五年级下册数学试题-奥数专题训练：第十二讲 数阵图(无答案)全国通用

第十二讲巧填数阵图数学乐园晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?.【教学思路】在开课的时候，老师可通过故事引入，激发学生对填数游戏的兴趣.让学生初步感知什么是数阵.因为填数阵有一定的难度，所以在这里我们不需要马上让孩子完成这个题，可以放在最后来解决这个问题.小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！基础篇使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现.数阵图是小学奥数中比较重要的一个知识点，现在我们把它放在一年级开始学习似乎有些过难.但这节课我们只是希望通过一些简单的填数字游戏，使学生初步感知到什么样的是数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养他们的思维能力.在鼓励学生去研究方法的同时，教师引导学生去发现数阵的简单规律，以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关键数来找到解题的钥匙.在今后的不断学习中，能把这种方法灵活应用到实际中去.【教学思路】一般在解答这类填数问题时，把同一条边上出现两个数字的空格先填.之前我们已经有过这样的练习，学生有了一定的基础.这道题的答案不止一个，我们只要求学生能找到其中的一种就达到要求了.（1）右边两个圆的和应该是9，所以里可填（0，9）（2，7）（3，6）.（2）告诉我们中间的数字是2，剩下两边上两个数字的和应该是9-2=7.0+7=1+6=3+4，所以剩下两边上两个数可以填（0，7），（1，6），（3，4）（3）7+6=13，15-13=2，所以第2条线中间填2.左边第一条线：15-7=8，0+8=3+5，数字不重复共两种填法.第三条线15-6=9，0+9=4+5，数字不重复共两种填法（4）6+4=10，13-10=3，所以第2条线最下是3，.左边第一条线：13-6=7，0+7=2+5，数字不重复共两种解法.第三条线：13-3=10，1+9=2+8，数字不重复共两种解法.拓展练习(1)填数，使横行、竖行的三个数相加都得11. (2)填数，使每条线上的三个数之和都得15.【答案】【答案】在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.【教学思路】方法一：填数时，首先要看哪一行已经有了两个数，然后用18减去这两个数，就得出这一行的第三个数.填数的顺序如下：方法二：从斜行来考虑：要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数？【教学思路】首先我们要找到填这个表格的突破口，一般情况下我们先找每行、每列以及每条对角线上已知两个数的来先填.找到这个突破口，后面就容易多了.方法一：从竖行入手.方法二：分别从两条对角线入手.拓展练习在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15.【答案】【答案】把1，2，3，4，5，6六个数，分别填入○内，使每条线上3个数的和相等.【教学思路】比较三个已知数1，2，3，和1比2大1，3大2.还剩下三个数4，5，6要我们来填，5+6=11 6+4=10 5+4=9 ，要使每边和相等，5+6+1=6+4+2=5+4+3=12，答案如下：提高篇把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15.【教学思路】方法一：观察法.要使横行、竖行的三个数相加都得15，我们就要考虑中间填什么数.观察这五个数3，4，5，6，7，我们发现4和6，3和7可以组成10，它们分别再加上多出来的5都得15，所以中间这个数应该填5，上下，左右可以分别填4和6，3和7，如图：方法二：观察这些图，容易发现，中间方框中的数比较特殊，它既在横行上，又在竖列中，在数阵中这样的数称为“重叠数”.只要我们确定了中间的“重叠数”填几，别的空格就简单了.那么横行3个数的和加上竖列3个数之和就等于所要填入的5个数的和与重叠数的和.于是（3+4+5+6+7）+重叠数=15+15，重叠数=30-25=5，所以中间的这个数应该填5，在剩下的4个数3，4，6，7中，只有3+7=4+6=10，填法如图.建议：在这两种方法中，学生习惯用第一种方法来观察出答案，但是这种方法对于以后数字大的题就很难把握，因此老师在学生掌握了第一种方法的前提下，要介绍第二种解答数阵图的一般方法，不要求学生马上掌握，但是要让学生明确解答这样的题要从重叠数开始入手分析，以后练得多了就能融会贯通了.如果老师觉得这几个数太大学生不容易接受，还可以改成更小的数.拓展练习把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2.【答案分析】中间○即为特殊的重叠数，因为它既是横线上的数，又是竖线上的数.中间的数填什么呢?横行加上竖行之和应为 12+12=24，而2+3+4+5+6=20，中间的要多加一次，所以应为4.把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.【教学思路】方法一：观察法，在这6个数中，有两个数是公共的，那么剩下的四个数两两相加应该相等，观察1，2，3，4，5，7中1是公共数，这时我们发现2+7和4+5都等于9，因此剩下的3也应该是公共数，2和7，4和5应该分别填在这两个圆的左边和右边.经检验每个大椭圆上的四个数这和等于13.方法二：每个椭圆里的四个数之和等于13，那么两个椭圆里的四个数之和就是13+13=26，另外这6个数相加的和是1+2+3+4+5+7=22，26和22之间相差的是什么呢？只有中间的这两个重叠数被多加了1次，这相差的4应该是两个重叠数的和，1+3=4，所以中间的这两个重叠数应该是1和3.剩下的数2+7=4+5=9.把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12.【教学思路】方法一：观察法，在1，2，3，4，5，6，7这七个数中，除去中间的重叠数，剩下的六个数两两相加应该相等，经验算，当重叠数是4时，1+7=2+6=3+5=8，8+4=12，如图：方法二：因为图中共有3条直线，所以中心的重叠数重叠了2次，于是（1+2+3+4+5+6+7）+重叠数×2=12+12+12.重叠数=（36-28）÷2=8.那么中间的数应该填14剩下的6个数1，2，3，5，6，7，中，2个数的和等于12-4=8的有1+7=2+6=3+5，如图：拓展练习把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数之和都等于15.把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入圆圈中，使两个正方形中四个数之和相等19.【教学思路】先考虑求两个正方形公共的中间数.2+3+4+5+6+7+8+重叠数=19+19．重叠数=3，那么中间圆圈里面应该填3.剩下的数中2+6+8=4+5+7=19-3=16，所以每个正方形中，剩下的三个数应该填：2，6，8或4，5，7.具体填法如下：拓展：如果使两个正方形中四个数之和相等21，又应该怎样填？我会做一做把1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入右图中，使得每条直线上的3个数的和相等.【教学思路】这道题的答案不唯一.附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是64.【答案】【教学思路】如果有充足的时间，建议这题可放在例3的后面做一个加深，这道题也主要是利用加减法之间的关系来解答的.这个题我们要从已知三个加数的第二列入手开始填，先计算出这三个加数的和，再用64减去这三个加数的和就得到了这第四个加数.用图中已有的三个数填满其余的空格，每个数字必须使用三次．使得每行、每列和两条对角线上的三个数之和相等.【答案】【答案】把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数之和都等于15.【答案】【教学思路】这道题可参考放在例6的后面，做一个拓展.在例6的基础上，我们只需要调动四条边上各数的位置就可以验证出结果.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9求和.而且同一个数在一幅图中不能重复出现.【答案】【答案】把1～11这十一个数分别填入图中的圆圈里，使每条直线上的三个数的和都等于18.【答案】练习十二1.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是12.【答案】2.把3～8这6个数，填在下图中使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18.【答案】3. 把1，2，3，4，5这五个数分别填入下面的○里，使横行、竖行的三个数相加都得10.【答案】4.把3，4，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为20.【答案】5. 将1，2，3，4，5，6这6个数分别填入下图中，使两个大圆上4个数的和都等于14.【答案】6.把数字1，2，3，5，6，7，9填在下面的○里，使每边上的和为15.【答案】小朋友，你在少年宫里走过“勇敢者的道路”吗？道路崎岖，充满艰难险阻.但是，它能培养小朋友的勇敢精神和不怕困难的毅力.这里有两幅图，也叫“勇敢者的道路”.图中的道路狭窄、曲折，不易通过，需要小朋友细心和有耐心.现在请小朋友用一枝铅笔，按照图中箭头的方向画出通行路线，而且线条不能碰到两边的“围墙”.小朋友，这可真不容易哦！。

课时3 数阵问题（一）一．数阵填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，主要讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

二．例题精析例1 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D ＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。

然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

小试牛刀把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2、把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3、将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

例2 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

分析设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2、即55＋a＋b=60，a＋b=5。

在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2、6，8，9）和（3、5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1、5，9，10）和（4，6，7，8）。

小试牛刀1、把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2、把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

小学奥数专题之——————数阵图数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

\1.10.5.2辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。

20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。

只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。

确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。

例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

:解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

设中心数为a，则a被重复使用了2次。

即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。

（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。

由此，便可推得a只能是1、4、7三数。

当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

CBA【例 4】 将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那么，每条边上的数字和是 ．789fedcba 789【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______．BA【例 6】如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A与B的和是________。

BA【例 7】把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个22的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？11109 8765432【例 8】下图中有五个正方形和12个圆圈，将1~12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等．那么这个和是多少?861102912311457【例 9】如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．246824688642【例 10】将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.【例 11】一个3 3的方格表中，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格子中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示）。

数阵图(一)一、考点、热点回顾1、在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

2、那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

二、典型例题例1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。

例2 、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

第四讲：数阵练习 （必做与选做）1. 如下图，每行、每列、每条对角线上数的和都相等，那么a 、b 、c 、d 有什么关系？A. a ＞b ＞c ＞dB. a ＜b ＜c ＜dC. a=b=c=dD. 无法判断 解析：c b c a b a =→+=+d c d c c a =→+=+d a c b d c b a =→=+=+,，那么由此可推出d c b a ===。

选C 。

2. 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字之和都相等。

C 处分别可以填多少？A. 1、3、5B. 1C. 1、3D. 3、5 解析：中间的c 是两条直线上公共的点，所以如果将两条直线上的数都相加，是1＋2＋3＋4＋5＋c=15＋c ，因为两条直线上的三个数的和相等，所以（15＋c ）必须能被2整除，即c必须为奇数，c可以是1、3、5。

选A。

3.阿派将1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下图的七个方框里，每个数只填一次，使得三条直线上的三个数之和恰好分别是8、11、15，e可以怎么填？A. 5B. 7C. 3D. 1解析：将三条线上的数都加在一起，中间的e加了3次，其它数都加了一次，所以三条线上三个数的和=1＋2＋……＋7＋2e=28＋2e，条件又说三条线上三个数的和分别是8、11、15，所以28＋2e=8＋11＋15，e=3。

选C。

4.将1～5填入右图的○中，使得横、竖、大圆上的几个数之和都相等每个数只能用一次，e处分别可以填什么？A. 1B. 5C. 3D. 无正确答案解析：先看“十字”上的两条直线，中间的e被加了两次，如果将两条直线上的数都相加，是1＋2＋3＋4＋5＋e=15＋e，因为两条直线上的三个数的和相等，所以（15＋e）能被2整除，即e为奇数，e可以是1、3、5。

当e=1时，其它四个数的和是2＋3＋4＋5=14，14÷2=7，7＋1=8，即每条直线上数的和是8，但是圆上的数的和是14，所以不满足；当e=3时，其它四个数的和是1＋2＋4＋5=12，12÷2=6，6＋3=9，即每条直线上数的和是9，但是圆上的数的和是12，所以不满足；当e=5时，其它四个数的和是1＋2＋3＋4=10，10÷2=5，5＋5=10，即每条直线上数的和是10，圆上的数的和也是10，满足条件。

五年级数学培优：数阵图、数字谜（含解析）将1~11填入图中的○内，使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22.知识概述1.数阵图的一般解题思路：由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定，从每一个单个数上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数和全部相加进行分析.2.数字谜：①数字谜介绍：数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除4种数字谜，横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜.②数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口，突破口你的寻找是需要一定得技巧性，一般来说，首先是观察题目中给出数字的位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，突破的顺序一般是三位分析法（个位分析，高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位，奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）.例1数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现，属于各大杯赛的高频考点，因为这类题是正确率很高的题目，所以要想取得好成绩，必须掌握这类题型的解题方法. 名师点题【解析】首先求出数阵图中关键位置的数，在数阵图的中间位置，是：（22×5-66）÷4=11，剩下的数从下到大排列，首尾配对即可：1配10，2配9,，3配8，4配7，5配6.在下图中填9个数，使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等.那么b处应该填入的数是（）.【解析】这是一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，我们称这个相等的和是幻和，幻和是中央的数的3倍，幻和=3b=1.9+b+0.9= 2.8+b，进而得到2b=2.8，b=1.4.在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________.【解析】比较竖式中百位与十位的加法，十位上“□+□”肯定进位，（否则由百位可知□=0），且有“□+□+1＝10+□”，从而□=9，☆=8.例3例2再由个位加法，推知○+△=8.从而口+○+△+☆=9+8+8=25.【巩固拓展】1.将从8开始的11个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数的和都相等，a共有（）种填法.【解析】由于每边上的三个数字和都相等，设每边和为S，从整体考虑将其全部相加和为5S，从个体考虑，除中间数加了5次外，其他数均加了1次，可看作8至18均加了1次，中间数a多加了四次，表示为（8+9+......+18）+4a，列出等式为5S=（8+9+ (18)+4a，化简为5S=143+4a，要使等式成立，4a的末位必须为2，得出三种答案，8，13，18.2.将1-12这十二个自然数分别填入下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________.【解析】由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍.所以，6(12312)2S=++++⨯，得到S=26，即所求的相等的和为26.3.在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs=______.s t v av t s tt t v t t+【解析】首先可以判断t=1，所以s+v=11，v=t+t+1=3，可解得s=11-3=8，又因为a+t=t，所以a=0，1038tavs=.将自然数1、10、19、28、37、46、55分别填人右图中的七个方框中，使每条直线上的三数之和与每个圆周上的三数之和都相等．那么圆心上的那个数应该填多少？【解析】圆心上的数属于三条直线，其余数都属于一条直线一个圆周，所以除中心的数被计算3遍外.其余数都被计算2遍.由()11019283746552392++++++⨯+=+中心数中心数，应是5的倍数，推知中心数为28.【巩固拓展】将3、5、7、11、13、17、19、23、29这9个数分别填人右图的9个○中，使3条边上的○中的数之和都相等.请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和.例1【解析】设三个顶点○内所填的数为a、b、c，每条边上的和为K，三个顶点上的数在求和时各用了2次，所以条边上的三数之和相加得()()3571113171923291273a b c a b c K+++++++++++=+++=；由于所得的和必须能被3整除，而1273421÷=，所以()a b c++的和应被3除余2，a b c++的最小值是571123++=，最大值是29231971++=，所以K的最小值是()12723350+÷=，最大值是()12771366+÷=.请将1～9这9个数填入右图3×3表格中，使得第1,2行三数的乘积分别是70，24，第l、2列三数的乘积分别是21、72.【解析】因为70=2×5×7，21=1×3×7，所以A=7，D等于2或5，因为D×E×F=72，72不能被5整除，所以D为2，72=2×4×9，即E为4或9，且B×E×H=24.24不能被9整除，所以E为4，24=1×4×6，也就是B=1，H=6，剩下的数易得.最后结果为：F IHGEDCBA986542317【巩固拓展】能否在8行8列的方格表的每个空格中（如图），分别填入1、2、3这三个数字中的任一个，使得每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同？对你的结论加以说明.例2【解析】不可能.这里一共有8行、8列、2条对角线，每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同，所以数字和一共有8+8+2=18（个）；又根据题目要求，每行、每列及对角线的8个数的和最小取值是8×1=8，最大为8×3=24，8到24一共有17个数.17＜18，所以不可能实现每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同.将1、2、3、4、5填入5×5的正方形表格的小方格中，使每个数字在每行、每列、每条对角线上都只出现一次，其中部分数字已经填出，请按照以上要求填写其他小方格.【解析】①根据唯一解法，可以快速得到第四行第一列填5；②观察第5列，可知第5行第5列方格中不能填4、5（根据列摒除法）；再观察从左上至右下的对角线，可知第5行第5列方格中不能填1、3（根据对角线摒除法）.那么根据唯一解法，可以确定第5行第5列方格中填2；③对两条对角线进行分析，可以确定第3行第3列方格中只能填4；④再根据唯一解法确定第2行第2列方格中填5；⑤接着可确定第2行第4列方格中填2，第5行第1列方格中填3；至此我们已经填出第1行、第4行、两条对角线上的所有方格中的数字，根据以上解题思路，可以顺势得出其他方格中的数字，最终的问题答案如下：例3【巩固拓展】如右下图，9个3×3的小方格表合并成一个9×9的大方格表，每个格子中填入1-9中的一个数，每个数在每一行、每一列中都只出现一次，并且在原来的每个3 3的小方格表中也只出现一次，10个“☆”处所填数的总和是.【解析】①先确定第6列4个☆的和：（1+2+3+…+8+9）-（1+9+8+4+2）=21；②确定第2层第3宫（9宫格）4个☆的和：（1+2+3+…+8+9）-（3+4+5+6+9）=18；③确定第1行第8列☆：观察所在行、所在列、所在宫，可以确定是5；④确定第3行第1列☆：观察所在行、所在列、所在宫，可以确定是2；所以10个“☆”处所填数的总和是：21+18+5+2=46.将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为.□÷□+□+□□＝□÷□+□□例4【解析】 因为左边必是奇数，所以右边最大值为87.（否则为88），经过尝试，得3÷1+5+79=6÷2+84【巩固拓展】请在算式1111⨯=⨯中填入不同的四个数字，使等号成立.【解析】 在10-19这10个数中，剔除质数后只剩下6数，通过尝试可得到10×18=12×15.在右边的乘法算式中，字母A 、B 和C 分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字.求A 、B 和C 分别代表什么数字.941A B CA B C⨯【解析】 第一个部分积中的9是C×C 的个位数字，所以C 要么是3，要么是7，假设C =3，第二个部分积中的4是积3×B 的个位数字，所以B =8.同理，第三个部分积中的1是积3×B 的个位数字，因此A =7.如果C =7，类似地可知B =2，A =3，但这时第二个部分积不是四位数，因此C ≠7.【巩固拓展】在下图中的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么被除数DEFGF 是多少？例5【解析】显然的D=1，由AB×A=IF可知，A不会超过3，否则得到的乘积应该是3位数，如果A=3，那么B也不能超过3，所以B只能是2，这样的AB×B=32×3=96与AAH矛盾，所以A≠3，所以A=2，根据AB×B=AAH，可以尝试出B=8时，等式成立，得到这些条件既可依次求得：I=5，F=6，E=0，G=9，所以被除数DEFGF是10696.（第十一届中环杯初赛试题及答案）从1至13中选出12个自然数填入3×4的方格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等（横行的和没有必要与竖列的和相等）.【解析】因为1+2+…+13=91，从中去掉一个数后应该能够被3以及4整除，即能被12整除.由于91÷12=7…7，应该去掉7，所有数的和为84.这样，每个横行的数字之和为84÷3=28，每个竖列的数字之和为84÷4=21.进一步分析可知，六个奇数必须有三个在一列，另外三个在另外一列.三个奇数和为21的，只有1+9+11和3+5+13两组，填好奇数，剩下的数就好填料.典型的两组答案（其余的答案均由这两个答案交换行列得到）如下：1 13 4 10 3 112 12例1如图大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形四个顶点上：（1）能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？ （2）能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？ 如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由.【解析】 （1）不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S.考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S ，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次.即()42468360S =+++⨯=.所以S=60÷4=15.但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上数字之和不可能相等.（2）能，下图是一种填法.8个三角形顶点数字之和分别是：8、10、12、14、16、18、20、22.248668862244（第十二届中环杯试题）如图，纸片盖住了乘法算式的所有数字，但是已知每一个被盖住的数都是质数，那么积的个位数是（）【解析】积的个位数等于两个因数的个位数积的个位数；一位质数有2、3、5、7；2×3=6，2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35；其中符合积的个位数也是质数的只有3×5=15或5×7=35，故积的个位数是5.在下面的乘法算式中，“数”、“字”、“谜”各代表一个互不相同的数字，求这个算式.⨯数字谜数字谜谜谜谜谜谜【解析】这是集数字谜和填空格于一体的数字问题，从题面上看，提供的信息较少，“谜”所在的位置较多，紧紧抓住“谜”所在的位置特点，逐一突破.由“⨯=数字谜谜谜”可知“谜”≠1，因此“谜”=5或6.例4例3（1）若“谜”=5，“⨯=数字谜数”的乘数的百位数字必须大于3且小于等于5，所以“数”=2，由于“⨯=数字谜字谜”，可知“255⨯=字字”，“字”是单数且小于5，故“字”=1或3，当“字”=1时，21521546225⨯=，不符合条件，当“字”=3时，23523555225⨯=，符合题意.（2）若“谜”=6，同理，“⨯=数字谜数”的乘积的百位数字必须大于4且小于等于6，所以“数”=2，由266⨯=字字，可知“字”=1，但21621646656⨯=，不符合条件.所以满足条件的算式是：23523555225⨯=.下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字.⨯=美妙数学数数妙，美+妙数学=妙数数.=美妙数学___________【解析】由⨯=美妙数学数数妙知，“美”不为1，且“美”ד妙”＜10，所以“美”≥2，“秒”≤4，“美”+“学”=“数”；1）当“秒”=1，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，可知，“美”、“学”为3和7，此时“美”+“学”=10，但题目中“美”+“学”=“数”＜10，所以“妙”不等于1；2）当“妙”=2，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，可知，“美”、“学”为3和4，或者4和8，但4+8=12＞10，所以“美”、“学”为3和4，“数”=3+4=7，但274×3=822，积出现重复数字2，不合要求，273×4＞1000也不合要求.3）当“妙”=3，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，可知“美”、“学”为7和9，“美”+“学”＞10，不合要求.4）当“妙”=4，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，可知“美”、“学”为7和2，或者6和9，又“美”+“学”＜10，所以“美”、“学”为7和2，“数”=7+2=9.497×2=994，合乎要求.因此，2497=美妙数学【练习1】在5×5方格表的空白处填入1-5中的数，使得每行、每列、每条对角线上的数各例5不相同？【解析】先确定右下角的方格，只能填“2”；左下角只能填3，最下一行只能是3、4、5、1、2.其他方格不难填成，结果如下图.【练习2】下图中有五个正方形和12个圆圈，将1-12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等.那么这个和是多少？【解析】设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为x，则由5个正方形四角的数字之和，相当于将1-12相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得()++++=，x x121225 x=，具体填法如：26758649112310121【练习3】下图中有三个正三角形，其中有三条通过四点的线段.请你把1~9这九个自然数分别填在九个黑点的旁边，使每个正三角形顶点上三个数的和相等，每条线段上四个数的和也相等.【解析】每个正三角形顶点上三个数的和：（1+9）×9÷2÷3=15每条线段上四个数的和：[（1+9）×9÷2+15]÷3=20根据以上结论可以得到如下填法（答案不唯一）：【练习4】如下图所示，A B C D E F G H I J、、、、、、、、、表示0-9这10个各不相同的数字.表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“G+C=14”.请将表中其它的数全部填好.A B C D E F G H I J+56771414【解析】 由于A+F=5，B+F=14，所以B-A=14-5=9，所以A 和B 只能是0和9.因此可以推出：A=0，B=9，C=6，D=3，E=2，F=5，G=8，H=1，I=4，J=7.可得下图.1013101041731694113107711881114147765+JI H G FE D C B A【练习5】 电子数字0-9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：______________________.【解析】（1）显然乘积的百位只能是2；（2）被乘数的十位和乘数只能是0、2、6、8，才有可能形如，0首先排除；（3）如果被乘数十位是6或8，那么乘数无论是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位数.所以被乘数十位是2，相应得乘数是.（4）被乘数大于25，通过尝试得到符合条件的答案：28×8=224.【练习6】 下面式中不同的汉字代表不同的数字，问：“数学好玩”表示的四位数是多少?【解析】由积的千位数知“数”=1，由积的十位数知“学”=0，由积的百位数知“玩”=9.竖式化简为下式.由于“1真”×9= “10好”，所以“真”=2，“好”=8，“啊”=6.所以，“数学好玩”=1089.【练习7】在□中填入恰当的数字使算式能够成立.2【解析】①这个除法算式从相除的过程可以看出，商数的十位和千位均为0；②除数的2倍是一个三位数，而除数与商的万位相乘，积为两位数，可知商的万位数字为1，同样可知商的个位数字也为1，即商为10201；③又一个两位数的两倍必小于200，故第一次剩余（即被除数的前三位与除数之差）为1.而一个三位数与一个两位数之差为1，只能是100-99=1，故被除数前三位为“100”，而除数为99，由此可知，被除数为99×10201=1009899.。