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算⼦（operator）和算法（Algorithm）算⼦(operator)和算法(Algorithm)1、算⼦算⼦是⼀个函数空间到函数空间上的映射O：X→X。
⼴义上的算⼦可以推⼴到任何空间，如内积空间等。
中⽂名：算⼦外⽂名：operator别名：算符定义：⼀个函数空间到函数空间上的映射应⽤领域：数理科学1.1、算⼦解释⼴义的讲，对任何函数进⾏某⼀项操作都可以认为是⼀个算⼦，甚⾄包括求幂次，开⽅都可以认为是⼀个算⼦，只是有的算⼦我们⽤了⼀个符号来代替他所要进⾏的运算罢了，所以⼤家看到算⼦就不要纠结，他和的没区别，它甚⾄和加减乘除的基本运算符号都没有区别，只是他可以对单对象操作罢了(有的符号⽐如⼤于、⼩于号要对多对象操作)。
⼜⽐如取概率P{X<x}，概率是集合{X<x}(他是属于实数集的⼦集)对[0,1]区间的⼀个映射，我们知道实数域和[0,1]区间是可以⼀⼀映射的(这个后⾯再说)，所以取概率符号P，我们认为也是⼀个算⼦，和微分，积分算⼦算⼦没区别。
总⽽⾔之，算⼦就是映射，就是关系，就是变换。
1.2、常见算⼦常见的算⼦有微分算⼦，梯度算⼦，散度算⼦，拉普拉斯算⼦，哈密顿算⼦等。
狭义的算⼦实际上是指从⼀个函数空间到另⼀个函数空间（或它⾃⾝）的映射。
⼴义的算⼦的定义只要把上⾯的空间推⼴到⼀般空间，可以是向量空间。
赋范向量空间，内积空间，或更进⼀步，Banach空间，Hilbert 空间都可以。
算⼦还可分为有界的与⽆界的，线性的与⾮线性的等等类别。
1.3、特征值对于⼀个输⼊和输出函数类型相同的算⼦T，满⾜的k称为T的特征值，相应的称作T关于k的特征函数。
1.4、可交换对两个输⼊和输出函数类型相同的算⼦和，如果，则称和为可交换的，可交换意味着和拥有同样的特征函数（但对应的特征值不同）。
1.5、认知⼼理学在⼼智技能形成的第⼀阶段，即认知阶段，要了解问题的结构，即起始状态，要到达的⽬标状态，从起始状态到⽬标状态所需要的步骤。
§3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理一、线性赋泛空间在前一节,对集合引入距离的概念,从而定义了极限下面再引入元素的加法及数乘的代数运算。
定义1：设为一集合，如果：(一)在中定义了加法，即对中的任意元素，存在相应的元素，记，称为的和，并适合：E E ,x y u E ∈u x y =+,x y E（1）（2）（）（3）在中存在唯一的元素（称为零元素），对任何中的元素，有（4）在中存在唯一的元素，使称为的负元素，记为。
（二）在中定义了元素与数（实数或复数）的乘法，即在中存在元素，x y y x+=+()()x y z x y z ++=++z E ∈E θE x x xθ+=E 'x 'x x θ+='x x x −E E v记（为任何实数或复数，），称之为与元素的数积，适合：（5）（6）（是数）（7）（8）便称为线性空间（或向量空间），称中元素为向量。
若数积运算只对实数（复数）有意义，则称是实（复）线性空间。
v ax =a a x E ∈x ()()a bx ab x =,a b ()a b x ax bx+=+()a x y ax ay+=+E E E 1x x⋅=定义2：设是线性空间，是的非空子集。
如果对任何，对于中的元素都有及，那么，按中的加法及数积也成为线性空间，称为的线性子空间（或简称子空间）。
和是的两个子空间，称为平凡子空间。
若则称是的真子空间，每个子空间都含有零元素。
E M E αM ,x y x y M +∈x M α∈M E E E E {}0E M ≠M E定义3：设是线性空间的向量是个数，称为的线性组合。
若中之集的任意的有限个向量都线性无关，则称是的线性无关子集。
若是中的线性无关子集且对于中的每个非零向量都是中向量的线性组合，则称是的一组基若中存在由（有限）个线性无关向量组成的基，就说是维（有限维）线性空间，否则说是无限维空间。
E n E M M E A E E x A A E E n E n 12,,,n x x x …12,,,n ααα…11n n x x αα++…1,,n x x …引入距离，则不难验证，满足距离公理的三个条件，于是线性赋范空间就成为距离空间，今后对线性赋范空间总是按（*）式引入距离使之成为距离空间。
南昌大学泛函分析下册搜索目录第六章（3-63）§11.1距离空间的定义及例距离的定义，以及满足的三个条件P3距离空间的定义，以及满足的三个条件P4例1 n维欧式空间R n，元素为n维实向量（），按照距离（1）（1′）是一个距离空间P4-5，由例1得在一个集合中定义距离的方式不是唯一的柯西不等式P5C n，元素为n维复向量（），按照距离（1）是一个距离空间P6例2 空间C[a,b]，元素为所有实（或复）连续函数，按照距离（3）是一个距离空间P6-7例3 L p（F）（1≤p＜无穷，且为可测集），元素为p幂可积函数，按照（4）是一个距离空间P7例4 空间L无穷（F），元素为本性有界的可测函数，按照距离（5）是一个距离空间P7-8例5 空间l p（1≤p＜无穷），元素为实（或复）数列，按照（9）是一个距离空间P8-10例6 空间l无穷，元素为一切有界的实（或复）数列，按照（10）是一个距离空间P111.2距离空间中的收敛及其性质定义1.2：点列{x n}收敛于x0，称x0为{x n}的极限P11定理1.1 设{x n}是距离空间X中的收敛点列，则下列性质成立：①{x n}的极限唯一；②对任意的y0∈X，数列{ρ（x n，y0）}有界。
P11定理1.2设{x n}是距离空间X中的收敛点列，且收敛，则{x n}的任一子列{x nk}也收敛，且收敛于同一极限。
反之，若{x n}的任一子列收敛，则{x n}本身也收敛P12 R n收敛的充分必要条件是P12C[a,b]收敛的充分必要条件是P12-13对于任何一个非空集合，我们都可以定义距离；定义距离的方式不唯一；如果一个非空集合中定义了两个或两个以上的距离，那么由它们本身导出的收敛可以等价也可以不等价。
当不等价时，便得到本质上不同的两个或两个以上的距离空间。
P14§22.1几种特殊的点集定义2.1 开球、闭球、球形领域、领域的概念P15定义2.2 内点、内部、开集（空集规定为开集）的概念。
有界线性算子逐点收敛的极限未必有界1杜升华2我们知道，定义在一个Banach 空间上的有界线性算子序列逐点收敛的极限一定是有界线性算子，这是一致有界性原理（Banach-Steinhaus 定理）的简单推论。
但是，这对不完备的赋范线性空间来说一般是不对的。
下面给出一个反例：令，首先验证X 是线性空间。
任取，11{(,,,)|01..()as n n n X x x x l s t x O n εε==∈∃<<=→∞……}1(,,)n x x x =……1(,,,)n y y y =∈……X ，设1()n n x O ε=，2()nn y O ε=（），n →∞1201εε<≤<，任取,αβ∈R ，则2()nn n x y O αβε+=（），从而n →∞x y X αβ+∈。
采用的诱导范数使X 成为赋范线性空间。
1l 3定义为，其中:n T X X →12()(,2,,,0,,0,)n n T x x x nx =………1(,,)n x x x =……。
易见且(,)n T B X X ∈n T n =。
任取1(,,)n x x x X =∈……，设当时n N ≥||n n x C ε≤。
定义，则12()(,2,,,)n T x x x nx =……()),n n n nx nO O n ε==→∞，故。
由此定义了一个线性算子。
当时，()T x X ∈:T X X →n N ≥11()()||0,k n kk n k n T x T x kxCk n ε∞∞=+=+−=≤→→∑∑∞，即在范数意义下li 。
1l m ()()n n T x T x →∞=但T 并不是有界线性算子。
事实上，设(0,,0,1,0,)k e =……为第k 分量为1、其余分量为0的向量，则，k e X ∈()k kT e k e =。
故(,)T B X X ∉。
有界线性算子理论中（同时也是线性泛函分析中）另两个最重要的定理是闭图像定理和有界逆定理。
泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。
答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。
答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。
答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。
答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。
- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。
第三章 有界线性算子一 有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射 ，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)(称T 是X 中到1X 中的线性算子。
称)(T D 是T 的定义域。
特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。
如果一个线性泛函f 是有界的，即)( |||||)(|M x x M x f ∈≤称为f 有界线性泛函。
此外取算子范数作为空间中的范数。
定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0连续，则T 是连续的。
定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。
2 有界线性算子空间设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。
在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α，定义Bx Ax x B A +=+))((Ax x A αα=))((不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。
此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见)(77P 。
由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，把),(1X X β简记为)(X β。
在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。
事实上，设∈n A A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及}1||:||{=∈=X X x S 。
如果)(∞→→n A A n，则对任意0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈≤-||||Ax x A n 1||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n -ε<。
关于拉普拉斯算子和格林函数的数学理论和应用拉普拉斯算子和格林函数是数学中的两个重要概念，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍拉普拉斯算子和格林函数的基本概念、性质和应用。
一、拉普拉斯算子拉普拉斯算子是向量算子，用于描述向量场的散度。
在三维空间中，拉普拉斯算子的表达式为：$$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$$其中，$\phi$ 为标量函数。
在二维平面和一维线性空间中，拉普拉斯算子的表达式分别为：$$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}$$$$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}$$拉普拉斯算子的性质很重要，其中最重要的性质是齐次性。
齐次性指的是，对于任意的标量函数 $\phi$，有如下等式成立：$$\Delta (af) = a \Delta f, \quad a \in \mathbb{R}$$也就是说，拉普拉斯算子可以与标量函数的加法和数乘交换顺序。
这个性质非常有用，因为它使得拉普拉斯算子可以应用于线性微分方程的解析和求和问题等。
二、格林函数格林函数是一种特殊的函数，用于求解偏微分方程的边界值问题。
偏微分方程的边界值问题是指，在某个空间区域内，给定方程的解在该区域边界上的特定值，解决方程在整个区域内的解。
例如，要求在一个矩形区域中求解波动方程的解。
格林函数的概念最早由数学家 George Green 提出，后来由格林本人描述，并被称为“格林函数”。
格林函数的实质是一个函数，它表示在某个点上的函数值，是由在其他所有点上的函数值共同决定的。
常微分方程格林函数格林函数是常微分方程领域一个重要的概念，它在求解一些特殊的边值问题时起到了关键的作用。
本文将详细介绍常微分方程格林函数的概念、性质和应用。
1.概念：格林函数是常微分方程的一个解，在给定一些边界条件下，格林函数可以通过线性叠加得到问题的解。
对于一个n阶线性齐次常微分方程：$$L(y)=f(x)$$其中L是一个线性微分算子，f(x)是给定的函数，问题的边界条件可以表示为y(a)=y(b)=0。
2.小欧拉公式：对于一个线性微分算子L，小欧拉公式给出了一个特殊解的形式。
设y(x)是L(y)=f(x)的特殊解，如果f(x)是连续的，那么y(x)可以表示为：$$y(x) = \int_a^b G(x, t) f(t) dt$$其中G(x,t)是L的格林函数，满足下面两个条件：$$L_x(G(x, t)) = \delta(x - t)$$$$G(a,t)=G(b,t)=0$$其中δ(x-t)是狄拉克函数。
3.格林函数的性质：-线性性质：设L是一个线性微分算子，对于任意的常数c和函数f(x)，有：$$L(cG)=cL(G)$$$$L(G_1+G_2)=L(G_1)+L(G_2)$$即格林函数的线性组合也是L的格林函数。
-对称性质：由于小欧拉公式中x和t的对称性，格林函数也具有对称性：$$G(x,t)=G(t,x)$$-积分性质：对于一个n阶线性微分算子L和它的格林函数G(x,t)，有：$$\int_a^b L_x(G(x, t)) dt = 1$$$$\int_a^b L_t(G(x, t)) dt = 0$$4.格林函数的求解：求解一个线性微分方程的格林函数需要根据具体的微分算子L来进行。
一般情况下，可以通过变换法或者分离变量法得到格林函数。
对于一些特殊的微分算子，如一维波动方程的算子和一维热传导方程的算子，格林函数的求解可以通过傅里叶变换来得到。
5.格林函数的应用：格林函数在常微分方程领域有广泛的应用。
统计学习中的边界理论统计学习是一门关于如何从数据中进行学习和预测的学科。
它通过利用统计模型和机器学习算法，从给定的数据中学习规律，进而进行预测和决策。
在统计学习中，边界理论（margin theory）是一种重要的理论框架，它在分类和回归问题中具有广泛的应用。
边界理论是由统计学习理论（statistical learning theory）发展而来的，它主要研究学习算法的泛化性能和分类边界的性质。
在统计学习中，分类问题是指将输入数据分为不同的类别，而边界则是指分类决策的边界线或曲面。
边界理论关注的是分类边界与样本数据之间的关系，以及边界的位置和形状对学习算法的影响。
边界理论主要有两个核心概念：判别函数和边界间隔。
判别函数是分类算法的核心组成部分，它使用输入数据并给出相应的分类结果。
边界间隔则是判别函数的一个重要属性，它代表了样本数据与分类边界之间的距离。
边界间隔越大，说明模型对于未知数据的泛化能力越强，分类的准确性也越高。
在边界理论中，重要的概念是结构风险最小化原则和经验风险最小化原则。
结构风险最小化原则是基于经验风险最小化原则发展而来的，它考虑了模型的复杂度和样本数量之间的平衡。
结构风险最小化原则认为，一个好的学习算法不仅应该在已有样本上表现良好，还应适应未知样本，并具有较好的泛化性能。
边界理论的研究内容涉及到多个方面，包括分类边界的设计、边界间隔的优化以及模型复杂度与泛化性能的平衡等。
通过研究边界理论，我们可以更好地理解和应用统计学习算法，提高分类和预测的准确性和效果。
总结起来，统计学习中的边界理论是一种研究学习算法泛化性能和分类边界性质的理论框架。
它通过研究判别函数和边界间隔等概念，并应用结构风险最小化原则，来优化模型的泛化性能和分类准确性。
边界理论的研究对于提高统计学习算法在分类和预测问题中的效果具有重要意义。
（以上内容为写作示范，可根据需要进行调整和扩展。
）。
关于算子有界性的几个结果
在线性代数中，算子有界性是指一个算子的范数（也称作算子范数）是有限的。
算子范数是一种度量算子的“大小”的方法，常用来表示线性映射对向量的影响程度。
有界算子是指其算子范数有限，即 $|T|<\infty$。
无界算子是指其算子范数无限，即 $|T|=\infty$。
下面是关于算子有界性的几个结论：
1.对于一个线性映射 $T:V\rightarrow W$，若 $V$ 和 $W$ 均为有
限维空间，则 $T$ 是有界的。
2.对于一个有界算子 $T:V\rightarrow W$，若 $V$ 和 $W$ 均为无
限维空间，则 $T$ 不一定是有界的。
3.对于一个无界算子 $T:V\rightarrow W$，若 $V$ 和 $W$ 均为无
限维空间，则 $T$ 不一定是无界的。
4.对于一个线性映射 $T:V\rightarrow W$，若 $V$ 是有限维空间，
而 $W$ 是无限维空间，则 $T$ 不一定是有界的。
总之，算子有界性受到算子的定义域和值域的限制。
在判断算子是否有界时，需要同时考虑它的定义域和值域的维数。
有界线性算子的性质（gM）戴磊;张程泱【摘要】In this paper we study the property ( M) and property ( gM) , two variants of Weyl type theorem, by means of the localized spectrum theorem. We establish for a bounded linear operator defined on a Banach space several sufficient and necessary conditions for which property ( M) and property ( gM) hold. We also relate property ( M) and the property ( gM) with other Weyl type theorems. In addition, we prove that Tpossesses property ( gM) if and only if Tsatisfies generalized Weylthe orem andσSBF-+( T)= σBW( T) , whereσSBF-+( T) is the essential semi-B-Fredholm spectrum of T andσBW( T) is the B-Weyl spectrum of T .%利用局部谱理论研究了Weyl型定理的两个新的变化性质———性质（ M）与性质（ gM），给出了Banach空间中有界线性算子满足性质（ M）与性质（ gM）的充要条件，建立了它们与其他Weyl型定理之间的关系。
另外，还证明了算子T 有性质（gM）当且仅当T满足广义Weyl定理且σSBF－＋（T）＝σBW（T），其中σSBF－＋（ T）表示算子T的本性半B－Fredholm谱，σBW（ T）表示算子T的B－Weyl谱。
【期刊名称】《渭南师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)018【总页数】4页(P26-29)【关键词】性质( M);性质( gM);性质( aM);性质( gaM)【作者】戴磊;张程泱【作者单位】渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南714099;陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710062【正文语种】中文【中图分类】O177.2【自然科学基础理论研究】文中B(X)表示复无限维Banach空间X上的有界算子全体，对算子T∈B(X)，分别用σ(T)、σa(T)、N(T)、R(T)表示算子T的谱集、逼近点谱、零空间、值域.用n(T)、d(T)表示T的零度、亏数.称T∈B(X)为一个上半Fredholm 算子，若n(T)<且R(T)闭；若d(T)<, 则称T为一个下半Fredholm算子.算子T∈B(X)称为Fredholm算子，若n(T)和d(T)都有限.若T∈B(X)是上(或者下)半Fredholm算子，T的指标ind(T)定义为ind(T)=n(T)-d(T).指标为零的Fredholm算子称为Weyl算子.记(X)为上半Fredholm且指标小于等于零的算子全体, 算子T的升标asc(T)为满足 N(Tn)=N(Tn+1)的最小非负整数，若这样的整数不存在，则记asc(T)=；而算子T的降标des(T)为满足R(Tn)=R(Tn+1)的最小非负整数，同样，当这样的整数不存在时，记des(T)=.如果算子T有有限升标和有限降标,那么称T为Drazin可逆的；若T的升标有限且R(Tasc(T)+1)闭,则称T为左Drazin可逆的.记T的Weyl谱、本性逼近点谱、Drazin谱、左Drazin谱分别定义如下[1-2]：记Π(T)和Π0(T)分别为T的谱集中极点全体和有限重极点全体.对T∈B(X)及n为正整数,定义Tn=T|R(Tn):R(Tn)→R(Tn)(特别的T0=T).若对某个正整数n，R(Tn)是闭的且 Tn 是上(或下)半Fredholm 算子，则称T为上(或下)半 B-Fredholm 算子，且由文献[3]知此时对任意的n，Tm是 B-Fredholm 算子且ind(Tm)=ind(Tn)，于是把ind(T)定义为ind(Tn).记(X)为所有指标ind(T)小于等于零的上半B-Fredholm算子T的全体，令对T∈B(X)，下记Δ(T)(T).设T∈B(X)，如果Δ(T)=E0(T)，称T满足Weyl定理；如果Δ(T)=Π0(T)，称T满足Browder定理[3]；如果Δa(T)=E0(T)，称T有性质(ω)[4]；如果Δg(T)=E(T)，称T满足广义Weyl定理[5]；如果(T)，称T有性质(gω)[6].定义1 称T∈B(X)有性质(M)，如果Δ+(T)=E0(T)；如果，则称T有性质(gM).定理1 设T∈B(X)，若T有性质(gM),则T有性质(M).证明假设T有性质(gM)，则.若λ∈Δ+(T)，则(T).由于T-λ是上半Fredholm算子，所以 n(T-λ)<. 因此，即证Δ+(T)⊆E0(T).反之，任给则λ是T的谱集中孤立的特征值.因为T有性质(gM)，则(T)，所以T-λ是上半B-Fredholm算子.又因为n(T-λ)是有限的，由文献[4]知，T-λ是上半Fredholm算子且ind(T-λ)≤0.因此λ∈Δ+(T).综上所述，Δ+(T)=E(T)，即T有性质(M).注解1 在一般情况下，定理1的逆命题不成立.设T∈B(2)，定义则这意味着算子T满足性质(M)，但是性质(gM)对T却不成立.定理2 设T∈B(X)，则下列叙述成立：(1)T有性质(M)当且仅当T有性质(ω)且σ(T)=σa(T).(2)T有性质(gM)当且仅当T有性质(gω)且σ(T)=σa(T).证明 (1)假设T有性质(M).如果λ∈Δ(T)，则λ∈Δ+(T).因此λ∈E(T)，即证Δ(T)⊆E0(T).如果λ∈E0(T)，由于T有性质(M)，所以λ∈Δ(T). 故Δ(T)=E0(T)，即证T满足Weyl定理.从而有Δ+(T)=E0(T)且Δ(T)=E0(T).因此σ(T)=isoσ(T)∪σea(T) 且σa(T)=isoσ(T)∪σea(T)，所以σ(T)=σa(T). 反之，假设T有性质(ω)且σ(T)=σa(T)，因此Δ(T)⊆E0(T)，即证T有性质(M).类似的，我们可以证明(2)的等价性.下面例子表明性质(gω)推不出性质(gM)；同时也表明性质(ω)推不出性质(M).例1 设T=R⊕S∈2()⊕2()，其中：R∈2()为单边右移算子，S∈2()，定义则因此有且(T)，即T满足性质(ω)和性质(gω)；但且(T)，即T没有性质(M)和性质(gM).定理3 设T∈B(X)，则下列叙述等价：(1)T有性质(gM).(2)T有性质(M)且E(T)=Π(T).证明 (1)⟹(2). 假设T有性质(gM)，则T有性质(M).若λ∈E(T)，则λ∈isoσ(T). 因为T有性质(gM)，则T-λ是上半B-Fredholm算子且ind(T-λ)≤0.由文献[5]知，λ∈Π(T).因此E(T)⊆Π(T).反之，Π(T)⊆E(T)恒成立，故E(T)=Π(T).(2)⟹(1). 假设T有性质(M)且E(T)=Π(T)，由定理2知，T有性质(ω).从而Browder 定理对T成立，故T满足广义Browder定理[8].因此(T).又由E(T)=Π(T)知，T有性质(gM).定理4 设T∈B(X)，则(1)T有性质(gM)当且仅当T满足广义Weyl定理且(T).(2)T有性质(M)当且仅当T满足Weyl定理且σea(T)=σw(T).证明 (1)假设T有性质(gM).任给λ∈Δ(T)，则T-λ是B-Weyl算子，因此λ∉(T). 由于T有性质(gM)，所以λ∈E(T)，故Δg(T)⊆E(T).如果λ∈E(T)，则(T).因此T-λ是上半B-Fredholm算子且ind(T-λ)≤0.又由于λ∈isoσ(T)，所以T-λ是Drazin 可逆的，故T-λ是B-Weyl算子，即证T满足广义Weyl定理.因此且，所以(T). 反之，若T满足广义Weyl定理且，则(T)，即T有性质(gM).(2)同理可证.注解2 一般的，Weyl定理和广义Weyl定理推不出性质(M)和性质(gM).事实上，设T是2()上的单边右移算子，则：因此Δg(T)=E(T)且Δ(T)=Ea(T)，即T满足广义Weyl定理和Weyl定理.另外，(0,1).从而且(T).因此，T没有性质(gM)和性质(M).定义2 称T∈B(X)有性质(aM),如果Δ+(T)=Π0(T)；如果(T)，则称T有性质(gaM). 定理5 设T∈B(X)，则T有性质(aM)当且仅当T满足性质(ω1)且σ(T)=σa(T).证明假设T有性质(aM)，则Δ+(T)=Π0(T).任给λ∈Δa(T)，则λ∈Δ+(T)=Π0(T)，因此Δa(T)⊆Π0(T).如果λ∈Π0(T)，则T-λ是Browder算子且λ∈σa(T).故Δa(T)=Π0(T)，即T有性质(ω1).综上所述，有Δa(T)=Π0(T) 且Δ+(T)=Π0(T),所以σa(T)=isoσa(T)∪σea(T)且σ(T)(T)，因此, σ(T)=σa(T). 反之，假设T有性质(ω1)且σ(T)=σa(T).故Δ+(T)=Π0(T)，即T有性质(aM).下面例子说明，在一般情况下，Browder定理和a-Browder定理推不出性质(aM). 设R∈2()为单边右移算子，S∈2() 定义为T∈2()⊕2()定义为T=R⊕S，则：因此,，即T满足 a-Browder 定理和 Browder 定理.但(T)，即T没有性质(aM).定理6 设T∈B(X)，则T有性质(gaM)当且仅当T有性质(gω1)且σ(T)=σa(T).证明假设T有性质(gaM).若，则(T).因此(T)⊂Π(T).如果λ∈Π(T)，则T-λ是B-Weyl算子且λ∈σ(T). 故(T). 所以，且(T).从而且(T)，故σ(T)=σa(T).反之，假设T 有性质(gω1)且σ(T)=σa(T).则(T)，即T有性质(gaM).定理7 设T∈B(X)，则T有性质(gaM)当且仅当T有性质(aM).证明假设T有性质(gaM).若λ∈Δ+(T)，则，因此Δ+(T)⊂Π0(T).若λ∈Π0(T)，则λ∈Π(T)(T)且n(T-λ)<，于是λ∈Δ+(T)，所以Π0(T)⊂Δ+(T)，即证T有性质(aM). 反之，假设T有性质(aM).若(T)，则任给ε>0，都存在δ>0，使得当0<|μ-λ|<ε时，μ∈Δ+(T)=Π(T)，且N(T-μ)⊂].于是T-μ可逆，从而λ∈isoσ(T)，T-λ是Drazin可逆的，即λ∈Π(T).若λ∈Π(T)，则T-λ是B-Weyl算子且n(T-λ)>0，于是(T)，从而T有性质(gaM).推论1 设T∈B(X)，则T有性质(M)当且仅当T有性质(aM)且E0(T)=Π0(T).证明假设T有性质(M).若λ∈Δ+(T)，则T-λ是上半Fredholm算子且λ∈isoσ(T).于是λ∈Π0(T)，因此Δ+(T)⊂Π0(T).若λ∈Π0(T)，则T-λ是Weyl算子且n(T-λ)>0，于是λ∈Δ+(T)，即证Π0(T)⊂Δ+(T).从而Δ+(T)=Π0(T)，即T有性质(aM)且E0(T)=Π0(T).反之，假设T有性质(aM)且E0(T)=Π0(T)，则Δ+(T)=Π0(T)且E0(T)=Π0(T)，于是Δ+(T)=E0(T)，即T有性质(M).推论2 设T∈B(X)，则T有性质(gM)当且仅当T有性质(gaM)且E(T)=Π(T).证明假设T有性质(gM)，则T有性质(M).由推论1，T有性质(aM)，再由定理7，T有性质(gaM)，因此且(T).于是E(T)=Π(T).反之，假设T有性质(gaM)且E(T)=Π(T)，则(T)且E(T)=Π(T)，于是(T)，即T有性质(gM).【相关文献】[1] Berkani M, Zariouh H. 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