【沪科版】九年级数学上册：第23章-解直角三角形学案23.1.2 第2课时 互余两角的三角函数值

第23章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数2 30°，45°，60°角的三角函数值教学目标经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，熟练进行计算，使学生理解正、余弦关系式及推导过程，并能利用其解答一些基本问题.教学重难点重点：能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算. 难点：进一步体会三角函数的意义. 教学过程 旧知回顾【问题】如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， (1)sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝b a. (2)若∠A ＝30°，则a c ＝12.新课讲授【问题】问题1 如何得出30°，60°角的三角函数值？【活动】学生独立思考，回答. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°，设BC ＝1，则AB ＝2，由勾股定理得AC ＝ 3.于是可得sin 30°＝12，cos 30°＝32，tan 30°＝33，sin 60°＝32，cos 60°＝12，tan 60°＝3.【问题】问题2 如何得出45°角的三角函数值？ 【活动】学生独立思考，回答.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，设BC ＝1，则AC ＝1，AB ＝2，于是有sin 45°＝22，cos 45°＝22，tan 45°＝1.教学反思教学反思【互动】学生独立完成，代表回答，教师补充完善.例1 求下列各式的值：（1）2sin603tan30tan45︒+︒+︒；（2）2cos45tan60cos30︒+︒︒.解：（1）2sin603tan30tan45︒+︒+︒231=+1=.（2）2cos45tan60cos30︒+︒︒2=+1322=+2=.需要提醒学生注意：cos245°表示（cos 45°）2，sin245°表示（sin 45°）2，tan245°表示（tan 45°）2.例2 求下列各式的值：(1) cos260°＋cos245°＋2sin 30°sin 45°；(2)cos60sin45cos60sin45︒+︒︒-︒＋cos60cos45cos60cos45︒-︒︒+︒.学生独立完成，代表回答，教师补充完善，强化过程计算.解：(1)原式＝2212⎛⎫+⎪⎝⎭＋2×12×22＝14＋12＋12＝54；(2)原式＝12＋2212－22＋12－2212＋22＝（1＋2）2＋（1－2）212－（2）2教学反思＝1＋2＋22＋1－22＋21－2＝－6.【思考】从上面问题1、2的计算中，不难发现：sin 30° ＝cos 60°，sin 60° ＝cos 30°，sin 45° ＝ cos 45°.这就是说，30° ，45° ，60°角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值.这个规律，是否适合任意一个锐角呢? 解：任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.∵ sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ， ∴ sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B .∵ ∠A ＋∠B ＝90°，∴ ∠B ＝90°－∠A ，即 sin A ＝cos B ＝cos (90°－∠A )， cos A ＝sin B ＝sin (90°－∠A ).【归纳】 结论：任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值. 典型例题 例3 填空：(1)已知sin 67°28′＝0.923 7，则cos 22°32′＝0.923 7；(2)已知cos 4°14′＝0.997 3，则sin 85°46′＝0.997 3. 例4 已知sin A ＝12，且∠B ＝90°－∠A ，求cos B . 解：∵ ∠B ＝90°－∠A ，∴ ∠A ＋∠B ＝90°， ∴ cos B ＝cos (90°－∠A )＝sin A ＝12.变式：已知α，β为锐角，且sin (90°－α)＝13，sin β＝14，求cos(90)cos ββ︒-的值. 解：∵ sin (90°－α)＝cos α＝13，cos (90°－β)＝sin β＝14， ∴ cos(90)cos ββ︒-＝1413＝34.课堂练习教学反思1.(1)在△ABC 中，sin B ＝cos (90°－∠C )＝12，那么△ABC 是 三角形；(2)已知α为锐角，tan (90°－α)＝3，则α的度数为 . 2.计算：(1)12sin 60°×22cos 45°；(2)tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan 45°. 参考答案1.（1）等腰 （2）30°2. 解：(1)12sin 60°×22cos 45°＝12×32×22×22＝38；(2)tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan 45°＝222+- ×1 ＝13＋34－12＝712. 学生独立完成，教师归纳解题思路：这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算.课堂小结布置作业教材第119页练习 T1，T2，第122页习题23.1 T1板书设计1. 特殊角的三角函数值2.例1， 例23.例3， 例44.练习。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23章第2节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念和直角三角形的性质的基础上进行学习的。

本节的主要内容有：了解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的方法，直角三角形的应用。

本节课的内容在实际生活中的应用非常广泛，如测量身高、距离等。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数的概念和直角三角形的性质已经有了一定的了解。

但是，对于解直角三角形的意义和方法还需要进一步的引导和讲解。

另外，学生对于数学在实际生活中的应用还比较陌生，需要通过具体的实例来引导和激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.让学生了解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的方法。

2.能够运用解直角三角形的方法解决实际问题。

3.培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.解直角三角形的意义和方法。

2.直角三角形的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问引导学生思考和解题。

2.使用多媒体教学，通过动画和图片等形式直观地展示解直角三角形的过程。

3.通过实际例题，让学生体验数学在生活中的应用。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.直角三角形的模型或图片。

3.实际问题实例。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾锐角三角函数的概念和直角三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。

呈现（10分钟）教师通过多媒体展示直角三角形的模型或图片，引导学生了解解直角三角形的意义。

然后，通过动画形式展示解直角三角形的方法，让学生初步掌握解直角三角形的基本步骤。

操练（10分钟）教师给出一些实际的例题，让学生独立或合作完成解直角三角形的计算。

教师在这个过程中要注意引导学生运用解直角三角形的方法，并及时给予反馈和指导。

巩固（10分钟）教师可以通过一些练习题让学生进一步巩固解直角三角形的方法。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计2一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。

本节主要让学生掌握解直角三角形的知识和方法，能运用解直角三角形解决实际问题。

教材通过引入直角三角形的概念和性质，引导学生探究解直角三角形的方法，并通过例题和练习题使学生熟练掌握解直角三角形的技巧。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质和勾股定理，对基础的三角知识有一定的了解。

但是，对于解直角三角形的应用，他们可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

此外，由于九年级学生的学习压力较大，对于较难的知识点可能存在抵触情绪，因此，在教学过程中，需要注重激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

三. 教学目标1.理解直角三角形的概念和性质。

2.掌握解直角三角形的方法，能运用解直角三角形解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.直角三角形的概念和性质。

2.解直角三角形的方法。

3.运用解直角三角形解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.例题教学法：通过讲解典型例题，使学生掌握解直角三角形的方法和技巧。

3.练习法：通过布置不同难度的练习题，使学生巩固所学知识，提高解题能力。

4.小组合作学习：引导学生分组讨论和解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.准备直角三角板和测量工具。

3.设计不同难度的练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的直角三角形，如建筑物、家具等，引导学生观察和思考，引出直角三角形的概念和性质。

2.呈现（10分钟）讲解直角三角形的定义和性质，如直角三角形的三个内角和为180度，直角边与斜边的比例关系等。

通过讲解，使学生理解直角三角形的特点。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用直角三角板和测量工具，测量教室内的直角三角形的边长和角度，验证直角三角形的性质。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念、直角三角形的性质等知识的基础上进行讲解的。

本节内容主要让学生了解解直角三角形的各种方法，以及如何应用解直角三角形解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固解直角三角形的方法，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形、锐角三角函数等概念有一定的了解。

但是，解直角三角形的方法和应用可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的方法，能够运用解直角三角形解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：解直角三角形的方法和应用。

2.教学难点：如何引导学生运用解直角三角形解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对解直角三角形的兴趣，进而导入新课。

2.讲解新课：讲解解直角三角形的方法，结合例题进行讲解，让学生通过动手操作、思考问题，掌握解直角三角形的方法。

3.应用拓展：让学生运用解直角三角形的方法解决实际问题，培养学生的应用能力。

4.总结提升：对本节课的内容进行总结，使学生形成知识体系。

5.布置作业：布置一些有关解直角三角形的练习题，巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点内容。

教学设计5.课堂小结6.作业布置通过本节课的学习，我们有哪些收获？P125 1.(1)(3)P125 2.(2)(4)教师提问，补充收获教师布置作业学生回答学生课后完成通过小结，使学生梳理本节课所学内容。

巩固本节课的内容。

板书设计23.2解直角三角形及其应用第一课时解直角三角形定义：例1 例2教学反思本节课的重点是解直角三角形，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法,首先要明白解直角三角形的定义，直角三角形三边的关系，两锐角的关系，边角之间的关系。

这些是解直角三角形的依据，是正确、迅速的解决直角三角形的关键。

解直角三角形的方法灵活多样，但是正确选用这些关系，才是迅速解决直角三角形问题的关键，因此虽然部分学生通过自学以后完全可以解决，但例题具有示范作用，是教学中必不可少的一个环节。

因此，在讲解例1时，我设置某一步留空，让学生自己做。

使学生明白方法不止一种，而且让学生知道如何选择简便的方法。

这样既提高了学生的参与程度，也训练了学生解决分析问题的能力。

通过本节课的教学，我认为数学课堂应该给予学生充足的自主探索时间与空间。

应该让学生在积极愉快的环境中汲取知识、探索知识，而培养学生的解决问题的能力。

同时，应该合理有效的使用多媒体技术，激发学生的学习兴趣，丰富教学内容，从而扩大师生交流，提高课堂学习效率。

从教学效果来看，我认为整节课的教学基本上达到了预期的教学目标，是对新课标下的数学课堂的又一次积极的探索与尝试。

也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。

在今后的教学中，我将会更多地关注学生的发展与提升，努力改善和提高自己的教学水平，为教育事业作出应有的贡献,争取取得更好的成绩。

解直角三角形教学目标【知识与技能】在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习激情，增强学好数学的信心.重点难点【重点】直角三角形的解法.【难点】灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.教学过程一、复习回顾师:你还记得勾股定理的内容吗？生:记得.学生叙述勾股定理的内容.师:直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？生:两锐角互余.师:直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？生:30°的角所对的直角边等于斜边的一半.师:很好!二、共同探究，获取新知1.概念.师:由sinA=，你能得到哪些公式？生甲:a=c·sinA.生乙:c=.师:我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形.这些公式有一个共同的特点，就是式子的右端至少有一条边，为什么会是这样的呢？学生思考.生:因为左边的也是边，根据右边边与角的关系计算出来的应是长度.师:对!解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角，我们现在看看解直角三角形的概念.教师板书:在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形.2.练习教师多媒体课件出示:(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形;师:图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？生1:根据cos60°=，得到AB=，然后把AC边的长和60°角的余弦值代入，求出AB边的长，再用勾股定理求出BC边的长，∠B的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到.生2:先用直角三角形两锐角互余得到∠B为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB的值，再由sin60°=得到BC=AB·sin60°，从而得到BC边的长.师:你们回答得都对!还有没有其他的方法了？生3:可以求出AB后用AB的值和∠B的余弦求BC的长.生4:可以在求出AB后不用三角函数，用勾股定理求出BC.师:同学们说出这几种做法都是对的.下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形.学生思考，计算.师:这两个题目中已经给出了图形，现在我们再看几道题.教师多媒体课件出示:【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6'，c=287.4，解这个直角三角形.师:你怎样解答这道题呢？先做什么？生:先画出图形.师:很好!现在请同学们画出大致图形.学生画图.教师找一生说说解这个直角三角形的思路，然后让同学们自己做，最后集体订下.解: ∠A=90°-42°6'=47°54'.由cosB=，得a=ccosB=287.4×0.7420≈213.3.由sinB=得b=csinB=287.4×0.6704≈192.7.教师多媒体课件出示:【例2】在△ABC中，∠A=55°，b=20 cm，c=30 cm.求△ABC的面积S△ABC.(精确到0.1 cm2)师:这道题是已知了三角形的两条边和一个角，求三角形的面积.要先怎样？学生思考.生:先画出图形.师:对，题中没有已知图形时，一般都要自己画出图形.然后呢？你能给出解这道题的思路吗？生1:先计算AB边上的高，以AB为底，AB边上的高为三角形的高，根据三角形的面积公式，就能计算出这个三角形的面积了.生2:还可以先计算AC边上的高，然后用三角形的面积公式计算这个三角形的面积.师:很好!我们现在讨论以AB为底时求三角形面积的方法，怎样求AB边上的高呢？教师找一生回答，然后集体订正.解:如图，作AB上的高CD.在Rt△ACD中，CD=AC·sinA=bsinA，∴S△ABC=AB·CD=bcsinA.当∠A=55°，b=20 cm，c=30 cm时，有S△ABC=bcsinA=×20×30sin55°=×20×30×0.8192≈245.8(cm2).教师多媒体课件出示:【例3】如图，东西两炮台A.B相距2 000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)师:这是一个与解直角三角形有关的实际问题，你能将它转化为数学模型吗？学生思考后回答:会.师:这相当于已知了哪些条件，让你求什么量？生:已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，求它的斜边和另一直角边.师:你回答得很好!现在请同学们计算一下.学生计算，教师巡视指导，最后集体订正.解:在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°-∠D AC=50°，=tan∠CAB，∴BC=AB·tan∠CAB=2 000×tan50°≈2 384(米)又∵=cos50°，∴AC==≈3 111(米).答:敌舰与A.B两炮台的距离分别约为3 111米和2 384米.三、练习新知师:现在请同学们看课本第125页练习1的第(1)、(2)题.教师找两生各板演1题，其余同学在下面做，然后集体订正.解:(1)∠A=90°-80°=10°，AB=≈≈172.81，AC=≈≈170.16，(2)BC===≈7.42.cosA===0.375，∠A≈67.976°≈67°58'32″，∠B=90°-∠A=22°1'28″.教师找一生板演课本第125页练习的第3题，其余同学在下面做，然后集体订正.解:过点A向DC作垂线，与DC交于一点E.AE=ADsin43°=6×sin43°≈6×0.682=4.092.S=(AB+DC)×AE=(4+8)×4.092≈24.55.答:梯形的面积为24.55.四、巩固提高师:同学们，通过刚才的学习，相信大家都掌握了一定的解直角三角形及其应用题的方法，现在我出几道习题来检测下大家学得怎么样!教师多媒体课件出示习题:1.在△ABC中，∠C=90°，下列各式中不正确的是( )A.b=a·tanBB.a=b·cosAC.c=D.c=【答案】B2.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=35，b=28，则tanA= ，tanB= .【答案】3.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，b=5，则∠A= ，S△ABC= .【答案】30°4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a=104，b=20.49，求∠A和∠B.(可利用计算器进行运算，精确到1°)【答案】∠A=79°，∠B=11°5.如图，在Rt△ABC中，BC=7.85，AB=11.40，解这个直角三角形.(边长保留三个有效数字，角度精确到1°)【答案】AC=8.27，∠A=44°，∠B=46°五、课堂小结师:本节课，我们学习了什么内容？学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答.教学反思本节课在教学过程中，能灵活处理教材，敢于放手让学生通过自主学习、合作探究，达到理解并掌握知识的目的，并能运用知识解决问题.在本章开头，我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点，使学生在解决问题时能想到并能熟练运用.在解有特殊角的三角形时有不止一种解法，我鼓励学生勇于发言，给了他们展示自我的机会，锻炼他们表达自己想法的能力，并且增强了他们的自信心.。