九年级数学(上册)第一章

九年级上册数学第一章笔记一、一元二次方程的定义。

1. 基本形式。

- 一元二次方程的一般形式是ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

这里的a就像是这个方程的老大，它不能是0哦，要是a = 0了，那ax^2这一项就没了，方程就变成一元一次方程了，那就不是我们现在研究的一元二次方程啦。

- 比如说2x^2+3x - 1 = 0，这里a = 2，b = 3，c=-1。

2. 判断方程是否为一元二次方程。

- 就看它能不能化成ax^2+bx + c = 0(a≠0)这种形式。

- 像x(x + 1)=x^2-1，乍一看好像有点复杂，但是我们把左边展开x^2+x=x^2-1，然后移项得到x+1 = 0，这就不是一元二次方程啦，因为它最后化成了一元一次方程。

二、一元二次方程的解（根）1. 定义。

- 使一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)左右两边相等的未知数的值就是这个方程的解，也叫根。

- 比如说方程x^2-3x + 2 = 0，当x = 1的时候，1^2-3×1 + 2=1 - 3+2 = 0，所以x = 1就是这个方程的一个根；当x = 2时，2^2-3×2+2 = 4 - 6 + 2 = 0，x = 2也是这个方程的根。

2. 检验根的方法。

- 很简单，就是把这个值代入方程，看等式两边是不是相等。

就像上面那个例子，把x = 1和x = 2代入方程x^2-3x + 2 = 0，如果等式成立，那这个值就是方程的根。

三、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 适用于形如(x + m)^2=n(n≥0)的方程。

- 比如说(x - 3)^2=4，那x - 3=±2，这里要注意是正负两种情况哦。

- 当x - 3 = 2时，x = 5；当x - 3=-2时，x = 1。

就像打开一个盒子，里面的东西可能有两种情况呢。

2. 配方法。

- 对于一般的一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们要把它变成完全平方式。

九年级数学上册第一章知识点
第一章知识点主要包括以下内容：
1. 数的性质和数的读法：正数、负数、零，自然数、整数、有理数、实数等的定义和性质；数的读法和数的表示方法。

2. 实数的分类：根据有理数和无理数的性质，了解实数的分类及其示意图。

3. 数轴和数轴上的点：数轴的定义、数轴上点的位置和相对位置的确定，不同点之间的距离和有序数对的概念。

4. 整数的整除性：整数除法的概念和性质，整除性的定义、性质及其运算法则；数的倍数和公倍数的概念。

5. 约数和倍数：约数和倍数的概念及其性质，约数和倍数的运算法则；最大公约数和最小公倍数的概念及其求法。

6. 素数和合数：素数的定义、性质和判定方法，合数的定义和性质，与素数和合数相关的定理和问题的解决方法。

7. 分数的数值和整数之间的关系：分数的定义、性质和读法，分数和整数之间的大小关系，分数的约简和分数的各种等价形式。

8. 分数和小数的转换：分数和小数之间的相互转化方法及其应用，循环小数的概念和转化方法。

9. 分数的四则运算：分数的加、减、乘、除法的运算法则，分数的混合运算。

10. 带分数和连分数：带分数的概念、性质及其运算法则，连分数的概念和应用。

九年级数学上册第一章一、二次根式的概念。

1. 定义。

- 形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。

其中“√()”称为二次根号，a叫做被开方数。

例如√(4)，√(9)等都是二次根式。

这里要特别注意被开方数a是非负数，因为在实数范围内，负数没有平方根。

2. 判断二次根式的条件。

- 看是否形如√(a)的形式。

- 检查被开方数a的取值范围，a≥0。

例如√(-2)不是二次根式，因为被开方数-2＜0；而√(x^2)+1是二次根式，因为x^2+1≥1＞0。

二、二次根式的性质。

1. (√(a))^2=a(a≥0)- 例如(√(5))^2=5。

这个性质表明，一个非负数先开平方再平方，结果等于它本身。

2. √(a^2)=| a|=<=ft{begin{array}{l}a(a≥0) -a(a＜0)end{array}right.- 例如√(3^2) = 3，√((-3)^2)=| - 3|=3。

这一性质说明，先对一个数进行平方运算，再开平方，结果是这个数的绝对值。

三、二次根式的运算。

1. 二次根式的乘法。

- 法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。

- 例如√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)。

- 反过来，√(ab)=√(a)·√(b)(a≥0,b≥0)，可以用于对二次根式进行化简，如√(12)=√(4×3)=√(4)×√(3)=2√(3)。

2. 二次根式的除法。

- 法则：(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥0,b > 0)。

- 例如(√(8))/(√(2))=√(frac{8){2}}=√(4)=2。

- 反过来，√(frac{a){b}}=(√(a))/(√(b))(a≥0,b > 0)，也可用于化简二次根式，如√(frac{5){9}}=(√(5))/(√(9))=(√(5))/(3)。

3. 二次根式的加减。

初三上册第一章知识点归纳数学教案
标题：初三上册第一章知识点归纳数学教案
一、教学目标
1. 理解并掌握本章的基础知识和基本概念。

2. 能够运用所学知识解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和独立思考能力。

二、教学内容
1. 本章的主要知识点归纳
(在此部分，详细列出本章所有的主要知识点，例如：函数的基本性质，方程组的解法等)
三、教学方法
1. 讲授法
2. 实践法
3. 启发式教学法
四、教学过程
1. 导入新课
(设计一个引人入胜的导入，激发学生的学习兴趣)
2. 新知讲解
(按照知识点的重要性逐一讲解，每个知识点都应有实例分析和习题练习) 3. 巩固练习
(设计一些针对性的习题，让学生巩固所学知识)
4. 小结与复习
(总结本节课的内容，并对下节课的内容进行预告)
五、教学评价
1. 学生自我评价
2. 教师评价
3. 同伴互评
六、教学反思
(在这一部分，教师需要反思本节课的教学效果，包括学生的学习情况，教学方法的有效性等)。

新北师大九年级数学上册第一章学问点归纳※平行四边形．．．．．，．．．．．的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。

※平行四边形的性质：对边相等,邻边之和等于周长的一半对角相等,邻角互补对角线相互平分，共有4对全等的三角形。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线相互平分的四边形是平行四边形。

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

※平行线之间的间隔：假设两条直线相互平行，那么其中一条直线上随意两点到另一条直线的间隔相等。

这个间隔称为平行线之间的间隔。

※平行四边形的面积公式：第一章特别平行四边形-菱形矩形正方形1菱形的性质及断定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线相互垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

菱形被对角线分成了4个面积相等的直角三角形，所以菱形的面积=对角线乘积的一半※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

对角线相互垂直且平分的四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质及断定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。

矩形是特别的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

〔矩形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴是对边中点的连线所在的直线※矩形的断定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(依据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

〔对角线相等且平分的四边形是矩形〕四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

〔利用对角线相等且平分〕3正方形的性质及断定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

第一章知识点总结在九年级上册数学中，第一章主要介绍了一元二次方程的基本概念和解法。

这一章对于学生来说可能是一个全新的领域，因此需要深入和透彻地理解。

接下来，我们将从简到繁地探讨这一主题，帮助你更深入地理解这些知识点。

1. 一元二次方程的概念一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为常数且a≠0。

在学习一元二次方程的过程中，我们需要了解该方程的特点和求解方法。

2. 一元二次方程的解法针对一元二次方程，我们可以通过因式分解、配方法、求根公式等方式进行求解。

不同的方程情况可能需要使用不同的方法进行解答，因此我们需要灵活掌握这些方法。

3. 图像与一元二次方程一元二次方程的图像通常为一个开口向上或向下的抛物线，我们需要了解方程中各项系数对于图像的影响，以及如何通过图像来解释和验证方程。

回顾本章内容，我们首先学习了一元二次方程的基本概念和特点，然后掌握了不同的解法和应用场景，最后通过图像来直观地理解方程。

这些知识点将对我们今后的学习和生活有很大的帮助。

在我看来，一元二次方程不仅是数学中重要且基础的概念，更是一种抽象思维和问题解决能力的培养。

通过学习和掌握这一知识点，我们可以更好地理解和应用数学在实际生活中的价值。

总结：通过本章的学习，我们不仅掌握了一元二次方程的基本概念和解法，更培养了抽象思维和问题解决能力。

希望在今后的学习中能够继续加深对这一主题的理解，并能够灵活应用于实际问题中。

一元二次方程在数学中是一个非常重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在其他学科以及现实生活中起着重要作用。

在本章的学习中，我们对一元二次方程的概念、解法以及图像有了初步的了解，接下来让我们深入探讨一些相关的内容，以及一元二次方程的实际应用。

让我们来学习一些与一元二次方程相关的重要概念。

在学习一元二次方程时，我们需要了解二次函数的性质和特点。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，它的顶点坐标、对称轴、开口方向等是我们需要特别注意的重点。

1.1 菱形的性质与判定一、教学目标1、掌握菱形的定义和性质2、学会判定菱形3、平行四边形和菱形的区别和联系 二、教学重点与难点1、菱形的性质和判定的熟练掌握2、利用菱形的性质综合解决问题 三、教学过程知识点1菱形的定义 创设情景，引入课题。

1、上图的衣架中有你熟悉的图形吗？ 这种平行四边形特殊在哪里？我们称它们为菱形，你能给菱形下一个定义吗？定义： 叫做菱形。

知识点2菱形的性质菱形性质：1． 两条对角线互相垂直平分； 2． 四条边都相等；3． 每条对角线平分一组对角；4． 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。

5. 菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=21ab ．（a 、b 是两条对角线的长度）例1、如图，已知菱形的周长为16cm ，∠ABC=120°，求对角线AC 和BD 的长。

例2、菱形的面积为24cm 2，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线长为____cm ，边长为 cm ，高为_____cm 。

练习：1、菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的边长是_____，面积是______。

2、菱形的一条对角线与一条边相等，则这个菱形相邻两个内角的度数分别为 .3、菱形两条对角线长分别是16cm 和12cm ，则它的边长是________4、菱形ABCD 的周长是28cm,∠BAD=21∠ABC ，则BD=_________,AC=_______5、菱形两对角线之比为3:4，周长为40cm ，则该菱形的面积是________ ，高为________ 6.如图，在菱形ABCD 中，对角线BD=10，E 点在BD 上，且AE=BE=3，那么这个菱形的边长等于 ．知识点3.菱形的判定根据定义我们知道有一组邻边相等的平行四边形是菱形，还有别的判定方法吗？ 菱形的判定定理：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线）3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边） 例3. 下列说法正确的是（ ） A ．对角线相等的平行四边形是菱形 B ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C ．对角线相互垂直的四边形是菱形 D ．有一个角是直角的平行四边形是菱形例4.如图，在平行四边形ABCD 中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是______________．例5.如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，EF ∥AB 交AD 于F ，试问：四边形ABEF 是什么图形吗？请说明理由。

九年级上册数学北师大版第一章一、章节主要内容概述。

北师大版九年级上册数学第一章是特殊的平行四边形。

这部分内容主要围绕菱形、矩形和正方形这三种特殊的平行四边形展开。

1. 菱形。

- 定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

- 性质：- 菱形的四条边都相等。

- 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

- 判定：- 一组邻边相等的平行四边形是菱形。

- 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

- 四条边相等的四边形是菱形。

2. 矩形。

- 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

- 性质：- 矩形的四个角都是直角。

- 矩形的对角线相等。

- 判定：- 有一个角是直角的平行四边形是矩形。

- 对角线相等的平行四边形是矩形。

- 三个角是直角的四边形是矩形。

3. 正方形。

- 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

- 性质：- 正方形具有矩形和菱形的所有性质，即四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。

- 判定：- 有一组邻边相等的矩形是正方形。

- 有一个角是直角的菱形是正方形。

二、重点知识点讲解。

1. 菱形的面积计算。

- 菱形的面积可以用底乘以高来计算（和平行四边形面积计算方法相同），即S = ah（a为底，h为高）。

- 由于菱形的对角线互相垂直，菱形的面积还可以用对角线乘积的一半来计算，即S=(1)/(2)d_1d_2（d_1、d_2为对角线）。

2. 矩形的折叠问题。

- 在矩形的折叠问题中，关键是要根据折叠的性质找到相等的线段和角。

例如，折叠前后对应边相等，对应角相等。

通过这些相等关系，可以在直角三角形中利用勾股定理来求解相关线段的长度。

3. 正方形的对称性。

- 正方形既是轴对称图形，有四条对称轴（两条对角线所在直线和两组对边中点连线所在直线）；又是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

三、典型例题分析。

1. 菱形相关例题。

- 例：已知菱形ABCD的对角线AC = 6，BD = 8，求菱形的边长和面积。

九年级数学上册第一章知识点第一章数与式1. 整数的概念与性质- 整数的定义：整数的范围是正整数、零和负整数的集合。

- 整数的大小比较：同号相比较，绝对值大的整数大；异号相比较，正整数大于负整数。

- 整数的加减法运算：同号相加减，保留原来的符号并按照正整数的运算法则计算；异号相加减，转化为同号相减再取其相反数。

- 整数的乘法运算：同号相乘结果为正，异号相乘结果为负。

- 整数的除法运算：除法运算是乘法运算的逆运算，同号相除结果为正，异号相除结果为负。

2. 有理数的概念与性质- 有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数和分数。

- 有理数的分类：正有理数、负有理数、零是有理数的三种特殊情况。

- 有理数的大小比较：同号相比较，绝对值大的有理数大；异号相比较，正有理数大于负有理数。

- 有理数的加减法运算：同号相加减，保留原来的符号并按照正有理数的运算法则计算；异号相加减，转化为同号相减再取其相反数。

- 有理数的乘法运算：同号相乘结果为正，异号相乘结果为负。

- 有理数的除法运算：除法运算是乘法运算的逆运算，同号相除结果为正，异号相除结果为负。

3. 实数的概念与性质- 实数的定义：实数包括有理数和无理数。

- 无理数的定义：无理数是不能表示为两个整数的比的数，包括无限不循环小数和无限循环小数。

- 实数数轴：实数可用数轴表示，其中每一个点对应一个唯一的实数。

- 实数的大小比较：实数可用数轴上的大小比较方法进行。

- 实数的加减法运算：实数的加减法运算满足交换律和结合律。

- 实数的乘法运算：实数的乘法运算满足交换律和结合律。

- 实数的除法运算：除法运算是乘法运算的逆运算。

4. 数的开方与乘方- 数的开方：开方是求一个数的正平方根，结果是使得这个数乘以自己等于被开方数的非负实数。

- 平方根的性质：非负实数的平方根是有两个，一个是正数，一个是负数。

- 数的乘方：乘方是重复乘以一个数，有平方、立方等特殊情况。

第一章特殊平行四边形回顾与思考一、学生知识状况分析“特殊的平行四边形”是学生继学习了平行四边形之后的一个学习内容，学生已经学习了平行四边形的有关知识，对平行四边形的性质和判定已有一定的认识，学生在小学也接触过矩形，菱形，正方形的一些简单应用。

本节主要复习三种特殊平行四边形的性质和判定，以及对他们的比较。

研究过程中以类比，归类为主要方法，同时，九年级学生已经具备比较强的归纳、总结能力，利用学生间相互评价、相互提问，使之参与课堂的热情提高。

二、教学任务分析本节是从三种特殊平行四边形的关系入手，使学生进一步认识矩形、菱形、正方形的内在关系：不仅要让学生了解三种特殊平行四边形的性质和判定，更重要的是让学生通过观察、比较、归类找出他们内在的转化方法。

通过自己动经历和体验图形的变化过程，进一步发展学生的空间观念，为后续章节的学习打下基础。

本节共一个课时，已总结和简单练习为主。

1．知识目标：复习三种特殊平行四边形的性质及判定，及理解他们之间的关系。

2．能力目标：（1）经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．（2）经历课前准备总结，探索三种特殊平行四边形的关系，发展总结归纳能力和初步的演绎推理的能力；（3）在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力。

3．情感与价值观要求（1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．（2）通过“猜想—总结—证明—应用“的数学活动提升科学素养.4. 教学重点（1）三种特殊平行四边形性质和判定的复习. （2）三种特殊平行四边形的关系.4．教学难点总结关系方法的多样性和系统性。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：交流创意,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：先猜想再实践，发展几何直觉；第四环节：巩固基础，检测自我；第五环节：课堂小结，布置作业。

第一环节：交流创意，导入课题内容：事先布置好任务，让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的关系图，课堂上先交流讨论。