2014届高考数学一轮复习讲义：第二章 2.1 平面向量的概念及线性运算

【名师精讲】2014届高考数学一轮轻松突破 1.4.2平面向量基本定理及坐标表示 文一、选择题1．如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →解析：由于BA →＝DE →，故BA →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →.答案：D2．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b(k ∈R)，d ＝a －b.如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即ka ＋b ＝λ(a －b)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λλ＝－1，故选D.答案：D3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析：如图所示，作OG ∥EF 交DC 于G ，由于DE ＝EO ，得DF ＝FG ，又由AO ＝OC 得FG ＝GC ，于是DF →＝13DC →＝13(－12b ＋12a)， 那么AF →＝AD →＋DF →＝(12a ＋12b)＋13(－12b ＋12a)＝23a ＋13b. 答案：B4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由MA →＋MB →＋MC →＝0得点M 是△ABC 的重心，可知AM →＝13(AB →＋AC →)，AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3，选B.答案：B5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点C)，则AP →＝( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22 C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1)D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22 解析：如图所示，AC →＝AB →＋AD →，又∵点P 在AC →上，∴AP →与AC →同向，且|AP →|<|AC →|，故AP →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)．答案：A6．非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →(λ∈R)，则点Q(x ，y)的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋2λ，y ＝－2λ.消去λ得x ＋y ＝2.答案：A二、填空题7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a 、b 表示)解析：由AN →＝3NC →，知N 为AC 的四等分点．MN →＝MC →＋CN → ＝12AD →－14AC →＝12AD →－14(AB →＋AD →) ＝－14AB →＋14AD → ＝－14a ＋14b. 答案：－14a ＋14b 8．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________.解析：AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1λ＋12μ＝1，所以λ＋μ＝43. 答案：439．设V 是已知平面M 上所有向量的集合．对于映射f ：V→V，a ∈V ，记a 的象为f(a)．若映射f ：V→V 满足：对所有a 、b ∈V 及任意实数λ、μ都有f(λa ＋μb)＝λf(a)＋μf(b)，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，则f(0)＝0；②对a ∈V ，设f(a)＝2a ，则f 是平面M 上的线性变换；③若e 是平面M 上的单位向量，对a ∈V ，设f(a)＝a －e ，则f 是平面M 上的线性变换； ④设f 是平面M 上的线性变换，a 、b ∈V ，若a 、b 共线，则f(a)、f (b)也共线． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)解析：对于①，f(0)＝f(0·0＋0·0)＝0·f(0)＋0·f(0)＝0，因此①正确．对于②，f(λa ＋μb)＝2(λa ＋μb)＝λ·(2a)＋μ·(2b)＝λf(a)＋μf(b)，因此②正确．对于③，f(λa ＋μb)＝(λa ＋μb)－e ，λf(a)＋μf(b)＝λ(a －e)＋μ(b －e)＝λa ＋μb －(λ＋μ)e ，显然(λ＋μ)e 与e 不恒相等，因此③不正确．对于④，当a 、b 共线时，若a 、b 中有一个等于0，由于f(0)＝0，即此时f(a)、f(b)中有一个等于0，f(a)、f(b)共线；若a 、b 中均不等于0，设b ＝λa ，则有f(b)＝f(λa)＝f(λa ＋0·0)＝λf(a)＋0·f(0)＝λf(a)，此时f(a)、f(b)共线，综上所述，当a 、b 共线时，f(a)、f(b)共线．综上所述，其中的真命题是①②④.答案：①②④三、解答题10．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.解析：取AE 的三等分点M ，使|AM|＝13|AE|，连接DM.设|AM|＝t ，则|ME|＝2t.又|AE|＝14|AC|，∴|AC|＝12t ，|EC|＝9t ，且DM ∥BE.∴在△DMC 中CE CM ＝CP CD ＝911∴CP ＝911CD∴DP ＝211CDAP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211(－13AB →＋AC →)＝311AB →＋211AC →＝311a ＋211b.11．如图，已知△OAB 中，点C 是以A 为中心的B 的对称点，D 是将OB →分成的一个内分点，DC 和OA 交于E ，OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 与b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA → ，求实数λ的值．解析：(1)依题意，A 是BC 中点，∵2OA →＝OB →＋OC →，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b.DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b.(2)设OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λa －(2a －b)＝(λ－2)a ＋b ，∵CE →与DC →共线，∴存在实数k ，使CE →＝kDC →，(λ－2)a ＋b ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －53b ，解得λ＝45.12．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M.设OA →＝a ，OB →＝b.(1)试用a 和b 表示向量OM →；(2)在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ，设OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，当EF 为AD 时，λ＝1，μ＝12，此时1λ＋3μ＝7；当EF 为CB 时，λ＝14，μ＝1，此时1λ＋3μ＝7.有人得出结论：不论E 、F 在线段AC 、BD 上如何变动，1λ＋3μ＝7总成立．他得出的这个结论正确吗？请说明理由．解析：方法一：(1)设OM →＝ma ＋nb ，则AM →＝OM →－OA →＝ma ＋nb －a ＝(m －1)a ＋nb ，AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b. ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线．故存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1) a ＋nb ＝t(－a ＋12b)， ∴(m －1)a ＋nb ＝－ta ＋12tb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1. ①∵CM →＝OM →－OC →＝ma ＋nb －14a ＝(m －14)a ＋nb ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， 又C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线，同理可得4m ＋n ＝1. ②联立①②，解之得：m ＝17，n ＝37. 故OM →＝17a ＋37b ， (2)他得出的结论是正确的．∵EM →＝OM →－OE →＝17a ＋37b －λa ＝(17－λ)a ＋37b ，EF →＝OF →－OE →＝μOB →－λOA →＝－λa ＋μb ，又EF →与EM →共线，故存在实数k ，使得EM →＝kEF →，即(17－λ)a ＋37b ＝k(－λa ＋μb)＝－λka ＋μkb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 17－λ＝－λk ，37＝μk ，消去k 得17－λ＝－λ·37μ，整理即得1λ＋3μ＝7. 方法二：(1)∵A 、M 、D 三点共线，由直线的向量参数方程式可得：OM →＝kOA →＋(1－k)OD →＝kOA →＋1－k 2OB →＝ka ＋1－k 2b(k ∈R)． 同理由于C 、M 、B 三点共线，可得：OM →＝tOC →＋(1－t)OB →＝t 4OA →＋(1－t)OB →＝t 4a ＋(1－t)b(t ∈R)，∴ka ＋1－k 2b ＝t 4a ＋(1－t)b. 又∵OA →，OB →不共线，即a ，b 不共线，∴k ＝t 4且1－k 2＝1－t ，解之得k ＝17，t ＝47. ∴OM →＝17a ＋37b. (2)他得出的结论是正确的．∵E 、F 、M 三点共线，由直线的向量参数方程式可得：OM →＝kOE →＋(1－k)OF →，即17a ＋37b ＝λka ＋μ(1－k)b(k ∈R)． 又∵OA →，OB →不共线，即a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 17＝λk ，37＝μ－，1λ＋3μ＝7.消去k整理得。

第1讲平面向量的概念及线性运算【2015年高考会这样考】1．考查平面向量的线性运算．2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．【复习指导】本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)叫做a 与b 的差三角形法则3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )．A ．－BC→＋12BA → B ．－BC→－12BA → C.BC→－12BA →D.BC→＋12BA → 解析 如图，CD→＝CB →＋BD →＝CB→＋12BA →＝－BC →＋12BA →. 答案 A2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b|. 正确的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析 只有④正确． 答案 A3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.EF→＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE →C.EF→＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE → 解析 EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →.答案 B4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA→＋CD →＋EF →＝( )．A ．0 B.BE → C.AD→D.CF→ 解析 BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.答案 D5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________. 解析 由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12.答案 －12考向一 平面向量的概念【例1】►下列命题中正确的是( )． A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行[审题视点] 以概念为判断依据，或通过举反例说明其正确与否．解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C. 答案 C解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：(1)模相等；(2)方向相同．【训练1】 给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确命题的序号是________． 解析 ①②正确，③④错误． 答案 ①②考向二 平面向量的线性运算【例2】►如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )． A.AD→＋BE →＋CF →＝0 B.BD→－CF →＋DF →＝0 C.AD→＋CE →－CF →＝0 D.BD→－BE →－FC →＝0 [审题视点] 利用平面向量的线性运算并结合图形可求． 解析 ∵AB →＋BC →＋CA →＝0，∴2AD →＋2BE →＋2CF →＝0，即AD →＋BE →＋CF →＝0. 答案 A三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量，和用平行四边形法则，差用三角形法则．【训练2】 在△ABC 中，AB→＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )．A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴3AD→＝2AC →＋AB → ∴AD→＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 答案 A考向三 共线向量定理及其应用【例3】►设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[审题视点] (1)先证明AB →，BD →共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k .(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→，BD →共线，又它们有公共点，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．【训练3】 (2011·兰州模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )． A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1解析 由AB→＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得：AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.故选D.答案 D难点突破11——有关平面向量中新定义问题解题策略从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面向量中新定义的问题，一般难度较大．这类问题的特点是背景新颖，信息量大，通过它可考查学生获取信息、分析并解决问题的能力．解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在． 【示例1】► (2012·泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )． A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2【示例2】► (2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上。

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座:考点18平面向量的概念及线性运算（解析版)加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一。

考纲目标 向量及其表示，共线向量定理；两个向量共线的充要条件，向量的线性表示。

二。

知识梳理1。

向量：既有大小又有方向的量。

向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模（长度)，记作｜AB |即向量的大小，记作|a ｜向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小2。

零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a |＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量"这个条件．(注意与0的区别)3。

单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1 4。

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上.方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线"与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的5。

相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 6.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC（1)a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量(2) 三角形法则的特点是“首尾相接",由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。