八年级下册数学-变量与函数

第15讲变量与函数
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1.函数概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量；
2.确定函数自变量取值范围；
3.描点法画函数图象的一般步骤与方法：(1)列表；(2)描点；(3)连线；
4.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
板块一确定常量与变量，列函数解析式
方法技巧
判断变量之间是否存在函数关系：主要抓住两点：一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应.
题型一判定常量与变量，列函数解析式
例1如图，将一个边长为1的正方形纸片，剪成四个大小一样的正方形，再将其中一个小正方形按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察图形和所给表格中的数据后先填空再解答：
(1)填空：
操作次数 1 2 3 4 5 6 …
正方形总个数(互不重叠交叉) 4 7 10 13 …
(2)设操作次数为n，写出正方形总个数s(个)与n(次)之间的关系式,并指出其中的常量和变量. 例2如图，在△ABC中，AC的长为8cm，AC边上的高为BD，当点P在线段BD上从点B
向点D运动时，△APC的面积发生了变化.
(1)当高PD从6cm变化到2cm时, △APC的面积S的变化范围；
(2) 若BD = 6cm，动点P沿射线匀速运动，速度为l cm/s,指出△P AC的面积y(cm2)与点P
运动时间t之间的关系，并求出当S△P AC =1
3
S△ABC时的t值.
针对练习1
1. （2017威海）某物体从上午7时至下午4时的温度m(℃)是时间t(h)的函数，m=t2-5t+100(其中t = 0 表示中午12时，t =- l表示上午11时，t = l表示13时），则上午10时此物体的温度为℃.
2.已知变量x，y，m满足下列关系：y = 2m –4，m = 2 – 2x，则y与x之间的关系式为.
3.如图，已知AB = 2，AD = 4，∠BAD = 90°，AD∥BC，E是射线BC上的动点（点E与点B不重合)，M是线段DE的中点，设BE=x，△ABM的面积为y，求y与x的函数关系式.
【板块二】确定函数自变量的取值范围
方法技巧
函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：
(1)不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法:
类型特点自变量的取值范围举例
整式型等式右边是关于自
变量的整式
全体实数y=x2+5x-6
分式型 (含负指数) 等式右边是关于自
变量的分式 使分母不为0的实数 y=12
x + 根式型 等式右边是关于自
变量的开偶次方的
式子 使被开方数大于或等于0的实数 y=5x -
零次幂 等式右边是关于自
变量的零次幂 使底数不为0的实数 y=(x – 1)0
(2)当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使自变量 表示的实际问题有意义.
题型二 函数解析式中自变量取值范围的确定
【例1】求下列函数中自变量x 的取值范围：
(l)y = 3x - 2; (2) y=11x -； (3)y = 3x +"；
(4)y =(x + 2)0 ; (5)y = 4a a
-; (6)y =3x - +5x -; (7)y = (2x - l)-2. 题型三 应用题中函数自变量取值范围的确定
【例2】现将500本笔记本捐助给贫困学生，每人5本，写出余下的笔记本数y (本）和学生x (人）之间的函数解析式，并求出自变量x 的取值范围.
题型四 几何图形中自变量取值范围的确定
【例3】已知矩形ABCD 中，AB = 80cm ，BC =60cm ，动点P 从点A 出发，沿着矩形的边自 运动到点D ，速度为2 cm/s ，设运动时间为t (s)，△APD 的面积为y (cm 2)，求y 与t 之间的函数解析式.
针对练习2
1.(1)函数中y =211x x --自变量x 的取值范围是 ; (2)函数y =(x - 2)0 + (x - 1)-2中自变量x 的取值范围是 ;
(3)函数y=24
x x +自变量x 的取值范围是 ; 2, 在等腰△ABC 中，底角为y （单位:度），顶角为x (单位:度）.
(1) 写出y 与x 的函数解析式；
(2) 求自变量x 的取值范围.
3. △ABC 中，AB =AC ，AB+AC+BC=20，设BC =x ，AB = y ；.
(1) 写出y 与x 的函数解析式；
(2) 求自变量x 的取值范围.
4, 如图，在靠墙(墙长18m)的地方围建一个矩形的鸡场，另三面用竹篱笆围成，如果竹篱笆长为36m ，试写出鸡场长y (m)与宽x (m)的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围.
5, (2019改編题）如图，矩形ABCD 中，AB = 7，BC =4，点P 是AB 边上的动点（不与点A ,B 重合），过点P 的直线交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F (不与点D 重合），且∠APF =45°，设PB = x ，四边形BCEP 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围.
【板块三】函数的图象
方法技巧
通过函数的解析式列表，画出图象，根据图表读出其中的信息来解决实际问题，体现了数学中的一个重要思想——数形结合思想.
题型五根据情景确定函数图象
【例1】如图所示，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路线匀速移动，设P点经过的路线长为x，△APD的面积为y，则能大致反映y与x的函数关系的是（）
【例2】如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧秤匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数F(kg)与时间t(s)的函数图象大致是( )
题型六根据函数图象解答问题
【例3】小明与小亮从学校出发到距学校5km的图书馆看书，图中反映了他们两人离开学校的路程s (km)与小明离开的时间t(s)的关系.根据图中的信息回答下列问题：
(1)小明与小亮谁先出发？先出发几分钟？
(2)小明前20分钟的速度是km/h;小明最后l0 min的速度是km/h；
(3)小明与小亮从学校到图书馆的平均速度各是多少？
【例4】A，B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A，B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A，B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行，甲到达A地时停止行走，乙到达A地也停止行走，在整个行走过程中，甲，乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲，乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x(分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)求甲、乙两人行走的速度；
(2)求甲从开始到停止用的时间；
(3)求乙到达A地时5甲与A地相距的路程。

题型七求特定字母的值
例5 如图反映的过程是：小强从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，如果菜地和玉米地的距离为a千米,小强在玉米地除草比在菜地浇水多用的时间为b分钟，则a，b的值分别为（）
【例6】张老师为锻炼身体一直坚持步行上下班. 已知学校到张老师家总路程2 000米.一天，张老师下班后，以45米/分的速度从学校往家走，走到离学校900米时，正好遇到一个朋友，停下来聊了半小时，之后以110米/分的速度走回了家，张老师回家过程中，离家的路程s(米)
与所用时间t(分)之间的关系如图所示。

(1)求a,b,c的值；
(2 )求张老师从学校到家的总时间.
题型八根据实际情况画函数的图象
例7 已知点P(x，y)是第一象限内的点，且x + y = 8，点A的坐标为（10,0），设△OAP的面积为S。

(1) 求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2) 画出函数图象。

针对练习3
1.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中的（）
2.如图，在等腰三角形ABC中，直线l垂直于底边BC，现将直线l沿线段BC从点B匀速平移至点C，直线l与△ABC的边相交于E，F两点，设线段的长度为y，平移时间为t，则能较好地反映y与t的函数关系的图象是（）
3.某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家(张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走).如图是两人离家的距离:y(米)与张强出发的时间x(分)之间的函数图象.根据图象信息解答下列问题:
(1)求张强返回时的速度；
(2)妈妈比按原速返回提前多少分到家？
(3)请直接写出张强与妈妈何时相距1 000米.。