20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题6.3 几何概型(解析版)

第三讲 直线与圆的综合运用(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r 相交；d ＝r 相切；d >r 相离. (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.考向一 直线与圆的位置关系【例1】（1）4．圆(x −1)2+(y +2)2=6与直线2x +y −5=0的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离（2）在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是________．（3）若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）相切 （3）[0,10]【解析】（1）由题意知圆心(1,−2)到直线2x +y −5=0的距离d =|2×1−2−5|√22+12=√5<√6且2×1+(−2)−5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．（2） 因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，所以由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝0. 故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切．（3）圆的方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1， 所以圆心为(－1,2)，半径r ＝1，圆心到直线3x ＋4y －m ＝0的距离d ＝|－3＋8－m |9＋16＝|5－m |5，∵直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，∴0≤|5－m |5≤1，解得0≤m ≤10，∴实数m 的取值范围是[0,10]．【套路秘籍】---千里之行始于足下【举一反三】1．若直线2x +y −2=0与圆(x -1)2+(y −a)2=1相切，则a =______． 【答案】±√5【解析】由题意，直线2x +y −2=0与圆(x −1)2+(y −a)2=1相切， 所以d =|2×1+a−2|√22+12=1，解得a =±√5．故答案为：±√5．2．若曲线y =√1−x 2与直线y =x +b 始终有公共点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．[−1,√2] B ．[−1,√2) C ．[−√2,√2] D ．[1,√2]【答案】A【解析】∵y =√1−x 2表示x 2+y 2=1在x 轴上方的部分（包括x 轴上的点）， 作出函数y =√1−x 2与y ＝x +b 图象， 由图可知：当直线与圆相切时，d =|b |√2=1，即得b =±√2,结合图像可知b =√2，又当直线过（1，0）时，b=-1，若曲线y =√1−x 2与直线y =x +b 始终有公共点，则﹣1≤b ≤√2.故选：A ．3．已知圆C 过点P (2,1)，圆心为C (5,−3)． （1）求圆C 的标准方程；（2）如果过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C 没有公共点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）(x −5)2+(y +3)2=25（2）(940,+∞)【解析】（1）由已知可得圆的半径为|PC |=√(5−2)2+(−3−1)2=5． ∴圆C 的标准方程(x −5)2+(y +3)2=25；【套路总结】直线与圆位置关系（或交点个数）的解题思路（1）把圆化成圆的标准方程22200()()x x y y r -+-=找出圆心()00,x y 和半径r（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离0022Ax By Cd A B++=+（3）d 与r 比较大小d r d r d r >⎧⎪=⎨⎪<⎩相离，没有交点相切，一个交点相交，两个交点（2）由题意可知，直线方程为y=kx+1，即kx−y+1=0．由|5k+3+1|√k2+1>5，解得k>940．∴实数k的取值范围是(940,+∞)．考向二直线与圆的弦长【例2】（1）直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．（2）已知直线mx+y−3=0与圆O:x2+y2=3交于A,B两点（O为坐标原点），且|AB|=√3，则m=。

五 平面解析几何中的高考热点问题[命题解读] 1. 圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考必考知识，主要以一个小题一个大题的形式呈现，难度中等偏上．2．高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质，高考中的解答题，在第(1)问中常以求曲线的标准方程，在第(2)问以求作或证明位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主. 这些试题的命制有一个共同特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高.圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的方程与性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常见题型，多以选择题或填空题的形式考查，各种难度均有可能．【例1】 (2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1B [由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.][规律方法] 解决此类问题的关键是熟练掌握各曲线的定义、性质及相关参数间的联系. 掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．(1)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10(1)A (2)A [(1)设双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 根据点到直线的距离公式得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ．(2)因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4＝41＋k 2k 2.同理可得|DE |＝4(1＋k 2)． 所以|AB |＋|DE |＝41＋k2k2＋4(1＋k 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．故选A ．]圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等定值问题．【例2】 (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．[规律方法] 1.证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k 或截距b 的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上．2．解决定值问题应以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算，结果即可得到．3．无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定方向和目标．已知椭圆E ：x 2＋y 2＝1(a >b >0)过点(0,1)，且离心率为3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：y ＝12x ＋m 与椭圆E 交于A ，C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．[解] (1)由题意可知，椭圆的焦点在x 轴上，椭圆过点(0,1)，则b ＝1.由椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32，解得a ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，线段AC 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0.由Δ＝(2m )2－4(2m 2－2)＝8－4m 2>0，解得－2<m <2，所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2m ＝m ，所以线段AC 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫－m ，12m .则|AC |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14×4m 2－4×2m 2－2＝10－5m 2.l 与x 轴的交点为N (－2m,0)，所以|MN |＝－m ＋2m2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝54m 2， 所以|BN |2＝|BM |2＋|MN |2＝14|AC |2＋|MN |2＝52.故B ，N 两点间的距离为定值102.圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的最值问题大致分为两类：一类是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二类是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．【例3】 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． [解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n －533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±29－n 23.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869 9－n 2，当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.[规律方法] 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一种是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二种是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大， 又y ′＝－x ，所以－x 0＝2，故x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2×－2－－2－2|22＋－12＝45＝455. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，故x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4，所以|AB |＝1＋k2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22×－42－4×－4＝410.所以△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.圆锥曲线中的证明与探索性问题圆锥曲线中的证明问题是高考的常考热点，其命题切入点较多，既可以考查位置关系，也可以与定点、定值、存在性问题综合命题，有时也涉及一些否定质命题，证明时一般常用直接法或反证法．难度一般较大．【例4】 (本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .[信息提取] 看到求直线方程，想到利用先求斜率再利用点斜式求直线方程； 看到证明两角相等，想到利用两直线的斜率之和为0可证明两角相等． [规范解答] (1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1. 1分 由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22. 2分又M (2,0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2.3分(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 4分当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB . 5分当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，6分则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2. 7分由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4kx 1－2x 2－2.8分将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.9分则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 11分 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .12分[易错与防范] 解答本题(2)时易漏掉对特殊情况的讨论，即直线与x 轴重合及直线与x 轴垂直，想当然认为斜率一定存在而致错，解答此类问题时应特别注意直线斜率存在与否．[通性通法] 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． [解] (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )． 又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，所以C 在点(2a ，a )处的切线方程为y－a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋ba. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．[大题增分专训]1．(2019·衡水联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(－2，1)，离心率为22，直线l ：kx －y ＋2＝0与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在实数k ，使得|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋2y 2＝4，消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋4＝0. 则Δ＝64k 2－16(1＋2k 2)>0，即k >22或k <－22.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝41＋2k2. 由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，得OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0. ∴41＋k 21＋2k 2－16k 21＋2k 2＋4＝0，即8－4k21＋2k2＝0，∴k 2＝2，即k ＝±2，满足(*)式．故存在实数k ＝±2，使得|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|成立．2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. [证明] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.由题设得0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P 1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝x 1－12＋y 21＝x 1－12＋31－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22. 所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|.3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，22. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且F 2A →＝λF 2B →，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值．[解] (1)由题易知c ＝1，1a 2＋12b2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝2，故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋1，x 22＋y 2＝1 得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0，Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2，y 1y 2＝－1k 2＋2. QC →＝QA →＋QB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)＝－4k 2＋1k 2＋2，－2k k 2＋2，∴|QC →|2＝|QA →＋QB →|2＝16－28k 2＋2＋8k 2＋22，由此可知，|QC →|2的大小与k 2的取值有关．由F 2A →＝λF 2B →可得y 1＝λy 2，λ＝y 1y 2，1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝y 1＋y 22－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2， 由λ∈[－2，－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－2， 从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2，解得0≤k 2≤27. 令t ＝1k 2＋2，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12， ∴|QC →|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742－172，∴当t ＝12时，|QC →|min ＝2.。

第3讲 几何概型[学生用书P182]1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×(教材习题改编)如图，转盘的指针落在A 区域的概率为( ) A .16 B.19 C .112 D ．118答案：C(教材习题改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A .如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．(教材习题改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A .15 B.25 C .35D ．45解析：选B .P ＝3030＋5＋40＝25，故选B .(教材习题改编)如图，在一边长为2的正方形ABCD 内有一曲线L 围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m 颗)．落在曲线L 围成的区域内的豆子有n 颗(n <m )，则L 围成的区域面积(阴影部分)为( )A .2n m B.4n m C .n 2mD ．n 4m解析：选B .S 阴影S 正方形＝落在L 围成的区域的豆子数n落在正方形中的豆子数m ，所以S 阴影＝n m ×22＝4nm.与长度、角度有关的几何概型 [学生用书P182][典例引领](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A .13 B.12 C .23D ．34(2)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． (3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为________．【解析】 (1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)因为∠B ＝60°，∠C ＝45°， 所以∠BAC ＝75°.在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得： P (N )＝30°75°＝25.【答案】 (1)B (2)13 (3)251.在本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解：当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32， 得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2.在本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，则BM <1的概率是多少？解：依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A 包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．[通关练习]1．(2017·高考江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59. 答案：592．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16. 答案：16与面积有关的几何概型(高频考点) [学生用书P183]与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)与平面图形面积有关的几何概型； (2)与线性规划交汇命题的几何概型．[典例引领]角度一 与平面图形面积有关的几何概型(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A .14 B.π8 C .12D ．π4(2)(2016·高考全国卷Ⅱ)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A .4n m B.2n m C .4m nD ．2m n(3)一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上空飞过，其中AD ＝2，DC ＝2，BC ＝1，它可能随机落在草原上任何一处(点)．若落在扇形沼泽区域ADE 以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是()A .12－π15 B.1－π10C ．1－π6D ．1－3π10【解析】 (1)设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为π2.根据几何概型的概率公式，得所求概率P ＝π24＝π8.故选B .(2)设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n ＜1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C .(3)过点D 作DF ⊥AB 于点F ，在Rt △AFD 中，易知AF ＝1，∠A ＝45°.梯形的面积S 1＝12×(2＋2＋1)×1＝52，扇形ADE 的面积S 2＝12×(2)2×π4＝π4，则丹顶鹤生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝52－π452＝1－π10，故选B . 【答案】 (1)B (2)C(3)B角度二 与线性规划交汇命题的几何概型(2018·广州综合测试)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A .14 B.12 C .23D ．34【解析】 依题意作出图象如图，则P (y ≤2x )＝S 阴影S 正方形＝12×12×112＝14.【答案】A与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．[通关练习]1．(2018·石家庄市教学质量检测)如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π3，若向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为()A ．100 B.200 C ．400 D ．450解析：选C .如图所示，作CD ⊥OA 于点D ，连接OC 并延长交扇形于点E ，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，所以R ＝r ＋2r ＝3r ，所以落入圆内的点的个数估计值为600·πr 216π（3r ）2＝400.2．在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B.p 2<12<p 1C .12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2解析：选D .如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2＞12，则p 1<12<p 2，故选D .与体积有关的几何概型 [学生用书P184][典例引领](1)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．(2)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________． 【解析】 (1)正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为1－23π8＝1－π12.(2)由题意可知V S －APC V S －ABC >13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13， 故所求的概率为23(即为长度之比)．【答案】 (1)1－π12 (2)23与体积有关的几何概型求法的关键对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．[通关练习]一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为()A .34 B.23 C .13D ．12解析：选D .由题图可知V F ­AMCD ＝13×S AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF ­BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.判断几何概型中的几何度量形式的方法 (1)当题干是双重变量问题时，一般与面积有关系．(2)当题干是单变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．解决几何概型问题时，有两点容易造成失分 (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型；(2)利用几何概型的概率公式时，忽视基本事件是否等可能．[学生用书P331(单独成册)]1．在区间[0，2]上随机地取出一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A .34 B.23 C .13D ．14解析：选A .不等式－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A .16 B.13 C .23D ．45解析：选C .设AC ＝x (0<x <12)，则CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得0<x <4或8<x <12. 所以P ＝4＋412＝23.3.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB.4－63πC .13－32πD ．23解析：选B .设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B .4．已知平面区域D ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y ＝kx (k ∈R )下方的概率为( )A .12 B.13 C .23D ．34解析：选A .由题设知，区域D 是以原点为中心的正方形，直线y ＝kx 将其面积平分，如图，所求概率为12.5.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径的概率为( )A .12B.32C .13D ．14解析：选C .当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C .6.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则正三角形的面积为34a 2. 由正弦定理得2R ＝a sin 60°，即R ＝33a ， 所以圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2.由几何概型的概率计算公式得概率P ＝34a 213πa 2＝334π.答案：334π7.如图所示，OA ＝1，在以O 为圆心，OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则△AOB 的面积小于14的概率为________．解析：因为OA ＝1，若△AOB 的面积小于14，则12×1×1×sin ∠AOB <14，所以sin ∠AOB <12，所以0<∠AOB <π6或5π6<∠AOB <π，所以△AOB 的面积小于14的概率为13.答案：138．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的概率为________．解析：如图，△ABC 为直角三角形，且BC ＝5，AC ＝12.图中阴影部分是三个分别以A ，B ，C 为圆心，2为半径的扇形，所以S 阴＝12π×22＝2π.所以昆虫到三角形顶点的距离小于2的概率P＝S 阴S △ABC ＝2π12×12×5＝π15.答案：π159．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M . (1)求四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率；(2)求M 落在三棱柱ABC -A 1B 1C 1内的概率．解：(1)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设M -ABCD 的高为h ，令13×S 四边形ABCD ×h ＝16.因为S 四边形ABCD ＝1， 所以h ＝12.若体积小于16，则h <12，即点M 在正方体的下半部分， 所以P ＝12V正方体V 正方体＝12.(2)因为V 三棱柱ABC -A 1B 1C 1＝12×12×1＝12， 所以所求概率P 1＝V 三棱柱ABC -A 1B 1C 1V 正方体＝12.10．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因为x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，故所求概率为P 2＝S 2S ＝12.1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A .14 B.13 C .12D ．23解析：选C .如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C .2．任取实数a 、b ∈[－1，1]，则a 、b 满足|a －2b |≤2的概率为( ) A .18 B.14 C .34 D ．78解析：选D .建立如图所示的坐标系，因为|a －2b |≤2，所以－2≤a －2b ≤2表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a －2b |≤2的概率为S 阴影S 正方形＝78.3．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是( ) A .12 B.34 C .38D ．58解析：选B .因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2， 所以x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π12，3π4， 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[1，2]， 得22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1， 所以x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 故要求的概率为π2－0π2－⎝⎛⎭⎫－π6＝34.4.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866 B.500 C ．300D ．134解析：选D .设勾为a ，则股为3a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为3a －a ，所以题图中大正方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(3－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为（3－1）24＝1－32，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为⎝⎛⎭⎫1－32×1000≈134.5．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率． 解：(1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2.(2)①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13.②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2>4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4.6．已知关于x 的二次函数f (x )＝b 2x 2－(a ＋1)x ＋1.(1)若a ，b 分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y ＝f (x )恰有一个零点的概率；(2)若a ，b ∈[1，6]，求满足y ＝f (x )有零点的概率．解：(1)设(a ，b )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，共36个．用A 表示事件“y ＝f (x )恰有一个零点”，即Δ＝[－(a ＋1)]2－4b 2＝0，则a ＋1＝2b .则A 包含的基本事件有(1，1)，(3，2)，(5，3)，共3个，所以P (A )＝336＝112.即事件“y ＝f (x )恰有一个零点”的概率为112.(2)用B 表示事件“y ＝f (x )有零点”，即a ＋1≥2b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6，1≤b ≤6}， 构成事件B 的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6，1≤b ≤6，a －2b ＋1≥0}， 如图所示：所以所求的概率为P (B )＝12×5×525×5＝14.即事件“y ＝f (x )有零点”的概率为14.。

6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一 长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 【答案】12【解析】如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P ＝10＋1040＝12.【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________． 【答案】 23【解析】 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，解得p ≥2或23<p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．【答案】 34【解析】 由－1≤121log ()2x +≤1，得12≤x ＋12≤2，得0≤x ≤32.由几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝32－02－0＝34.考向二 面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【答案】（1）π48 （2）3π64【解析】（1）蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，∴面积为12×6×8＝24，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为12π×12＝π2，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为π224＝π48. (2)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A (4,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43，OA ⊥OB ，平面区域M 的面积S △AOB ＝12×423×42＝163，阴影部分的面积S ＝14×π×12＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P ＝S S △AOB ＝π4163＝3π64【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________． 【答案】 12【解析】 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC＝12. 2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 【答案】 12【解析】 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.考向三 体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【答案】（1）1－π12 （2）1－π4【解析】（1）记“点P 到点O 的距离大于1”为A ，P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12.（2）鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.【举一反三】1．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．【答案】 16【解析】 因为1A A BD V -＝1A ABD V -＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为1A A BD V V-长方体＝16.考向四 角度【例4】如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【答案 13【解析】 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域H 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB∠DAB ＝30°90°＝13. 【举一反三】1．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM >AC 的概率为________． 【答案】 16【解析】 设事件D 为“作射线CM ，使AM >AC ”．在AB 上取点C ′使AC ′＝AC ， 因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，事件D 发生的区域μD ＝90°－75°＝15°，构成事件总的区域μΩ＝90°，所以P (D )＝μD μΩ＝15°90°＝16.1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A B ．32π-C ．34π-D ．3π【答案】C【解析】如下图所示：设长方形的长为4，宽为2，则120AOB ∠=o∴阴影部分的面积2118221323S ππ⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭∴所求概率为：83423p ππ-==⨯本题正确选项：C2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ）A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243x x x x x x ，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率1392781243364x P x x x x x x ==+++++ ，故选C.3．已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭之内的概率为（ ）。

第6讲 几何概型一、选择题1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x ，即x ≤1，故所求的概率为( ) A.45B.35C.25D.15解析 在区间[－2，3]上随机选取一个数x ，且x ≤1，即－2≤x ≤1，故所求的概率为P ＝35. 答案 B2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( ) A.π3B.πC.2πD.3π解析 设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得S S ′＝13，则S ＝3π. 答案 D3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34B.23C.13D.14解析 由－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， 解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34，故选A.答案 A4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π×121×2＝π4. 答案 B5.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12B.1－π12C.π6D.1－π6解析 设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A .则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部. ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝23π.∴P (A )＝23－23π23＝1－π12.答案 B6.已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16B.13C.12D.23解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12. 答案 C7.设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4B.π－22C.π6D.4－π4解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.故选D. 答案 D8.(2017·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( ) A.14B.316C.916D.34解析 由x ，y ∈[0，4]知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分.易知A (4，2)，S 正方形＝16，S 阴影＝（2＋4）×42＝12.故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34.答案 D9.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是( ) A.78B.34C.12D.14解析 当点P 到底面ABC 的距离小于32时， V P －ABC ＜12V S －ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.答案 A10.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12π解析 因为复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )且|z |≤1，所以|z |＝（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，即点(x ，y )在以(1，0)为圆心、1为半径的圆及其内部，而y ≥x表示直线y ＝x 左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，即P ＝14·π·12－12×1×1π·12＝14－12π.答案 D 二、填空题11.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.答案 312.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.解析 因为VA －A 1BD ＝VA 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为VA －A 1BD V 长方体＝16. 答案 1613.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.解析 直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于3. 则|5k －0|k 2＋1＜3，解之得－34＜k ＜34，故所求事件的概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－（－1）＝34.答案 3414.(2017·唐山模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________.解析 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12－12×12＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1.答案4π－115.在区间[－1，4]内取一个数x，则2x－x2≥14的概率是()A.12 B.13 C.25 D.35解析由2x－x2≥14，得－1≤x≤2.又－1≤x≤4.∴所求事件的概率P＝2－（－1）4－（－1）＝35.答案 D16.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2 km，大圆的半径为4 km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3 km的概率为()A.112 B.512 C.13 D.15解析根据几何概型公式，小于3 km的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P与点O的距离小于3 km的概率为P(A)＝5π12π＝512.答案 B17.已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为()A.12 B.13 C.23 D.34解析由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其面积平分，如图，故所求概率为12.答案 A18.(2017·长春质检)在区间[0，π]上随机取一个实数x ，使得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的概率为( ) A.1πB.2πC.13D.23解析 由0≤sin x ≤12，且x ∈[0，π]， 解之得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π.故所求事件的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－56π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0π－0＝13.答案 C19.(2017·成都诊断)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) A.117B.217C.317D.417解析 ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝217. 答案 B20.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.23B.13C.89D.π4解析V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13，故点P 到O 的距离大于1的概率为23. 答案 A21.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A.p 1<p 2<12 B.p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1D.p 1<12<p 2解析 (x ，y )构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x ＋y ≤12的区域如图1中阴影部分所示，所以p 1＝12×12×121×1＝18，满足xy ≤12的区域如图2中阴影部分所示，所以p 2＝S 1＋S 21×1＝12＋S 21＞12，所以p 1＜12＜p 2，故选D.答案 D22.在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A.1－π8B.1－π4C.1－π2D.1－3π4解析 由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，可得Δ＝(2a 2)－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. 答案 B23.(2017·安徽江南名校联考)AB 是半径为1的圆的直径，M 为直径AB 上任意一点，过点M 作垂直于直径AB 的弦，则弦长大于3的概率是________. 解析 依题意知，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离小于12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，因此相应的点M 应位于线段AB 上与圆心的距离小于12的地方，所求的概率等于12. 答案 1224.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________.解析 由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.答案 12725.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×（12）2π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×（14）2π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316. 答案 131626.随机地向半圆0＜y ＜2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为________. 解析 由0＜y ＜2ax －x 2(a ＞0).得(x －a )2＋y 2＜a 2. 因此半圆域如图所示.设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa2＝12＋1π.答案 12＋1π。

第六节几何概型知识点一几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．1．判断正误(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．(√)(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．(×)解析：(1)正确．根据几何概型的概念可知正确．(2)正确．几何概型中的测度可为长度、面积、体积、角度等． (3)错误．与面积有关的几何概型的概率只与几何图形的面积有关，而与几何图形的形状无关．(4)错误．几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个． 知识点二 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).2．(2019·安徽质量检测)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( D )A.23B.58C.13D.38解析：该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB ，且AB ＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB ，且CB ＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P ＝1540＝38，故选D.3．(2019·重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( D )A.3π10B.3π20 C ．1－3π10 D ．1－3π20解析：如图，直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设其内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3，∴内切圆的面积为πr 2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P ＝1－9π12×8×15＝1－3π20.选D.4．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 与点O 的距离大于1的概率为1－π12.解析：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与点O 的距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V 1＝12×43π×13＝2π3.事件“点P 与点O 的距离大于1的概率”对应的区域体积为23－2π3.根据几何概型概率公式，得点P 与点O 的距离大于1的概率P ＝23－2π323＝1－π12.1．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．考向一 与长度、角度有关的几何概型【例1】 (1)(2018·贵阳市监测考试)某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间大于等于7分钟的概率为( )A.15B.710C.12D.310(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以点A 为圆心，1为半径作弧，交线段AB 于点E ，在DE 上任取一点P ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【解析】 (1)由几何概型的概率计算公式可知所求概率P ＝10－710＝310，故选D.(2)如图，连接AC ，交圆弧DE 于点P ，则tan ∠CAB ＝13＝33，∴∠CAB ＝30°，∵射线AP 与线段BC 有公共点的条件是射线AP 在∠CAB 内，∴所求概率为30°90°＝13.【答案】 (1)D (2)13(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解.解题的关键是构建事件的区域(长度).(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.(1)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是59.(2)如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，它的长度小于或等于半径长的概率为13.解析：(1)由6＋x －x 2≥0解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，故所求概率为3－(－2)5－(－4)＝59. (2)当AA ′的长度等于半径的长度时，∠AOA ′＝π3，由圆的对称性及几何概型得所求概率P ＝2π32π＝13. 考向二 与面积有关的几何概型方向1 与平面几何有关的几何概型【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3【解析】 解法1：设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12bc ，区域Ⅱ的面积S 2＝12π×(c 2)2＋12π×(b 2)2－[π×(a 2)22－12bc ]＝18π(c 2＋b 2－a 2)＋12bc ＝12bc ，所以S 1＝S 2，由几何概型的知识知p 1＝p 2，故选A.解法2：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－[π×(2)22－2]＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A.【答案】 A方向2 与线性规划有关的几何概型【例3】 两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是( )A.1136B.14C.12D.34【解析】因涉及两人见面时间，故考虑到是几何概型，建立坐标系列出满足条件的式子，计算出最终的概率．因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成，以5：30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系．设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤30,0≤y ≤30}，画成图为一正方形，见面的充要条件为|x －y |≤15，即事件A 可以见面所对应的区域是图中的阴影部分，故由几何概型概率公式知所求概率为面积之比，即P (A )＝302－152302＝34.故选D.【答案】 D方向3 与随机模拟有关的几何概型【例4】 从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2n m C.4m nD.2m n【解析】 设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤1，0≤y n≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn .故选C.【答案】 C求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．1．(方向1)(2019·湖南郴州质量检测)如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( C )A.π8B.π16 C ．1－π8D ．1－π16解析：如题图，设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意可知，8r ＝8，即r ＝1.∴图中黑色区域的面积为：S 1＝8×8－π×42＋4×π×12＋π×22＝64－8π，又正方形的面积S ＝64.∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率P ＝S 1S ＝64－8π64＝1－π8.故选C.2．(方向2)设点(a ，b )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －4≤0，a >0，b >0表示的平面区域内，则函数f (x )＝ax 2－2bx ＋3在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数的概率为( A )A.13 B.23 C.12D.14解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．若函数f (x )＝ax 2－2bx ＋3在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则⎩⎨⎧a >0，－－2b 2a ＝b a ≤12，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －2b ≥0，可得满足条件的平面区域为△OBC .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －4＝0，a －2b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝83，b ＝43，即C 83，43，则S △OBC ＝12×4×43＝83，又S △OAB＝12×4×4＝8，故所求概率P ＝S △OBC S △OAB ＝838＝13，故选A.3．(方向3)(2019·河南濮阳一模)如图所示的长方形的长为2、宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( B )A.n mB.2n mC.m nD.m 2n解析：长方形的面积为2，图中飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约为n m ，故图中飞鸟图案的面积约为2nm .故选B. 考向三 体积型几何概型【例5】 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为()A.34B.23C.13D.12【解析】 由题图可知V F -AMCD ＝13×S AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF -BCE＝12a 3，所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.【答案】 D与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为( C )A.913πB.113πC.913169πD.13169π解析：由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为32的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r 为三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的体对角线，即2r ＝42＋(32)2＋(32)2＝213，所以球的体积为5213π3，所以点落在四面体内的概率为125213π3＝913169π.。

8.1 线性规划一．二元一次不等式(组)表示的平面区域二.线性规划中的基本概念最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．三．可行域的判断方法1.直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．考向一截距型【例1】已知变量x，y满足约束条件{x+y−1≤03x−y+1≥0x−y−1≤0，则z=2x+y的最大值为__________．【举一反三】1．若变量x,y 满足约束条件{x ≤1x +y ≥03x −2y +5≥0 ，z =2x −y ，则z 的最小值为_______．2．已知实数x,y 满足{2x +3y −6≥0x −y +2≤0x ≤4，则z =x −3y +2的最大值为_______.考向二 斜率型【例2】（1）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0，则z ＝yx ＋1的最大值与最小值的比值为 。

（2）已知实数x ，y 满足{x −2y −4≤0y +1≥0y −lnx ≤0，则z =x+y+1x 的最大值是 。

（3）在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为 。

【举一反三】1．已知变量x ，y 满足{x −2y +4≥0x ≤2x +y −2≥0，则y+1x+2的取值范围是（ ）A. [14,1] B. [14,32] C. (−∞,14]∪[1,+∞) D. [1,32]2.已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为________．考向三 距离型【例3】（1）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2，则z ＝(x －1)2＋y 2的最大值为 。

高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。

第6讲几何概型[考纲解读] 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2.了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率．(重点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一. 预测2020年将会考查：①与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合；②与面积有关的几何概型，常涉及线性规划、定积分等内容. 题型为客观题，试题难度不大，属中、低档试题.1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的□01长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点3．几何概型的概率公式P(A)＝□01构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．概念辨析(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．故选A.(2)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34答案 B解析 解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.故选B.解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.故选B.(3)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．答案16解析 根据题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16.(4)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．答案 16解析 设事件M 为“动点在三棱锥A －A 1BD 内”， 则P (M )＝V 三棱锥A －A 1BDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD ＝16.题型 一 与长度(角度)有关的几何概型1．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14答案 A解析不等式－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1可化为log122≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤log1212，即12≤x＋12≤2，解得0≤x≤32，故由几何概型的概率公式得P＝32－02－0＝34.2．如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于点M，则使得AM 小于AC的概率为________．答案34解析当AM＝AC时，△ACM为以A为顶点的等腰三角形，∠ACM＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM＜67.5°时，AM＜AC，所以AM小于AC的概率P＝∠ACM的度数∠ACB的度数＝67.5°90°＝34.条件探究 1 把举例说明1的条件“－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1”改为“使函数y＝log124x－3有意义”，试求其概率．解由log12(4x－3)≥0得0＜4x－3≤1，即x∈⎝⎛⎦⎥⎤34，1，由几何概型的概率公式，得P＝1－342－0＝18.条件探究2 把举例说明1的条件“－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1”改为“2≤2x＋12≤4”，试求其概率．解由2≤2x＋12≤4得1≤x＋12≤2，即x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，由几何概型的概率公式，得P＝32－122－0＝12.1．与长度有关的几何概型(1)如果试验结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型求解．2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．1．已知函数f(x)＝－x3＋3x2，在区间(－2,5)上任取一个实数x0，则f′(x0)≥0的概率为________．答案27解析因为f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，所以由f′(x0)≥0，解得0≤x0≤2.由几何概型的概率计算公式得f′(x0)≥0的概率P＝2－05－－2＝27.2．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE︵，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为.答案13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13. 题型 二 与面积有关的几何概型角度1 与随机模拟相关的几何概型1．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn答案 C解析 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C.角度2 与平面图形面积有关的问题2．(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3答案 A解析 不妨取AB ＝AC ＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积为S △ABC ＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p 1＝p 2，故选A.角度3 与线性规划有关的几何概型3．在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825 答案 C解析 设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ＜65确定的平面区域，如图所示(阴影部分)，阴影部分的面积是1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.角度4 与定积分有关的几何概型4．(2015·福建高考)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案5 12解析由题图可知S阴影＝S矩形ABCD－⎠⎛12x2dx＝1×4－x3321＝4－⎝⎛⎭⎪⎫83－13＝53，则所求事件的概率P＝S阴影S矩形ABCD＝534＝512.1．与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．见举例说明1、2.2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．见举例说明3.3．与定积分交汇问题的解题思路先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率．见举例说明4.1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4答案B解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝12S圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P＝S黑S正方形＝π24＝π8.故选B.2．(2018·枣庄二模)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.316B.38C.14D.18答案C解析 把图中阴影正方形分割后，移成如图所示，观察图形可知此点取自阴影部分的概率是14.3．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0,1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22π C.1πD.12π答案 B解析 由题图可知矩形ABCD 的面积为2π，由sin x ＝cos x 得x F ＝π4，故阴影部分的面积为所以点落在阴影区域内的概率P ＝1＋22π.4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解 设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x ≠2y .基本事件为⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1所表示的区域，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y ＜0，x ≠2y ，如图，区域B 为图中阴影部分去掉直线x －2y ＝0上的点， 所以，P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.题型 三 与体积有关的几何概型某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为( )A.913πB.113π C.913169πD.13169π答案 C解析 由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为32的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r 为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的对角线，即2r ＝42＋322＋322＝213，所以球的体积为5213π3，所以点落在四面体内的概率为125213π3＝913169π.与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________．答案 12解析 过M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M －ABCD 的高，显然M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M －ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M －ABCD 的体积等于16.只要M 在截面以下即可小于16，当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.。

第五讲 指数及指数函数一．根式 1.根式的概念2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a (n 为奇数)，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0)(n 为偶数)；②(na )n＝a (注意a 必须使na 有意义)． 二．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；②正数的负分数指数幂是m na＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①a s a t＝as ＋t(a >0，t ，s ∈Q )；②(a s )t ＝a st(a >0，t ，s ∈Q )； ③(ab )t＝a t b t(a >0，b >0，t ∈Q )．三．指数函数的图象与性质 （1）指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R . （2）指数函数的图象与性质R 考向一 指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值： ①x +x−1；②x 2+x−2；③x 32−x−32x 12−x −12.【答案】（1）7 （2）52 （3）－6a b（4）①7②47③8【解析】(1)(12)−1+823+(2019)0=2+4+1=7（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425，=(32)3×13−312×2+(15)3×(−23)×425=32−3+4=52．（3）①因为x 12+x −12=3，所以(x 12+x −12)2=x +2+x −1=9,即x +x −1=7.②因为x +x −1=7所以(x +x −1)2=x 2+2x ⋅x −1+x −2=x 2+2+x −2=49，即x 2+x −2=47. ③x 32−x−32x 12−x −12=(x 12)3−(x−12)3x 12−x −12=(x 12−x−12)(x+1+x −1)x 12−x −12=x +1+x −1=8.【举一反三】1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.【答案】31 【解析】原式＝0.3−1−36+25634−(125729)−13+95−93×(−16)=103−36+43−95+95−13=31.故答案为：312．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 【答案】√3−√2【解析】(√3+√2)2015×(√3−√2)2016=[(√3+√2)(√3−√2)]2015×(√3−√2)=√3−√2. 故答案为：√3−√23．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．【答案】−1252【解析】原式=(14)12−(−2)2×(−2)4√2−1√2=12−4×16+(√2−1)−√2 =12−4×16+(√2+1)−√2=−1252，故答案为−1252.4.已知x ＋x －1＝3，则3322xx的值为．【答案】 2 5 【解析】11222()xx ＝x ＋2＋x －1＝5，11225,xx331112222()(1)xxxx x x ＝5(3－1)＝2 5.5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝. 【答案】55【解析】由已知得，a ＝3＋5，b ＝3－5，所以a ＋b ＝6，ab ＝4， 所以⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15.因为a >b >0，所以a >b ，所以a －b a ＋b ＝55. 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为．【答案】 27 【解析】 ∵2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为．【答案】 11＋13【解析】由a －1a＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝9，即a 2＋1a2－2＝9，故a 2＋a －2＝11.又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13，且a >0，所以a ＋a －1＝13.于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13.考向二 指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有（ ） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1 【答案】C【解析】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数,根据指数函数的定义得到a 2－3a ＋3=1，且a>0,解得a=1或2，因为指数函数的底数不能为1，故结果为2.故答案为：C.【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数 【答案】C【解析】∵y =（a 2–3a +3）⋅a x是指数函数，∴{a 2−3a +3=1a >0且a ≠1，解得a =2．故选C ．2．函数f （x ）=（2a –3）a x 是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32 C ．4 D ．2【答案】D【解析】函数f （x ）=（2a-3）a x 是指数函数，∴2a-3=1，解得a=2；∴f （x ）=2x ，∴f （1）=2．故选：D ． 3．函数f (x )=(m 2−m −1)a x 是指数函数，则实数m =（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．2或−1 【答案】D【解析】由指数函数的定义，得m 2−m −1=1，解得m =2或−1，故选D.考向三 指数函数的单调性【例3】函数f (x )=51−|2x+4|的单调递增区间为（ ） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【答案】D【解析】由题意，函数f (x )的定义域为R ， 设u =g (x )=1−|2x +4|={−2x −32x +5 x >−2x ≤−2，则g (x )在(−2,+∞)上单调递减，在(−∞,−2]上单调递增， 又因为y =5u 在R 上单调递增，根据复合函数的单调性， 可得函数f (x )的单调递增区间为(−∞,−2].【举一反三】 1.函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（ ）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)【答案】D【解析】因为y =e x ，是指数函数，是增函数，y =−x 2+4x −9是开口向下的二次函数， 所以x ＜2时，二次函数y =−x 2+4x −9是增函数，x ＞2时，y =−x 2+4x −9是减函数，由复合函数的单调性可知：函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（−∞，2）．故选：D ．2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．【答案】 [0，＋∞)【解析】 设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x在R 上单调递增，所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．【答案】 [2，＋∞)【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．考向四 指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数y =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 。

6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一 长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．考向二 面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【套路总结】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．【套路总结】求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．考向三 体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【举一反三】1．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．【套路总结】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．考向四 角度【例4】如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【举一反三】1．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM >AC 的概率为________．1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．34π- B ．332π-C ．334π-D ．33π-【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ）A ．140B ．1121C ．1364D ．110933．已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在3,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭之内的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．234．在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（ ）A ．25 B ．35 C ．15 D ．235．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2)4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．866B ．500C ．300D ．1346．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设∠BEC =15°，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角ΔCDE 中（阴影部分）的概率是（）A ．√32B ．34C ．23D ．√227．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（ ）A ．310B ．23C ．35D ．458．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π9．在区间[0,2]π上随机取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23 D ．．3410．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．1311．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.32C ．0.36D ．0.6412．如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A．1πB．12πC．1142π-D．112π-13．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）.A．215πB．320πC．2115π-D．3120π-14．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )A．2π332(π3)--B．32(π3)-C ．32(π3)+D ．2π332(π3)-+15．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．24D ．2316．如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设33DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边角形的概率是（ ）A ．37B ．217C ．413D ．2131317．关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对()(),y 01,01x x y <<<<；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数n ，m 估计π的值.那么可以估计π的值约为（ ）A ．m nB ．n mn- C ．()4n m n- D ．4mn18．如图，矩形ABCD 满足2BC AB =，E 为BC 的中点，其中曲线为过,,A D E 三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．13C ．14D ．24π-19．如图所示的程序框图，满足2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．3420．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．332π-B ．634π-C ．33πD ．63π21．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形（阴影部分）放在圆内，现在向圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为（ ）A ．11π- B ．1π C ．2π D ．41π-22．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：3 2.09460.8269≈）（ ）A ．3.1419B ．3.1417C ．3.1415D ．3.141323．在区间[]4,4-上任取一个实数a ，使得方程22123x y a a +=+-表示双曲线的概率为（ ） A ．18 B ．14 C ．38 D ．5824．P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ）A ．1325B ．35C ．1225πD ．35π25．一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为________.。

9.2 空间几何体的体积及表面积一．多面体的面积和体积公式二．旋转体的面积和体积公式表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台上、下底面半径，12表示半径.考向一 体积求法【例1】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．1 C.23D.13【答案】 C【解析】 几何体如图，由三视图得底面为对角线为2的正方形，高为1，所以体积为13×12×2×1×2×1＝23，故选C.【举一反三】1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 80B. 160C. 240D. 480 【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是如图所示的四棱锥111A BB D D -，且该四棱锥的底面四边形为矩形，其中221=10,6+8=10BB BD =，高为1A 到11B D 的距离，即6824=105⨯。

所以该几何体的体积为()124101016035V =⨯⨯⨯=。

选B 。

2.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23 B.33 C.43 D.32【答案】 A【解析】如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， 取AD 的中点O ，连接GO ，易得GO ＝22， ∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴多面体的体积V ＝V 三棱锥E －ADG ＋V 三棱锥F －BCH ＋V 三棱柱AGD －BHC ＝2V 三棱锥E －ADG ＋V 三棱柱AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.考向二 表面积【例2】一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图和俯视图均为边长等于2的正方形，则这个几何体的表面积为( )A ．16＋4 3B ．16＋4 5C ．20＋4 3D ．20＋4 5【答案】 D【解析】 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体的内部挖去一个底面边长为2的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为S ＝5×22＋4×12×2×5＝20＋45，故选D.【举一反三】1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．34π+B ．942π+C ．42π+D ．1142π+ 【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，其底面半径为1，高为2，故其表面积：2339212122214442S πππ=⨯⨯+⨯+⨯⨯=+，故选：B ． 2．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由长方形及其一条对角线组成，长方形的宽为3,俯视图为等腰直三角形，直角边长为4,则该多面体的体积是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】C 【解析】由三视图知，该几何体是四棱锥，故13163V =⋅⋅=(或221=44316332V V 三棱柱=⋅⋅⋅⋅=)故选C .1．一个几何体的三视图如图所示，若主视图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，左视图是底边为2的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．113C ．2D ．4【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥， 画出几何体的直观图，如图，把几何体补形为一个直三棱柱ABG DCH -， 由三视图的性质可知三棱柱的底面面积12112ABG S ∆=⨯⨯=，高4BC =， 所以4ABG DCH ABG V S BC -∆=⋅=，13E DCH F ABG ABG V V S --∆==13FG ⋅=,所以，几何体的体积为11104333--=.故选A. 2．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是632π，则它的表面积是（ ）A ．17πB ．18πC ．1534πD ．36π【答案】C【解析】由三视图可知几何体为一个球去掉其18，如下图所示：∴几何体体积：33477633862V R R πππ=⨯==，解得：3R = ∴几何体表面积：227163271534384244S R R πππππ=⨯+⨯=+=本题正确选项：C3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．1BCD ．2【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥P ABCD -，其中1PA PB PC PD AB BC CD DA ========,所以1,,222PAB PAD PDC PBC S S S S ∆∆∆∆====，选C.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．46B ．48C ．50D ．52【答案】B 【解析】该几何体是如图所示的一个四棱锥P ABCD -，棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直， 4个侧面都是直接三角形，由所给数据可得该几何体表面积为34542444822S ⨯⨯⎛⎫=⨯++⨯=⎪⎝⎭，故选B. 5．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．4C ．2+D ．4+【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为为正四棱锥：底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．故122422422S =⨯+⨯⨯⨯⨯=+D ．6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积和为（ ）A ．2+B ．4+C ．3D ．4【答案】B【解析】由几何体的三视图可知该几何体为：此四棱锥的三个侧面都为直角三角形．故11122222222S =⨯⨯++⨯⨯4=+B ． 7．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）A ．48+B ．18+C ．36+D ．36+【答案】A【解析]由题意，根据给定的三视图，可得该几何体为一个三棱锥，其底面是边长为6的等腰直角三角形，顶点在底面上的正投影是斜边的中点，由底面是边长为6的等腰直角三角形知其底面积是166182⨯⨯=， 又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥的高为4，所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形的高是4，底边长为 其余两个侧面三角形的高为5，底边长为6，故三个侧面中与底面垂直的侧面三角形的面积为142⨯⨯= 另两个侧面三角形的面积都是165152⨯⨯=，故此几何体的表面积是1821548+⨯+=+，故选A. 8．如图所示是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．2+B ．3+C ．3D ．2+【答案】D【解析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ﹣ABC ，故AC ＝1，PA ﹣2，BC AB PB PC ===∴S ABC ＝S PAC ＝1122(1,)(1,)x y x y λ+=+，122PAS S ∆=⨯⨯=，12PBC S ∆=⨯=∴多面体的表面积为2．故选：D ．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A 5B 9C 10D ．10【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（侧棱PA 垂直于底面ABCD ），其直观图如图所示，在直角梯形ABCD 中，CD ===；同理，PB ===PD ===3PC ===；在PCD ∆中，2222223cos26PC CD PDPCDPC CD+-+-∠===，∴sin PCD∠==，∴11sin322PCDS PC CD PCD∆=∠=⨯⨯=，1111222,2332222PAB PADS PBAB S PA AD∆∆==⨯⨯===⨯⨯=，11122PBCS PB BC∆==⨯=235 PCD PAB PADPBCS S S S S∆∆∆∆=+++=+.故选A. 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A．B．C．2D．8+【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD-，三角形BCD 是等腰直角三角形且4CB CD ==，8BCD S ∴=△；ABC 是直角三角形，AB =ABC S ∴=△ACD 是等腰三角形，且AC AD ==ACD S ∴=△又4BD =22AB AD ∴+=2BD ，90BAD ∴=∠，ABD S ∴=△，∴该几何体的表面积是8+ D. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3+B ．3+C ．2D ．2+【答案】A【解析】该几何体为两个三棱锥组合体，直观图如图所示，所以表面积为141122S =⨯⨯⨯+2134⨯+=+故选A.12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．8+4√6B．4+2√6C．43D．23【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥的直观图如下：其中三棱锥的高为2，底面等腰三角形ABC的底边AC=2，高为2，由勾股定理，得PB=√22+22=2√2，PA=PC=BA=BC=√5，则该三棱锥的表面积是S=12×2×2×2+12×2√2×√(√5)2−(√2)2×2=4+2√6.故选B.13．如图是一个几何体的三视图，分别为直角三角形，半圆，等腰三角形，该几何体由一平面将一圆锥截去一部分后所得，且体积为6π，则该几何体的表面积为（）A ．45π2+12 B ．15π2+12C ．12π+12D ．9π2+18【答案】C【解析】由三视图得几何体原图是半个圆锥，圆锥底面半径为3， 设圆锥的高为h,则6π=12⋅13⋅π⋅32⋅ℎ,∴ℎ=4,所以母线为√32+42=5.所以几何体的表面积为12⋅π⋅32+12⋅6⋅4+12⋅2π⋅3⋅5⋅12=12π+12.故选：C14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ．2π C ．83πD ．8π【答案】B【解析】由几何体三视图可知：该几何体为圆柱，且圆柱的底面圆半径为1，高为2， 所以圆柱的体积为2122V ππ==.故选B15．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A．283π-B．83π-C．15 D．23π【答案】A【解析】由题意可知该几何体是正方体中放置一个倒立的圆锥，那么可知其底面半径为1，高度为2，那么其体积122223Vπ=⨯⨯-⨯=283π-，选A16．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．20 B．10 C．30 D．60 【答案】B【解析】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=本题正确选项：B 17．在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A ．3B ．C D【答案】C【解析】如图，延长CA 至D ，使得3AD =，连接,DB PD ， 因为3AD AB ==，故ADB ∆为等腰三角形， 又180120DAB CAB ∠=︒-∠=︒，故()1180120302ADB ∠=︒-︒=︒， 所以90ADB DCB ∠+∠=︒即90DBC ∠=︒，故CB DB ⊥，因为4,5,3PB PC BC ===，所以222PC PB BC =+，所以CB PB ⊥， 因DBPB B =，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ， 所以13PBD P CBD C PBD V V CB S ∆--==⨯⨯三棱锥三棱锥， 因A 为DC 的中点，所以1113262PBD PBD P ABC P CBD V V S S ∆∆--==⨯⨯=三棱锥三棱锥， 因为3DA AC AP ===，故PDC ∆为直角三角形，所以PD ==又DB ==4PB =，故222DB PD PB =+即PBD ∆为直角三角形，所以142PBD S ∆=⨯=P ABC V -=三棱锥 C.18．如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．40B ．103C ．163D ．803【答案】D【解析】根据几何体三视图可得，该几何体是三棱柱BCE AGF -割去一个三棱锥A BCD -所得的几何体；如图所示：所以其体积为11118044444423223V ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.故选D 19．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．83D 【答案】C【解析】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥A BCDE -为三视图还原后的几何体， CBA 和ACD 是两个全等的直角三角形；A C=C D=B C=2，几何体的体积为：1822233⨯⨯⨯=， 故选：C20．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．1003B ．1043C ．27D ．18【答案】B【解析】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436233V =++⨯=.故选：B 21．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 （）A ．23B ．43C ．53D ．4【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的四棱锥，其中ABCD 为矩形，PA AB ⊥，PA AD ⊥，易知该几何体的体积14233V =⨯=（故选B22．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．16B．43C．83D．4【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥如下图所示P－ABC，体积V＝114222 323⨯⨯⨯⨯=故选：B23．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A ．253πB ．263πC ．223πD ．233π【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，如图所示，可知原几何体为组合体，是半径为2的球的34与半径为1的球的14，其球的组合体的体积33341425V 2143433πππ=⨯⨯+⨯⨯=.故选：A ．24．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）A ．5πB ．6πC ．62π+D ．52π+【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为22π1π12π11215π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，故选D.25．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．316π B ．163π C ．173π D ．356π 【答案】A【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体是在一个半球中挖出四分之一圆锥， 其中球的半径为2R =，圆锥的底面半径为1r =，高为2h =， 故所求体积为3214113121223436V πππ=⨯⋅⋅-⨯⋅⋅⋅=，故选A. 26．鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为A ．334000mmB ．333000mmC ．332000mm D ．330000mm【答案】C【解析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V ＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm 3）．故选：C ．27．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．233π-B ．133π- C ．81633π- D ．8833π- 【答案】D 【解析】根据三视图可知，该几何体是半径为2的14球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示： 则该几何体的体积为31411882422433233V ππ=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-,故选D ． 28．如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为( )A ．6B ．8C ．D ．【答案】B【解析】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中的四棱锥11C DEE D -，其中在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2,3AB AD AA ===，点1,E E 分别为11,AB A B 的中点．由题意得CE DE ==CE DE ⊥，又1CE EE ⊥，所以CE ⊥平面11DEE D 即线段CE 即为四棱锥的高．所以111111(3833DEE D C DEE D V S CE -=⋅⋅=⨯⨯⨯=四棱锥.故选B ． 29．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48+B ．40+C ．48+D ．44+【答案】C【解析】由三视图知，该几何体的直观图为多面体EFGD CBA -，如图所示 其中四边形ABCD 是边长为4的正方形，所以16ABCD S =，四边形EBAF 和GDAF 为全等的直角梯形， 所以244122EBAF S +=⨯=，4BCE DCG S S ∆∆==，四边形ECGF 是菱形，其对角线长分别为24和所以12ECGF S =⨯=所以该几何体的表面积为421621248⨯++⨯+=+ C.30．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积为（ ）A ．2+B ．C ．4+D ．2+【答案】A【解析】将三棱锥S ABC -放到正方体中，由三棱锥的三视图知，SBC ∆是等腰直角三角形，2SC BC ==，12222SBC S ∆=⨯⨯=，AS SC ⊥，122ABC SAC S S ∆∆∴==⨯⨯=，(24SAB S ∆==,∴三棱锥的表面积为：2+,故选A .31．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．22π3B ．23π3C ．25π3D ．26π3【答案】C【解析】由几何体的三视图，可确定该几何体为一个大球的34，和一个小球的14组合而成， 由题意可得，大球的半径为2，小球的半径为1， 所以该几何体的体积为34×43π×23+14×43π×13=253π.故选C32．如图，某几何体的三视图都是边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A ．12B ．56C ．13D ．23【答案】D【解析】如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，三视图所对的几何体为该正方体去掉三棱锥111B A B C -和三棱锥1A ABD -所得的组合体，其体积为：311212111323V ⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.33．如图．网络纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为______．【答案】83π+【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为21112241282233V V V ππ=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+三棱柱半圆锥．故答案为：83π+．34．某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图为正方形，则该三棱锥的体积为______.【答案】16【解析】设三棱锥为P ﹣ABC ，O 为P 在底面上的射影， 由三视图可知ABCO 为边长为1的正方形，且棱锥的高PO ＝1，∴三棱锥的体积11111113326ABCV S PO∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=．故答案为：16．。

第一讲 三角函数的定义及运用一．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z)． (3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．④弧长公式：l ＝|α|r . 二．任意角的三角函数1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)． 2.三角函数在每个象限的正负如下表：三角函数 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ tan α＋－＋－3.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .【套路秘籍】---千里之行始于足下三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线考向一 角度值、弧度制、终边相同角【例1】（1）sin 53π的值为（ ）A ．−12B ．−√32C ．12D ．√32（2）2100°的弧度数是（ ） A ．35π3B ．10πC ．28π3D ．25π3（3）角α=−60°+k ⋅180°(k ∈Z)的终边落在（ ）A ．第四象限B ．第一、二象限C ．第一象限D ．第二、四象限 【答案】（1）B （2）A （3）D【解析】（1）由题意可得：sin (53π)=sin (2π−π3)=−sin π3=−√32.故选：B .（2）由题意得2100∘=2100×π180=35π3，故选A.（3）令k =0，α=−60°，在第四象限；再令k =1，α=120°，在第二象限答案选D【举一反三】1．角－870°的终边所在的象限是第________象限． 【答案】 三【解析】 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．【套路总结】1.弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．2.终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z)．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始2.若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y =−√3x 上，则角α的取值集合是（ ）A ．{α|α=2kπ−π3,k ∈Z} B ．{α|α=2kπ+2π3,k ∈Z}C ．{α|α=kπ−2π3,k ∈Z} D ．{α|α=kπ−π3,k ∈Z}【答案】D【解析】因为直线y =−√3x 的倾斜角是2π3 ，所以终边落在直线y =−√3x 上的角的取值集合为{α|α=kπ−π3,k ∈Z}或者{α|α=kπ+2π3,k ∈Z}.故选D.3．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，那么A ，B ，C 的关系是（ ） A ．B =A ∩C B ．B ∪C =C C ．A ⊆B ∩C D ．A =B =C【答案】B【解析】∵A ={第一象限角}={α|k ⋅360∘<α<k ⋅360∘+90∘,k ∈Z}；B ={锐角}={α|0∘<α<90∘}；C ={小于90°的角}={α|α<90∘}．∴B ∪C ＝{小于90°的角}＝C ，即B ⊂C ，且B ⊂A ，则B 不一定等于A ∩C ，A 不一定是C 的子集，三集合不一定相等， 由集合间的关系可得B ∪C =C ．故选B ．考向二 三角函数的定义【例2】（1）若点P （1，－2）是角a 的终边上一点，则2cos a = （） A ．25B ．35C ．35D ．255（2）已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________.（3）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且OP ＝2，则点P 的坐标为________．（4）如图，点A 为单位圆上一点， 3XOA π∠=点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B(-45，35)则cos α=( )A ．33410- B ．43310+ C ．34310- D ．34310+ 【答案】（1）B （2）－32 （3） (－1，3) （4）A【解析】（1）因为点P （1，－2）是角a 的终边上一点，所以2222551(2)sina -==-+-.所以2225321212()55cos a sin a =-=-⨯-=-.故选B. （2）由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时，sin α·tan α＝－32. 当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32.（3）由题意可知，点P 在角2π3的终边上，所以x P ＝2×cos 2π3＝－1， y P ＝2×sin2π3＝3，则点P 的坐标为(－1，3)． （4）由题意得：43cos ,sin 3535ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13cos sin 2323ππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1433334252510-⎛⎫=⨯-+⨯=⎪⎝⎭故选A【举一反三】1．在平面直角坐标系xOy 中，1322P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，是角α终边上的一点，则sin2α=（ ） 【套路总结】三角函数定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．A ．12B ．32C ．12-D ．32-【答案】B【解析】因为1322P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，是角α终边上的一点，所以由三角函数定义得31sin ,cos 22y x r r αα====， 所以3sin 22sin cos 2ααα==故选：B ． 2.已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．【答案】 10【解析】 根据三角函数的定义，得tan α＝－6x ＝－35，所以x ＝10.3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．【答案】 12【解析】 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝±12， 又cos α＝－45<0，所以－8m <0，即m >0，所以m ＝12.4．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且OP ＝10，则m －n ＝________. 【答案】 2【解析】 由已知tan α＝3，∴n ＝3m ，又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1. 又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3.故m －n ＝2.5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32【解析】 点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12， y ＝sin2π3＝32.考向三 三角函数正负判断【例3】（1）如果sinα<0且tanα<0，则角α的终边可能位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角．【答案】（1）D （2）二【解析】（1）由sin α<0，则角α为位于第三、四象限，又由tan α<0，则角α为位于第二、四象限， 所以角α为位于第四象限，故选D ． （2）由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上可知，θ2为第二象限角．【举一反三】1.若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在第________象限． 【答案】 三【解析】 ∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角．∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角．2．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2＝________.【答案】 0【解析】 由于α是第三象限角，所以α2是第二或第四象限角．当α2是第二象限角时，y ＝sin α2sin α2＋－cosα2cosα2＝1－1＝0； 当α2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cos α2cosα2＝－1＋1＝0.综上可知，y ＝0. 【套路总结】三角函数在每个象限正负的判断1. 方法一：一全正，二正弦，三正切，四余弦2. 方法二：正弦看y 轴，余弦看x 轴，正切一三正二四负。

6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一 长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 【答案】12【解析】如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P ＝10＋1040＝12.【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________． 【答案】 23【解析】 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，解得p ≥2或23<p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．【答案】 34【解析】 由－1≤121log ()2x +≤1，得12≤x ＋12≤2，得0≤x ≤32.由几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝32－02－0＝34.考向二 面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【答案】（1）π48 （2）3π64【解析】（1）蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，∴面积为12×6×8＝24，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为12π×12＝π2，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为π224＝π48. (2)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A (4,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43，OA ⊥OB ，平面区域M 的面积S △AOB ＝12×423×42＝163，阴影部分的面积S ＝14×π×12＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P ＝S S △AOB ＝π4163＝3π64【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________． 【答案】 12【解析】 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC＝12. 2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 【答案】 12【解析】 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.考向三 体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【答案】（1）1－π12 （2）1－π4【解析】（1）记“点P 到点O 的距离大于1”为A ，P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12.（2）鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.【举一反三】1．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．【答案】 16【解析】 因为1A A BD V -＝1A ABD V -＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为1A A BD V V-长方体＝16.考向四 角度【例4】如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【答案 13【解析】 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域H 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB∠DAB ＝30°90°＝13. 【举一反三】1．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM >AC 的概率为________． 【答案】 16【解析】 设事件D 为“作射线CM ，使AM >AC ”．在AB 上取点C ′使AC ′＝AC ， 因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，事件D 发生的区域μD ＝90°－75°＝15°，构成事件总的区域μΩ＝90°，所以P (D )＝μD μΩ＝15°90°＝16.1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A B ．32π-C ．34π-D ．3π【答案】C【解析】如下图所示：设长方形的长为4，宽为2，则120AOB ∠=∴阴影部分的面积2118221323S ππ⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭∴所求概率为：83423p ππ-==⨯本题正确选项：C2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ）A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243x x x x x x ，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率1392781243364x P x x x x x x ==+++++ ，故选C.3．已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭之内的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．23【答案】A【解析】当a b > 时2223142a b a b a -<<⇒< ，当a b < 时,同理可得2ba <,则由下图可得所求的概率21121222t tP t ⨯⨯== ，故选A.4．在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（ ）A ．25 B ．35 C ．15 D ．23【答案】A【解析】因为()5,112D d ==--=，所以由几何概型的计算公式可得25d P D ==，应选答案A 。

第八讲 三角函数与其他知识的综合运用考向一 解三角形与三角函数综合【例1】 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角。

(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围。

【答案】见解析【解析】(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A 。

因为B 为钝角，所以A 为锐角，所以π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2。

(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4。

于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98。

因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98。

由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98。

【举一反三】1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________。

【答案】9【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【解析】因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin120°＝12a sin60°＋12c sin60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9。

第七讲 椭圆双曲线抛物线与直线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置方法 1.方法一：代数法（常用） 代数法求位置关系的基本思路①联立直线方程与圆锥曲线方程，消y （或消x ）得到一个关于变量x （或者变量y ）的一元方程ax 2＋bx ＋c ＝0（或ay 2＋by ＋c ＝0）②当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式为Δ，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离.当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点， 此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合．注意：联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况 2.方法二：几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 3.方法三：数形结合运用（小题）（1）直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系 (2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系考向一 直线与椭圆的位置关系【例1】已知直线:2l y x m =+，椭圆C ：22142x y +=．试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个不重合的公共点； （2）有且只有一个公共点； （3）没有公共点．【答案】见解析【解析】将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组222142y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298240x mx m ++-= ①，判别式222(8)49(24)8(18)m m m ∆=-⨯-=-- （1）当0∆>，即m -<<方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点（2）当0∆=，即m =±直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点（3）当0∆<，即m <-m >l 与椭圆C 没有公共点 【举一反三】1．已知直线l 过点(0,−1)，椭圆C ：x 225+y 236=1，则直线l 与椭圆C 的交点个数为 。