力对轴的矩

将上式右端展开，并注意到
rz × F z = 0 (rz × Fxy ) ⋅ k = 0
(rxy × Fz ) ⋅ k = 0
则有MO(F)在z轴上的投影
MO z (F ) = (rxy × Fxy ) ⋅ k
而另一方面力F 对z轴之矩可表示为
Mz (F) = MO (Fxy ) = (rxy × Fxy ) ⋅ k
● 力对点之矩与力对轴之矩的关系 首先将力的作用点的矢径r和力F分 解如下:
r = rz + rxy
F = F z + F xy
力F 对O点之矩MO(F)在 z 轴上的投影为：
M O z ( F ) = (r × F ) ⋅ k
Mz(F)
即有
MO z (F) = (rz + rxy ) × (Fz + Fxy )] ⋅ k
这样，空间力对轴之矩归结为平面上的 力对点之矩，即力F对任一轴z之矩，等 于这力在垂直于z轴的平面内的分量Fxy对 该平面和z轴交点O之矩。于是有
Mz (F) = MO(Fxy ) =(rxy ×Fxy ) ⋅ k
力F 对OZ 轴之矩
• 力臂h是Fxy的作用线到z轴的垂直距离。 • 正负号的规定是按右手定则与z轴的指向 一致时为正，反之为负。 • z轴称为矩轴(axis of moment)，它并不一 定是刚体上的实际转轴，而可以是空间 中任何一条设想的直线。 • 当力的作用线与 z 轴平行 ( Fxy = 0) 或相交 ( h=0) 时，或概括起来讲，当力与轴共面 时，力对轴的矩等于零。
因此
M பைடு நூலகம் ( F ) = M Oz ( F )
我们得到一个说明力对轴之矩与力对点 之矩的关系的重要结论：力对任意轴之 矩等于该力对轴上任一点之力矩矢在该 轴上的投影。
于是我们有力对坐标轴之矩的解析表达式：
Mx (F ) = MOx (F ) = yFz − zFy M y (F ) = MOy (F ) = zFx − xFz Mz (F ) = MOz (F ) = xFy − yFx
1 F 2 2
例1.2 园柱的底半径为r，高为2r，求图中作用于 B点的力F 对x、y、z轴以及OE轴之矩。
z e E
解 ：力 F 的作用点 B 的坐 标为
A B
x = r, y = 0, z = 2r
而 F 在三个坐标轴上的 投影分别为
x
O C
y D
6 Fx = − F, 6 6 Fy = F, 6 6 Fz = − F 3
式中x、y、z是力的作用点的坐标，Fx、 Fy、Fz分别是F在各坐标轴上的投影。
例1.1 长方体的上、下底为正方形，边长为 3a， 高为a，求图中力F 对顶点O之矩。 解：以O为原点建立 直角坐标系Oxyz如 图示，设沿各坐标 轴的基矢量为i、j、 k ，则F的作用点A 的矢径为
y r A F x z O
因此
5 ( j + 2k ) 5
30 MOE (F ) = e ⋅ MO (F ) = Fr 15
r = 3a (i + j)
力F在坐标轴上的投影为
3 1 Fx = 0, Fy = −F sinα = − F, Fz = F cosα = F 2 2
故
1 F = F (− 3 j + k ) 2
因此F对O点之矩为
i MO (F ) = r × F = 3a 0 j
3a 3 − F 2
k 3 0 = Fa(i − j − 3k )
1.1.3 力对轴的矩
为了量度力 对其所作用 的刚体绕某 固定轴转动 的效应，引 入力对轴的 矩(moment of a force about an axis)的概 念。 z
Fz
F
Fxy
● 力对轴的矩的概念
作用于刚体的力F 对 z 轴的矩定义为
M z (F ) = MO (Fxy ) = ± Fxy h
6 M x (F ) = yFz − zFy = − Fr 3
M y (F ) = zFx − xFz = 0
6 M z (F ) = xFy − yFx = Fr 6
由此即有 于是F 对各坐 标轴之矩分别 为
6 MO ( F ) = Fr (−2i + k ) 6
设沿OE轴的单位矢为e，则有
e =