人教下第四讲 数阵图共40页

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

第4讲数阵图认识几种常考的数阵图模型，理解并熟练掌握解题方法。

数阵图定义：将一些数字按照一定的要求排列而成的某些图形一、辐射型数阵图：从一个中点出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数使其和是一个不变的数。

方法一：试算法（大小配）掐头、去尾、取中间方法二：计算法各数之和+重叠数×重叠次数=线和×线数二、封闭的数阵图：计算法各数之和+重叠数×重叠次数=线和×线数三、复合型数阵图即是辐射型数阵图，又是封闭型数阵图。

将1-7这7个数字分别填入图中各个○内，使每条线段上的三个○内的数之和等于14将1-11填入下图的各个圆圈内，使每条线段上的三个圆圈内的数之和相等。

1、将1-5分别填入圆圈内，使每条线上3个圆圈的数字之和都等于92.将1-9分别填入圆圈内，是每条线上的三个数之和相等将1-6六个数字分别填入下图6个圆圈内，使每条边上的和都等于11.把1-12这十二个数，分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内，使每条边上四个圆圈内数的和都等于22，试求出一个基本解。

1.把1-9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等于17.2.把1-8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等12.（1）将1-7七个数字填入下图的七个圆圈内，使每个大圆圈和每条直线上的三个数字之和相等。

（2）将1-6这6个数字分别填入下图的6个圆圈内，使得三条线段上的数字之和都相等。

下图中，是有三个正三角形，将1-9分别填入9个圆圈内，使得三个正三角形三个顶点之和都相等，通过四个圆的每条线段之和也相等1.将1-5这五个数分别填入如果中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。

2.将1-10这十个数分别填入下图中的十个○内,使每条线段上四个○内数的和相等,3.将1-9这九个数分别填入图中○内,使每条线段三个数相等.。

第四讲和差问题第一部分：课前检测1.3579+1431―268―7322. 2357+7743―4678―52223. 1680+9753―680―7534. 5180+8120―4160―61405. 6480+4680―680―4806. 8642+2468―6642―24547. 3000―198―297―396―4958. 2468+（1014―234）―（766+468）第二部分：和差问题题型一：明确告知1.小华和小明共收集了180张邮票，小华收集的邮票比小明多20张。

问：小华和小明各收集了多少张邮票？2.两筐水果共重176千克，第一框比第二框多12千克。

问：两筐水果各重多少千克？3.今年弟弟7岁，哥哥12岁，当两人年龄和是33岁时。

问：两人各多少岁？题型二：差不明确1.三年级120名学生去春游，从第一辆车调5名第二辆车上去，这时两车的人数就同样多了。

问：原来两辆车各坐了多少名学生？2.两个水桶共盛水98千克，如果把第一桶里的水倒8千克给第二桶，两个水桶的水就一样多。

问：第一桶原来盛水多少千克？3.甲、乙两班共有学生102人，如果从甲班调3人到乙班，两学生同样多。

问：甲、乙两班各有学生多少？题型三：需要转化1.师徒两人合作零件2小时，共生产零件120个，如果分别做5小时，师傅比徒弟多生产50个。

问：师傅和徒弟每小时各做多少个零件？2.甲、乙两个打字员合打2小时，共打800字，如果分别打3小时，甲比乙多打300字。

问：甲、乙两人每小时各打多少字？3.甲、乙两个打字员合打一份稿件，平均每人每小时打17页，6小时可以完成，当两人打完稿件时，乙比甲多打了12页。

问：甲、乙各打了多少页？第三部分：数阵图1. 把1到8八个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.2. 把1~9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等.3. 把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.第四部分：课后作业一、递等式计算（能巧算的要巧算）1.650+350÷7+13142. 9×8÷9×83. 3690―690÷10―19314. 72÷8×63÷95. 56÷7×48÷66. 765+488―1127. 5888+992―688 8. 2014―997 9. 3696―582―428―686二、应用题1.每袋大米25千克，价钱是56元。

第4讲数阵图初步内容概述各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。

典型问题兴趣篇1. 在图4-1中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.【答案】：【分析与解】：先如下图将空白处标上字母：根据题意：a＝11－2－5＝4；b＝11－4－1＝6；c＝11－2－6＝3.2. 请分别将1，2，4，6这四个数填在图4-2中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于15.【答案】：【分析与解】：如下图，先将空白区域标上字母根据题意：上面圆内四个数之和等于15，可得a＋d＝15－5－7＝3＝1＋2；同理，b＋d＝15－5－3＝7＝1＋6；c＋d＝15－7－3＝5＝1＋4。

由于d属于三个圆的公共部分，经对比发现可得：d＝1；a＝2；b＝6；c＝4.3. 如图4-3所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。

【答案】：【分析与解】：如下图：因为8＋9＋a＝b＋a＋7可得b＝10；那么每条线的和＝8＋3＋10＝21；那么a＝21－8－9＝4；c＝21－8－7＝6.4. 把1至8分别填入图4-4的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之【答案】：1 7 6 48 2 3 5【分析与解】：因为1＋2＋3＋……＋8＝36；所以每行的和等于36÷2＝18；每列的和＝36÷4＝9；从列入手，可将1~8这八个数分为和等于9的四组：1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5。

再调整使行和等于18：我们发现1＋4＝2＋3；8＋5＝6＋7.经过调整可得答案。

5. 把1至12分别填入图4-5的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。

【答案】：【分析与解】：经过观察发现，此图是个具有对称性的图案；若使三个小三角形的三边之和相等；只需要使得图中每条边上的两个数之和相等即可。

因此可将1~12对称性地分为六组如下：1＋12＝2＋11＝3＋10＝4＋9＝5＋8＝6＋7.6. 在如图4-6所示的3×3方格表内填入1、2、3这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。

四年级数学数阵图（一）例题解析我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。

本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。

我们先从一道典型的例题开始。

例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。

分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。

我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。

也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。

在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。

因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。

例1中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。

一般地，将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。

在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等，而不要求两条对角线上的三数之和也相等，则解不唯一，这是因为在例1的解中，任意交换两行或两列的位置，不影响每行或每列的三数之和，故仍然是解。

例2用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。

分析与解：给出的九个数形成一个等差数列，对照例1，1～9也是一个等差数列。

不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）。

与幻方相反的问题是反幻方。

将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】17 89411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

教学内容：3年级下“数阵图”时段：五5:30—7:40 课时：4ks 日期： 3.14—3.21教学目标：1.认识辐射型数阵图和封闭型数阵图。

2.能够利用头尾中、大小配解决辐射型数阵图。

3.能够所给数据找出公用数的和，并求解封闭型数阵图。

4.培养学生综合分析数学问题的能力。

教学重点：1．能够理解公用数的意义，并求解公用数。

2．掌握解决数阵图的主要步骤。

教学难点：1.利用题目中的数据求解公用数。

教具：问号的图片和数字1—9的图片第一课时旁批引入：神奇的书公元前2000多年，我国部分地区洪水泛滥，有个名叫禹的人负责治理水灾的事(历史上称他为夏禹)。

传说一次在洛水里浮起一只大乌龟，背上有一幅奇特的图案。

这就是著名的“洛书”。

你发现了什么？二例题解析：例1：数字精灵1、3、5、7、9分别要站在圆圈中，并且每条线上的3个数的和都相等。

数字精灵们分别应该站在哪个圆圈中？分析：1.先填哪个圆圈最重要？2.中间可以填哪个数？3.你们发现了什么规律？总结：这类是辐射型数阵图，解题关键是找准中间数。

中间数通常是一组有序数列中的首项、中间项或末项，再把剩下的数按照“大小配”分成几组，分别填入。

练习：1、父亲现在50岁，女儿现在14岁，几年前父亲年龄是女儿的年龄5倍？2、哥哥今年24岁，比小丽大12岁，几年前哥哥年龄是小丽的4倍？拓展练习题：1.（综合应用1）2.（能力检测1）第二课时旁批例2：已知鸡和兔一共有22个头，70条腿，求鸡和兔各有多少只？分析：1.通过读题找到哪些等量关系？2.应该假设哪种动物是x？那么另一种动物是多少？3.我们应该利用哪个等量关系式列方程？鸡头数+兔头数=22 鸡头数×2+兔头数×4=70解：设兔只数为X，则鸡只数为（22-X）X+3X+7x=444X+（22-X）×2=70X=13鸡：22-13=9（只）答：兔有13只，鸡有9只。

总结：总只数设未知数，总脚数列方程。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

PC 第04讲数阵图（下）教学目标：1、学习封闭型数阵图的填写的方法；2、学员在纸上自己动手画一画数阵图，并予以解决；3、让学员在数与数之间的变化中，感受到数字的奇妙，体会到数学思维的乐趣。

教学重点：掌握封闭型数阵图的填法。

教学难点：学习如何确定数阵图的关键位置，快速准确地填写。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】----参考时间-2分钟1、数阵图：数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

2、填数阵图的一般思路：仔细观察所要填数的图形，图形中要填的位置很多，但是最关键的位置往往只有一两个，一定要抓住关键位置。

关键的位置往往是图形中交叉的位置。

【知识回顾——上期巩固】----参考时间-3分钟把数字1，2，3，5，6，7，9填在下面的圆圈里，使每边上的和为15。

解析部分：引导学生先计算关键位置的数，【15×3-（1+2+3+5+6+7+9）】÷（2-1）=12÷1=12，12=7+5，再填写其它数。

给予新学员的建议：教师可以引导学员找到关键位置的数。

哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。

参考答案：【15×3-（1+2+3+5+6+7+9）】÷（2-1）=12÷1=1212=7+5，再填写其它数，答案如下图所示：【预习题分析——本期预习】----参考时间-7分钟把7，8，9，10，11，12，13，14分别填入○里，使每一个大圆上的五个数之和等于50。

解析部分：通过图可知，关键的两个数是a、b它们都被多计算了一次。

如果计算出a、b 的和，便可确定出a和b,然后填写其它圆圈内的数。

给予新学员的建议：教师可以引导学员找到关键位置的数，并计算出来。

哈佛案例教学法：学员通过预习，初步了解新知识，对后面的学习有所帮助，让学员分享解题方法，拓宽解题思路。

参考答案：【50×2-（7+8+9+10+11+12+13+14）】÷（2-1）=16÷1=16a+b=16=7+9，那么每个大圆圈剩下的3个圆圈内数的和是50-16=34，34=8+12+14=11+10+13。