江苏省扬州中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题及答案

G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022－2023学年第一学期12月联合调研高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{－1，0}，B＝{x|－2＜x＜0}，则A∩B＝A．{－1} B．{－1，0} C．{x|－2＜x＜0} D．{x|－2＜x≤0}2．若复数z的共轭复数z满足i⋅z＝4＋3i（其中i为虚数单位），则z z⋅的值为A7B．5C．7D．25 3．下图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误的是A．城镇人口与年份星现正相关B．乡村人口与年份的相关系数r接近1C．城镇人口逐年增长率大致相同D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势4．函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为A．B．C．D．5．若椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为A．13B．33C．23D636．南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为a ，盆地半径为b （0＜b ＜a ），根据如上事实，可以抽象出的不等关系为A 33322a ba b+<B 22a ba b+< C ．22222a b a b ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．33322a b a b ++⎛⎫<⎪⎝⎭7．在数列{a n }中，()()111sin sin 10n n n n a a a a ++-⋅+=，则该数列项数的最大值为 A ．9B ．10C ．11D ．128．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，CA ＝2，点P 在该三角形的内切圆上运动，若AP mAB nAC =+（m ，n 为实数），则m ＋n 的最小值为A ．518B ．13C ．718D ．49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则 A ．114a b+≤B ．2222a b+≥C ．log 2a ＋log 2b ≤－2D ．1sin sin 2sin2a b +≤ 10．已知函数()x a a x f x e e --=+，()x a a x g x e e --=-，则 A ．函数y ＝g （x ）有且仅有一个零点B ．f ′（x ）＝g （x ）且g ′（x ）＝f （x ）C ．函数y ＝f （x ）g （x ）的图象是轴对称图形D ．函数()()g x y f x =在R 上单调递增11．乒乓球（tabletennis ），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p （0≤p ≤1），实际比赛局数的期望值记为f （p ），下列说法正确的是 A ．三局就结束比赛的概率为p 3＋（1－p ）3B ．f （p ）的常数项为3C ．1435f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．13328f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 12．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1．G 为PC的中点，M 为平面PBD 上一点下列说法正确的是 A ．MG 的最小值为36B ．若MA ＋MG ＝1，则点M 的轨迹是椭圆C ．若156MA =M 的轨迹围成图形的面积为12π D ．存在点M ，使得直线BM 与CD 所成角为30°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在6x x ⎛- ⎝的展开式中，常数项为 ．14．如图，将绘有函数()sin 2f x M πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭（M ＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，此时A ，B 10φ＝ ．15．我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前n 项和，进而可利用该法求数列{（2n －1）⋅3n }的前n 项和S n ，其操作步骤如下： 由于S n ＝1×31＋3×32＋…＋（2n －1）⋅3n ，()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅，从而()()21232323213n n n S n +=--⨯++⨯+-⋅，所以()1133n n S n +=-⋅+，始比如上方法可求数列{n 2⋅3n }的前n 项和T n ，则2T n ＋3＝ ．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝2x ．若对任意x ∈[1，3]，不等式f （x ＋a ）≤f 2（x ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在数列{a n }中，a ＝1，其前n 项和S n 满足2S n ＝（n ＋1）a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）若m 为正整数，记集合22n nn a a m a ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤的元素个数为b m ，求数列{b m }的前20项和．18．（本小题满分12分）在轴截面为正方形ABCD 的圆柱中，M ，N 分别为弧AD ，弧BC 的中点，且在平面ABCD 的两侧．（1）求证：四边形ANCM 是矩形； （2）求二面角B －MN －C 的余弦值．19．（本小题满分12分）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有N 个字脱落．（1）若N ＝3，用随机变量X 表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量X 的分布列及期望；（2）若N ＝2，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率． 20．（本小题满分12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，c ＝2． （1）若2CD DB =，2AD CB ⋅=，求A ； （2）若23C B π-=，求△ABC 的面积． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线C 1：y 2＝4x 上，圆C 2：（x －2）2＋y 2＝r 2（0＜r ＜2）．（1）若r ＝1，Q 为圆C 2上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若点P 的纵坐标为4，过P 的直线m ，n 与圆C 2相切，分别交抛物线C 1于A ，B （异于点P ），求证：直线AB 过定点． 22．（本小题满分12分）若对实数x 0，函数f （x ），g （x ）满足f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），则称()()()00,,f x x x F x g x x x <⎧⎪=⎨⎪⎩≥为“平滑函数”，x 0为该函数的“平滑点”．已知()323122x f x ax x x =-+，g （x ）＝bx ln x ． （1）若1是平滑函数F （x ）的“平滑点”， （ⅰ）求实数a ，b 的值；（ⅱ）若过点P （2，t ）可作三条不同的直线与函数y ＝F （x ）的图象相切，求实数t的取值范围；（2）对任意b ＞0，判断是否存在a ≥1，使得函数F （x ）存在正的“平滑点”，并说明理由．G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022-2023学年第一学期12月联合调研高三数学答案及其解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 2．【答案】D【解析】4334i z i z i ⋅=+⇒=-，所以25z z ⋅= 3．【答案】B【解析】因为乡村人口与年份望负线性相关关系，所以r 接近－1，故选B 4．【答案】D 5．【答案】C【解析】由题意得22245109436b b a a a ⎧⎧==⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以226c a b =-=，故椭圆离心率为23c e a == 6．【答案】D 7．【答案】C 【解析】()()()()()()11112111cos cos sin sin sin 2n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++--+--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⋅+==-21sin 10n a =，所以{}2sin n a 为等差数列，公差为110，所以()2211sin sin 1110n a a n =+-⨯≤，所以110n -211sin 111a n -⇒≤≤≤，故选C 8．【答案】B【解析】()m n AP mAB nAC m n AB AC m n m n ⎛⎫=+=++⎪++⎝⎭，由P 在内切圆上，故APm n m n AB AC m n m n +=⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，则11cos 16A =，所以BC 边上高为15h =圆半径15r =，故由平行线等比关系，可得213h r m n h -+=≥，故选B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BCD 【解析】选项A ，应该是114a b+≥，B ：22221a ba b+++≥，B 正确；C ：222log log 2log 22a ba b ++=-≤，C 正确；D ：1sin sin 2sincos 2sin 222a b a b a b +-+=⋅≤，D 正确；答案为BCD 10．【答案】ABD【解析】AB 正确，因为()f x 关于x a =轴对称，()g x 关于(),0a 中心对称，故()()f xg x 为中心对称图形，C 错误：而()()()()()220'g x f x q x f x B x ⎡⎤-=>⎢⎥∠⎣⎦或根据一般得分离常数变形可知D 正确；答案为：ABD 11．【答案】ABD 【解析】 显然A 正确；()()()()()323131223343141151f p p p C p p C p p C p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦()03f =，13328f B ⎛⎫=⇒ ⎪⎝⎭，D 正确； 求导或根据()f p 关于12对称，且p 越极端，越可能快结束，有11412352--≤，得1435f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：ABD 12．【答案】ABC 【解析】A 选项判断：应用等体积法，可()()min min 11223MG AG =≥，A 正确； B 选项：因为面PBD 不与AG 垂直，也不平行，故轨迹不可能时圆，即为椭圆，B 正确； C 选项判断：设MH ⊥面PBD ，H ∈面PBD ，2151612MA HM =⇒=，故C 正确；D 选项判断：由于CD 与面PBD 夹角θ满足1sin 23θ=>，故[],6πθπθ∉-，D 错误； 综上所述，答案为ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】15【解析】展开式的通项为()()36621661rr rr Tr C x C x x --+⎛==- ⎝，当31602r -=，4r =时，为常数项15 14．【答案】56π【解析】如图，因为()f x 的周期为242T ππ==，所以22T CD ==，22TCD ==，所以22AB AC BC +22410M =+=解得3M =所以()32f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()3032f ϕ==，1sin 2ϕ=，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=或56π，又因为函数()f x 在y 轴右侧单调递减，所以56πϕ=． 15．【答案】()2113n n n +-+⋅【解析】2122213233n n T n =⨯+⨯+⋯+⋅① 222321313233n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅②②－①()()()222222322123123233133n n n T n n n +⎡⎤=-+-⋅+-⋅++--⋅+⋅⎣⎦()()3321333532133n n n n +=--⋅+⋅++-⋅+⋅()()212112333313n n n n n S n S n n n +++=---+⋅=-+⋅=-+⋅所以()212313n n T n n ++=-+⋅16．【答案】[]3,1-． 【解析】()()()()[]2221,3f x a fx f x f x x +==⇒∀∈≤，[]23,1x a a +⇒∈-≤四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 解析：（1）()()()()()111212221212nn n n n n n n n n a S n a a S S n a na n n a na n n---=+⇒=-=+-⇒-=⇒=≥≥11111n n a a a n n -===⇒=- （2）2214222n n a n m m n m a n n ⎛⎫+⇒+⇒-+ ⎪⎝⎭≤≤≤， 因为1422n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，当且仅当2n =时成立， 所以10b =，21b =，当3n ≥，35b =，47b =，59b =，611b =，…，2339b = 所以{}m b 的前20项和为()135739378+++++=．18．（本小题满分12分） 【解析】（1）设轴截面正方形ABCD 边长为2a ，取弧BC 另一侧的中点Q ， 则BC 与NQ 垂直平分，且2BC NQ a ==， 所以四边形BNCQ 为正方形，2BQ NC a ==，因为M 为弧AD 中点，所以MQ AB ∥，四边形ABQM 为矩形， 所以AM BQ ∥，所以AM CN ∥，所以四边形AMCN 为平行四边形， 因为226AN AB BN a =+，2222MN MQ QN a =+=，所以22228AM AN MN a +==，所以AM ⊥AN ，所以四边形ANCM 为矩形； （2）由（1）知，226MB MC MQ QB a ==+=，2BN CN a ==，22MN a =，所以2MNB MNC π∠=∠=所以MNB MNC ∆∆≌，Rt △MBN 斜边MN 上的高626222a a h a==， 作BP ⊥MN ，则CP ⊥MN ，∠BPC 即为二面角B -MN -C 的平面角，6BP CP ==，2BC a =， 在△BPC 中，由余弦定理得222222341cos 233BP CP BC a a BPC BP CP a +--∠===-⨯， 二面角B -MN -C 的余弦值为13- 19．（本小题满分12分） 【解析】（1）随机变量X 的可能取值为0，1，2，12C()33351010C P X C ===，()1223356110C C P X C ===，()2123353210C C P X C ===，随机变量X 的分布列如下表：X 012P110 610 310随机变量X 的期望为()012 1.2101010E X =⨯+⨯+⨯= 法二：随机变量X 服从超几何分布X ～H （3，2，5），所以()26355E X =⨯= （2）设脱落一个“学”为事件A ，脱落一个“好”为事件B ，脱落一个“数”为事件C ，事件M 为脱落两个字M AA BB AB AC BC =++++，()2225110C P AA C ==，()2225110C P BB C ==，()112225410C C P AB C ⋅==，()112125210C C P AC C ⋅==，()112125210C C P BC C ⋅==， 所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为()()()()()()()11413125525P P AA P BB P AB P AC P BC =+⨯+++⨯=+⨯=，法二：掉下的两个字不同的概率为1020.810p -==， 所以标语恢复原样的概率为()110.62p p -+=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）()112123333CD DB AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =⇒=+=+=+-=+ 所以()22212118112cos 233333333AD CB AB AC AB AC AB AC AB AC A ⎛⎫⋅=+-=--⋅=--⨯⨯=⇒⎪⎝⎭1cos 2A =，因为()0,A π∈，所以3A π=（2）法一：因为23C B π-=，所以562A C π=-，62AB π=-， 因为2c b =，sin 2sinC B =，则5sin 2sin 6262A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得3tan 29A =， 所以22tan332sin 141tan 2AA A ==+ 故面积为133sin 2S bc A == 法二：因为2sin 2sin c b C B =⇒=， 因为23C B π-=， 所以23sin 2sin sin 3B B B B π⎛⎫+=⇒=⎪⎝⎭①， 联立22sin cos 1B B +=②解得3sin 27cos 27B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以3sin 2sin 7C B ==232C B ππ=+> 所以cos 0C <，则2cos 1sin 7C C =-=所以()33sin sin sin cos cos sin 14A B C B C B C =+=+=所以△ABC 的面积为133sin 214ABC S bc A ∆==． 21．（本小题满分12分）【解析】 （1）设()2,2P t t ，则()222212411PQ PC t t --+-≥，当()0,0P ，Q 为2PC 线段与圆2C 的交点时，min 1PQ = （2）题意可知()4,4P ，过P 点直线()44y k x -=-与圆2C 相切， 2241k r k -=+，即()222416160r k k r --+-=，① 设直线AB 为：()()441m x n y -+-=，则与抛物线C 的交点方程可化为： ()()()()()()24844444(4)4y y m x n y x m x n y -+--+-=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 令44y z x -=-，则：()()2188440n z m n z m ++--=，② 题意有，①②方程同解，故有()()()[]()2233164164818444y r r m n m n -⎡⎤⎣=---+⨯=--+-⎦-， 即：2111m n -=，故：直线AB 恒过()6,7-．22．（本小题满分12分）【解析】 （1）（ⅰ）()21'332f x ax a =-+，()[]'1lng x b x =+， 由题意可知10a -=，且532a b -=， 故解得：1a =，12b =， （ⅱ）进一步()323,122ln ,12x x x x F x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥，过点()2,P t 作()F x 的切线，切点()(),x F x 满足方程：()()()2F x t F x x -=-，故题意等价于方程：()()()'2t F x F x x =--有3个不同根，()()()()'2p x F x F x x =--，()()()''2p x F x x =--，代入得1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()p x 单调递减，1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()p x 单调递增，[)2,x ∈+∞时，()p x 单调递减， 故()13,2,ln 228t p x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫∈∈=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭ （2）题意等价于：0b ∀>，是否1a ∃≥，使得[]3223ln 221331ln 2x ax x bx x ax x b x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩有解 消a 有：()313212ln 122ln 1x x b x b x ---=-⇒=-，其中由0b >，可得23x e ⎛∈ ⎝， 故题意进一步化简23x e ⎛∀∈ ⎝，是否1a ∃≥，使得()3ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立， 23x e ⎛⇔∀∈ ⎝，()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立 设()()2243ln 231q x x x x x x =--+-，()()'83ln q x x x =-， 故2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，单调递减，(x e ∈，()q x 单调递增，故：()()10q x q =≥得证，即0b ∀>，31a ≥，使得()F x 存在的“平滑点”．。

江苏省扬州中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合U ={-2，-1，0，1，2}，A ={0，1，2}，则∁U A =（ ） A ．{}2,1,0-- B ．{}2,1--C ．{0,1,2}D ．{}1,2【答案】B【解析】根据补集的定义直接写出∁U A ． 【详解】集合U ={-2，-1，0，1，2}，A ={0，1，2}，所以∁U A ={-2，-1}． 故选：B ． 【点睛】本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题． 2．函数()2tan(3)2f x x π=+的最小正周期为（ ）A ．2πB ．4πC ．2D ．4【答案】C【解析】分析：根据正切函数的周期求解即可． 详解：由题意得函数的最小正周期为22T ππ==．故选C ．点睛：本题考查函数tan()(0)y A x ωϕω=+>的最小正周期，解答此类问题时根据公式T πω=求解即可． 3．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24C ．12D ．6【答案】B【解析】因为扇形的弧长l ＝3×4＝12，则面积S ＝12×12×4＝24，选B. 4．AB AC BC BA +-+化简后等于 A ．3ABB ．ABC ．BAD ．CA【答案】B【解析】利用向量的三角形法则即可得出． 【详解】AB AC BC BA AB BA AC CB 0AB +-+=+++=+，故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的三角形法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．已知函数(1)32f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ） A ．()31f x x =- B ．()31f x x =+ C ．()32f x x =+ D ．()34f x x =+【答案】A【解析】由于()()1311f x x +=+-，所以()31f x x =-. 6．化简5log 22lg5lg 45+-的结果为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6【答案】A【解析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】5log 22lg5lg45+-=5log 2 lg25lg45lg1002+-=-=2-2=0.故选A.【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题.7A ．sin2+cos2B ．sin2-cos2C ．cos2-sin2D ．± (cos2-sin2)【答案】A【解析】利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简。

江苏省扬州中学2022-2023学年第一学期期中试题高一数学2022.11一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.1.设集合 1,1,2,3,6A ， 2,5B ，13C x x ，则 A C B （）A.1,2 B.2,5 C.1,2,5 D.1,2,3,52.已知A 为奇数集，B 为偶数集，命题:p x A ，2x B ，则（）A.:p x A ，2x BB.:p x A ，2x BC.:p x A ，2x BD.:p x A ，2x B3．“2320x x ”是“2x ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．已知13a a，则33a a （）A ．27B ．18C ．15D ．255.人们对声咅有不同的感觉,这与声咅的强度有关系.声咅的强度常用I (单位:瓦/米2,即2W /m )表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L (单位:分贝)表示,它们满足换算公式: 010lg0IL L I …,其中1220110W /m I 是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝,则声音的强度应变为原来的（）A.15B.1100C.110D.1206．若函数 222137,1,1a x a x f x x ax a x在 , 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．112aB ．122aC ．112aD ．103a7.关于x 的不等式311x a x 的解集为5,12，则实数a 的值为（）A.6B.72C.32D.48.设x R ， x 表示不超过x 的最大整数，若存在实数t ，使得 1t ，22t ，…，n t n同时成立，则正整数n 的最大值是（）A.4B.5C.6D.7二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各组函数不是同一组函数的是（）A.01,y y xB.211,1x y x y xC.,y x yD.2,y x y10．已知集合A ，B ，C 是全集为U 的非空真子集，且满足：A B A ，A C A ，则下列选项正确的是（）A ．CB B ． U A BC C ．U C A C D ． U C A B U11．已知定义在R 上函数 f x 的图象连续不间断，且满足以下条件：①x R ，都有f x f x ；② 12,,0x x ．且12x x 时，都有 21210x x f x f x ；③ 20f ，则下列成立的是（）A ．35f f B ．若0f x x，则 2,02,x C ．若 23f m f ，则,5m D ．x R ，M R ，使得 f x M12．已知函数()()f x g x ，下列说法正确的是（）A ．()()f x g x 的最大值为1B ．()()f xg x 在(1,3)上单调递减C ．()()f x g x 的最大值为2D ．2()()f x g x 的值域为[三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设m 为实数，若函数2()2()f x x mx m x R 是偶函数，则m 的值为__________．14.已知集合2|210A x ax x ，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值的集合是.15.已知不等式20ax bx c 的解集为 |21x x ，则不等式20cx bx a 的解集为__________．16．已知函数 221,021,0x x f x x x x，若方程 220f x bf x 有8个相异实根，则实数b 的取值范围是__________．四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17..（本小题满分10分）计算：（12ln 23(0.125)e；（2）22lg5lg 2lg50(lg 2)lg 0.1 ．18.（本小题满分12分）已知集合105x A xx∣，集合2{|1}.B x a x a （1）求A R ð；（2）若A B ，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知函数2()2(0)f x ax ax b a 在区间[1,4] 上的最小值为1，最大值为10.（1）求,a b 的值；（2）设()()f x g x x，利用定义证明：函数()g x 在) 上是增函数.20．（本小题满分12分）已知正实数,x y 满足等式2x y ．（1）若不等式22142m m x y恒成立，求实数m 的取值范围；（2）求2244x y的最小值．21.（本小题满分12分）对于函数()f x ，若存在0R x ，使 00f x x 成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)8(0)f x mx n x n m .（1）若对任意实数n ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数m 的取值范围；（2）若()f x 的两个不动点为12,x x ，且 122mf x f x m ，当13m 时，求实数n 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数 2.f x x x a （1）当2a 时，求 f x 的单调增区间；（2）若12,[0,2]x x ，使 122f x f x ，求实数a 的取值范围．江苏省扬州中学2022-2023学年第一学期期中试题高一数学参考答案一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.1.设集合 1,1,2,3,6A ， 2,5B ，13C x x ，则 A C B （）A.1,2 B.2,5 C.1,2,5 D.1,2,3,5【答案】C2.已知A 为奇数集，B 为偶数集，命题:p x A ，2x B ，则（）A.:p x A ，2x BB.:p x A ，2x BC.:p x A ，2x BD.:p x A ，2x B【答案】D3．“2320x x ”是“2x ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 4．已知13a a，则33a a （）A ．27B ．18C ．15D ．25【答案】B5.人们对声咅有不同的感觉,这与声咅的强度有关系.声咅的强度常用I (单位:瓦/米2,即2W /m )表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L (单位:分贝)表示,它们满足换算公式: 010lg 0IL L I …,其中1220110W /m I 是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝,则声音的强度应变为原来的（）A.15B.1100C.110D.120【答案】C6．若函数 222137,1,1a x a x f x x ax a x在 , 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．112aB ．122aC ．112aD ．103a【答案】C7.关于x 的不等式311x a x 的解集为5,12，则实数a 的值为（）A.6B.72C.32D.4【答案】D8.设x R ， x 表示不超过x 的最大整数，若存在实数t ，使得 1t ，22t ，…，nt n 同时成立，则正整数n 的最大值是（）A.4B.5C.6D.7【答案】A11,2t t ，22t t ，33t t ，4t t t ，55t t当t 时， 1t ，22t ，因为32232343<<<，所以111133222343<<<，即12<<<当t 时， 1t ，22t ，33t ，因为634346243543=<<<<，所以12<=<<，当t Î时， 1t ，22t，33t ，44t ，因为()()441235206633=<=，所以<55t 则t ，此时t ，33t ，故不存在t 满足 1t ，22t ，33t ，44t ，55t 同时成立，正整数n 的最大值为4.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各组函数不是同一组函数的是（）A.01,y y x B.211,1x y x y xC.,y x yD.2,y x y【答案】ABD10．已知集合A ，B ，C 是全集为U 的非空真子集，且满足：A B A ，A C A ，则下列选项正确的是（）A ．CB B ． U A BC C ． U C A CD ． U C A B U【答案】ABD11．已知定义在R 上函数 f x 的图象连续不间断，且满足以下条件：①x R ，都有f x f x ；② 12,,0x x ．且12x x 时，都有 21210x x f x f x ；③ 20f ，则下列成立的是（）A ．35f f B ．若0f x x，则 2,02,x C ．若 23f m f ，则 ,5m D ．x R ，M R ，使得 f x M【答案】BD12．已知函数()()f x g x ）A ．()()f x g x 的最大值为1B ．()()f xg x 在(1,3)上单调递减C ．()()f x g x 的最大值为2D ．2()()f x g x 的值域为[【答案】ACD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设m 为实数，若函数2()2()f x x mx m x R 是偶函数，则m 的值为__________．【答案】014.已知集合2|210A x ax x ，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值的集合是.【答案】0,1 15.已知不等式20ax bx c 的解集为 |21x x ，则不等式20cx bx a 的解集为__________．【答案】11,216．已知函数 221,021,0x x f x x x x，若方程 220f x bf x 有8个相异实根，则实数b 的取范围是__________．【答案】四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17..（本小题满分10分）计算：（1）2ln 23(0.125)e；（2）22lg5lg 2lg50(lg 2)lg 0.1 ．【答案】（1）原式24251 ；（2）原式2lg52lg211 ．18.（本小题满分12分）已知集合105x A xx∣，集合2{|1}.B x a x a （1）求A R ð；（2）若A B ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,1][5,)R A ð；（2）[1,1][6,)a .19.（本小题满分12分）已知函数2()2(0)f x ax ax b a 在区间[1,4] 上的最小值为1，最大值为10.（1）求,a b 的值；（2）设()()f x g x x，利用定义证明：函数()g x在) 上是增函数.【答案】(1)因为0a ，二次函数()f x 的对称轴为1x ，所以()f x 在[1,1] 上为减函数，在[1,4]上为增函数，从而得11,4810,f b a f a b，解得12a b ；(2)由（1）得2()22f x x x ，则()2()2f x g x x x x，设任意的12,)x x 且12x x ，则210x x ，那么 2121212222g x g x x x x x2112212121121222221x x x x x x x x x x x x x x，122112,0,2x x x x x x ，所以 122120,0x x g x g x ，所以 21g x g x ，所以2()2g x x x是) 上的增函数.20．（本小题满分12分）已知正实数,x y 满足等式2x y ．（1）若不等式22142m m x y恒成立，求实数m 的取值范围；（2）求2244x y的最小值．【答案】(1)因为x ＞0，y ＞0，所211211529()()(,2222224y x x y x y x y x y 当且仅22y x x y 即42,33x y 时等号成立所以294,4m m 91.22m 则实数m 的取值范围是91[,].22 (2)222222222244()()22228,x y x y y x y x x y x y x y x y 当且仅当22y x x y且2222y x x y 即x ＝y 时等号成立．∴2244x y的最小值为8．21.（本小题满分12分）对于函数()f x ，若存在0R x ，使 00f x x 成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)8(0)f x mx n x n m .（1）若对任意实数n ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数m 的取值范围；（2）若()f x 的两个不动点为12,x x ，且 122mf x f x m，当13m 时，求实数n 的取值范围.【答案】(1)因为()f x 恒有两个不动点，即2(1)8mx n x n x 恒有两个不等实根，整理为2(2)80mx n x n ，所以0m 且2(2)4(8)0n m n 恒成立.即对于任意2R,(44)3240n n m n m 恒成立.令2()(44)324g n n m n m ，则2(44)4(324)0m m ，解得06m .(2)因为 121222m n f x f x x x m m，所以2224(2)2(2)4422222m m m m n m m m m ，设2t m ，因为13m ，所以35t ，由P 函数性质得4()2f t t t在(3,5)上单调递增，所以47419(3)32,(5)523355f f，所以741922325m m ，所以71935n 22.（本小题满分12分）已知函数 2.f x x x a （1）当2a 时，求 f x 的单调增区间；（2）若12,[0,2]x x ，使 122f x f x ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)当2a 时， 2222,22222,2x x x f x x x x x x …，2x …时， f x 单调递增，2x 时， f x 在 ,1 上单调递增，在 1,2上单调递减，所以 f x 的单调递增区间为 ,1 和 2, ，12(2),[0,2]x x ，使 122f x f x 所以 12max 2f x f x ，即 max min 2f x f x ，①当2a …时， 22f x x ax ，对称轴2a x ，(i)当122a 剟即24a 剟时， 2max 224a a f x f，11 min 02f x f ，所以 20224a a f f，所以aa ，因为24a 剟，所以4a …，(ii)当22a 即4a 时， max 222f x f a ， min 02f x f ，所以 20242f f a ，3a ，因为4a ，所以4a ，，②当0a …时， 22f x x ax ，对称轴02a x ，所以 max 262f x f a ， min 02f x f ，所以 20422f f a ，1a ，所以0a …，③当02a 时， 222,02,2x ax x a f x x ax a x ，因为 min 02f x f a f ， 20124a a f f ，所以2a f不可能是函数的最大值，所以 max 262f x f a ，所以 20422f f a ，所以01a ，综上所述：a的取值范围是(,1)) .。

2022-2023学年江苏省扬州市第一中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．命题“2x ∃≤，2280x x +-≤”的否定是（ ） A ．2x ∀≤，2280x x +-> B ．2x ∀>，2280x x +-> C ．2x ∃≤，2280x x +-> D ．2x ∃>，2280x x +->【答案】A【分析】根据特称命题的否定方法进行否定.【详解】命题“2x ∃≤，2280x x +-≤”的否定是：2x ∀≤，2280x x +->. 故选：A2．设全集U 是实数集R ，{|2M x x =<-或2}x >，{}|13N x x =≤≤.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|21x x -≤≤C ．{}|21x x -<≤D ．{}|21x x -<< 【答案】A【分析】由韦恩图知阴影部分为U()M N ⋃，应用集合的并、补运算求结果.【详解】由图知：阴影部分为U()M N ⋃，而{|2M N x x ⋃=<-或1}x ≥，所以U(){|21}M N x x ⋃=-≤<.故选：A3．已知a ，b R ∈，若{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20222022a b ＋的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1±【答案】C【分析】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解. 【详解】由集合相等可知0,,1b a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭且0a ≠，则0b a =，∴=0b ，于是21a =，解得=1a 或1a =-． 根据集合中元素的互异性可知=1a 应舍去， 因此1a =-， 故()2022202220222022101a b +=-+=．故选：C.4．集合论是德国数学家康托尔（G .Cantor ）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用()card A 表示有限集合中元素的个数，例如：{},,A a b c =，则()card 3A =.若对于任意两个有限集合,A B ，有card()card()card()card()A B A B A B ⋃=+-⋂.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）A ．28B ．23C ．18D ．16【答案】C【解析】设参加田赛、径赛的同学组成集合，再由集合论即可得解. 【详解】设参加田赛的学生组成集合A ，则card()14A =， 参加径赛的学生组成集合B ，则card()9B =， 由题意得card()5A B ⋂=，所以card()card()card()card()149518A B A B A B ⋃=+-⋂=+-=， 所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有18. 故选：C.【点睛】本题考查了数学文化与集合运算的综合应用，考查了转化化归思想，属于基础题.5．已知{}|12A x x =≤≤，命题“2,0x A x a ∀∈-≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．4a ≥B ．4a ≤C ．5a ≥D ．5a ≤【答案】C【分析】首先求出命题为真时参数a 的取值范围，再找出其一个充分不必要条件； 【详解】解：因为{}|12A x x =≤≤，2,0x A x a ∀∈-≤为真命题，所以()2maxa x≥，x A ∈，因为函数()2f x x =在[]1,2上单调递增，所以()2max4x=，所以4a ≥又因为[)[)5,4,+∞+∞所以命题“2,0x A x a ∀∈-≤，{}|12A x x =≤≤”是真命题的一个充分不必要条件为5a ≥ 故选：C【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题.6．已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．∅【答案】B【分析】因为集合A 仅有两个子集,可知集合A 仅有一个元素.对m 分类讨论,即可求得m 的值.【详解】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集 当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()22240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集 综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1- 故选:B【点睛】本题考查了集合的元素的特征,子集个数的计算,属于基础题. 7．已知0x >，0y >，且490x y xy +-=，求x y +的最小值为（ ） A ．25 B ．18 C ．13 D ．12【答案】A【分析】等式490x y xy +-=变形为491y x+=，则49()()x y x y y x +=++根据基本不等式即可得到答案．【详解】解：已知0x >，0y >，且490x y xy +-=．49x y xy +=，即491y x+=．则4949()()131325x y x y x y y x y x +=++=++≥+=， 当且仅当49x y y x=，即15,10x y ==时取等号. 所以x y +的最小值为25． 故选：A ．8．已知P 是面积为1的△ABC 内的一点（不含边界），若△P AB ，△P AC ，△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则1y z x y z+++的最小值是（ ）A B C ．13D ．3【答案】D【分析】由题意得出1x y z ++=，原式可化为1111111y z x x xx y z x x x x+--+=+=+++--，利用基本不等式求出最小值．【详解】解：因为三角形的面积为1S x y z =++=，且0x >，0y >，0z >，所以111111113111y z x x x x x x x y z x x x x x x +---+-+=+=+=++=+---≥， 当且仅当11x xx x -=-，即12x =时取等号，即最小值为3． 故选：D ．二、多选题9．已知{}21|A y y x ==+，(){}21|,B x y y x ==+ ，下列关系正确的是（ ）A ．=AB B ．()1,2A ∈C ．1B ∉D ．2A ∈【答案】CD【分析】根据集合A 、B 的特征，结合元素与集合的关系进行判断．【详解】∵{}2|1{|1}A y y x y y ==+=是数集；{}2(,)|1B x y y x ==+为点集，∴2A ∈，2B ∉，1B ∉，故A 错误，C 、D 正确；由21y x =+知，=1x 时=2y ，∴(1,2)B ∈,(1,2)A ∉，故B 错误．故选：CD ．10．下列选项中p 是q 的必要不充分条件的有（ ） A ．p ：1a ≤，q ：1a <B ．p ：A B A ⋂=，q ：A B B ⋃=C ．p ：两个三角形全等，q ：两个三角形面积相等D ．p ：221x y +=，q ：1,0x y == 【答案】AD【分析】根据充分与必要条件的概念即可求解．【详解】对于A ：11a a <⇒，而当1a 时，不一定有1a <，p ∴是q 的必要不充分条件，故A 正确； 对于B ：A B A A B ⋂=⇔⊆，A B B A B ⋃=⇔⊆，p ∴是q 的充要条件，故B 错误；对于C ：两个三角形全等⇒两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，p ∴是q 的充分不必要条件，故C 错误；对于D ：当1,0x y ==时，则221x y +=，反之，当221x y +=时，1,0x y ==不一定成立，p ∴是q 的必要不充分条件，故D 正确． 故选：AD ．11．下列结论中正确的是（ ）A ．若,R a b ∈，则2b aa b +≥B ．若0x <，则44x x +≥--C ．若0,0a b >>，则22b a a b a b+≥+D ．若0,0a b >>，则a b +≥【答案】CD【分析】由0ab <可判断A ；由基本不等式可判断B 、C 、D. 【详解】当0ab <时，0b aa b+<，故A 错误；当0x <时，0x ->，则()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故B 错误；当0a >，0b >时，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=，相加可得22b a a b a b+≥+，故C 正确；当0a >，0b >时，a b +≥D 正确. 故选：CD.12．已知x ，y 为正数，且1xy =，m x y =+，19n x y=+，下列选项中正确的有（ ） A ．m 的最小值为2 B ．n 的最小值为6 C ．mn 的最小值为16 D ．m n +的最小值为5【答案】ABC【分析】由x y +≥A 正确，B 不正确；由由910y xmn x y=++，利用基本不等式，可判定C 正确；由19210m n x x y xx y +=++=++，结合基本不等式，可判定D 不正确.【详解】由题意，实数x ，y 为正数，且1xy =，可得1y x=，可得2m x y =+≥，当且仅当1x y ==时，等号成立，所以m 的最小值为2， 所以A 正确，由19196n x x y x =+=+≥=，当且仅当19x x =，即1,33x y ==时，等号成立，所以n 的最小值为6，所以B 正确；由199()()101016y x y x mn x y x y =+=++≥++，当且仅当9y xx y =时，即x y 时，等号成立， 即mn 的最小值为16，所以C 正确； 由1xy =，可得1y x=，则19129110m n x x x y x x y x x x +=++=++=+≥=++当且仅当x y ==m n +的最小值为D 不正确. 故选：ABC.三、填空题13．已知集合{(,)|2}A x y x y =-=，{(,)|0}B x y x y =+=，则A B =________. 【答案】(){}1,1-【分析】构造方程组解出集合的交集.【详解】解：联立20x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，则(){}1,1A B =-． 故答案为：(){}1,1-．14．已知条件p ：12x -≤，条件q ：x a >，且满足q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______.【答案】1a <-【分析】解绝对值不等式求p 为真时x 范围，根据必要不充分条件即可确定a 的范围. 【详解】若p 为真，则13x -≤≤，而q 为真时x a >， 由q 是p 的必要不充分条件， 所以1a <-. 故答案为：1a <-15．已知1x >，0y >，且满足2x y +=，则1112x y+-的最小值为_______.【答案】32【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由11x y -+=，且1x >，0y >，所以31331)]1111()[2122(12122x y y x x y x y x y --+=++=++≥+=---，当且仅当1x -=，即3x =1y =时等号成立.所以1112x y+-的最小值为32故答案为：32四、双空题16．已知：命题p ：R x ∃∈，2+2+10ax x ≤，则命题p 的否定是_________；若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】 R x ∀∈，2+2+1>0ax x >1a【分析】写出特称命题的否定，根据命题为假，则其否定为真，结合一元二次不等式恒成立求参数范围.【详解】由题设，命题p 的否定是x ∀∈R ，2+2+10ax x >；p 为假命题，即x ∀∈R ，2+2+10ax x >为真命题，所以>0Δ=44<0a a -⎧⎨⎩，可得1a >.故答案为：x ∀∈R ，2+2+10ax x >；1a >.五、解答题17．己知集合{}26|A x x =≤<，{}310|B x x =<<，{}|C x x a =>. (1)求A R，R ()A B ；(2)若A C ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)R{|2x x A =<或6}x ≥，()R {|610}B x x A ⋂=≤<，(2)[)6,+∞【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得； （2）由A C ⋂=∅，直接求出a 的取值范围即可．【详解】(1)解：因为{}26|A x x =≤<，{}310|B x x =<<， ∴R{|2x x A =<或6}x ≥，()R {|610}B x x A ⋂=≤<，(2)解：∵{}26|A x x =≤<，{}=>C x x a ，A C ⋂=∅， ∴6a ≥，∴实数a 的取值范围[)6,+∞．18．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． （1）当m ＝－1时，求A ∪B ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -<<；（2）{|2}m m ≤- 【解析】（1）1m =-时，可得出{|22}Bx x，然后进行并集的运算即可；（2）根据“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，可得出A B ⊆且A B ≠，然后即可得出2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，然后解出m 的范围即可. 【详解】解：（1）1m =-时，{|22}B x x ，且{|13}A x x =<<，{|23}A B x x ∴⋃=-<<；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，A B ∴⊆，且A B ≠∴2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-， ∴实数m 的取值范围为{|2}m m ≤-.19．(1)解关于x 的不等式23520x x +->； (2)解关于x 的不等式2121xx ->-. 【答案】(1)2x -＜ 或13x ＞ ；(2)1142x ＜＜ .【分析】（1）根据二次函数的图像求解即可； （2）将分式不等式转化为一元二次不等式再求解.【详解】(1)由23+520x x -＞ 得()()+2310x x -＞ ，由二次函数2=3+52y x x - 的图像可知：2x -＜ 或13x ＞ ；(2)由2121xx --＞ 得：24+110,02121x x x x -----＞＞ ，41021x x --＜ ， 由于41021x x --＜ 与()()41210x x --＜ 同解，所以不等式2121xx --＞的解为1142x ＜＜ ； 综上，（1）2x -＜ 或13x ＞；（2）1142x ＜＜.20．给定两个命题：命题p ：对于任意的实数x ，都有20x ax a ++>恒成立：命题q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根． (1)若p 为真，求实数a 的取值范围；(2)如果p 、q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)()0,4(2)(]1,0,4 4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由一元二次不等式恒成立可得a 的范围；（2）由一元二次方程的判别式得q 为真时a 的范围，,p q 有且只有一个为真，即为一真一假，由此可得结论．【详解】(1)由题意2140a a ∆=-<，解得04a <<，故所范围是(0,4)；(2)命题q 为真时，2140a ∆=-≥，解得14a ≤． 如果p 与q 中有且仅有一个为真命题， ①如果p 真q 假，则由04a <<且14a >，得144a <<． ②如果p 假q 真，则由0a ≤或4a ≥且14a ≤，得0a ≤， 综上，a 的取值范围为(]1,0,4 4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．21．已知实数a ，b 满足01a <<，01b <<． （1）若1a b +=，求1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（2）设012m <<，求1112m m+-的最小值． 【答案】（1）9；（2）13．【解析】（1）11111122a b a b a b a b a b b a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭展开后利用基本不等式即可求解. （2）1211212m m -+=，11111212121212m m m m m m -⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭展开后利用基本不等式即可求解.【详解】已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<．（1）若1a b +=，11111122a b a b a b a b a b b a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4419≥++=，当且仅当a b =成立，故最小值为9；（2）∵()1212m m +-=， ∴1211212m m-+=， ∴11111212121212m m m m m m -⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ ()1121116121212663m m m m -=++≥+=-， 当且仅当6m =时，取“=”， 综上所述，原式的最小值为13．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，关键在于将两个量转化为求一个量的最值，属于中档题.22．某市近郊有一块400m×400m 正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建一个总面积为30002m 的矩形场地（如图所示）．图中，阴影部分是宽度为2m 的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为2m S ．(1)求S 关于x 的关系式，并写出x 的取值范围；(2)当x 为何值时S 取得最大值，并求最大值．【答案】(1)1500030306S x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()7.5400x << (2)50x =m ，最大值为24302m【分析】（1）设矩形场地的另一条边的长为y ，可得300xy =，26a y +=，即可得出面积关系式．（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【详解】(1)解：（1）设矩形场地的另一条边的长为y ，则3000xy =，即3000y x=，且7.5400x <<，()()()46210S x a x a x a =-+-=-，∵26a y +=， ∴1500332ya x=-=-， ∴()150015000210330306S x x x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()7.5400x <<； (2)150001500030306303026303023002430S x x x x ⎛⎫=-+⋅-⋅=-⨯= ⎪⎝⎭≤， 当且仅当150006x x=，即50x =，满足7.5400x <<，等号成立， 故当50x =m 时，S 取得最大值，其最大值为24302m ．。

江苏省扬州市中学2022年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数，又，且的最小值为，则正数的值是（）A．B．C．D．ω参考答案：B因为函数，因为，的小值为，即，那么可知ω=.2. 直线x－y+1=0的倾斜角为()参考答案：D略3. 函数定义域为，值域为，则的最大值与最小值之和为（）A． B． C． D．参考答案：D4. 已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2}，则?U（A∪B）=( )A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}参考答案：B 【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】根据已知中集合U，A，B，结合集合的并集和补集运算的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2}，∴A∪B={1，2}，又∵全集U={1，2，3，4}，∴?U（A∪B）={3，4}，故选：B【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．5. 已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（）A．方向上的投影为 B．C．D．参考答案：B6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度参考答案：A【分析】根据,因此只需把函数的图象向左平移个单位长度。

【详解】因为，所以只需把函数图象向左平移个单位长度即可得，选A.7. cos120°= （）A. B. C. D.参考答案：C，故选C.8. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．9. 若函数和都是奇函数，且在区间(0,+∞)上有最大值5，则在区间(－∞,0)上（）A．有最小值-1 B．有最大值-3 C.有最小值-5 D．有最大值-5参考答案：A设，∵f(x),g(x)均为R上的奇函数，则h(?x)=?h(x).∴h(x)是奇函数,且它在(0,+∞)上有最大值5?2=3，根据对称性,它在(?∞,0)上有最小值：?3，则F(x)在(?∞,0)上有最小值：?3+2=?1.故选：A.10. 在△ABC中,若A=600,,则等于( )A、1B、C、4 D、参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数，则在区间上的值域为参考答案：略12. 已知复数z=a+bi（a、b∈R），且满足+=，则复数z在复平面内对应的点位于第象限．参考答案：四【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简式子，应用两个复数相等的充要条件求出a、b 的值，从而得到复数Z 在复平面内对应的点的位置．【解答】解：∵，∴=，即+ i=，∴=， =﹣，∴a=7，b=﹣10，故复数Z在复平面内对应的点是（7，﹣10），在第四象限，故答案为：四【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相等的充要条件，复数与复平面内对应点之间的关系．化简式子是解题的难点．13. 已知，且是第二象限角，则．参考答案：14. 已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，那么实数a的取值范围是．参考答案：[）【考点】函数单调性的性质．【分析】由已知中函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则在两个分段上函数均为减函数，且当x=1时，按照x＜1得到的函数值不小于按照x≥1得到的函数值．由此关于a的不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：∵数在（﹣∞，+∞）上单调递减，∴解得：故答案为：[）【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的性质，其中根据分段函数单调性的确定方法，构造出满足条件的关于a的不等式，是解答本题的关键．15. 已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是．参考答案：4考点：三角函数的最值；向量的模．专题：计算题．分析：先根据向量的线性运算得到2﹣的表达式，再由向量模的求法表示出|2﹣|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案．解答：解：∵2﹣=（2cosθ﹣，2sinθ+1），∴|2﹣|==≤4．∴|2﹣|的最大值为4．故答案为：4点评：本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是高考考查的重点，要强化复习．16. 设有数列，若存在，使得对一切自然数，都有|成立，则称数列有界，下列结论中：①数列中，，则数列有界；②等差数列一定不会有界；③若等比数列的公比满足，则有界；④等比数列的公比满足，前项和记为，则有界.其中一定正确的结论有_____________参考答案：_①③④略17. 在平面直角坐标系中，①若直线y=x+b与圆x2+y2=4相切，即圆x2+y2=4上恰有一个点到直线y=x+b的距离为0，则b的值为；②若将①中的“圆x2+y2=4”改为“曲线x=”，将“恰有一个点”改为“恰有三个点”，将“距离为0”改为“距离为1”，即若曲线x=上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1，则b 的取值范围是．参考答案：（﹣，﹣2]考点：直线和圆的方程的应用；类比推理．专题：直线与圆．分析：①利用直线和圆相切的关系进行求解．②曲线x=表示圆x2+y 2=4的右半部分，由距离公式可得临界直线，数形结合可得．解答：解：①若直线y=x+b与圆x2+y2=4相切，则圆心到直线的距离d=，即｜b｜=2，即b=，由x=得x2+y2=4（x≥0），则对应的曲线为圆的右半部分，直线y=x+b的斜率为1，（如图），设满足条件的两条临界直线分别为m和l，根据题意，曲线上恰好有三个点到直线y=x+b的距离为1，因此其中两个交点必须在直线m″（过点（0，﹣2））和直线l″之间，设（0，﹣2）到直线m的距离为1，可得=1，解得b=﹣2，或b=2+（舍去），∴直线m的截距为﹣2，设直线l″为圆的切线，则直线l″的方程为x﹣y﹣2=0，由l到l″的距离为1可得=1，解方程可得b=，即直线l的截距为﹣，根据题意可知，直线在m和l之间，∴b的取值范围为：（﹣，﹣2]故答案为：，（﹣，﹣2]．点评：本题主要考查直线和圆的综合应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2022-2023学年全国高一上数学月考试卷考试总分：75 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.函数的定义域为（ ）A.B.C.D.2. 设＝在上为增函数，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.3. 已知函数，则函数的大致图象为( )A.(1,3](1,2)∪(2,3](1,3)∪(3,+∞)(−∞,3)f(x)−2x −3x 2(a,+∞)a [1,+∞)(−∞,3][−1,+∞)(−∞,−3]f(x)=|x|+1x y =f(x)B. C. D.4. 如图，正方形的边长为，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记为，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积＝，那么对于函数有以下三个结论，其中不正确的是（ ）①②函数在上为减函数③任意，都有＝．A.①B.③C.②D.①②③ABCD 2O AD OP OA O OD ∠AOP x(x ∈[0,π])OP ABCD S f(x)f(x)f()=π33–√2f(x)(,π)π2x ∈[0,]π2f(x)+f(π−x)45. 若函数的定义域为，且＝，则满足的实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.6. 若定义在的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）7. 关于函数的性质的描述，正确的是（ ）A.的定义域为B.有一个零点C.的图象关于原点对称D.的值域为8. 已知函数是奇函数，当时， ， ，则（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）f(x)=+tan x −m 2x +12x [−1,1]f(0)0f(2x −1)<f(x −m +1)x (0,1](−1,0)[1,2)[0,1)R f (x)(−∞,0)f (2)=0xf (x +1)≥0x ()[−3,−1]∪[0,1][−3,0]∪[1,+∞)[−1,0]∪[3,+∞)[−1,0]∪[1,3]f (x)=|(1−2)|log 2|−1|−1f (x)(−1,0)∪(0,1)f (x)f (x)f (x)(−∞,0)f (x)x >0(x)−f (x)>1f ′f (1)=3f (4)>ef (3)f (−4)>f (−2)e 2f (4)>4−1e 3f (−4)<−4−1e 2110. 若幂函数的图象过点，则________．11. 函数 满足的的取值范围________. 12. 已知为奇函数，且时，，则＝________．四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ） 13. 设函数（为自然对数的底数，）.当时，求函数的图像在处的切线方程；若函数在区间上具有单调性，求的取值范围；若函数有且仅有个不同的零点，且，求证：. 14. 已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为万元，每生产万部还需另投入万元．设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且写出年利润(万元)关于年产量(万部)的函数解析式；当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 15. 定义在上的函数满足条件：对所有正实数，成立，且，当时有成立．（1）求和的值；（2）证明：函数在上为单调递增函数；（3）解关于的不等式：f(x)(2,)2–√2(2)=f −1f (x)={−1,2−x x,log 2x ≤0,x >0,f (x)<1x f(x)x >0f(x)=x23f(−8)f(x)=x −ae x e a ∈R （1）a =1f(x)x =1（2）f(x)(0,1)a （3）g(x)=(−e)f(x)e x 3,,x 1x 2x 3<<,− 1x 1x 2x 3x 3x 1+ x 1x 3e +1e −140116x R(x)R(x)= 400−6x,0<x ≤40，−,x >40.7400x 40000x2(1)W x (2)(0,+∞)f(x)f(xy)=f(x)f(y)x y f(2)=4x >1f(x)>1f(1)f(8)f(x)(0,+∞)x 16f()≥f(x −3)12x +1参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】求得在为增函数，由题意可得，可得的范围．【解答】＝在为增函数，由题意可得，可得，即的范围是，3.【答案】B f(x)[1,+∞)(a,+∞)⊆[1,+∞)a f(x)−2x −3x 2[1,+∞)(a,+∞)⊆[1,+∞)a ≥1a [1,+∞)【考点】函数在某点取得极值的条件复合函数的单调性【解析】利用函数的定义域和函数奇偶性以及函数的零点即可判断．【解答】解：的定义域为，当时，，且，当且仅当，即时，取等号，即当时，函数有最小值.当时，，由，在上均为单调减函数可得在上单调递减.综上，函数的大致图象为.故选.4.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由图形可得函数的解析式，再分别判断，即可得出结论．【解答】当时，；当，在中，＝＝＝；当时，＝；当时，同理可得＝．当时，＝＝．于是可得：f(x)(−∞,0)∪(0,+∞)x >0f(x)=x +1x f(x)>0x +≥2=21x x ⋅1x −−−−√x =1x x =1x =12x <0f(x)=−x +1x =−x y 1=y 21x (−∞,0)f(x)(−∞,0)y =f(x)B B 0≤x ≤arctan 2f(x)=tan x 12arctan 2<x <π2△OBE f(x)−S 矩形OABM S △OME 2−EM ⋅OM 122−2tan x x =π2f(x)2<x ≤π−arctan 2π2f(x)2−2tan x π−arctan 2<x ≤πf(x)4−×1×tan(π−x)124+tan x 12()=tan =–√①，正确；②当时，由＝，为增函数．当时，＝，为增函数，因此不正确．③，由图形及其上面，利用对称性可得：＝，因此正确；5.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由＝，可求，进而可求，结合函数的奇偶性及单调性即可求解不等式．【解答】∵，由，可得＝，故，∴，即函数为奇函数，∵＝在上单调递增，则由可得，，解可得，，6.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】f()=tan =π312π33–√2<x ≤π−arctan 2π2f(x)2−2tan x π−arctan 2<x ≤πf(x)4+tan x 12∀x ∈[0,]π2f(x)+f(π−x)4f(0)0m f(x)f(x)=+tan x −m 2x +12x f(0)==01−m 2m 1f(x)=+tan x −12x +12x f(−x)=+tan(−x)=−tan x =−f(x)−12−x +12−x 1−2x1+2x f(x)f(x)=+tan x −12x +12x 1−+tan x 2+12x [−1,1]f(2x −1)<f(x)−1≤2x −1<x ≤10≤x <1R f(x)(−∞,0)解：因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，所以在上是单调递增，且，所以当时，；当时，，所以由可得：或或故可得的取值范围为.故选．二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）7.【答案】A,C【考点】函数的定义域及其求法函数的值域及其求法函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】由题意，函数有意义，则满足}解得且即函数的定义域为，所以正确．因为的定义域为所以=由得注意没有零点，所以．不正确．由上可知的定义域为，可得=则满足，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以正确．当时，所以=又由函数为奇函数，可得的值域为所以不正确．8.R f(x)(−∞,0)f(2)=0f(x)(0,+∞)f(−2)=0x ∈(−∞,−2)∪(2,+∞)f(x)>0x ∈(−2,2)f(x)<0xf(x +1)≥0{x ≥0，x +1≤−2{x ≥0，x +1≥2{x ≤0，−2≤x +1≤2.x [−3,0]∪[1,+∞)B AC f (x)=|(1−)|log 2x 2|x −1|−1{|x −1|−1≠01−≥0,x 2−1<x <1x ≠0f (x)(−1,0)∪(0,1)A f (x)(−1,0)∪(0,1)f (x)=|(1−)|log 2x 2|x −1|−1|(1−)|log 2x 2−x f (x)=0(1−)=0log 2x 2x ≠0,f (x)B f (x)(−1,0)∪(0,1)f (x)=|(1−)|log 2x 2|x −1|−1|(1−)|log 2x 2−xf (−x)=−f (x)f (x)C x ∈(0,1)1−∈(0,1)x 2f (x)=|(1−)|log 2x 2|x −1|−1|(1−)|log 2x 2−x =(1−)∈(−∞,0)log 2x 2f (x)f (x)(−∞,0)∪(0,+∞)DA,C,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数奇偶性的性质【解析】根据题意，设，求出其导数，分析可得在区间上为增函数，据此依次分析选项是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，设，其导数，又由当时，，即，则当时，有，即在区间上为增函数.依次分析选项：对于，在区间(0,+∞)上为增函数，有，即，变形可得，则有，正确，对于，在区间上为增函数，有，即变形可得，即，则有，错误；对于，在区间上为增函数，有，即变形可得，正确，对于，由的结论，，即，变形可得，而，则有，正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.g(x)=f (x)+1e xg(x)(0,+∞)g(x)=f (x)+1e x (x)=g ′f (x)⋅−[f (x)+1]⋅e x e x e 2x =(x)−f (x)−1f ′e xx >0(x)−f (x)>1f ′(x)−f (x)−1>0f ′x >0(x)>0g ′g(x)(0,+∞)A g(x)g(4)>g(3)>f (4)+1e 4f (3)+1e 3f (4)+1>ef (3)+e f (4)>ef (3)+e −1>ef (3)A B g(x)(0,+∞)g(4)>g(2)>f (4)+1e 4f (2)+1e 2f (4)+1>f (2)+e 2e 2−f (−4)+1>−f (−2)+e 2e 2f (−4)<f (−2)+1−<f (−2)e 2e 2e 2B C g(x)(0,+∞)g(4)>g(1)>=f (4)+1e 4f (1)+1e 14e f (4)>4−1e 3C D C f (4)>4−1e 3−f (−4)>4−1e 3f (−4)<1−4e 3(1−4)−(−4−1)=2−4+4=2−4(e −1)<0e 3e 2e 3e 2e 2f (−4)<1−4<−4−1e 3e 2D ACD【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据题意，令＝，求出的值，由函数的解析式分析可得答案．【解答】根据题意，＝，令＝，则，则＝；10.【答案】【考点】反函数幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由题意知，从而可得，，从而解得．【解答】解：∵幂函数的图象过点，∴，解得，，故，∴，∴；故答案为：．11.13x 3e x f()x 3ln x x 3e x =e 13f(e)ln =e 131314f(2)==2α2–√2f(x)=x −12(x)=f −11x 2f(x)(2,)2–√2f(2)==2α2–√2α=−12f(x)=x −12(x)=f −11x 2(2)==f −11221414【答案】【考点】分段函数的应用函数单调性的性质【解析】【解答】解：当时，，即，，，．当时，，即，．综上可得，满足的的取值范围是．故答案为：．12.【答案】【考点】函数的求值求函数的值函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由函数的解析式求出的值，结合奇函数的性质有＝，即可得答案．【解答】根据题意，时，，则，又由为奇函数，则＝＝；四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）13.【答案】解：当时，，故的图像在处的切线方程为，−1<x <2x ≤0f (x)<1−1<12−x <2=2−x 21∴−x <1∴−1<x ≤0x >0f (x)<1x <1log 2∴0<x <2f (x)<1x −1<x <2−1<x <24f(8)f(−8)−f(8)x >0f(x)=x 23f(8)==4823f(x)f(−8)−f(8)−4（1）a =1f(x)=x −,(x)=1−,(1)=1−e,f(1)=1−ee xf ′e x f ′f(x)x =1y −(1−e)=(1−e)(x −1)y =(1−e)x即.解：由，①若函数在在区间上单调递增，则恒成立，得恒成立.；②若函数在区间上单调递减，则恒成立，得恒成立..综上，的取值范围是.证明：函数的零点即为方程的实数根，故或，由，得，有且仅有个不等于的不同零点.由，得，设，则.由，得；由，得.有且仅有个不同的零点，为的个不等实数根，，两式相减，得，两式相加，得.设，由且，得，，设，则，设，则.设，则在上恒成立，在上单调递增，在上恒成立，则在上恒成立，∴在上单调递增，在上恒成立，则在上恒成立，∴在上单调递增，，即.【考点】圆的切线方程幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，y =(1−e)x （2）(x)=1−a f ′e x f(x)（0,1）(x)=1−a 0f ′e x a e −x ∵x ∈(0,1),∴∈(,1),∴ae −x 1e 1ef(x)0,1(x)=1−a 0f ′e x a e −x ∵x ∈(0,1),∴∈(,1),∴a 1e −x 1e a (−∞,]∪[1,+∞)1e （3）g(x)=(−e)f(x)e x (−e)f(x)=0e x −e =0e x f(x)=0−e =0e x x =1∴f(x)=021f(x)=0−a =0x e x h(x)=−a x e x (x)=h ′1−x e x (x)=>0h ′1−x e x x <1(x)=<0h ′1−x e x x >1∵g(x)=(−e)f(x)e x 3,,x 1x 2x 3<<x 1x 2x 3∴<=1<,,x 1x 2x 3x 1x 3h(x)=−a =0x e x 2∴=a ,=a x 1e x 1x 3e x 3−=a (−),∴a =x 3x 1e x 3e x 1−x 3x 1−e x 3e x 1+=a (+)=(+)=(−)x 1x 3e x 1e x 3−x 3x 1−e x 3e x 1e x 1e x 3x 3x 1+1e −x 3x 1−1e −x 3x 1−=t x 3x 1<x 1x 3− 1x 3x 10<t 1+=x 1x 3t (+1)e t −1e t φ(t)=,t ∈(0,1]t (+1)e t −1e t (t)=φ′−2t −1e 2t e t (−1)e t 2p(t)=−2t −1,t ∈(0,1]e 2t e t (t)=2(−t −1)p ′e t e t q(t)=−t −1,t ∈(0,1]e t (t)=−1>0q ′e t t ∈(0,1]∴q(t)=−t −1e t (0,1]∴q(t)>q(0)=0(0,1](t)>0p ′(0,1]p(t)(0,1]∴p(t)>p(0)=0(0,1](t)>0φ′(0,1]φ(t)(0,1]∴φ(t) φ(1)=e +1e −1+ x 1x 3e +1e −1（1）a =1f(x)=x −,(x)=1−,(1)=1−e,f(1)=1−e e x f ′e x f ′f(x)y −(1−e)=(1−e)(x −1)故的图像在处的切线方程为，即.解：由，①若函数在在区间上单调递增，则恒成立，得恒成立.；②若函数在区间上单调递减，则恒成立，得恒成立..综上，的取值范围是.证明：函数的零点即为方程的实数根，故或，由，得，有且仅有个不等于的不同零点.由，得，设，则.由，得；由，得.有且仅有个不同的零点，为的个不等实数根，，两式相减，得，两式相加，得.设，由且，得，，设，则，设，则.设，则在上恒成立，在上单调递增，在上恒成立，则在上恒成立，∴在上单调递增，在上恒成立，则在上恒成立，∴在上单调递增，，即.14.【答案】解：由利润等于收入减去成本，可得当时，；当时，，∴当时，，f(x)x =1y −(1−e)=(1−e)(x −1)y =(1−e)x （2）(x)=1−a f ′e x f(x)（0,1）(x)=1−a 0f ′e x a e −x ∵x ∈(0,1),∴∈(,1),∴ae −x 1e 1ef(x)0,1(x)=1−a 0f ′e x a e −x ∵x ∈(0,1),∴∈(,1),∴a 1e −x 1e a (−∞,]∪[1,+∞)1e （3）g(x)=(−e)f(x)e x (−e)f(x)=0e x −e =0e x f(x)=0−e =0e x x =1∴f(x)=021f(x)=0−a =0x e x h(x)=−a x e x (x)=h ′1−x e x (x)=>0h ′1−x e x x <1(x)=<0h ′1−x e x x >1∵g(x)=(−e)f(x)e x 3,,x 1x 2x 3<<x 1x 2x 3∴<=1<,,x 1x 2x 3x 1x 3h(x)=−a =0x e x 2∴=a ,=a x 1e x 1x 3e x 3−=a (−),∴a =x 3x 1e x 3e x 1−x 3x 1−e x 3e x 1+=a (+)=(+)=(−)x 1x 3e x 1e x 3−x 3x 1−e x 3e x 1e x 1e x 3x 3x 1+1e −x 3x 1−1e −x 3x 1−=t x 3x 1<x 1x 3− 1x 3x 10<t 1+=x 1x 3t (+1)e t −1e t φ(t)=,t ∈(0,1]t (+1)e t −1e t (t)=φ′−2t −1e 2t e t (−1)e t 2p(t)=−2t −1,t ∈(0,1]e 2t e t (t)=2(−t −1)p ′e t e t q(t)=−t −1,t ∈(0,1]e t (t)=−1>0q ′e t t ∈(0,1]∴q(t)=−t −1e t (0,1]∴q(t)>q(0)=0(0,1](t)>0p ′(0,1]p(t)(0,1]∴p(t)>p(0)=0(0,1](t)>0φ′(0,1]φ(t)(0,1]∴φ(t) φ(1)=e +1e −1+ x 1x 3e +1e −1(1)0<x ≤40W =xR(x)−(16x +40)=−6+384x −40x 2x >40W =xR(x)−(16x +40)=−−16x +736040000x W = −6+384x −40，0<x ≤40，x 2−−16x +7360，x >40.40000x (2)0<x ≤40W =−6+384x −40=x 2−6(x −32+6104)2∴时，；当时，，当且仅当，即时，.∵，∴时，的最大值为万元．【考点】函数模型的选择与应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【解答】解：由利润等于收入减去成本，可得当时，；当时，，∴当时，，∴时，；当时，，当且仅当，即时，.∵，∴时，的最大值为万元．15.【答案】（1）解：∵，∴，∵，∴，，；（2）证明：设，则，∵当时有成立，∴，∴∴函数在上为单调递增函数；（3）解：可化为，∵函数在上为单调递增函数，x =32=W max 6104x >40W =−−16x +7360≤−2+736040000x ⋅16x 40000x −−−−−−−−−−√=16x 40000x x =50=W max 57606104>5760x =32W 6104(1)0<x ≤40W =xR(x)−(16x +40)=−6+384x −40x 2x >40W =xR(x)−(16x +40)=−−16x +736040000x W = −6+384x −40，0<x ≤40，x 2−−16x +7360，x >40.40000x (2)0<x ≤40W =−6+384x −40=x 2−6(x −32+6104)2x =32=W max 6104x >40W =−−16x +7360≤−2+736040000x ⋅16x 40000x −−−−−−−−−−√=16x 40000x x =50=W max 57606104>5760x =32W 6104f(xy)=f(x)f(y)f(1×2)=f(1)f(2)f(2)=4f(1)=1f(4)=f(2)f(2)=16f(8)=f(2)f(4)=64>>0x 1x 2>1x 1x 2x >1f(x)>1f()>1x 1x 2f()=f(⋅)=f()f()>f()x 1x 2x 1x 2x 2x 1x 2x 2f(x)(0,+∞)16f()≥f(x −3)12x +1f(4×)≥f(x −3)12x +1f(x)(0,+∞)×≥x −3>01∴，∴，∴不等式的解集为．【考点】抽象函数及其应用指、对数不等式的解法【解析】（1）利用赋值法，代入计算求和的值；（2）利用单调性的定义证明函数在上为单调递增函数；（3）利用单调性，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．【解答】（1）解：∵，∴，∵，∴，，；（2）证明：设，则，∵当时有成立，∴，∴∴函数在上为单调递增函数；（3）解：可化为，∵函数在上为单调递增函数，∴，∴，∴不等式的解集为．4×≥x −3>012x +1−1≤x ≤72{x |−1≤x ≤}72f(1)f(8)f(x)(0,+∞)f(xy)=f(x)f(y)f(1×2)=f(1)f(2)f(2)=4f(1)=1f(4)=f(2)f(2)=16f(8)=f(2)f(4)=64>>0x 1x 2>1x 1x 2x >1f(x)>1f()>1x 1x 2f()=f(⋅)=f()f()>f()x 1x 2x 1x 2x 2x 1x 2x 2f(x)(0,+∞)16f()≥f(x −3)12x +1f(4×)≥f(x −3)12x +1f(x)(0,+∞)4×≥x −3>012x +1−1≤x ≤72{x |−1≤x ≤}72。