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第十章计数原理10．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理考纲要求理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会用它们分析和解决一些简单的实际问题．1．分类加法计数原理：完成一件事情可以有n类方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有__________种不同的方法．2．分步乘法计数原理：完成一件事情需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有______________种不同的方法．1．4封不同的信投入三个不同的信箱中，所有投法的种数是( )．A．34B．43C．A34D．C342．4个人去借3本不同的书(全部借完)，所有借法的种数是( )．A．34B．43C．A34D．C343．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有( )．A．6种B．5种C．4种D．3种4．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．5．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)．若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答)一、分类加法计数原理的应用【例1】高三 (1)班有学生50人，男30人，女20人；高三(2)班有学生60人，男30人，女30人；高三(3)班有学生55人，男35人，女20人．(1)从高三(1)班或(2)班或(3)班选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中，或从高三(3)班女生中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？方法提炼运用分类加法计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”间有独立性与并列性．请做演练巩固提升1二、分步乘法计数原理的应用【例2－1】现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人．每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？【例2－2】已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？方法提炼运用分步乘法计数原理时，首先要根据问题的特点，按事件发生的过程合理分步，然后再确定每一步中完成任务有多少种方法，最后根据分步乘法计数原理求出所有的方法数．请做演练巩固提升4三、两个计数原理的综合应用【例3－1】如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )．A．72种B．96种C．108种D．120种【例3－2】编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号盒子中，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有__________种．方法提炼对于某些复杂的问题，有时既要用分类加法计数原理，又要用分步乘法计数原理．运用两个计数原理解题时是先分类、后分步，还是先分步、后分类，应视具体问题而定，并搞清分类或分步的具体标准是什么，完成事情的含义和标准是什么．请做演练巩固提升5注意分情况求解勿重勿漏【典例】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )．A．10 B．11 C．12 D．15解析：(方法一)分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为：1001.共1个．(2)若1个相同，则信息为：0001,1101,1011,1000.共4个．(3)若2个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为：0101；②若位置一与三相同，则信息为：0011；③若位置一与四相同，则信息为：0000；④若位置二与三相同，则信息为：1111；⑤若位置二与四相同，则信息为：1100；⑥若位置三与四相同，则信息为：1010.共有6个．故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.(方法二)若0个相同，共有1个；若1个相同，共有C14＝4(个)；若2个相同，共有C24＝6(个)．故共有1＋4＋6＝11(个)．答案：B答题指导：1.本题考查的是分类加法计数原理，难度不大，属中档题．2．本题要求至多有两个对应位置上的数字相同，应按照0个相同、1个相同、2个相同进行讨论，本题易错点是易漏掉0个相同的情况．1．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为( )．A．12 B．9 C．6 D．52．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有( )．A．30种B．31种C．35种D．40种3．形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的个数为( )．A．12 B．24 C．16 D．204．在2012年伦敦奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．5．若一份试卷共有10道选做题，分为两个系列，每个系列有5道题，要求考生选做6道题，但每个系列至多选4道题，则每位考生选做方案种数为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．N ＝m 1＋m 2＋…＋m n2．N ＝m 1×m 2×…×m n基础自测1．A 解析：每封信有3种投法，根据分步乘法计数原理，4封不同的信投入三个不同的信箱，共有3×3×3×3＝34种投法．2．B 解析：每本书有4种借法，根据分步乘法计数原理，4个人去借3本不同的书(全部借完)共有4×4×4＝43种借法．3．C 解析：从三名工人中选甲、乙两人有2种选派方法；选中甲、丙，则只有1种选派方法；选中乙、丙，只有1种选派方法，共2＋1＋1＝4种．4．12 解析：先选上衣，从4件上衣中选一件有4种，第二步选长裤，从3条长裤中选一条有3种，由分步乘法原理可知有4×3＝12种配法．5．120 解析：由已知条件可得第1块地有C12种种植方法，则第2～4块地共有A35种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有C12A35＝120种．考点探究突破【例1】 解：(1)从高三(1)班50人中选一人有50种选法；从高三(2)班60人中选一人有60种选法；从高三(3)班中选一人有55种选法，∴共有50＋60＋55＝165(种)．(2)从高三(1)班、(2)班男生中选一人有30＋30＝60(种)选法，从高三(3)班女生中选有20种选法，∴共有30＋30＋20＝80(种)．【例2－1】 解：先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，仍有4种排法；同理，第四、五两天均各有4种排法．由分步乘法计数原理可得值班表共有不同排法数为：5×4×4×4×4＝1 280(种)．【例2－2】 解：(1)确定平面上的点P (a ，b )可分两步完成：第一步确定a 的值，共有6种取法；第二步确定b 的值，共有6种取法．故P 可表示平面上36个不同的点．(2)确定第二象限点，可分两步完成：第一步确定a ，由于a ＜0，所以有3种取法；第二步确定b ，由于b ＞0，所以有2种取法．由分步乘法计数原理，得到P 可表示第二象限的点的个数是3×2＝6.(3)点P (a ，b )在直线y ＝x 上的充要条件是a ＝b ，因此a 和b 必须在集合M 中取同一元素，共有6种取法，即在直线y ＝x 上的点有6个． 由(1)得P 可表示不在直线y ＝x 上的点共有36－6＝30(个)．【例3－1】 B 解析：若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有443A ＝72种涂色法；若1,3同色，有1343C A ＝24种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．【例3－2】 30 解析：根据A 球所在位置分三类：(1)若A 球放在3号盒子内，则B 球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C ，D ，E 有33A ＝6种不同的放法，则根据分步计数原理，此时有33A ＝6种不同的放法；(2)若A 球放在5号盒子内，则B 球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C ，D ，E 有33A ＝6种不同的放法，则根据分步计数原理，此时有33A ＝6种不同的放法；(3)若A 球放在4号盒子内，则B 球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C ，D ，E 有33A ＝6种不同的放法，根据分步计数原理，此时有1333A A ＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．演练巩固提升1．B 解析：当乙、丙中有一人在A 社区时有112232C C C ＝6种安排方法；当乙、丙两人都在B 社区时有1232C C ＝3种安排方法，所以共有9种不同的安排方法．2．B 解析：至少有两人拿对自己的外衣，分为2人拿对，3人拿对和全拿对自己的外衣，2人拿对有25C ×2＝20种，3人拿对有35C ×1＝10种，全拿对有1种，共20＋10＋1＝31种．3．C 解析：当十位数字和千位数字排4,5时，有2323A A ＝12个“波浪数”；当十位数字排3，千位数字排5时，万位数字必须排4，其他两位排1,2，有22A ＝2个“波浪数”；同理，交换3与5的位置，也有22A ＝2个“波浪数”．故共有16个“波浪数”．4．2 880 解析：先安排甲、乙、丙三人在1,3,5,7号跑道上有34A 种，余下5人有55A 种．由分步乘法原理得34A ×55A ＝2 880种．5．200 解析：因为每个系列至多选4道题，所以分为两类：一类是一个系列选4道题，另一个系列选2道题，共有22A ·45C ·25C ＝100种方法；另一类是每个系列各选3道题，共有35C ·35C ＝100种方法．由分类计数原理得共有100＋100＝200种不同的选做方案．。
第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识重温】一、必记3个知识点1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…,在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝①____________________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝②____________________种不同的方法．3．两个原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及③____________________的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与④________有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与⑤________有关，各个步骤⑥________，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．二、必明2个易误点1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的．2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事,步步之间是相关联的．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．（）(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(）（4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(）二、教材改编2．已知集合M＝{1，－2，3},N＝{－4,5，6，－7｝，从M，N这两个集合中各取一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是(）A．12B．8C．6D．43.如图,从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A 城到C城有4条路,从C城到D城有5条路,则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．三、易错易混4．已知a，b∈｛2,3，4，5,6,7,8，9｝，则log a b的不同取值个数为________．5．某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为() A．3＋5 B．3×5 C．35D．53202210.1四、走进高考6．［2020·山东卷］6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(）A．120种B．90种C．60种D．30种考点一分类加法计数原理［自主练透型］1．[2021·湘赣十四校联考］有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为（）A．8B．15C．18D．302．椭圆错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上，且m∈{1,2,3,4,5｝，n∈{1，2，3,4,5，6，7｝，则这样的椭圆的个数为________．3．如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点）．悟·技法1。
