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四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
第2次课相遇问题拔高类型知识点回顾：相遇问题的基本关系式：（）（）（）知识点简析：例题1.父亲在儿子读书的学校教书，每天父子二人步行去学校，父亲每分钟比儿子多走20米，30分钟后父亲到学校，到校后发现未带钥匙，立即原路返回，在离校350米处碰上儿子。
儿子每分钟行多少米？例题2.东西两镇相距44千米，甲乙两人同时从东西两镇相向而行，2小时后丙从东镇骑车出发去追甲，结果三人同时在某地相遇。
已知甲每小时行5千米，乙每小时行6千米，求；丙的骑车速度.例题3.小汽车、货车和客车的速度分别为每小时75千米，60千米和50千米，小汽车和客车从甲地开往乙地，货车从乙地开往甲地，如果它们同时出发，货车遇到小汽车后20分钟又与客车相遇。
问甲乙两地相距多少千米？例题4.甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。
甲车从A地、乙车从B地同时出发相向而行。
两车相遇后4.5小时甲车到达B地，A、B两地相距多少千米？例题5.甲乙两辆汽车分别以不同的速度从A、B两城相对而行，途中相遇，相遇点距A城80千米，相遇后两车继续以原速前进，到达对方出发地后两车立即返回，在途中第二次相遇，这时相遇点距A城50千米，求AB两城相距多少千米？（思考如果把划线部分，改为距B城50千米。
）课堂练习：1.甲、乙二人上午7时同时从A地去B地，甲每小时比乙快8千米。
上午11时甲到达B地后立即返回，在距B地24千米处与乙相遇。
求A、B两地相距多少千米？2.甲、乙二人同时从东村到西村，甲每分钟行120米，乙每分钟行100米，结果甲比乙早5分钟到达西村。
东村到西村的路程是多少米？3.甲乙两列火车同时从A、B两站相向开出，在离A站60千米的地方相遇后，两车仍以原速度继续前进，各车分别到达对方出发点立即返回，又在离B站30千米的地方相遇，问A、B两站相距多少千米？4.甲乙两辆汽车同时从东站开往西站。
甲车每小时比乙车多行12千米，甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距离西站31.5 千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？5.甲乙丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。
高斯求和若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5，…，100（2）1，3，5，7，9，…，99（3）8，15，22，29，36，…，71想一想：上面的数列是否是等差数列？你怎么知道的？每一列的公差是几？首项和末项分别是多少？思考与讨论：首项和末项之间有什么关系？每一列一共有几项？大家来总结：末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1例1、求等差数列3，7，11，15，19，…的第10项和第25项。
例2、在等差数列2，5，8，11，14，…中，101是第几项？例3、在5和61之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。
思考与讨论：怎么计算比较简便？1＋2＋3＋4＋5＋…＋49＋50＝？1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＝？大家来总结：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2例4、1＋2＋3＋4＋…＋1999例5、3＋7＋11＋…＋99练习：1、计算下面各题。
（1）2＋4＋6＋…＋200 （2）17＋19＋21＋…＋39 （3）5＋8＋11＋14＋…＋50 （4）3＋10＋17＋24＋…＋1012、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
等差数列小练习班级：姓名：1、已知等差数列2，5，8，11，14，…（1）这个数列的第13项是多少？（2）47是其中的第几项？2、已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差。
3、如果一个数列的第4项为21，第6项为33，求它的第9项。
4、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
5、已知等差数列6，13，20，27…，问这个数列前30项的和是多少？6、①7＋10＋13＋…＋37＋40 ②2000－3－6－9－…－51－547、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？平均数平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言的。
1 、有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟敲几下，钟敲6 下，5 秒钟敲完，钟敲12 下，（）秒钟敲完？2 、有黑色、白色、黄色的筷子各8 根，混杂地放在一起，想从这些筷子中取出颜色不同的筷子两双，问至少要取出多少根，才能保证达到要求？（）3 、一座楼房每上一层要走16 个台阶，到小英家要走64 个台阶，他家住（）楼？4 、甲、乙二人比赛爬楼房，甲跑到四层楼时，乙恰好跑到三层楼，照这样计算，甲跑到十六层时，乙跑到（）层楼？5 、青蛙白天向上爬3 米，晚上滑下2 米，青蛙从井底爬到井外（井高10 米）需（）天（）夜１、甲乙两校共有学生４３２人，为了照顾学生就近入学，经协商由甲校调入乙校１６人，这样甲校比乙校还多２４人，问甲乙两校原来各有学生多少人？２、仓库里有水泥若干吨，第一天上午运出所存水泥的一半，下午运出１０吨，第二天上午运出所剩水泥的一半，下午又运出１４吨，这时仓库还有水泥４４吨，问仓库原有水泥多少吨？３、三头牛和八只羊一天共吃青草９３，五头牛和十五只羊一天共吃青草１６５斤，一头牛和一只羊一天共吃青草多少？４、“华罗庚金杯”少年数学邀请赛，每隔一年举行一次，今年（1988 年）是第二届，问2000 是第几届？5 、学校开联欢晚会，要在正方形的操场四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装7 盏，那么一共要准备多少盏彩灯？6 、某校师生开展行军活动，以每小时6 千米的速度前进，3 小时后学校派通迅员骑自行车走同一条路去传达命令，如果通讯员以每小时15 千米的速度去追赶队伍，需要多少小时才能赶上？7 、小王、小张、小李在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士，他们都穿着便装，现在知道：（1 ）小李比战士的年龄大（2 ）小王和农民不同岁（3 ）农民比小张的年龄小猜猜看，谁是工人，谁是农民，谁是战士？1．被除数是3320，商是150，余数是20，除数是（）。
2．3998是4个连续自然数的和，其中最小的数是（）。
找规律一、知识要点观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；二、精讲精练【例题1】 2 , 3, 5, 8, ( )找出排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）23，4，20，6，17, 8, （），（）, 11, 12（2）1，6，5，10，9，14，13，（），（）（3）2，9，6，10，18，11，54，（），（），13，486（4）1，5，2，8，4，11，8，14，（），（）（5）320，1，160，3，80，9，40，27，（），（）【例题2】在数列1，1，2，3，5，8，13，（），34，55……中，括号里应填什么数？【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。
根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21或34－13=21上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
练习2：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）34，21，13，8，5，（），2，（）（2）3，7，15，31，63，（），（）（3）33，17，9，5，3，（）（4）0，1，4，15，56，（）（5）1，3，6，8，16，18，（），（），76，78（6）0，1，2，4，7，12，20，（）（7）2，5，14，41，122, （）【例题3】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（8，4）（5，7）（10，2）（□，9）【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12。
根据这一规律，□里所填的数应为：12－9=3练习3：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
小学四年级奥数讲义（2）姓名：课题第二讲：数列求和。
励志言小朋友们：你的快速反应能力、你的综合理解能力将体现在这些富有挑战的训练题中。
你的数学能力在这里将得到大大的提升！知识反思1、等差数列的定义及特点：像1,2,3,4,5，…，99,100这样的一列数一般叫做一个等差数列。
等差数列的特点是相邻两个数的差是相同的。
2、等差数列的各部分名称：公差：相邻两个数的差叫做公差。
项：数列中的每一个数叫做项。
首项：数列中的第一个数叫做首项。
末项：数列中的最后一个数叫做末项。
项数：数列中共有多少项（共有多少个数）叫做项。
3、等差数列求和公式：总和=（首项＋末项）×项数÷2项数=（末项－首项）÷公差＋1末项=首项＋公差×（项数－1）首项=末项－公差×（项数－1）课前检测请大家用8分钟时间，背过上面的知识，过关的同学别忘记“※”，累计十个，可以得到老师的一份小礼物。
自主学习（一）例1.计算1＋2＋3＋4＋…＋39＋40合作探究例2.计算2＋5＋8＋11＋…＋209＋212(一)精讲释疑（一）例2，这是一个等差数列，首项是2，末项是212，公差是3，利用公式求和必须知道项数。
项数=（212－2）÷3＋1=210÷3＋1=71自主学习（二）例3.求首项是5，公差是3的等差数列的前199项的和。
（缺少什么？）合作探究（二）例4.一个有25项的等差数列，末项是204，公差是8，求这个等差数列的和是多少？精讲释疑（二）例4，要解答问题，看看知道什么，缺少什么。
想办法解决。
训练检测与能力挑战计算下面各题。
1、1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋1002、1＋2＋3＋…＋49＋50＋49＋…＋3＋2＋13、1990＋1991＋…＋2006＋2007＋20084、4＋6＋8＋…＋96＋985、求首项是1，公差是2的等差数列的前50项的和。
6、一个有30项的等差数列，首项是1，公差是4，这个等差数列的和是多少？7、一个有50项的等差数列，末项是2007，公差是2，这个等差数列的和是多少？8、一个等差数列的首项是1，末项是1997，公差是2，这个等差数列的和是多少？课后巩（1）、5＋10＋15＋…＋215＋220固（2）、求首项是7，末项是99，公差是4的等差数列的和。
小学四年级奥数竞赛综合模拟卷（2）一、填空题0．100个3相乘，积的个位数是 ．1．计算：2468629(123437)⨯÷⨯= ．2．有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是 ．3．定义：a b a b ab =++⊕，则(23)4⊕⊕的值为 ．4．买一支水彩笔需要1元7角，用15元钱最多可以买这样的水彩笔 支．5．王雷是国庆节那天出生的，若他年龄的3倍减去8刚好是他出生那月的总天数，则王雷今年 岁．6．数一数，图中共有 个三角形．7．某班30人参加跳绳比赛，开始时有4人迟到没有参加比赛，这时平均成绩为20个，后来这4位同学赶到了比赛场地，分别跳了26，27，28，29个．这时全班同学的平均成绩是 个．8．明明临摹一本字帖练习毛笔字，临摹第一遍时，他每天写25个字，临摹第二遍时，他每天多写3个字，结果刚好比第一遍少用了3天，则这本字帖共有 字．9．如图有16个11⨯的小正方形组成，图中ABC ∆的面积是 ．10．乌龟和兔子在全长为1000米的赛道上比赛，兔子的速度是乌龟速度的15倍．但兔子在比赛的过程中休息了一会儿，醒来时发现乌龟刚好到达终点，而此时兔子还差100米才到终点．则兔子休息期间乌龟爬行了 米．11．任意一个一位奇数与任意一个一位偶数相乘，不同的乘积有 个．12．一个长方形的相框长为40厘米，宽为32厘米，放入一张长为32厘米宽为28厘米的相片，则相框中没有被照片覆盖的部分的面积是平方厘米．13．爷爷，爸爸，小明的年龄分别是60岁，35岁，11岁，则再过年爷爷的年龄等于小明和爸爸年龄的和．14．一个长方形的长和宽都增加3厘米后，面积增加了90平方厘米，则原长方形的周长是厘米．15．甲筐和乙筐内原来分别放有54个和63个鸡蛋，若要使甲筐内的鸡蛋个数变为乙筐内的鸡蛋个数的两倍，那么应从乙筐内取出个鸡蛋放入甲筐．16．王蕾和姐姐从家步行去体育馆打羽毛球，已知姐姐每分钟比王蕾多走20米，25分钟后姐姐到体育馆，这时姐姐发现没有带球拍，于是立即按原路返回取球拍，在离体育馆300米的地方遇到了王蕾，则王蕾家到体育馆的路程是米．17．如图，用小正方形摆成下列图形，按摆放规律，第25个图形需要小正方形个．18．若abc+cba1069=，则这样的abc有个．19．某地希望杯组委会给参加希望杯考试的考生安排考场，若每个考场安排30名考生，则会有一个考场有26名考生；若每个考场安排26个考生，则会有一个考场有20名考生，并且要比前一种方案多用9个考场，则该地区参加考试的考生有个．20．如图有3个边长是6的正方形组成，则图中阴影部分的面积是．小学四年级奥数竞赛综合模拟卷（2）答案与解析一、填空题0．100个3相乘，积的个位数是 1 ．【点拨】周期问题【解析】这道题我们只需考虑积的个位数的排列规律。
目录第—讲简单数阵图（一） (1)课后练习一 (4)第二讲简单数阵图（二） (5)课后练习二 (8)第三讲幻方（一） (9)课后练习三 (11)附录：连续摆数法（楼梯法） (12)第四讲幻方（二） (14)课后练习四 (16)第五讲巧求周长 (17)课后练习五 (20)第六讲等量代换 (21)课后练习六 (24)第七讲植树问题（一） (25)课后练习七 (28)第八讲上楼梯问题 (29)课后练习八 (31)第九讲植树问题（二） (32)课后练习九 (34)第十讲周期问题 (35)课后练习十 (37)第十一讲图形找规律 (38)谋后练习十一 (40)第十二讲数列找规律....................................................................................4l 课后练习十二 (44)第一讲简单数阵图（一）【知识梳理】1、数阵图；把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这种图形叫数阵图。
数阵图的种类繁多，一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
2、解数阵问题的一般思路是：①求出条件中若干已知数字的和。
②根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
⑤确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
即：【例题精讲】【例l】把1~5这五个数填入下图中的O里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。
、〖巩固〗把5，6，7，8，9五个数分别填入下图的五个方格内，使横行三个数的和、竖行三个数的和都是21。
〖拓展一〗将1～7这七个数填入下图中，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。
〖拓展〗将1—7这七个数分别填入下图中的圆圈内，使每条直线上的三个数之和都等于12。
〖拓展〗将1—9这九个数分别填入下图中的圆圈内，使每条线段上五个数的和等于23。
〖拓展〗将l～8这八个数分别填入下图中的空格内，使横行、竖列上的三个数之和都相等。
【例2】将l～6分别填在图中，使每条边上三个圆圈内的数的和等于9。
〖巩固〗1—6分别填在图中，使每条边上三个圆圈内的数的和等于12。
〖拓展一〗将1-6分别填在上图中，使每条边上三个圆圈内的数的和最大，该怎么填？为什么？〖拓展二〗如图所示，把l至8八个数分别填入小圆圈内，使每一个圆周上的五个数的和都等于21。
〖拓展三〗如图，六条直线分别连接着九个圆圈，其中一个圆圈里的数是6。
请你选9个连续自然数（包括6在内），填入圆圈内，使每条线上各数和都等于23。
课后练习一l、把2、4、6、8、10这五个数填入下面的格子中，使横行、竖列的和都等于16、18或20。
2、将2~9八个数分别填入图中代表两个五边形顶点的8个圆圈内，使两个五边形上五个数的和都是25。
3、将l至9分别填入图中的九个圆圈内，使得三角形每边上的四个数之和都等于20。
4、将1~11填入下图中圆圈内，使每条直线上三个数的和相等（写出两种填法）。
第二讲简单数阵图（二）【知识梳理】1、解致阵问题的一般思路是：仔细观察图形，找出关键数（即重叠数），这里关键数往往有几个。
2、辐射型数阵图计算方法；已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数3、封闭型数阵图计算方法：已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数4、复合型数阵图计算方法：把复合型数阵图分解成几个辐射型数阵图或封闭型数阵图，先考虑其中一个数阵图，再结合其它数阵图进行调整试填。
【例题精讲】【例1】把1、2、3、4、5、6这六个数分别填入左下图中的小圆圈内，使每个大圆上三个数的和都相等。
〖巩固〗如右上图所示，五角星上有I1个小圆圈，请把I-II这十一个数，分别填入小圆圈中，使每一条虚线的三个数的和都相等。
【例2】将1-11这11个自然数填入下图中的圆圈中，使每个菱形上四个数之和都等于24，那么A是多少？〖巩固〗将1~10十个数字填入下图中的10个圆圈内，使每个四边形四个顶点上各数之和等于24．〖拓展〗如图，大大小小的三角形共七个，把l至9这九个数分别填入图中的圆圈中，使每个三角形三个顶点的数之和相等．【例3】将1-8这八个数字分别标在立方体的八个顶点上，使得每个面的四个数字之和都相等。
〖巩固〗把1～12这十二个数填入下图的圆圈内，使每个小正方形顶点的四个数的和都等于26。
〖拓展一〗下图三个圆被分割成A、B、C、D、E、F、G七个部分，将1-7分别填入图中各部分，使得每圆内四个数的和都等于18，且G内填的是奇数。
〖拓展二〗下图中四个圆被相互分割成八个部分，在这八个部分中分别填入1或者2，使得中个圆内的三个数字之和互不相等。
【例4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填入图中所示的圆圈内，使得每个圆上三个数之和相等，并且每条直线上三个数的和也相等。
〖拓展〗将自然数1~11填入下图的11个○中，使得每条直线（共10条）上的三个数字之和都相等。
课后练习二l、把1~10这十个数字，分别填入下图中的圆圈内，使每个正方形四个顶点上的数字的和都等于K，那么K不能是( )A、22B、21C、20D、192、1~7这七个自然数分别填入左下图中O内，使得每个大圆上四个数的和都等于13。
并指出这个和的范围。
3、将1-5分别填入右上图中，使每直线上的各数之和与大圆圈上各数之和都相等。
4、试用0、l、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，分别填入下图中的十个小三角形里，使四个在三角形内的四个数字的和都等于15。
5、将1-12填入左下图中空格中（其中四个已填好），使每个圆内4个数之和等于25。
6、将1—10分别填入右上图中各个O内，使得每一个大圆上三个数和与每一条直线上四个数和分别相等。
第三讲幻方（一）【知识梳理】l、幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等（称为幻和），具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”、又叫“纵横图”。
2、幻方的种类：①奇数阶幻方：横竖方格数为奇数的幻方。
如三阶幻方、五阶幻方、七阶幻方……②偶数阶幻方：横竖方格数为偶数的幻方。
如四阶幻方、六阶幻方、八阶幻方……3、构造幻方的方法：①构造奇数阶幻方的方法：平移补空法；b）连续摆数法；@构造双偶数阶幻方的方法：对角线法（也叫对称交换法，不作要求）；③构造单偶数阶幻方的方法：迭加对称法（不作要求）。
4、幻方的性质：①n阶幻方中可以填充任一由n2个数组成的等差数列；②n阶幻方的幻和等于“π 2”项的等差数列和：阶数n;【例题精讲】【例l】用两种方法将1~9这九个数填入下图的方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等。
〖巩固〗请你用两种方法将2 ~10这9个数填入下图的空格内，每行、每列、每条对角线上的3数之和相等。
〖拓展〗用两种方法把11~35这25个自然数组成一个五阶幻方。
并求出它的幻和。
【例2】下图是一个未完成的幻方。
它的每行、每列和两条对角线上的4个数之和都相等，那么空格中A和B各是多少？〖巩固〗如下图，将1至25填入5×5方格中，使每行、每列和两条对角线上5数之和相等，则a 等于多少？课后练习三1、用两种方法将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。
2、在下面的三阶幻方的空格内填入适当的数-使幻和等于27。
3、己知下图是一个四阶幻方，那么标有}的方格中所填的数是多少？4、在下图所示的方格表的每个方格内填入一个恰当的字母，可以使得每行每列及两条对角线上4个方格中的字母都是A、B、C、D，那么，表中标有*的方格内应填的字母是什么？附录：连续摆数法（楼梯法）宗旨：斜着向右上方向填空，就像爬楼梯一样；l)把第一个数放在第一行正中；2)原则上每一个数都要放在前一个数的右上一格；①如果这个数所要放的格已经超出顶行，那么就把它放在底行，仍要放在右一列；②如果这个数所要放的格已经超出最右列，那么就把它放在最左列，仍要放在上一行；③如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出最右列（走到幻方的顶点，碰到“钉子”）那么就把它放在前一个数的正下面；④如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的正下面。
例题：将1-9填入三阶幻方，使之成立。
①将第一个数字“1”，填入第一行最中间：②发现将要填入的2已经超出了顶行，那么就把它放在底行，仍然要放在1的右一列，相当于将1拉到其所在列的最下面，再按斜着填的方法，把2填入底行右一列：③发现将要填入的3已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在2的上一行，相当于将2拉到其所在行的最左边，再按斜着填的方法，把3填入最左列上一行：④发现将要填入4的格子已经有数，那么就把4它放在前一个数3的正下面：⑤然后按照楼梯法宗旨，依次填入5和6：⑥发现将要填入数字7的格子已经超出了顶行且超出了最右列（走到幻方的顶点，碰到“钉子”）那么就把它放在前一个数6的正下面：⑦发现将要填入的8已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在7的上一行；相当于所以将7拉到其所在行的最左边，再按斜着填的方法，把8填入：⑧发现将要填入的9已经超出了顶行，那么就把它放在底行，仍然要放在8的右一列，相当于所以将8位拉到其所在列的最下面，再按斜着填的方法，把9填入底行右一列：⑨下图即为所求三阶幻方。
总结：无论是对5阶、7阶还是9阶、11阶，只要是奇数阶幻方，均可使用此方法。
第四讲幻方 (二)【知识梳理】三阶幻方的主要性质有：①具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。
②中心数性质：幻方中所有相等的和称为幻和；三阶幻方的幻和等于中心数的3倍；对角线上两个端数之和等于中心数的2倍。
③三角平均性质：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。
亦称幻方中某角上的数等于它对角相邻的两数的和的一半。
【例题精讲】【例1】在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。
〖拓展〗如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上三个整数的和都相等，求x所代表的数。
【例2】如图，在一个三阶幻方内已填好了两个数19和95，求x的值。
〖拓展〗如图，在一个三阶幻方内已填好了三个数19、95和100，请把这个幻方补充完整。
【例3】如图，第一行第三列位置上填5，第二行第一列位置上填6。
请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为27。
〖拓展〗如图所示是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少？课后练习四l、如图，要求每个方格中填入不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
