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第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，， =A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
第七章第150页()()()()()()()()()()()65ˆ 01210d dL ②2212121①L 265ˆ313141 .15465223122=⇒=-=-=-⋅========⇒=-+-+=∏=θθθθθθθθθθθθθθθθx P x P x P x x P x X E i i()()()()()∑∑∑∏∏⎰=∆==-==--=∴=+=-+=<<⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅=⋅X-X =⇒X =⋅⋅=ni ini i n i ii n i i nni in x xnx x n L x x x x x d x x X E 11111111101ln ˆ 0ln n d dlnL ln 1ln ln10 ,L 21ˆ1 .2θθθθθθθθθθθθθ()()()9.142802121072512210170ˆ 0 d dlnL !ln ln ln !!,L 0,1,2, !P 0,1,2k , !P .311111111≈=++++⨯++⨯+⨯+⨯==∴=+-=--+-=========∑∑∏∑∏∏=∆====∑-=---=nxxn x x x n L x x ex ex x x x ex X k e K X ni ini i n i i ni i n i ix n ni i xn i i xi kni iiiλλλλλλλλλλλλ第153页()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()更有效的无偏估计量都时总体均值与更有效的无偏估计量都时总体均值与222121212212132123211ˆD 259D 254251254ˆD 187D 3614D 4191361ˆD ˆˆE E 525152ˆE E E 213161ˆE ②ˆD 259D 254251254ˆD D 3614D 4191361ˆD ˆˆE E 52E 51E 52ˆE E E 21E 31E 61ˆE ① .1μμσμμμμμμμμμμμμμμμμ∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛++===⎪⎭⎫⎝⎛++=∴==⎪⎭⎫⎝⎛++===⎪⎭⎫⎝⎛++=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛++==⎪⎭⎫⎝⎛++=∴=++==++=X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X()()()()()()[]()()()[]()()()()得证证明： 1111X X E 11X X 11X X D X E 2,1 ,X X D X E D X D ,X D .2222222212212222222222222σσσμσμσμσμσμσσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=+==+=+====∑∑==n n n n n n n n nE n n E n S E nE ni E nn i i n i i i i i i略略.532C , 31C 4. .321==第164页()()()()()()⑵0.954.1514 6.1485101425.31500101425.3150025.39t 1t 1t ,1t 1~T 10n 14,S 1500 0.010.991⑴a .10.0052a 2a 2a ，，代入得：查表得：，置信区间，=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯-==-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+X --X --X ====X =-=n n S n n S n n t n S μ ()()1.02784 1.01216 96.1U U ,1,0~U 1.02, 0.050.951a , 0.02 .20.025a 2a 2a ，代入得查表得：，置信区间为==⎪⎭⎫ ⎝⎛+X -X -X ==X =-==n u n u N n σσσμσ()()()()()()5.2078 1.7937 71.125t 1t 1t ,1t 1~T 62n ,02S 5.87 , 0.10.91a .30.052a 2a 2a ，代入得：查表得：，置信区间为，==-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+X --X --X ====X =-=n n S n n S n n T n S μ()()()()()()()()()()()()21.07 , 43.7,44.3074 5.1885 2.18 81 , 54.178111,111~1X 9n ,11S , 0.050.951a .42975.0212025.0221222222222a 2a 2a 2a 的置信区间为则，代入得：查表得：置信区间为，σχχχχχχσχσ==-==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------====-=--n n n S n n S n n S n 第165页()()()0012.0 3. 2342 2 40394 1 .21098.5,104.02 .144-⨯⨯-- 第167页A5. D 4. B 3. C 2. C .1一、()()()()[]()()()()()()()[][]()()62n 61.5n 510U 2 52U L 62 .5 .4121122221n 21 .3 .22ˆ2X E 2 .1min 0.025221122222112112111212111212a=∴≥∴≤⨯⨯⇒≤=X -=⇒=-⋅=++-+=++-+=+-=⎪⎭⎫⎝⎛--X X =⇒X ==X ∑∑∑∑-=-=+++-=++-=+nnn C n C C X E X D X E X E X E X D C X X X X E C X X C E n n i n i i i i i i i n i i i i i n i i i σσσμσμμσθθ二、()()X =∴X =-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-X =-⋅=⎰3a ˆ a 32a 3a 2a 1X a a 2X X E .1a0322a2x x d x 三、()()()()X=∑=∴=∑+-=∑--=∑=⋅=====--===∏∏ni i n i i ni ix nx ni ni i x n x n d d x n eex f ni ii112111111ˆ 01L ln 1ln L ln 11,L .21θθθθθθθθθθθθθθθ()()()()()()21211111111ln n ˆ 0ln 212ln ln 1ln 2ln 2L ⑵1ˆX E ⑴ .321⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴=+=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==X-X =⇒X ===∑∑∑∏∏⎰⎰===-==--∞+∞-n i i ni ini ini i ni ix x X Xn d L d X nL X n X d xx d x f x θθθθθθθθθθθθθθθ1000499ˆ .4=X =P(()()()()()()()()()()[()()()()()()]()()()()()()()62.12,38.117.34 , 96.7 00.833 9.125 325.3 91 ,92.1691141.11189.515.3489.511.4889.511.6689.514.5389.518.6989.513.4289.518.4489.513.5489.519.5489.517.509111,111~1X 89.51)5.341.481.664.538.692.438.443.549.547.5010110n , 0.10.91a .5295.021205.0222222222222212222222a a 2a 2a 的置信区间为，代入得：查表得：，置信区间为σχχχχχχχσ∴==-==-=-+-+-+-+-+--+-+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------==+++++++++=X ==-=--n n S n S n n S n n S n 略 .6()220.025L 15.3664n L1.962 2U , 96.1U U ,1,0~U , 0.05a .72a2a 2a 2a σσσσσσμ≤≤⨯⨯≤==⎪⎭⎫ ⎝⎛+X -X -X ==解得：即查表得：，置信区间为nL nn u n u N n。
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r } (ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j j i A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nj i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式：(1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂ (6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
《概率论与数理统计》习题及答案第 七 章1．对某一距离进行5次测量，结果如下：2781,2836,2807,2765,2858（米）. 已知测量结果服从2(,)N μσ，求参数μ和2σ的矩估计.解 μ的矩估计为ˆX μ=，2σ的矩估计为22*211ˆ()ni i X X S n σ==-=∑ 1(27812836280727652858)2809.05X =++++=，*215854.01170.845S =⨯=所以2ˆ2809,1170.8μσ== 2．设12,,,n X X X 是来自对数级数分布1(),(01,1,2,)(1)kp P X k p k lu p k==-<<=-的一个样本，求p 的矩估计.解 111111ln(1)ln(1)ln(1)1k kk k p p p p p p p μ∞∞==-==-=-⋅----∑∑ （1） 因为p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩121111ln(1)ln(1)ln(1)kk k x pk k k p p kp kp x p p p μ∞∞∞-===='-⎛⎫==-=- ⎪---⎝⎭∑∑∑ 21ln(1)1ln(1)(1)x pp x p p x p p ='⎡⎤=-=-⋅⎢⎥----⎣⎦ （2） （1）÷（2）得 121p μμ=- 所以 212p μμμ-= 所以得p 的矩估计21221111n i i n i i X X X n p X n α==-==-∑∑3．设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,,n X X X 为取自X 的样本，试求参数N 和p 的矩估计 解 122,(1)()Np Np p Np μμ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ 解之得1/N p μ=， 21(1)p Np μμ-+=， 即1N pμ=，22111p μμμ-=-，所以 N 和p 的矩估计为ˆX N p=，*21S p X =-. 4．设总体X 具有密度11(1)1,,(;)0,.Cx x C f x θθθθ-+⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中参数01,C θ<<为已知常数，且0C >，从中抽得一个样本，12,,,n X X X ，求θ的矩估计解11111111111CCEX C x dx C xθθθθμθθθ+∞--+∞===-⎰111()11C C C C θθθθ-=-⋅=--， 解出θ得11,Cθμ=-92 于是θ的矩估计为 1C Xθ=-. 5．设总体的密度为(1),01,(;)0,.x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他试用样本12,,,n X X X 求参数α的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计：111210011(1),22EX x dx x ααααμααα++++==+==++⎰解出α得 1112,1μαμ-=- 所以α的矩估计为 121XX α-=-. 再求极大似然估计： 1121(,,;)(1)(1)()nn n i n i L X X x x x x ααααα==+=+∏，1ln ln(1)ln nii L n xαα==++∑，1ln ln 01nii d L nx d αα==++∑，解得α的极大似然估计： 1(1)ln nii nxα==-+∑.6．已知总体X 在12[,]θθ上服从均匀分布，1n X X 是取自X 的样本，求12,θθ的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计： 1212EX θθμ+==，22222211211222()()1243EX θθθθθθθθμ-+++==+=解方程组121221122223θθμθθθθμ⎧+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩得11θμ=±2123(θμμμ=-注意到12θθ<，得12,θθ的矩估计为*1X θ=-，*2X θ=.再求极大似然估计 1121212111(,,;,)()nn ni L X X θθθθθθ===--∏，1122,,,n x x x θθ≤≤，由极大似然估计的定义知，12,θθ的极大似然估计为11(1)min(,,)n X X X θ==；21()max(,,)n n X X X θ==.7．设总体的密度函数如下，试利用样本12,,,n x x x ，求参数θ的极大似然估计.（1）1(),0,(;)0,.x x e x f x αθαθαθα--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它;已知（2）||1(;),,2x f x e x θθθ--=-∞<<+∞-∞<<+∞. 解 （1）111111(,,;)()()ni i i nx x n nn i n i L X X x ex x eααθθααθθαθα=----=∑==∏111ln (;)ln ln (1)ln nnn i i i i L X X n n x x αθθααθ===++--∑∑1ln 0ni i d L nx d αθθ==-∑解似然方程1ni i nx αθ==∑，得θ的极大似然估计94 1.ni i nx αθ==∑（2）1||||1111(;)22ni i i n x x n n i L X X e eθθθ=----=∑==∏由极大似然估计的定义得θ的极大似然估计为样本中位数，即1()2()(1)22,1(),.2n n n X n X X n θ++⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数8．设总体X 服从指数分布(),,(;)0,.x ex f x θθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他试利用样本12,,,n X X X 求参数θ的极大似然估计.解 1()11(,,;),,1,2,,.ni i i nx n x n i i L X X eex i n θθθθ=-+--=∑==≥=∏1ln nii L n Xθ==-∑ln 0d Ln d θ=≠ 由极大似然估计的定义，θ的极大似然估计为(1)x θ= 9．设12,,,n X X X 来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，试求未知参数p 的极大似然估计. 解 1111(,,;)(1)(1)ni i i nx nx n n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏，1ln ln ()ln(1),nii L n p Xn p ==+--∑1ln 0,1ni i X nd L n dp p p=-=--∑解似然方程11nii n X n p p=-+=-∑， 得p 的极大似然估计1p X=。
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r } (ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j j i A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nj i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式：(1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂ (6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案. 第七章 假设检验7.1 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：（1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=.解：（1）是简单假设，其余位复合假设 7.2 设1225,,,ξξξ取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥，试决定常数c ，使检验的显著性水平为0.05解：因为(,9)N ξμ~，故9(,)25N ξμ~ 在0H 成立的条件下，00053(||)(||)53521()0.053c P c P c ξμξμ-≥=-≥⎡⎤=-Φ=⎢⎥⎣⎦55()0.975,1.9633c cΦ==，所以c =1.176。
7.3 设子样1225,,,ξξξ取自正态总体2(,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>，（1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；（2）设0μ=0.05，20σ=0.004，α=0.05，n=9，求μ=0.65时不犯第二类错误的概率。
解：（1）在0H 成立的条件下，200(,)nN σξμ~，此时00000()P c P ξαξ=≥=≥10αμ-=，由此式解出010c αμ-=+在1H 成立的条件下，20(,)nN σξμ~，此时10100010()(P c P αξβξμ-=<=<=Φ=Φ=Φ由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。
（2）不犯第二类错误的概率为100.9511(0.650.51(3)0.21(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ-=-Φ-=Φ=7.6 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设：0011101201:():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。
解 设检验函数为1()0x cx φ∈⎧=⎨⎩其他（c 为检验的拒绝域）0101011112()2()()2[1()]()2[1()]()2(12())2(14)()P x c P x c P x c P x c E x E x x dx x x dx x x dxαβφφφφφ+=∈+∈=∈+-∈=+-=+-=+-⎰⎰⎰要使2min αβ+=，当140x -≥时，()0x φ= 当140x -<时，()1x φ=所以检验函数应取114()104x x x φ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，此时，10722(14)8x dx αβ+=+-=⎰。
7.7 设某产品指标服从正态分布，它的根方差σ已知为150小时。
今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?解 总体2(,150)N ξμ~，对假设，0:1600H μ=，采用U 检验法，在0H 为真时，检验统计量1.2578x u ==临界值1/20.975 1.96u u α-==1/2||u u α-<，故接受0H 。
7.8 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω，根方差保持在0.06Ω，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2.62Ω，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平α=0.01。
解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量ξ，则E ξμ=未知，2(0.06)D ξ=， 假设为 0: 2.64H μ=，统计量 3.33u ξ==-由于1-/20.995 2.10||u u u α==<，故拒绝原假设。
即新工艺对电阻有显著差异。
7.9（1）假设新旧安眠药的睡眠时间都服从正态分布，旧安眠剂的睡眠时间2(20.81.8)N ξ，,新安眠剂的睡眠时间2()N ημσ，，为检验假设01:23.8:23.8H H μμ=<从母体η取得的容量为7的子样观察值计算得24.2x = *25.27ns = 由于η的方差2σ未知，可用t 检验。
t 0.461n x === 0.10a =取 0,10(71) 1.4398t t -=-<所以不能否定新安眠药已达到新的疗效的说法。
（2）可以先检验新的安眠剂睡眠时间η的方差是否与旧的安眠剂睡眠时间ξ的方差一致，即检验假设220:(1.8)H σ=。
用2χ-检验，*2222(1)6 5.279.76(1.8)nn s χσ-⨯===。
取220.060.05=(6)=1.635(6)=12.592αχχ0.10，，2220.060.05(6)(6)χχχ<<所以接受0H ,不能否认ξη和方差相同。
如认为η的方差2σu 0.18==取=α0.10，0.100.101.27,u u u =->，所以接受0H 。
7.11有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下：试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？解 此问题可以归结为判断12x x ξ=-是否服从正态分布2(0,)N σ，其中2σ未知，即要检验假设0:0H μ=。
由t 检验的统计量 0.389nt ξ===-取α=0.10，又由于，0.95(7) 1.8946||t t =>，故接受0H7.12 某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为0.973根，每台布机的平均断头率的根方差为0.162根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%，在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为0.994根，根方差为0.16，问新的上浆率能否推广？取显著性水平0.05。
解 设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量η，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为0.994及()2*2n s 0.16=，问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验01:0.973:0.973H E H E ηη=↔>由于D η未知，且n 较大，用t 检验，统计量为1.856nt η===查表知0.95t (199)1.645=，故拒绝原假设，不能推广。
7.13在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为1210(,,,)x x x ，1210(,,,)y y y ，假设作物产量服从正态分布，并计算得30.97x =，21.79y =，*26.7x s =，*12.1y s =取显著性水平0.01，问是否可认为两个品种的产量没有显著性差别？解 甲作物产量211(,)N ξμσ~，乙作物产量222(,)N ημσ~，即要检验 012:H μμ≠由于21σ，22σ未知，要用两子样t 检验来检验假设'22012:H σσ=，由F 检验，统计量为2*2*22120.99526.74.869(9,9) 6.5412.1F s s F ===<=（取显著性水平0.01）故接受假设'22012:H σσ=，于是对于要检验的假设012:H μμ≠取统计量0.99t ==又0.01α=时，0.995(18) 2.878||t t =>，所以接受原假设，即两品种的产量没有显著性差别。
7.14有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径为（单位：mm ）：甲 20.5 ，19.8 ，19.7 ，20.4 ，20.1 ，20.0 。
19.6 ，19.9 乙 19.7 ，20.8 ，20.5 ，19.8 ，19.4 ，20.6 ，19.2 。
试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为0.05α=。
解：假定甲产品直径服从211(,)N μσ，由子样观察值计算得20.00x =，1*22(0.3207)0.1029n s ==。
乙产品直径服从222(,)N μσ，由子样观察值计算得20.00y =，2*20.3967n s =。
要比较两台机床加工的精度，既要检验22012:H σσ=由 F-检验12*2*20.10290.25940.3967n F ns s ===0.05α=时查表得：0.975(7.6) 5.70F =，0.0250.97511(7.6)0.1953(6.7) 5.12F F ===由于0.0250.975(7.6)(7.6)F F F <<，所以接受0H ，即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。
7.16 随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（cm ） 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值μ的90%的置信区间 （1）0.01cm σ=； （2）σ未知解 （1）由子样函数(0,1)U N ξ=，0.95(||)0.90p U u <=，可求μ的置信区间 置信下限2.121ξ-= 置信上限2.129ξ+= （2）在σ未知时，由子样函数(1)nt t n ξ=-，0.95(||(1))0.90p t t n <-=可求得μ置信区间为置信下限*2.1175ξ-= 置信上限*2.1325ξ+=7.17 包糖机某日开工包糖，抽取12包糖，称得重量为9.9 10.1 10.3 10.4 10.5 10.2 9.7 9.8 10.1 10.0 9.8 10.3假定重量服从正态分布，试由此数据对该机器所包糖的平均重量 求置信水平为95%的区间估计。
解 由于σ未知，用统计量(1)nt t n ξ=-，计算各数据值后可以得到均值的置信区间，置信上限为*10.2556ξ=，下限为*9.9284ξ= 7.19 随机取9发炮弹做实验，得炮口速度的方差的无偏估计*211ns =（米/秒）2，设炮口速度服从正态分布，分别求出炮口速度的标准差σ和方差2σ的置信水平为90%的置信区间。
解 选取统计量*222(1)(1)nn s n χσ--， 可得2σ的置信区间为：*2*2221/2/2(1)(1)(,)(5.6749,32.199)(1)(1)n n n s n s n n ααχχ---=-- 因为*2*22221/2/2(1)(1)()(1)(1)1n n n s n s p p n n αασσχχα---<<=<<--=-故，标准差的置信区间取方差的根方即可。
