典中点解直角三角形专训2 同角或互余两角的三角函数关系的应用

同角三角函数的基本关系应用方法温燕红 同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件，随时可以拿来应用，这就需要学生们非常熟练的掌握这种关系，能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角式。

我们已经知道了三角函数的定义：任意角α的终边上取点P ，设点P 的坐标为（x ，y ），OP=r ，我们定义。

，即的正切，记作叫做角；，即的正弦，记作叫做角；，即的余弦，记作叫做角x y x y r y r y r x r x ===αααααααααtan tan sin sin cos cos因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式：（1） 平方关系：1cos sin 22=+αα，即同一个正角的正弦、余弦的平方和等于1.（2）商数关系：αααtan cos sin =，即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切。

注意：同角三角函数的基本关系式当且仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立。

在应用平方关系时，常用到平方根，算数平方根和绝对值的概念，应注意”“±的选取。

考查题型一 已知一个三角函数值，求两外两个三角函数值。

例1：若的值。

是第三象限角，求且ααααtan ,cos ,54sin -=解析：343554cos sin tan ,53541sin 1cos ,54sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-==-=⎪⎭⎫⎝⎛---=--=∴-=ααααααα是第三象限角，分析：此类题型属于较易题型，在α角象限确定的情况下，三角函数值得正负也就确定了，若角所在象限不确定，则应分类讨论。

题型二 已知αtan 的值，求关于ααcos sin 、的齐次分式时，可将求值式变为关于的代数式，此方法可称为弦化切。

例题2：已知2tan =θ，则θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-=解析：由题意可得，0cos ≠θ，把θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-上下同时除以θcos ，得到116235224tan 352tan 4=⨯+-⨯=+-θθ。

专项训练2 同角或互余两角的三角函数关系的应用方法指导：1．同角的三角函数关系：sin2 α＋cos2α＝1，tan α＝sin αcos α.2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos(90°－α)，cos α＝sin(90°－α)，tan α•tan(90°－α)＝1.同角间的三角函数的应用1．已知tan A ＝4，求sin A －3cos A 4sin A ＋cos A的值．2．若α为锐角，sin α－cos α＝22，求sin α＋cos α的值．余角间的三角函数的应用3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是( )A ．sin (45°－α)＝sin (45°＋α)B ．sin 2(45°－α)＋cos 2(45°＋α)＝1C ．sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝1D ．cos 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝14．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用5．已知sin α·cos α＝1225(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin α和cos α.6．已知α为锐角且sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根，求1－2sin αcos α的值．参考答案1．解：方法一：原式＝（sin A －3cos A ）÷cos A （4sin A ＋cos A ）÷cos A ＝sin A cos A －34sin A cos A＋1＝tan A －34tan A ＋1. ∵tan A ＝4，∴tan A －34tan A ＋1＝4－34×4＋1＝117. 方法二：∵tan A ＝4，∴sin A cos A＝4，∴sin A ＝4cos A. ∴原式＝4cos A －3cos A 4×4cos A ＋cos A ＝cos A 17cos A ＝117. 2．分析：要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．解：∵sin α－cos α＝22， ∴(sin α－cos α)2＝12， 即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝12. ∴1－2sin αcos α＝12，即2sin αcos α＝12. ∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋12＝32. 又∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝62. 3．C 【解析】∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)，sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝cos 2(45°＋α)＋sin 2(45°＋α)＝1.4．解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1.【解析】互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1.5．解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α·cos α＝1225， ∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2×1225＝4925. ∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝75. 又∵sin α·cos α＝1225， ∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x 2－75x ＋1225＝0.【解析】此题用到两方面的知识：(1)公式sin 2α＋cos 2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x 1＋x 2＝p ，x 1x 2＝q ，则以x 1，x 2为两根的一元二次方程为x 2－px ＋q ＝0.6．解：∵sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根， ∴由求根公式，得sin α＝－（－7）±（－7）2－4×2×32×2＝7±54. ∴sin α＝12或sin α＝3(不符合题意，舍去)． ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34. 又∵cos α＞0，∴cos α＝32. ∴1－2sin αcos α＝ sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝（sin α－cos α）2＝|sin α－cos α|＝⎪⎪⎪⎪12－32＝3－12.。

专训同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：．同角三角函数关系：α＋α＝，α＝α α).．互余两角的三角函数关系：α＝(°－α)，α＝(°－α)，α·(°－α)＝.同角间的三角函数的应用．已知＝，求的值．．若α为锐角，α－α＝，求α＋α的值．余角间的三角函数的应用．若°－α和°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是( )．(°－α)＝(°＋α)．(°－α)＋(°＋α)＝．(°－α)＋(°＋α)＝．(°－α)＋(°＋α)＝．计算°·°·°·…·°·°的值．同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用．已知α·α＝(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为α和α.．已知α为锐角且α是方程－＋＝的一个根，求的值．答案．解：(方法)原式＝＝＝.∵＝，∴原式＝＝.(方法)∵＝，∴＝，∴＝.∴原式＝＝＝.．分析：要求α＋α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．解：∵α－α＝，∴(α－α)＝，即α＋α－αα＝.∴－αα＝，即αα＝.∴(α＋α)＝α＋α＋αα＝＋＝.又∵α为锐角，∴α＋α＞.∴α＋α＝.．点拨：∵(°－α)＋(°＋α)＝°，∴ (°－α)＝ (°＋α)，(°－α)＋(°＋α)＝(°＋α)＋(°＋α)＝.．解：°·°·°·…·°·°＝(°·°)·(°·°)·…·(°·°)·°＝.点拨：互余的两角的正切值的积为，即若α＋β＝°，则α·β＝.．解：∵α＋α＝，α·α＝，∴(α＋α)＝α＋α＋αα＝＋×＝.∵α为锐角，∴α＋α＞.∴α＋α＝.又∵α·α＝，∴以α，α为根的一元二次方程为－＋＝.点拨：此题用到两方面的知识：()公式α＋α＝与完全平方公式的综合运用；()若＋＝，＝，则以，为两根的一元二次方程为－＋＝.．解：∵α是方程－＋＝的一个根，∴由求根公式，得α＝＝.∴α＝或α＝(不符合题意，舍去)．∵α＋α＝，∴α＝－＝.又∵α＞，∴α＝.∴＝＝＝α－α＝＝.。

中考2018数学知识点：同角互余角的三
角函数间的关系
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同角互余角的三角函数间的关系
同角三角函数间的关系：
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
余切等于邻边比对边
互余角的三角函数间的关系：
sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.。