以分解完全平方式，则可用巧解方法解方程。

第一章 《特殊的平行四边形》一.知识点：平行四边形，菱形，矩形，正方形，各自的性质和判定(看笔记)； (一)菱形：(1)有一个内角是60°(或120°)，较短的对角线将菱形分成了两个等边三角形，较短的对角线等于边长，较长的对角线=边长的3倍；(2)菱形的对角线平分一组对角(即具有角平分线的性质)，两条对角线分成的四个小直角三角形全等； (3)面积=底×高=21对角线乘积； (4)是轴对称图形(分别是两条对角线所在的直线)，也是中心对称图形(对称中心为对角线的交点)，过对称中心的任意一条直线都可以将它的面积平分； (5)两条宽度相等的矩形纸条重合，重合部分是菱形.(二)矩形(1)是轴对称图形(即过对边中点的直线)也是中心对称图形；两条对角线分成的四个三角形面积相等，而且是四个等腰三角形(注意：相对的两个等腰三角形全等)；(2)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半(特别重要，在等腰三角形，△的全等，△的相似中经常用到)；例如：如图，AD 是△ABC 的高，E ，F 分别是AB ，AC 的中点．求证：△DEF ∽△ABC.提示：DE=21AB ，DF=21AC （直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）， EF=21BC(三角形的中位线性质)，∴21===BC EF AC DF AB DE ，∴△DEF ∽△ABC(三边对应成比例的两个三角形相似)(三)正方形(1)四条对称轴，一个对称中心；对角线分成的四个三角形是全等的等腰直角三角形； (2)注意正方形在相似中的作用，利用勾股定理表示三角形的边经常用到.特别注意：如果要从对角线入手判定四边形是特殊的平行四边形，“互相平分”是前提，没有这个条件，添加其它再多的条件都是没有意义的；二.中点四边形：(只与原四边形的对角线“相等”还是“垂直”有关系，与互不互相平分无关)(1)对角线既不相等也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形(如：一般的四边形，平行四边形的中点四边形都是平行四边形)；(2)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形(如：矩形，等腰梯形它们的中点四边形都是菱形)；(3)对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形(如菱形，筝形它们的中点四边形都是矩形)； (4)对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形(如：正方形的中点四边形是正方形，当然还有其它满足条件的四边形)；三.特殊三角形边的关系(1)30°，60°，90°的直角三角形：三边的比是：1:3：2； (2)45°，45°，90°的直角三角形：三边之比是：1:1:2； (3)30°，30°，120°的等腰三角形：三边之比为：1:1:3；(4) 边长为a 等等边三角形面积为：S=2a 43. 习题：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=12，E 是BC 的中点，点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．当运动时间为几秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．第二章 《一元二次方程方程》：一.判断是不是一元二次方程方程的标准：首先必须要把方程化成一般式，并且要化到最简[ax ²+bx+c=0(a ≠0)]再判断,关于谁的方程，谁就是未知数，其它的字母当做已知数对待，例如：a ²-a+x=0，是关于a 的一元二次方程，但不是关于x 的一元二次方程；其次，要满足“只有一个未知数，未知数的最高次数是2，化简后的二次项系数不为0的整式(分母中没有未知数，未知数不能在根号下)方程”这四个条件；只要有二次项[即ax ²(a ≠0)]就可以,可以没有一次项，也可以没有常数项，例如：x ²=0就是一元二次方程； 举例子：下列关于x 的方程是一元二次方程方程的有：(②、⑤)①ax ²=0；②x ²=1；③ax ²+bx+c=0；④(m ²-1)x ²+3x-5=0；⑤(m ²+1)x ²+3x-5=0；⑥2n ²-n+3x=0；⑦x1+x ²=2；⑧(x-2)²=x(x+1)；⑨3x x 2+-=5. 分析：最容易错的是：①，③，④，⑥，⑧，其中①，③，④都是不能确定二次项系数不为0；⑥是关于n 的一元二次方程，不是关于x 的一元二次方程；⑧化简后没有二次项了.如果上面的题目改为“下列方程是一元二次方程的（）”，那就只有②了，因为题目中没有说关于谁的一元二次方程，除了已知数外，其它的字母全是未知数，如⑤不止一个未知数.二.判断“二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项”时，必须在一般式[即ax ²+bx+c=0(a ≠0)]的形式下进行，判断时连同前面的符号一起看；三.解一元二次方程时，要把步骤写完整!!!①用配方法：注意书写步骤；弄清楚它与代数式配方的不同；(笔记中有，认真看看)； ②用求根公式解：化成一般式，然后写出a ，b ，c ，判断△，再求解；③因式分解法：提公因式法；公式法[完全平方公式(有两个)，平方差公式]；十字相乘法；换元法[例如：(x-3)²+2(3-x)-3=0，那么原方程可化为：(x-3)²-2(x-3)-3=0，设t=x-3，则原方程变为：t ²-2t-3=0，解得：t=-1或t=3，即x-3=-1或x-3=3，解得：x ₁=2，x ₂=6]特别注意：x(x-1)=90，这种右边不为0的方程，不能直接分解因式，必须化成一般式再进行分解因式，上面的方程可化为：x ²-x-90=0，∴(x+9)(x-10)=0，解得：x ₁=-9，x ₂=10四. 根的判别式△=b ²-4ac特别注意：一元二次方程有实数根(或两个实数根)，即△≥0；例如：方程(k+1)x ²-2kx+k-2=0有两个实数根，求k 的值；分析：因为有两个实数根，所以一定是一元二次方程，二次项系数k+1≠0，且△=(-2k)²-4(k+1)(k-2)≥0再例如：方程x ²-2kx+k ²-k+2=0有实数根，求k 的值.分析：和上一题比较，很容易发现，本题的方程本身就是一元二次方程，所以只需要保证△=(-2k)²-4×1×(k ²-k+2)≥0即可特别注意下面这道题：例如：方程(k+1)x ²-2kx+k-2=0有实数根，求k 的值；分析：因为题目说方程有实数根，而我们无法判断二次项系数等不等于0，如果二次项系数k+1=0即k=-1时，此时方程是一元一次方程：2x-3=0，显然有实数根，满足题意；当二次项系数k+1≠0时，此时方程是一元二次方程，要使方程有实数根，必须保证二次项系数k+1≠0，且△=(-2k)²-4(k+1)(k-2)≥0；最后再把两种情况综合起来，才是道题的完整解答！以上三个例子各有不同，解题时一定要看清楚！五. 根与系数的关系(韦达定理)：【必须在一般式下进行，如果方程中除了未知数外还有其它字母，首先要保证△，有实数根(或两个实数根)，即△≥0，有两个不相等的实数根即△>0】 若x ₁，x ₂是一元二次方程方程的ax ²+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根，则：x ₁+x ₂=-b/a ；x ₁.x ₂=c/a ； 根与系数的关系的一些公式，一定要记住！！！①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=-④21221214)(||x x x x x x -+=-六.应用题的各种类型：【看发的笔记】习题：某品牌童装进价为20元/件，如果以60元/件卖出，平均每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件.(1)要想平均每天在销售这种童装上盈利800元，那么每件童装应定价为多少元？(2)要想平均每天在销售这种童装上盈利最多，那么每件童装应降价多少元？ 解:(1)设每件童装应定价为x 元，由题意，得： (x-20)(20+84x-60⨯)=800 整理，得：x ²-90x+1800=0 (x-30)(x-60)=0 解得：x=30或x=60因为商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存， 所以x=60.答:要想平均每天在销售这种童装上盈利800元，那么每件童装应定价为30元. (2)设每件童装应降价y 元，盈利为W 元，由题意，得: W=(60-20-y)(20+84y ⨯) =-2y ²+60y+800 =-2(y ²-30y)+800=-2(y ²-30y+15²-15²)+800 =-2(y-15)²+1250∵-2＜0，∴当y=15时，W 最大，最大值为1250.答:要想平均每天在销售这种童装上盈利最多，那么每件童装应降价15元.第三章 《概率的进一步认识》一.列表法和画树状图分别适用范围：列表法：只适用于求两步实验的随机事件的概率;画树状图法：适用于求两步及两步以上的随机事件的概率；要求：必须是机会均等，计算时要不重复，不遗漏；特别注意：一次摸(或抽)两个，可以当做不放回：比如说：一次抽两张卡片，就可以当做先抽一张，不放回，在剩下的卡片中再抽一张，如果是列表的画，一定要把对角线上的情况划掉;注意书写格式：(概率题很简单，但有些同学由于不注意书写格式，导致丢分)解：由题意，可列表(或画树状图)如下：表格(或树状图)【略】由上表(或图)可知，共有…种等可能的情况，其中谁有…种情况，∴P₍₋₎=……，答：……二.用频率估计概率：当试验的次数足够大时，实验频率稳定在某一数值附近，此时，就可以用这个数值来估计随机事件发生的概率；注意：必须试验的次数足够大！第四章《图形的相似》考点一：1.线段的比(在同一单位长度下，比值无单位)2.成比例线段(四条，要讲顺序)3.比例的基本性质：(1)若a:b=c:d，则ad=bc；(2)若ad=bc(a，b，c，d都≠0)，则a:b=c:d(当然还有其它的比例形式，如：a:c=b:d；d:c=b:a 等等)【注意：将积的形式拆成比例的形式时，如果先用前面的比后面的，=后面的比就要用后面的比前面的】【特例】比例中项：若a²=b.c，则a就叫做b与c的比例中项(即若a:b=c:a，则a叫做b与c的比例中项)4.合(分)比性质5.等比性质：如果b =d=f=…=n(b+d+f+…+n≠0)，那么banfdbmeca=+⋯++++⋯+++．特别注意：若b+d+f+……+n=0时，则b=-(d+f+……+n)，然后代入其中任何一个比例中求解；如果无法判断分母相加等不等于0时，要分＝0和≠0两种情况考虑！考点二：平行线分线段成比例：1.定理：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例；【提示：所得的对应线段是斜着的线段，与平行的线段无关】注意：这里有许多组成比例线段，比的时候一定要注意先后顺序，而且这里比的线段都是斜着的，没有涉及平行的线段，如果要求平行的线段，可以过最上边的一个端点作其中一条直线的平行线，将图形分成一个平行四边形和一组相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例求！例如:某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA ＝CD ，BC ＝20 cm ，BC ，EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40 cm ，8 cm.为使板凳两腿底端A ，D 之间的距离为50 cm ，那么横梁EF 的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)解：(如右上图)过点C 作CM ∥AB ，交EF 于点N ，交AD 于点M ，作CP ⊥AD ，分别交EF 、AD 于点Q 、P ．由题意，得四边形ABCM 是平行四边形， ∴EN=AM=BC=20cm ，∴MD=AD-AM=50-20=30cm ，又由题意知CP=40cm ，PQ=8cm ， ∴CQ=32cm ． ∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD ．∴CP CQMD NF =(相似三角形的对应高之比等于相似比)， 即403230=NF ，解得NF=24cm ． ∴EF=EN+NF=20+24=44（cm ）． 答：横梁EF 应为44cm ．2.推论：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例；【特别提醒：这里的对应线段成比例可以是斜着的对应线段成比例，也可以用三角形的对应边成比例(此时，斜着的边与平行的边就建立了联系)】如上图1(A 字型△相似)，可以得出EC AE DB AD =，也可以得出BCDEAC AE AB AD ==. 考点三：多边形相似要证明多边形相似，既要证出对应边成比例，还证出对应角相等(缺一不可)；【写相似时要把点对应准，否则比的时候就会出错】边数相等的正多边形一定相似；还要特别注意：折叠后的矩形与原矩形相似的题.考点四：相似三角形的判定：三个(AA ，SAS ，SSS)，直角三角形相似的判定：(AA ，SAS ，SSS ，HL →即两个直角三角形的一条直角边和斜边对应成比例，则它们相似)特别注意：SAS 是两边对应成比例，夹角相等；证△相似时，首先考虑两角对应相等，行不通的话，再考虑其它两种方法； 可以用对应边比，也可以用同一个三角形的边比，这时要特别注意顺序； 以“∽”写出的不用分类讨论；用汉字“相似”写出的需分类讨论； 【写相似时要把点对应准】 大题常常需要用到多次相似.常见的相似图形： 1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型考点五：黄金分割 定义：一般地，点C 将线段AB 分成AC 和BC 两段(AC>BC)，若AC:AB=BC:AC ，那么就把AC:AB 叫做黄金比，点C 叫做线段的黄金分割点，一条线段有两个黄金分割点。

北师大版初中数学九年级上册知识点整理重点了解之前或之后内容补充仅供参考第一章特殊平行四边形1．菱形的性质与判定菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形是轴对称图形，有两条对称轴，对角线所在直线为其对称轴；定理菱形的四条边相等；定理菱形的对角线互相垂直平分；判定定理：定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形；定理四边相等的四边形是菱形。

2．矩形的性质与判定矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；矩形是轴对称图形，有两条对称轴，对边中点连线所在直线为其对称轴；定理矩形的四个角都是直角；定理矩形的对角线相等；定理（推论）直角三角形斜边上的中线等于斜边一半；判定定理：定理对角线相等的平行四边形是矩形；定理有三个角是直角的四边形是矩形。

3．正方形的的性质与判定正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；正方形是轴对称图形，有四条对称轴，对角线和对边中点连线所在直线分别为其对称轴；定理正方形的四个角都是直角，四条边相等；定理正方形的对角线相等且互相垂直平分；判定定理：定理有一组邻边相等的矩形是正方形；定理对角线互相垂直的矩形是正方形；定理有一个角是直角的菱形是正方形；定理对角线相等的菱形是正方形；平行边形、菱形、矩形和正方形四者之间的关系：附：梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形；梯形分类：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形；一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形；等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

等腰梯形的判定：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

第二章一元二次方程1．认识一元二次方程一元二次方程：只含有一个未知数x，并且都可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式的整式方程，叫做一元二次方程；把ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数；列表不断缩小范围求解一元二次方程的近似解；二分法确定一元二次方程的近似解。

九年级（上册）第一章证明（二）一、1、公理及其推论三边对应相等的两个三角形全等。

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

2、等腰三角形知识回顾（1）等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边的中线、底边的高线互相重合。

3、等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）4、等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质，除此以外，它还具有每个内角都是60度的特殊性质。

5、直角三角形的特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二、1、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方呵呵等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

4、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

5、HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

简称“斜边，直角边”或“HL”三、线段的垂直平分线1、线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

四、角平分线1、角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

第一章 特殊平行四边形第1节 菱形的性质与判定一、菱形的性质1、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。

（1）菱形的对边平行且相等。

（2）菱形的对角相等，邻角互补。

（3）菱形的对角线互相平分。

2、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质。

（1）菱形的四条边相等。

（2）菱形的对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角。

【说明】①菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，所以菱形有两条对称轴。

②菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。

③菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的面积等于对角线乘积的一半。

不仅如此，凡是对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来计算。

④菱形的面积有两种求法，第一种是等于对角线乘积的一半，第二种是底乘以高。

⑤菱形中如果有一个角为60°倍。

二、菱形的判定1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、四条边都相等的四边形是菱形。

第2节 矩形的性质与判定一、矩形的性质1、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。

（1）矩形的对边平行且相等。

（2）矩形的对角相等，邻角互补。

（3）矩形的对角线互相平分。

2、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质。

（1）矩形的四个角都相等，都是直角。

（2）矩形的对角线相等。

【说明】①矩形是轴对称图形，经过每组对边中点的直线是它的两条对称轴。

②矩形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。

③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

④若一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。

⑤矩形的周长等于长与宽的和的2倍，矩形的面积等于长与宽的积。

二、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

（定义）2、对角线相等的平行四边形是矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

九年级上册数学北师大版第一章一、章节主要内容概述。

北师大版九年级上册数学第一章是特殊的平行四边形。

这部分内容主要围绕菱形、矩形和正方形这三种特殊的平行四边形展开。

1. 菱形。

- 定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

- 性质：- 菱形的四条边都相等。

- 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

- 判定：- 一组邻边相等的平行四边形是菱形。

- 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

- 四条边相等的四边形是菱形。

2. 矩形。

- 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

- 性质：- 矩形的四个角都是直角。

- 矩形的对角线相等。

- 判定：- 有一个角是直角的平行四边形是矩形。

- 对角线相等的平行四边形是矩形。

- 三个角是直角的四边形是矩形。

3. 正方形。

- 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

- 性质：- 正方形具有矩形和菱形的所有性质，即四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。

- 判定：- 有一组邻边相等的矩形是正方形。

- 有一个角是直角的菱形是正方形。

二、重点知识点讲解。

1. 菱形的面积计算。

- 菱形的面积可以用底乘以高来计算（和平行四边形面积计算方法相同），即S = ah（a为底，h为高）。

- 由于菱形的对角线互相垂直，菱形的面积还可以用对角线乘积的一半来计算，即S=(1)/(2)d_1d_2（d_1、d_2为对角线）。

2. 矩形的折叠问题。

- 在矩形的折叠问题中，关键是要根据折叠的性质找到相等的线段和角。

例如，折叠前后对应边相等，对应角相等。

通过这些相等关系，可以在直角三角形中利用勾股定理来求解相关线段的长度。

3. 正方形的对称性。

- 正方形既是轴对称图形，有四条对称轴（两条对角线所在直线和两组对边中点连线所在直线）；又是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

三、典型例题分析。

1. 菱形相关例题。

- 例：已知菱形ABCD的对角线AC = 6，BD = 8，求菱形的边长和面积。

九年级第一章特殊的平行四边形一、菱形知识点1：菱形的概念概念：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形知识点2：菱形的性质1 面积：①底×高②对角线乘积的一半2 边：四条边相等；对边平行；对边相等3 角：对角相等；邻角互补4 对角线：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角5 对称性：轴对称图形 + 中心对称图形知识点3：菱形的判定1 四边形＋四条边相等2 平行四边形＋一组邻边相等3 平行四边形＋对角线互相垂直二、矩形知识点1：矩形的概念概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形知识点2：矩形的性质1 面积：长×宽2 边：对边平行；对边相等3 角：四个角都是直角；对角相等；邻角互补4 对角线：对角线相等，对角线互相平分5 对称性：轴对称图形 + 中心对称图形6 斜边中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识点3：矩形的判定1 四边形＋三个角是直角2 平行四边形＋对角线相等三、正方形知识点1：正方形的概念概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形知识点2：正方形的性质1 面积：边长×边长2 边：四条边相等；对边平行；对边相等3 角：四个角都是直角；对角相等；邻角互补4 对角线：对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角5 对称性：轴对称图形 + 中心对称图形知识点3：正方形的判定1 从平行四边形出发：平行四边形＋一组邻边相等＋一个直角2 从矩形出发：矩形＋一组邻边相等矩形＋对角线互相垂直3 从菱形出发：菱形＋一个直角菱形＋对角线相等四、中点四边形知识点1：中点四边形的概念概念：顺次链接任意四边形各边中点所组成的四边形叫中点四边形知识点2：常见的中点四边形1 任意四边形的中点四边形是平行四边形2 平行四边形的中点四边形是平行四边形3 矩形的中点四边形是菱形4 菱形得到中点四边形是矩形5 正方形的中点四边形是正方形。

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。

（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。

（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

注意：平行线间的距离处处相等。

5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。

（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。

（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。

（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。

（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

九年级数学上册重点知识点归纳(北师大版)九年级数学上册知识点归纳（北师大版）第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。

这个距离称为平行所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半平行四边形 菱形 矩正方形 一组邻边相等 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分） 一内角为直角 一邻边相等 或对角线垂直一个内角为直角 （或对角线相等） 图3第二章一元二次方程1认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

※把（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

2用配方法求解一元二次方程①配方法 <即将其变为的形式>※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成的形式；⑥两边开方求其根。

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形的性质：（边，角，对角线，对称性）（1）边的性质：平行四边形的对边相等。

平行四边形的对边平行。

2．归纳总结矩形的性质：（2）角的性质：平行四边形的对角相等。

（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形。

(1)对边平行且相等(2)四个角都是直角；(3)对角线互相平分且相等．；(4)对称性:既是关于对角线的交点成中心对称图形,又以对边的中垂线为对称轴的轴对称图形,有两条对称轴2.平行四边形的判定(5)分割特殊性:矩形的两条对角线把它分割为四个面积相等的等腰三角形3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（注意：?必须是同一组对边平行且相等，也就是一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。

?有两条边相等，并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形）4．矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；•矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形．因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决5.矩形的判定方法二、菱形的相关知识1.菱形的定义及性质菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。

菱形的性质：（边，角，对角线，对称性）（1）边的性质：菱形的四条边相等。

(1)有一个角是直角的四边形是矩形(2)对角线相等的平行四边形是矩形（2）角的性质：菱形的对角相等。

(3)有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是关于对角线的交点成中心对称图形，又以对角线所在直线为对称轴的轴对称图形。

4.矩形具备下列一般平行四边形所不具备的特征：1．矩形的四个角都是直角；2．矩形的对角线互相平分且相等；（5）分割特殊性：菱形的两条对角线把他分割为四个全等的直角三角形2.菱形的判定3．矩形还是轴对称图形；4．矩形的对角线把矩形分成了两对全等的直角三角形；5．矩形的面积等于两邻边的乘积（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）。

九（上）数学知识点归纳第一章证明（一）1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定性质：全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。

4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

第一章 特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条角 线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱 形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对 称轴。

※菱形的判别方法：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

③四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角 都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：①有一个内角是直角的平行四边形叫矩形。

②对角线相等的平行四边形是矩形。

③四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：①有一个内角是直角的菱形是正方形； ②邻边相等的矩形是正方形； ③对角线相等的菱形是正方形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形。

※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章 一元二次方程1认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0） 称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数； b 为一次项系数；c 为常数项。

北师大版数学九年级上册知识点总结北师大版数学九年级上册知识点总结北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结第一章证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。

（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。

（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

推论：两角及其中一角的对边对齐相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。

二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形相当于的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b（三）直角三角形全等的判定：对于特殊的五边形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边等腰对应完全相同的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）五、断定角的斜边及其性质与判定1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分作两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的四边的上以距离相等。

定理：三角形的三条角圆周角平分线相交于点儿，并且路程这一点到三条边的距离相等。

3、角的相切的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

六、切线顺磁性垂直平分线的性质与判定1、线段的交叉点线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的交叉点线。

线段垂直平分线的公式性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

定理：相接三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。