2017年九年级数学上册23.1.2第2课时互余两角的三角函数值学案新沪科版

第2课时 正弦和余弦1．理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算；(重点、难点) 2．在直角三角形中求正弦值、余弦值．(重点)一、情境导入 牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A )与水面(BC )的高度(AB )．斜坡与水面所成的角(∠C )可以用量角器测出来，水管的长度(AC )也能直接量得．你能求出它的高度(AB )吗？ 二、合作探究探究点一：正弦的定义 【类型一】求正弦值在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3，c ＝5，求sin A 和tan A 的值．解析：先根据勾股定理求出b 的长，再根据锐角三角函数的定义求解．解：在Rt △ABC 中，c ＝5，a ＝3，∴b ＝c 2－a 2＝52－32＝4，∴sin A ＝a c ＝35，tan A ＝a b ＝34.方法总结：解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值．【类型二】 已知锐角三角形的一个三角函数值，求其他三角函数的值已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为( )A.43B.45C.54D.34解析：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则sin A ＝a c ，tan B ＝b a ，a 2＋b 2＝c 2；由sin A ＝35知，若设a ＝3x ，则c ＝5x .结合a 2＋b 2＝c 2，得b ＝4x .所以tan B ＝b a ＝4x 3x ＝43.故选A.方法总结：解决此类问题的关键是要正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值． 探究点二：余弦的定义 【类型一】求余弦值如图所示，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB ＝________.解析：如图所示，连接AB ，设每个小正方形网格边长为1，则OA ＝22＋42＝25，OB ＝AB ＝32＋12＝10，所以AB 2＋OB 2＝20，OA 2＝20，AB 2＋OB 2＝OA 2，故∠ABO ＝90°，cos ∠AOB ＝OB OA ＝1025＝22.方法总结：在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题．【类型二】 构造直角三角形求余弦值如图，已知点P 在第一象限，其坐标是(a ，b )，则cos α等于( )A.a bB.b aC.a a 2＋b2D.b a 2＋b2解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解．过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为点H ，如图．在Rt △OPH 中，∵PH ＝b ，OH ＝a ，∴OP ＝OH 2＋PH 2＝a 2＋b 2，∴cos α＝OH OP＝aa 2＋b 2.故选C.方法总结：也可以过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，注意点P (a ，b )到x 轴的距离是|b |，到y 轴的距离是|a |，若点P 不在第一象限，则要注意字母的符号．三、板书设计 正弦和余弦⎩⎪⎨⎪⎧正弦：sin A ＝∠A 的对边斜边＝BC AB ＝ac余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝AC AB ＝bc注重学生对锐角正弦、余弦概念的理解．加强学生对数学思想方法的理解和应用，注意数形结合思想的应用．培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力．通过数学建模把一些实际问题抽象为数学模型，从而提高分析问题、解决问题的能力．。

1.锐角的三角函数第2课时 正弦和余弦［学习目标］1、 理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。

2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。

［学习重点与难点］ 在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。

［学习过程］ 一、情景创设1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m 后，他的相对位置升高了5m ，如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？二、探索活动1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________；它的邻边与斜边的比值________。

（根据是__________________。

）2、正弦的定义 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________.3、余弦的定义 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。

（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.___________.4、牛刀小试 根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。

5、思考与探索怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？（1） 如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度时，他的位置升高了约 20m13m0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。

根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？sin75°、cos75°呢？sin30°＝_____，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。

第2课时 一般锐角的三角函数值教学目标1．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．2．了解锐角三角函数的增减性，并能比较大小．教学重难点利用计算器探索锐角三角函数的增减性．教学过程导入新课通过上面几节的学习我们知道，当锐角A 是30°，45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A 不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？ 推进新课一、合作探究1．利用刻度尺和量角器求函数值步骤1：用刻度尺和量角器，作出Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝36°.步骤2：用刻度尺量得∠A 的对边BC ＝__________ mm ，斜边AB ＝__________ mm .步骤3：算出比值BC AB＝__________，即sin 36°＝__________. 说明：此种方法简便、易于操作，但误差较大．随着科学技术的发展，今天我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．2．利用计算器，已知角度求函数值(1)求sin 18°的值 过程：利用计算器的sin 键，并输入角度值18，得到结果sin 18°＝0.309 016 994. (2)求tan 30°36′的值， 过程：利用tan 键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591 398 351.利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同．因为30°36′＝30.6°，所以也可以利用tan 键，并输入角度值30.6，同样得到答案0.591 398 351.3．探究正、余弦函数的增减性(1)用计算器求sin 15°，sin 36°，sin 56°，sin 78°的值，并比较它们的大小． 学生由计算器求出后，可比较得出：sin 15°＜sin 36°＜sin 56°＜sin 78°.(2)用计算器求cos 15°，cos 36°，cos 56°，cos 78°的值，并比较它们的大小． 学生由计算器求出后，可比较得出：cos 15°＞cos 36°＞cos 56°＞cos 78°. (3)同样用计算器可比较tan 15°，tan 36°，tan 56°，tan 78°的大小． 学生可比较得出：tan 15°＜tan 36°＜tan 56°＜tan 78°.从而可得出锐角的正弦值、正切值随着角度的增大而增大；锐角的余弦值随着角度的增大而减小．用图形可以说明这种关系，在图①中以A 为圆心、AB 1为半径画弧，分别交AB 1，AB 2，AB 3于点B 1，B 2，B 3，过B 1，B 2，B 3分别作AC 的垂线，垂足分别为C 1，C 2，C 3，因为B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3，所以sin∠B 1AC 1＞sin∠B 2AC 2＞sin∠B 3AC 3.结论：角在0°～90°之间变化时，锐角的正弦值随着角度的增大而增大．在图②中，因为AB 1＜AB 2＜AB 3，所以cos∠B 1AC ＞cos∠B 2AC ＞co s∠B 3AC ．又因为B 1C ＜B 2C ＜B 3C ，所以tan∠B 1AC ＜tan∠B 2AC ＜tan∠B 3AC ．结论：角在0°～90°之间变化时，锐角的余弦值随着角度的增大而减小，锐角的正切值随着角度的增大而增大．4．已知函数值，求锐角的大小已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知sin A ＝0.501 8；用计算器求锐角A 可以按照下面方法操作： 依次按键2ndf sin ，然后输入函数值0.501 8，得到∠A＝30.119 158 67°(如果锐角A 精确到1°，则结果为30°)． 还可以利用2ndf ° ′ ″键进一步得到∠A＝30°7′8.97″(如果锐角A 精确到1′，则结果为30°7′，精确到1″的结果为30°7′9″)．使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的锐角．问题：怎样验算求出的∠A＝30°7′9″是否正确？ 让学生思考后回答，然后总结：可以再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.501 8，则我们原先的计算结果就是正确的．二、巩固提高【例题】 如下图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )．A ．sin A 的值越大，梯子越陡B ．cos A 的值越大，梯子越陡C ．tan A 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与∠A 的函数值无关点拨：根据角的变化得出函数值的大小变化，选项A 正确．答案：A三、达标训练1．已知∠A 为锐角，且cos A≤12，那么( )． A ．0°＜A≤60° B ．60°≤A＜90°C ．0°＜A≤30°D ．30°≤A＜90°2．在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且sin A ＝12，cos B ＝32，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3．用计算器计算：(1)cos 18°44′25″；(2)sin 42°31′；(3)cos 33°18′24″；(4)tan 55°10′.4．根据所给条件求锐角α.(1)已知sin α＝0.477 1，求α；(2)已知cos α＝0.845 1，求α；(3)已知tan α＝1.410 6，求α.(精确到1″)本课小结1．利用计算器求锐角的三角函数值，已知锐角三角函数值用计算器求出相应的锐角．2．掌握锐角三角函数值的增减性．对于sin A 与tan A ，角度越大函数值也越大；对于cos A ，角度越大函数值越小．并能用锐角三角函数值的增减性比较大小．1．各锐角三角函数之间的关系同角、互余角之间的三角函数有如下关系：(1)互余关系：sin A ＝cos(90°－A)，cos A ＝sin(90°－A)，t an A·tan(90°－A)＝1.(2)平方关系：sin 2A ＋cos 2A ＝1.(3)商的关系：tan A ＝sin A cos A. 说明：这些关系是计算三角函数恒等变形的基本依据，对今后的学习有重要的指导意义．这些关系可以用定义来证明．下面的结论不成立：tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B)，tan A·tan B ＝tan(A·B)．2．求锐角三角函数值的一般方法(1)用定义求锐角三角函数值【例1】 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果cos A ＝45，那么tan B 的值为__________． 解析：由cos A ＝b c ，可得b c ＝45. 故设b ＝4k ，c ＝5k.根据勾股定理，得a ＝(5k)2－(4k)2＝3k.根据三角函数的定义，得tan B ＝b a ＝4k 3k ＝43. 答案：43(2)用计算器求锐角三角函数值【例2】 若∠α的余角为38°，则∠α＝__________°，sin α＝__________.(结果保留四位有效数字)解析：∵∠α＝90°－38°＝52°，用计算器计算：sin 5 2 ＝，可得sin α＝0.788 0.答案：52 0.788 0(3)利用等角求锐角三角函数值【例3】 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D 为垂足，若AC ＝4，BC ＝3，则sin∠ACD 的值为( )．A ．43B ．34C ．45D ．35解析：由已知得∠ACD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B．根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5.在Rt△ABC 中，sin B ＝AC AB ＝45， ∴sin∠ACD 的值为45. 答案：C(4)求特殊角的三角函数值【例4】 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果∠B＝2∠A，则tan B 的值为__________． 解析：在Rt△ABC 中，∵∠A＋∠B＝90°，∠B＝2∠A，∴∠A＋2∠A＝90°，得∠A＝30°.∴∠B＝60°.∴tan B＝tan 60°＝ 3. 答案： 3(5)构造直角三角形求锐角三角函数值【例5】 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin B ＝35，点D 在BC 边上，且∠ADC＝45°，DC ＝6，求∠BAD 的正切值．分析：由于∠BAD 不在直角三角形中，应设法把∠BAD 转化到直角三角形中．结合已知条件，可以考虑作DE⊥AB，因为tan∠BAD＝DE AE，所以只要求出DE ，AE 的长即可． 解：作DE ⊥AB 于点E ，∵∠ADC=45°，∠C=90°，∴AC=DC=6.又∵s in B=35AC AB =， ∴AB=10.根据勾股定理，得，从而BD=2. 在Rt △BDE 中，∵sin B=35DE BD =， ∴DE=BD ×sin B=1.2.∴，AE=AB-BE=8.4.∴tan ∠BAD= 1.218.47DE AE ==. 奥赛链接若α为锐角，且cos α=0.6，则( )．A ．0°＜α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．60°＜α＜90°解析：∵cos 45°＝22，cos 60°＝12，12＜0.6＜22，∴cos 60°＜cos α＜cos 45°.∴45°＜α＜60°.答案：C。

第2课时 一般锐角的三角函数值教学目标1．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．2．了解锐角三角函数的增减性，并能比较大小．教学重难点利用计算器探索锐角三角函数的增减性．教学过程导入新课通过上面几节的学习我们知道，当锐角A 是30°，45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A 不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？ 推进新课一、合作探究1．利用刻度尺和量角器求函数值步骤1：用刻度尺和量角器，作出Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝36°.步骤2：用刻度尺量得∠A 的对边BC ＝__________ mm ，斜边AB ＝__________ mm .步骤3：算出比值BC AB＝__________，即sin 36°＝__________. 说明：此种方法简便、易于操作，但误差较大．随着科学技术的发展，今天我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．2．利用计算器，已知角度求函数值(1)求sin 18°的值 过程：利用计算器的sin 键，并输入角度值18，得到结果sin 18°＝0.309 016 994. (2)求tan 30°36′的值， 过程：利用tan 键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591 398 351.利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同．因为30°36′＝30.6°，所以也可以利用tan 键，并输入角度值30.6，同样得到答案0.591 398 351.3．探究正、余弦函数的增减性(1)用计算器求sin 15°，sin 36°，sin 56°，sin 78°的值，并比较它们的大小． 学生由计算器求出后，可比较得出：sin 15°＜sin 36°＜sin 56°＜sin 78°.(2)用计算器求cos 15°，cos 36°，cos 56°，cos 78°的值，并比较它们的大小． 学生由计算器求出后，可比较得出：cos 15°＞cos 36°＞cos 56°＞cos 78°. (3)同样用计算器可比较tan 15°，tan 36°，tan 56°，tan 78°的大小． 学生可比较得出：tan 15°＜tan 36°＜tan 56°＜tan 78°.从而可得出锐角的正弦值、正切值随着角度的增大而增大；锐角的余弦值随着角度的增大而减小． 用图形可以说明这种关系，在图①中以A 为圆心、AB 1为半径画弧，分别交AB 1，AB 2，AB 3于点B 1，B 2，B 3，过B 1，B 2，B 3分别作AC 的垂线，垂足分别为C 1，C 2，C 3，因为B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3，所以sin∠B 1AC 1＞sin∠B 2AC 2＞sin∠B 3AC 3.结论：角在0°～90°之间变化时，锐角的正弦值随着角度的增大而增大．在图②中，因为AB 1＜AB 2＜AB 3，所以cos∠B 1AC ＞cos∠B 2AC ＞co s∠B 3AC ．又因为B 1C ＜B 2C ＜B 3C ，所以tan∠B 1AC ＜tan∠B 2AC ＜tan∠B 3AC ．结论：角在0°～90°之间变化时，锐角的余弦值随着角度的增大而减小，锐角的正切值随着角度的增大而增大．4．已知函数值，求锐角的大小已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知sin A ＝0.501 8；用计算器求锐角A 可以按照下面方法操作： 依次按键2ndf sin ，然后输入函数值0.501 8，得到∠A＝30.119 158 67°(如果锐角A 精确到1°，则结果为30°)． 还可以利用2ndf ° ′ ″键进一步得到∠A＝30°7′8.97″(如果锐角A 精确到1′，则结果为30°7′，精确到1″的结果为30°7′9″)． 使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的锐角． 问题：怎样验算求出的∠A＝30°7′9″是否正确？让学生思考后回答，然后总结：可以再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.501 8，则我们原先的计算结果就是正确的．二、巩固提高【例题】 如下图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )．A ．sin A 的值越大，梯子越陡B ．cos A 的值越大，梯子越陡C ．tan A 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与∠A 的函数值无关点拨：根据角的变化得出函数值的大小变化，选项A 正确．答案：A三、达标训练1．已知∠A 为锐角，且cos A≤12，那么( )． A ．0°＜A≤60° B ．60°≤A＜90°C ．0°＜A≤30°D ．30°≤A＜90°2．在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且sin A ＝12，cos B ＝32，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3．用计算器计算：(1)cos 18°44′25″；(2)sin 42°31′；(3)cos 33°18′24″；(4)tan 55°10′.4．根据所给条件求锐角α.(1)已知sin α＝0.477 1，求α；(2)已知cos α＝0.845 1，求α；(3)已知tan α＝1.410 6，求α.(精确到1″)本课小结1．利用计算器求锐角的三角函数值，已知锐角三角函数值用计算器求出相应的锐角．2．掌握锐角三角函数值的增减性．对于sin A 与tan A ，角度越大函数值也越大；对于cos A ，角度越大函数值越小．并能用锐角三角函数值的增减性比较大小．1．各锐角三角函数之间的关系同角、互余角之间的三角函数有如下关系：(1)互余关系：sin A ＝cos(90°－A)，cos A ＝sin(90°－A)，tan A·tan(90°－A)＝1.(2)平方关系：sin 2A ＋cos 2A ＝1.(3)商的关系：tan A ＝sin A cos A. 说明：这些关系是计算三角函数恒等变形的基本依据，对今后的学习有重要的指导意义．这些关系可以用定义来证明．下面的结论不成立：tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B)，tan A·tan B＝tan(A·B)．2．求锐角三角函数值的一般方法(1)用定义求锐角三角函数值【例1】 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果cos A ＝45，那么tan B 的值为__________． 解析：由cos A ＝b c ，可得b c ＝45. 故设b ＝4k ，c ＝5k.根据勾股定理，得a ＝(5k)2－(4k)2＝3k.根据三角函数的定义，得tan B ＝b a ＝4k 3k ＝43. 答案：43(2)用计算器求锐角三角函数值【例2】 若∠α的余角为38°，则∠α＝__________°，sin α＝__________.(结果保留四位有效数字)解析：∵∠α＝90°－38°＝52°，用计算器计算：sin 5 2 ＝，可得sin α＝0.788 0. 答案：52 0.788 0(3)利用等角求锐角三角函数值【例3】 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D 为垂足，若AC ＝4，BC ＝3，则sin∠ACD 的值为( )．A ．43B ．34C ．45D ．35解析：由已知得∠ACD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B．根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5.在Rt△ABC 中，sin B ＝AC AB ＝45， ∴sin∠ACD 的值为45. 答案：C(4)求特殊角的三角函数值【例4】 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果∠B＝2∠A，则tan B 的值为__________． 解析：在Rt△ABC 中，∵∠A＋∠B＝90°，∠B＝2∠A，∴∠A＋2∠A＝90°，得∠A＝30°.∴∠B＝60°.∴tan B＝tan 60°＝ 3. 答案： 3(5)构造直角三角形求锐角三角函数值【例5】 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin B ＝35，点D 在BC 边上，且∠ADC＝45°，DC ＝6，求∠BAD 的正切值．分析：由于∠BAD 不在直角三角形中，应设法把∠BAD 转化到直角三角形中．结合已知条件，可以考虑作DE⊥AB，因为tan∠BAD＝DE AE，所以只要求出DE ，AE 的长即可． 解：作DE ⊥AB 于点E ，∵∠ADC=45°，∠C=90°，∴AC=DC=6.又∵s in B=35AC AB =， ∴AB=10.根据勾股定理，得，从而BD=2. 在Rt △BDE 中，∵sin B=35DE BD =， ∴DE=BD ×sin B=1.2.∴，AE=AB-BE=8.4.∴tan ∠BAD= 1.218.47DE AE ==. 奥赛链接若α为锐角，且cos α=0.6，则( )．A ．0°＜α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．60°＜α＜90°解析：∵cos 45°＝22，cos 60°＝12，12＜0.6＜22， ∴cos 60°＜cos α＜cos 45°.∴45°＜α＜60°.答案：C。

第2课时 一般锐角的三角函数值教学目标1．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角． 2．了解锐角三角函数的增减性，并能比较大小． 教学重难点利用计算器探索锐角三角函数的增减性． 教学过程导入新课通过上面几节的学习我们知道，当锐角A 是30°，45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A 不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？推进新课一、合作探究1．利用刻度尺和量角器求函数值步骤1：用刻度尺和量角器，作出Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝36°.步骤2：用刻度尺量得∠A 的对边BC ＝__________ mm ，斜边AB ＝__________ mm .步骤3：算出比值BCAB＝__________，即sin 36°＝__________.说明：此种方法简便、易于操作，但误差较大．随着科学技术的发展，今天我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．2．利用计算器，已知角度求函数值 (1)求sin 18°的值过程：利用计算器的sin 键，并输入角度值18，得到结果sin 18°＝0.309 016 994. (2)求tan 30°36′的值，过程：利用tan 键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591 398 351. 利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同．因为30°36′＝30.6°，所以也可以利用tan 键，并输入角度值30.6，同样得到答案0.591 398 351.3．探究正、余弦函数的增减性(1)用计算器求sin 15°，sin 36°，sin 56°，sin 78°的值，并比较它们的大小． 学生由计算器求出后，可比较得出：sin 15°＜sin 36°＜sin 56°＜sin 78°. (2)用计算器求cos 15°，cos 36°，cos 56°，cos 78°的值，并比较它们的大小． 学生由计算器求出后，可比较得出：cos 15°＞cos 36°＞cos 56°＞cos 78°. (3)同样用计算器可比较tan 15°，tan 36°，tan 56°，tan 78°的大小． 学生可比较得出：tan 15°＜tan 36°＜tan 56°＜tan 78°. 从而可得出锐角的正弦值、正切值随着角度的增大而增大；锐角的余弦值随着角度的增大而减小．用图形可以说明这种关系，在图①中以A 为圆心、AB 1为半径画弧，分别交AB 1，AB 2，AB 3于点B 1，B 2，B 3，过B 1，B 2，B 3分别作AC 的垂线，垂足分别为C 1，C 2，C 3，因为B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3，所以sin∠B 1AC 1＞sin∠B 2AC 2＞sin∠B 3AC 3.结论：角在0°～90°之间变化时，锐角的正弦值随着角度的增大而增大．在图②中，因为AB 1＜AB 2＜AB 3，所以cos∠B 1AC ＞cos∠B 2AC ＞co s∠B 3AC ． 又因为B 1C ＜B 2C ＜B 3C ，所以tan∠B 1AC ＜tan∠B 2AC ＜tan∠B 3AC ．结论：角在0°～90°之间变化时，锐角的余弦值随着角度的增大而减小，锐角的正切值随着角度的增大而增大．4．已知函数值，求锐角的大小已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知sin A ＝0.501 8；用计算器求锐角A 可以按照下面方法操作：依次按键2ndf sin ，然后输入函数值0.501 8，得到∠A＝30.119 158 67°(如果锐角A 精确到1°，则结果为30°)．还可以利用2ndf ° ′ ″键进一步得到∠A＝30°7′8.97″(如果锐角A 精确到1′，则结果为30°7′，精确到1″的结果为30°7′9″)．使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的锐角．问题：怎样验算求出的∠A＝30°7′9″是否正确？让学生思考后回答，然后总结：可以再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.501 8，则我们原先的计算结果就是正确的．二、巩固提高【例题】 如下图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )．A ．sin A 的值越大，梯子越陡B ．cos A 的值越大，梯子越陡C ．tan A 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与∠A 的函数值无关点拨：根据角的变化得出函数值的大小变化，选项A 正确． 答案：A三、达标训练1．已知∠A 为锐角，且cos A≤12，那么( )．A ．0°＜A≤60°B ．60°≤A＜90°C ．0°＜A≤30°D ．30°≤A＜90°2．在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且sin A ＝12，cos B ＝32，则△ABC 的形状是( )．A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 3．用计算器计算：(1)cos 18°44′25″；(2)sin 42°31′； (3)cos 33°18′24″；(4)tan 55°10′. 4．根据所给条件求锐角α.(1)已知sin α＝0.477 1，求α； (2)已知cos α＝0.845 1，求α；(3)已知tan α＝1.410 6，求α.(精确到1″)本课小结1．利用计算器求锐角的三角函数值，已知锐角三角函数值用计算器求出相应的锐角． 2．掌握锐角三角函数值的增减性．对于sin A 与tan A ，角度越大函数值也越大；对于cos A ，角度越大函数值越小．并能用锐角三角函数值的增减性比较大小．1．各锐角三角函数之间的关系同角、互余角之间的三角函数有如下关系：(1)互余关系：sin A ＝cos(90°－A)，cos A ＝sin(90°－A)，t an A·tan(90°－A)＝1.(2)平方关系：sin 2A ＋cos 2A ＝1.(3)商的关系：tan A ＝sin Acos A.说明：这些关系是计算三角函数恒等变形的基本依据，对今后的学习有重要的指导意义．这些关系可以用定义来证明．下面的结论不成立：tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B)，tan A·tan B ＝tan(A·B)．2．求锐角三角函数值的一般方法 (1)用定义求锐角三角函数值【例1】 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果cos A ＝45，那么tan B 的值为__________．解析：由cos A ＝b c ，可得b c ＝45.故设b ＝4k ，c ＝5k.根据勾股定理，得a ＝(5k)2－(4k)2＝3k.根据三角函数的定义，得tan B ＝b a ＝4k 3k ＝43.答案：43(2)用计算器求锐角三角函数值【例2】 若∠α的余角为38°，则∠α＝__________°，sin α＝__________.(结果保留四位有效数字)解析：∵∠α＝90°－38°＝52°，用计算器计算：sin 5 2 ＝，可得sin α＝0.788 0.答案：52 0.788 0(3)利用等角求锐角三角函数值【例3】 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D 为垂足，若AC ＝4，BC ＝3，则sin∠ACD 的值为( )．A ．43B ．34C ．45D ．35 解析：由已知得∠ACD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B．根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5.在Rt△ABC 中，sin B ＝AC AB ＝45，∴sin∠ACD 的值为45.答案：C(4)求特殊角的三角函数值【例4】 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果∠B＝2∠A，则tan B 的值为__________． 解析：在Rt△ABC 中，∵∠A＋∠B＝90°，∠B＝2∠A， ∴∠A＋2∠A＝90°，得∠A＝30°. ∴∠B＝60°.∴tan B＝tan 60°＝ 3. 答案： 3(5)构造直角三角形求锐角三角函数值【例5】 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin B ＝35，点D 在BC 边上，且∠ADC＝45°，DC ＝6，求∠BAD 的正切值．分析：由于∠BAD 不在直角三角形中，应设法把∠BAD 转化到直角三角形中．结合已知条件，可以考虑作DE⊥AB，因为tan∠BAD＝DEAE，所以只要求出DE ，AE 的长即可．解：作DE ⊥AB 于点E ， ∵∠ADC=45°，∠C=90°， ∴AC=DC=6.又∵s in B=35AC AB =， ∴AB=10.根据勾股定理，得BC=22AB AC -=8，从而BD=2.在Rt △BDE 中，∵sin B=35DE BD =， ∴DE=BD ×sin B=1.2.∴22BD DE -，AE=AB-BE=8.4.∴tan ∠BAD=1.218.47DE AE ==. 奥赛链接若α为锐角，且cos α=0.6，则( )．A ．0°＜α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．60°＜α＜90°解析：∵cos 45°＝22，cos 60°＝12，12＜0.6＜22，∴cos 60°＜cos α＜cos 45°.∴45°＜α＜60°.答案：C。

第2课时互余两角的三角函数值1．理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；（重点）2．会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算．（难点）一、情境导入1．在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝36°，则∠B＝________;若∠B＝53°28′，则∠A＝________．2．sin30°＝cos60°＝________,sin60°＝cos30°＝________，sin45°＝cos45°＝________．完成上面两题我们不难发现，30°、45°、60°这三个角的正（余）弦的值，分别等于它们余角的余(正）弦的值．这个规律,是否适合任意一个锐角呢？二、合作探究探究点：互余的两个锐角三角函数间的关系【类型一】互余两角的正弦、余弦值的关系在△ABC中，∠C＝90°,若sin B＝错误!，则cos A的值为( ）A。

错误! B.错误! C．1 D.错误!解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立．故选A。

已知cosα＝35，α＋β＝90°，则cosβ＝( )A.错误! B。

错误! C.错误! D.错误!解析：∵cosα＝错误!，α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα＝错误!.设β是一个直角三角形中的锐角，且sinβ＝错误!＝错误!，设b＝3k，c ＝5k，则另一直角边的长度为a＝4k，∴cosβ＝错误!＝错误!＝错误!.故选C。

方法总结：利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中,画出图形,根据图形设出比例式，表示出各边．【类型二】互余两个锐角的正切值的关系在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tan A,tan B是方程3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________．解析：∵tan A，tan B为方程3x2－tx＋3＝0的两根,∠A，∠B是锐角．∴tan A·tan B＝33＝1，∴∠A＋∠B＝90°,∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.方法总结：利用tan A·tan （90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B 之间的关系，从而求出∠C的大小．三、板书设计互余两角的，三角函数关系错误!互为余角的正弦与余弦函数值之间的关系是锐角三角函数的重要关系之一．掌握这一关系,对学生全面系统了解锐角三角函数以及后继的学习与应用都是十分重要的．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

第2课时 正弦和余弦【学习目标】1．使学生理解锐角正弦、余弦的定义． 2．会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值． 【学习重点】理解锐角正弦、余弦的定义；会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值． 【学习难点】求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．情景导入 生成问题旧知回顾：1．什么叫锐角的正切？什么叫坡度？如何表示？答：在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，坡面的铅直高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的坡度，记作：i ，即i ＝hl.2．如图∠A ＝30°，B 1C 1⊥AC ，BC ⊥AC ，则B 1C 1AB 1、BCAB 值是什么？答：B 1C 1AB 1＝BC AB ＝12自学互研 生成能力知识模块一 正弦和余弦的定义 阅读教材P 115页的内容，回答以下问题：1．如图，(1)Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2有什么关系？ (2)BC AB 和B 1C 1AB 1有什么关系？ (3)如果改变B 1C 1所在的位置(如B 2C 2)，BC AB 和B 2C 2AB 2有什么关系？(4)由此你得出什么结论？答：(1)由Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2；(2)BC AB ＝B 1C 1AB 1；(3)BC AB ＝B 2C 2AB 2；(4)∠A 一定，其对边与斜边的比一定．2．什么叫∠A 的正弦，什么叫∠A 的余弦？答：在直角三角形中，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即：sin A ＝∠A 的对边斜边.类似地在直角三角形中，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即：cos A ＝∠A 的邻边斜边.锐角的正切、正弦、余弦都叫做锐角A 的三角函数．知识模块二 锐角的三角函数阅读教材P 115～116页的内容，回答以下问题： 1．什么叫锐角的三角函数？答：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做锐角A 的三角函数．范例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝1213，AC ＝10，AB 等于多少？sin B 呢？解：∵cos A ＝AC AB ＝10AB ＝1213，∴AB ＝656，sin B ＝1213.仿例：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A 和cos B 有什么关系？你能得到什么结论？ 解：∵sin A ＝BC AB ，cos B ＝BCAB，∴sin A ＝cos B.【归纳结论】在同一直角三角形中，一锐角的正弦值等于另一锐角的余弦值．范例2：已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)证明：在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ，在Rt △BCD 中，cos B ＝BDBC，根据上题中的结论，可知：在Rt △ABC 中，sin A ＝cos B ，∴BC AB ＝BDBC，即：BC 2＝AB·BD.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 正弦和余弦的定义 知识模块二 锐角的三角函数检测反馈 达成目标1．△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，cos A ＝34，则AC 的长是6．2．已知A 为锐角，tan A ＝12，则sin A ＝55，cos A ＝255．3．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为163．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。

新沪科版九年级数学上册 23.1锐角的三角函数（二）导学案导学目标：会使用计算器求锐角三角函数值，会使用计算器根据锐角三角函数值求对应的锐角。

一自主预习：1.在利用计算器求一个锐角的三角函数值时,应先使计算器设置在”“状态.标志是屏幕上显示 .2.sin-1,cos-1,tan-1键是表示由求锐角度数的功能键3.求sin400的值的按键顺序是什么？4.求值(精确到0.0001)⑴cos34035/⑵tan66015/17//二．合作探究：探究点1：求一个锐角的三角函数值。

我们知道sin300=,那么sin3002/是多少呢？说明：⑴用计算器求一个角的三角函数值时，首先要把计算器设置在“角度”状态下，也就是在计算器的显示屏上出现“DEG”的字样。

⑵在角度单位状态为度的情况下，先输入数据，再按sin,cos,tan键可以直接求出一个角的正弦，余弦，正切值了例1：用计算器求下列各三角函数的值（精确到0.001）⑴sin240⑵tan63027/ ⑶cos18059/27//例2.用计算器求：①sin100,sin200,sin300,……sin900的值.②cos100,cos200,cos300,……,cos900的值.③tan100,tan200,tan300,……,tan900的值.⑵根据所求结果总结：①随角度变化函数值的变化规律。

②同角的正余弦函数值间的关系⑵比较大小：①sin72032/ 620 ; ②cosa cosβ (a<β,a,β为锐角)⑶sin12012/ cos78030探究点二：已知三角函数值求锐角。

例.根据下列条件求∠A 的度数（用度，分，秒表示）⑴cosA=o.6753 ⑵tanA=87.54 ⑶sinA=0.4553说明：计算器中sin-1,cos-1,tan-1，这些键的功能是由正弦值，余弦值，正切值求锐角的度数。

在角度状态为“度“的情况下，求锐角时，先输入数据，再按2ndF键，再按sin-1,cos-1,tan-1键，即可得到相应的角度。