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力对点之矩和轴之矩

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理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化

理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化

力F对x、y、z轴之矩为： Mx (F) = 0
M y (F) = 0
4 M z (F) = − Fd 5
法2：根据力对轴定义 ：
4 M z ( F ) = M z ( Fx ) = − Fd 5
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 分布荷载专题
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 则称此力系为平行分布线荷载 简称线荷载 平行分布线荷载， 线荷载。 则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
已知： 三角形分布载荷的q、 已知 ： 三角形分布载荷的 、 梁长l， 合力、 梁长 ， 求 ： 合力 、 合力作用 线位置。 线位置。 l x 1 FR = ∫ qdx = ql 解：合力 0 l 2 设合力作用线距离A点距离为 点距离为d 设合力作用线距离 点距离为 y
B
问题: 如何用数学 问题 工具描述非共点力
F
A B
F
系对刚体的作用效
D
A
F
应?
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
返回
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对点之矩 ♣ 力对轴之矩 ♣ 合力矩定理 ♣ 分布荷载专题
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量 绕某一点转动效应的度量。 ♣ 力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。
2l
3
l
3
q2
q1
l
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章

工程力学

工程力学

M O ( F ) M x ( F ) i M y ( F ) j M z ( F )k Fb sin i Fa sin j ( Fb sin sin Fa sin cos ) k
例 题 3
已知： P 、 a、b、c 求： 力P 对OA轴之矩
z
解：（1）计算 MO(P)
已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削 力偶矩均为80N· m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y, z 轴上的投影
解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A .
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m

M y M iy M 2 80N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
a 2 b2 c2
例4 6.2
如图所示，长方体棱长为 a、 b、c，力 F 沿BD，求力 F 对AC 之矩。 解： mAC (F ) mC (F ) AC
B

F
c
a
C
D

b


A
mC ( F ) F cosa
Fba a 2 b2
mAC ( F ) mC ( F ) cos
Fabc a 2 b2 a 2 b2 c 2
§4–3
空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（2） 方向：转动方向；
（3） 作用面：力偶作用面。
（1） 大小
（2） 方向

理论力学 chap4

理论力学 chap4

M y M iy M 2 80 N m
M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193 .1N m
M M ix i M iy j M iz k
例 已知: F1 = 10kN，F2 = 16kN， F3 = 20kN，a=10cm .求力系的合力偶。
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦：
Mx cos( M O , i ) 0.845 MO
My cos( M O , j ) 0.531 MO Mz cos( M O , k ) 0.064 MO
M O M x M y M z 124 .3 N m
§4-3 空间力偶系 1 空间力偶的概念
F Fx Fy Fz
2 2 2
cos( F , i )
Fx F

解题时究竟用哪种 方法求力的投影？
例1 半径r的斜齿轮，其上作用力F，如图所示。求力在坐标 轴上的投影。
解： Fx Ft F cos sin
FY Fa F cos cos
Fz Fr F sin
Fxy Fxy
F
o d
M z ( F ) M O ( Fxy )
(1)定义
M z dFxy
力对轴之矩的绝对值等于该力在与轴垂直的 平面上的投影对轴与平面交点之矩。
如何求力对轴之矩？
力对轴之矩是代数量，并按右手规则 确定其正负号。
力与轴平行或相交时力对该轴的矩等于零
（1）合力之矩定理
合力对任一点之矩矢等于力系中各力 对该点之矩矢的矢量和；合力对任一轴之 矩等于力系中各力对该轴之矩的代数和。

工程力学第3章(力偶系)

工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR

力对点的矩与力对轴的矩

力对点的矩与力对轴的矩
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
F1
F2
F3
F4
F5
O
{ F1、F2、F3、F4 }
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素）
①力矩的大小（F.d）
②力矩平面在空间中的方位（法线方位）
③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向
——需用矢量表示空间力系中力对点的矩
Fv
= MO( Fv ) + MO( Fh )
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
F
xy
z
d
Fz
Fxy
过力 F 的始端做垂直力的平面 xy
将力 F 分解
Fz∥z 轴
Fxy⊥z 轴
定义： Fxy 对 O 点之矩为力 F 对 z 轴之矩：Mz ( F )
即 Mz ( F ) = MO ( Fxy ) =Fxy .d
同理力F 对 ox 轴的矩为
= -Fy.z + Fz .y
力F 对 oy 轴的矩为
= -Fz.x + Fx .z
2.5 力对轴之矩
二、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
Fx
Fy
Fz
Fxy
F
O
y
z
x
A
B
y
x
z
O′
A点坐标：x、y、z
F 投影：Fx、Fy、Fz
Mx (F )= yFz – zFy
一、平面力系中力对点的矩
标量
O
F
d
A
B
1. 矩心不一定要选为物体可以绕之转动的固定点。
2. 力为0或力作用线过矩心时，力矩为0。

力对点的矩与力对轴的矩

力对点的矩与力对轴的矩

x
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
F 投影：Fx、Fy、Fz F =Fx i +Fy j +Fz k
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右手 螺旋法则确定;
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
{ F1、F2、F3、F4 }
O
F3
F5
F2
F4
F1
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素）
①力矩的大小（F.d） ②力矩平面在空间中的方位（法线方位） ③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向

工程力学-第五章

工程力学-第五章

F F
sin γ cos φ
sin
γ
sin
φ
Fz F cos γ
应当指出：力在坐标轴上的投影是代数量，有正、负两种可能；而力在平面上的投影为矢量。
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
1．空间汇交力系的合成
设有空间汇交力系 F1，F2，…，Fn，利用力的四边形法则，可将其逐步合成为合力矢 R，
某轴之矩等于各分力对同轴的矩的代数和，即
M x FR M x F1 M x F2 M y FR M y F1 M y F2 M z FR M z F1 M z F2
Mx My
Fn Fn
Mx My
FFii
M
z
Fn
M
z
Fi
5.2.3 空间力系的合力矩定理
如图所示，设力F的作用线沿AB，O点为矩心，则力对 这一点之矩可用矢量来表示，称为力矩矢，用MO（F）表 示。力矩矢MO（F）的始端为O点，它的模（即大小）等 于力F与力臂d的乘积，方位垂直于力F与矩心O所决定的平 面，指向可用右手法则来确定。于是可得：
MO (F ) Fd 2A OAB
5.2.1 力对点之矩
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
例 5-1 如图所示，在正方体的顶角 A 和 B 处分别作用有力 F1 和 F2，试求此二力在 x，y，z 轴上的
投影。
F1x F1 sin cos F1
2 3
1 2
3
3
F1
解：首先，求 F1 在 x，y，z 轴上的投影，即 F1y F1 sin sin F1
5.2.4 力对点之矩与力对轴之矩的关系
以矩心 O 为原点，取直角坐标系 Oxyz，如图所示。设力 F 在各坐标轴上的投影为 Fx，Fy，Fz；力作 用点 A 的坐标为（x，y，z），则有 F Fxi Fy j Fzk

3-2 力对轴之矩

3-2 力对轴之矩

4.力对轴之矩等于零的情形 以Mz(F)=0为例
（1）力F∥z轴 （2）力F与z轴相交
2
二.力对直角坐标轴之矩的解析式
Mz(F)= Mz(Fxy)= Mo(Fxy) = Mo(Fy)+Mo(Fx) = xFy-yFx
同理 Mx(F) = yFz-zFy
My(F) = zFx-xFz
Fz
F F xy
7
5.计算力F对BC轴（ξ轴）之矩
l mn M BC(F ) x y z
Fx Fy Fz
ξ
F
a
a2 b2 c2
0
0
b a2 b2 c2
b Fb
b2 c2
c a2 b2 c2
0 Fc b2 c2
Fabc
a2 b2 c2 b2 c2
8
解法二：
ξ
1.求力F对B点之矩
M BF
Fy
Fx
F xy
Mz(F) = xFy-yFx
3
三.力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系
1.力矩关系定理 [Mo(F)]x =Mx(F) [Mo(F)]y =My(F) [Mo(F)]z =Mz(F)
Mo(F) =Mx(F)i+My(F)j+Mz(F)k
4
2.力F对过o点任一轴(ξ轴）之矩
z ξ
§3-2 力对轴之矩
一.力对轴之矩的概念
1.实例
2.定义
M z(F ) M z(F xy) M o(F xy) F xyd
正负号规定：由右手法则确定
(+)
F Fz
F xy
(-)
3.单位
N·m或kN·m
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力矩

力矩
z
c
x
P
解： Px = P cosθ cos =
a
b
θ
y
M z (P ) = Py a =
Theoretical Mechanics
Pba a2 + b2 + c2
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例3-3 如图所示，长方体棱长 为a、b、c，力F沿BD，求力F 对AC之矩。 解：
B
α
r F
c
C
D
A
β
b
M AC ( F ) = [M C ( F )]AC
Mo (F,F′) = Mo (F) +Mo (F′) = F(d + x)F′x = Fd
∴Mo (F,F′) = M
Theoretical Mechanics 返回首页
力偶 在图中空间任取一点O，则A、B 两点的矢径，用rA、rB表示， rBA = rA – rB。 力偶对O点之矩
力偶的概念
MO(F,F ') = MO (F) + MO (F ') = rA×F + rB×F ' = (rA – rB)×F = rBA×F ∴
MO(F) = r×F = (Fxy – Fyx)k
力F 对O点之矩总是沿 着z轴方向，可用代数 量来表示
MO(F) = Mz(F) = ±Fh = ±2△OAB
在平面问题中，力对点之矩为代数量，一般规定逆 时针为正，顺时针为负。
Theoretical Mechanics 返回首页
力对轴之矩 力对轴之矩：力对轴之矩等于力在与轴垂直平面上的 投影对轴与该平面交点之矩。 力对轴之矩是代数量，它的正负号则由右手螺旋规则 来确定。
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力系的简化

力系的简化

j
k
MC(F) a·Sinθ a·CosθCosα a·Sinα =- a·CosθCosαi+FaSin θj
=
0
0
0
令CB=b 则CB =bSinαj + bSinαk
e CB CB
b sin j
sin j cos k
b2 sin 2 b2 cos2
故MC(F)在AB轴上得投影
MAB(F)=MC(F )eCB=FaSinαSinθ
三. 力系向一点的简化
（一）. 空间汇交力系的简化（将其简化为一合力）
力的作用线在空间任意分布的力系成为空间任 意力系。各力作用线汇于一点的空间力系，成为空 间汇交力系。
空间汇交力系的合理等于各分力的矢量和（满足 平行四边形法则），合力作用线通过汇交点，即
FR=F1+F2+…… 又由于+FFni=xii+yij+zik
合力偶对各坐标轴得方向余弦：
cos(M,i)= Mx 0.6786 M cos(M,i)= M z 0.2811 M cos(M,i)= M z 0.6786 M
(三). 空间任意力系得简化
FacSinSin
a2 b2
例2.2 作用于手柄上的力F=100N,求①力F 对x轴的
矩 ②力F 对原点o的矩.
解:画出r , r =0.1i+0.4k
又有
z y
o
F = 100(Sin60°cos45°i+Sin60°sin45°j
-cos60°k)
x
100
2i 4
2 4
j
3k 4
0.4m
第二章 力系的简化
右手定则：

空间力系—力对点的矩和力对轴的矩(理论力学)

空间力系—力对点的矩和力对轴的矩(理论力学)
力矩矢和力对轴的矩
一、力对点的矩以矢量表示 力矩矢
z
B MO(F)
力矩大小: F×h
力矩矢MO(F)三要素
力矩转向 由矢径r绕向F 力矩作用面方位
A(x,y,z)
O
r
y
h
x
方位与力矩作用面的法线相同，按右手螺旋法则确定。
二、力矩矢计算
力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
z
MO(F)= r×F
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
解：将力F分解为Fx、Fy、Fz
Fx F cos45 sin 60 612N Fy F cos45 cos60 353N Fz F sin 45 707N
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 707 0.06 42.42N m
单位矢量i、j、k前面的三个系数，分别表示力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影，即
[MO(F)]x= yFz-zFy [MO(F)]y= zFx-xFz [MO(F)]z= xFy-yFy
由于力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心， 不可挪动，这种矢量称为定位矢量。
M x (F ) yFz zFy
M
y
(F )
zFx
xFz
M z (F ) xFy yFx
其中，（x , y , z ）为力 F 作用点的坐标，Fx、Fy、Fz 为力 F 在
x 、y、z 轴上的投影。
四、力对点之矩与力对通过该点的轴的矩的关系
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。

静力学03.第三章 力偶系

静力学03.第三章 力偶系

此也不能与一个力平衡;
性质二、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平 行平面，而不改变对刚体的作用效果，力偶矩 矢是自由矢量; 性质三、保持力偶转向和力偶矩的大小（力与力偶臂的
乘积）不变，力偶中的力和力偶臂的大小可以
改变，而不改变对刚体的作用效果。
§3.4
力偶的等效条件和性质
力偶不能合成一个力, 或用一个力来等效替换; 力偶也 不能用一个力来平衡。因此, 力和力偶是静力学中两个基 本要素 力偶对物体的作用效应是引起物体的转动 力偶矩: 力偶的两个力对其作用面内某点的矩的代数和 MO(F , F') = MO(F )+MO(F') =F· aO－F'· bO =F (aO－bO) =F d F
空间力系中，力 F 对刚体产生的绕某点 O 的转动效应 取决于三个要素: (1)转动效应的强度 Fh；
(2)转动轴的方位，即力的作用线和矩心 O 所决定的平面的 法线方位； (3)转向，即: 使刚体绕轴转动的方向。
§3.1 力对点之矩矢
这三个要素可以用一个矢量来表示： 矢量的模等于力与力臂的乘积Fh 矢量的方位就是转轴的方位 矢量的指向根据右手规则由力F绕轴转动的方向确定。 力对点之矩矢，表示为MO(F)，过矩心O的定位矢量。
ΣMx= 0， ΣMy= 0 ， ΣMz= 0;
力偶系平衡条件的应用。
FR

l 0
q ( x )d x

l 0
q0
x l
dx
1 2
q0l
求合力作用线位置。设合力FR 的作用线距A端的距离 为h，在微段dx上的作用力对点A的矩为-(qxdx)x，全部分 布载荷对点A的矩为


l 0

大学工科工程力学第三章 力偶系

大学工科工程力学第三章 力偶系
= F3 d − F4 d
= M1 − M 2
结论：
在同平面内的任意个力偶可合成 一个合力偶，其合力偶矩等于各 个力偶矩的代数和。
M =
∑M
i =1
n
i
b、平面力偶系的平衡条件 充要条件：
∑M
i =1
n
i
=0
即：所有力偶的合力偶矩的代数和等于零。
根据力偶理论，一个力偶与一个力是不可能平衡的。
M
r O
第三章
力偶系
本章主要内容
力对点之矩矢 力对轴之矩 力偶矩矢 力偶的等效条件和性质 力偶系的合成和平衡条件
力偶的定义
A
F′
B
F
大小相等,方向相 反,不共线的两个力所 组成的力系。
力 偶 实 例
§3-1 力对点之矩矢
一、平面中力对点之矩（力矩） 力对物体可以产生： 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
§3-3 力偶矩矢
一、平面力偶矩 用以衡量力偶对刚体的转动效应
B A
O
x
d
F´
平面有一个力偶，将它们对O 点取矩 根据力对点之矩，力偶对O 之矩为：
F
M = mo ( F ) + mo ( F ′) = − Fx + F ′( x + d ) = Fd = F ′d
M = ± Fd
力偶矩与矩心的位置无关。
M ∑ cos α = M
xi
M ∑ , cos β = M
yi
M ∑ , cos γ = M
zi
空间力偶系的平衡条件是：合力偶矩矢为零
∑M ∑M ∑M
x y z
=0 =0 =0

理论力学精品课程 第六章 空间力系

理论力学精品课程 第六章 空间力系

F
m
F′
三,空间力偶系的合成 6.3 空 间 力 偶
力偶的作用面不在同一平面内的力偶系称为 空间力偶系. 空间力偶系. 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶, 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶, 合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和. 合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和.即:
M = m1 + m2 + + M n = ∑ m
z
mz ( R ) = ∑ mz ( F )
例2 6.2 力 对 轴 之 矩 和 力 对 点 之 矩
求力 F 对三坐标轴的矩. 解:由合力矩定理:
mx ( F ) = mx ( Fx ) + mx ( Fy ) + mx ( Fz ) = yZ zY m y ( F ) = m y ( Fx ) + m y ( Fy ) + m y ( Fz )
E
D
α α
A
汇 交
β EA=24cm, = 45 ,不计杆重;求 绳索的拉力和杆所受的力. 解:以铰A为研究对象,受力 如图,建立如图坐标. ∑ X = 0 : TC sin α TD sin α = 0 ∑ Y = 0 : TC cos α TD cos α S sin β = 0 ∑ Z = 0 : S cos β P = 0 24 2 = 由几何关系:cos α = 2 2
二,空间汇交力系的合成与平衡 6.1 空 间 汇 交
1,合成 , 将平面汇交力系合成结果推广得: 将平面汇交力系合成结果推广得: 合力的大小和方向为: 合力的大小和方向为:
R = F1 + F2 + + Fn = ∑ F
2,平衡 , 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是: 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是: 以解析式表示为: 以解析式表示为:

作用于刚体的力系等效简化

作用于刚体的力系等效简化

第3章 作用于刚体的力系等效简化3.1基本知识点3.1.1基本概念1）空间力对点之矩空间力F 对某点O 之矩用矢量M O (F )表示，M O (F )=r ×F ，指向按右手螺旋法则确定。

空间力对点之矩是定位矢量，以矩心作为矢量的起点。

2）平面力对点之矩平面力系中力F 对该平面内的点O 的矩，是代数量，计为M O (F )，计算如下()O M F Fh =±其中，h 为矩心到力F 作用线的垂直距离，即为力臂。

规定逆时针为正。

3）空间力对轴之矩力对轴之矩等于该力在垂直于该轴平面上的投影对轴与平面交点之矩。

可表示为()()2z O xy xy OAB M M F h S ∆==±⋅=±F F力对轴之矩是代数量，正负号按右手螺旋法则确定。

特例：力与轴平行或相交时，力对该轴的矩等于零。

4）主矢和主矩主矢：空间力系各力的矢量和。

主矩：空间力系中各力对简化中心之矩的矢量和。

5）固定端（插入端）约束特点：既能限制相对移动，又能限制相对转动。

约束力：可简化为一个力和一个力偶。

平面问题中，用两个约束力F x ，F y ，和一个平面约束力偶M 。

3.1.2 基本理论及定理1）合力矩定理力系的合力对任一点之矩等于各分力对该点之矩的矢量和。

合力矩定理也可以应用于计算力对轴之矩。

2）力矩关系定理力对点之矩矢量在经过该点的轴上的投影等于该力对该轴之矩。

可用以下关系式表达[()]()[()]()[()]()O x x O y y O z z M M M F ===M F F M F F M F因此，力对点之矩的分析表达式为()()()()O x y z M M M =++M F F i F j F k3）力的平移定理作用于刚体上的力，可以等效地平移到刚体内任一指定点，但须在力与指定点所确定的平面内附加一个力偶，其力偶矩的大小、转向等于该力对指定点之矩的大小及方向。

4）空间力系向任一指定点简化的结果空间力系向任一指定点简化，一般情况下可得到一个力和一个力偶，该力通过简化中心O ,其大小和方向等于力系的主矢F R ′；该力偶的力偶矩矢量等于该力系对简化中心的主矩M O 。

力对点之矩和轴之矩

力对点之矩和轴之矩

力F对x、y、z轴之矩为：
Mx(F) 0
M
y
(F
)
aF
sin
30
aF 2
6 M z (F ) aF cos30sin 45 4 Fa
力对轴之矩的定义
定义:力使物体绕某一轴转动效应的度量,称 为力对该轴之矩.
力
对 轴
FFz
之
矩
实 例
Fx F
Fy
力对点的矩和力对轴的矩
力对轴之矩代数量的正负号
力对轴之矩的计算
方法一 : 将力向垂直于
该轴的平面投影 ,力的投 影与投影至轴的垂直距 离的乘积.
Mz (F) = Fxyd
= 2(OAB)
力对轴之矩的计算
方法二: 将力向三个坐 标轴方向分解,分别求三 个分力对轴之矩，然后 将三个分力对轴之矩 的代数值相加。
M x yFz zFy
M y zFx xFz
M z xFy yFx
力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:力对点之矩的矢量在某一轴上 的投影,等于这一力对该轴之矩 。
M
O
M
o
r
F=
(Fzy-Fyz)
i
+(Fxz-Fzx)
j+(Fyx-Fxy)
k
Mo Moxi Moy j Mozk
Mox yFz zFy Moy zFx xFz
力对点之矩几点结 论
Moz xFy yFx
力对点 之矩是定位矢量;
矢量方向由右手定则确定; 矢量作用在O点,垂直于r 和F所在的平面。
MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) MO (Fy ) F sin l12 l22
（d）
2
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2
z
Mx 0
F
F z F sin 300
1
My
Fza
Fa 2
F y F cos300
M z F ya
y
3 Fa 2
300
or
x
M
y

zFx
Mx xFz
yF ZzFy 0 aF sin 300

1 2
Fa
M z xFy yFx
aF cos 300
力对轴之矩的定义
定义:力使物体绕某一轴转动效应的度量,称 为力对该轴之矩.
力
对 轴
FFz
之
矩
实 例
Fx F
Fy
力对点的矩和力对轴的矩
力对轴之矩代数量的正负号
力对轴之矩的计算
方法一 : 将力向垂直于
该轴的平面投影 ,力的投 影与投影至轴的垂直距 离的乘积.
Mz (F) = Fxyd
= 2(OAB)
aF(sin j cos sin 45k)
力F对x、y、z轴之矩为：
Mx(F) 0
M
y
(F
)

aFBiblioteka sin30

aF 2
6 M z (F ) aF cos30sin 45 4 Fa
M x(F ) 35.36 kN m
• 4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知 OA=OB=a，在平面ABED内沿对角线AE有 一个力F， 图中θ =30°，试求此力对各坐 标轴之矩。
• 解：
MO (F ) rA F ai F(cos cos45i cos sin 45 j sin k)
力对点的矩和力对轴的矩
力对点之矩
力对点之矩的矢量运算
F= Fx i + Fy j + Fz k
r=x i + y j + z k
Mo

Fr sin

r
F
i jk
=x y z Fx Fy Fz
MO(F) z
F

O
r
y
x
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
Mo

r
F=
(Fzy-Fyz)
i
+(Fxz-Fzx)
j+(Fyx-Fxy)
k


Mo Moxi Moy j Mozk
Mox yFz zFy Moy zFx xFz
力对点之矩几点 结论
Moz xFy yFx
力对点 之矩是定位矢量;
矢量方向由右手定则确定; 矢量作用在O点,垂直于r 和F所在的平面。
力对轴之矩的计算
方法二: 将力向三个坐 标轴方向分解,分别求三 个分力对轴之矩，然后 将三个分力对轴之矩 的代数值相加。
M x yFz zFy
M y zFx xFz
M z xFy yFx
力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:力对点之矩的矢量在某一轴上 的投影,等于这一力对该轴之矩 。
3 Fa 2
• 3 图示正方体的边长a =0.5m，其上作用的 力F=100N，求力F对O点的矩及对x轴的力 矩。
rA
解：
i jk
MO (F)
rA F

a(i
k)
F 2
(i
j)

a
0a
F F 0
22
Fa (i j k) 2
35.36(i j k) kN m
M
O
F
x

Mx
M
O
F
y

My
M
O
F
z

Mz
• 1、试求图示中力F对O点的矩。
• （a）MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) MO (Fy ) F sin l • （b）MO (F ) F sin l • （c）MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) F cosFl2 sin (l1 l3) • （d） MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) MO (Fy ) F sin l12 l22