高二第二学期数学-坐标平面上的直线

上海高二数学平面直角坐标系中的直线专题一、概述在高二数学学习中，平面直角坐标系中的直线是一个重要的基础知识点。

通过学习直线的相关内容，可以帮助学生深入理解数学中的几何关系，提高数学分析和解决问题的能力。

上海高二数学的教学大纲中，对平面直角坐标系中的直线进行了系统的布置和安排，包括直线的方程、性质、斜率、截距等内容。

本文将对上海高二数学中关于平面直角坐标系中的直线专题进行全面的介绍和总结。

二、直线的方程1. 直线的一般方程直线的一般方程可以写为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数且A和B不同时为0。

在平面直角坐标系中，直线的一般方程对应于一条直线，通过解一般方程可以得到直线的斜率和截距，进而分析直线的特性和性质。

2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以写为y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。

斜截式方程是直线方程的一种常见形式，通过斜截式方程可以方便地分析直线的斜率和截距，从而得出直线的特性和性质。

3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以写为y-y₁=k(x-x₁)，其中(k为斜率，(x₁，y₁)为直线上的一点。

点斜式方程是直线方程的一种便利形式，通过点斜式方程可以轻松求出直线的斜率和经过的点，进而分析直线的特性和性质。

三、直线的性质1. 相交直线两条不平行的直线在平面直角坐标系中相交于一点，通过分析相交直线的斜率和截距可以得出它们的相交关系和交点的坐标。

2. 平行直线平行直线具有相同的斜率但不同的截距，在平面直角坐标系中平行直线之间的距离可以通过截距的差值来表达。

通过研究平行直线的性质可以帮助学生更好地理解直线在坐标系中的位置关系。

3. 垂直直线垂直直线的斜率之间满足互为倒数的关系，两条直线的斜率之积为-1。

通过研究垂直直线的特性，可以帮助学生理解直线之间的垂直关系，从而在几何分析中有更深入的应用。

四、直线的应用1. 直线的方程与图像通过直线的方程可以得到直线在平面直角坐标系中的图像，通过分析直线的方程可以得出它在坐标系中的位置和特性，帮助学生更好地理解直线和几何关系。

沪教版(上海某校高二第二学期新高考辅导与训练第11章坐标平面上的直线 11.1（2）直线的点法向式方程一、填空题1. 写出直线的一个法向量________．二、解答题已知正方形的两个顶点，求边所在直线的点法向式方程．三、填空题过点，一个法向量是的直线的点法向式方程是________．已知两点，则线段的中垂线的点法向式方程是________．若直线经过两点，且它的一个法向量，则的值是________．直线的一个法向量是，则的值是________．若直线过点，且它的法向量与直线的法向量平行，则直线的点法向式方程是________．四、多选题直线经过点，且一个方向向量是，则直线的点法向式方程是()A. B.C. D.五、单选题若，且分别是直线的法向量，则的值分别可以是() A.1，2 B.2，1 C. D.参考答案与试题解析沪教版(上海某校高二第二学期新高考辅导与训练第11章坐标平面上的直线 11.1（2）直线的点法向式方程一、填空题1.【答案】此题暂无答案【考点】直线较向量熔程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、解答题【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程直线的验我式方程直线的较般式划程皮直校的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程直线的验我式方程直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】与直线表于抛制直线析称的直线方程中点较标公洗直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线的来程的阿念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程直线的水根式方务式直线的平行关系直线的较般式划程皮直校的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、多选题【答案】此题暂无答案【考点】直体的氯率直线的都特式方程直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答五、单选题【答案】此题暂无答案【考点】二次表数擦应用函根的萄送木其几何意义勾体定展【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.已知点A（﹣2，4），B（4，2），直线l：ax﹣y+8﹣a=0，若直线l与直线AB平行，则a= _________．【答案】【解析】两直线平行斜率相等且截距不相等，计算得，答案为.【考点】直线平行的位置关系2.若直线与直线互相垂直，那么的值等于 ( )A．1B．C．D．【答案】D【解析】若直线垂直，则斜率之积为-1，即,故为D.【考点】直线垂直与直线方程.3.（1）推导点到直线的距离公式；（2）已知直线：和：互相平行，求实数的值.【答案】（1）详见解析；（2）或【解析】（1）设点，直线，过点做直线的垂线，垂足为，求出点的坐标，在直线上在取不同于点的一点，用两点间距离可求得，根据直角三角形中勾股定理可求得，即点到直线的距离。

（2）根据两直线平行斜率相等即可求出。

试题解析：（1）（略） 6分（2）∥，，解得1或-3.经检验均符合题意，故1或-3. 12分【考点】1点到线的距离公式；2两直线平行时斜率的关系。

4.若直线与直线平行，则实数( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因两直线平行，所以，解得。

故D正确。

【考点】两直线平行。

5.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）（2）直线的方程为，切点坐标为【解析】（1）在点处的切线的斜率，切线的方程为；（2）设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：．又直线过点，，整理，得，，，的斜率，直线的方程为，切点坐标为【考点】直线与曲线相切问题及导数的几何意义点评：求曲线过某一点处的切线时，通常设出切点，利用切点坐标满足直线方程，曲线方程及曲线在切点处的导数值等于切线斜率找到关于切点的关系式即可求得切点6.已知直线的一个法向量为，且经过点，则直线的方程是．【答案】【解析】因为根据题意可知直线的一个法向量为,因此可知垂直于直线l 的直线斜率为，直线l的斜率为其负倒数，即为那么利用点斜式可知直线l的方程为=,变形可知为。

高二第二学期第一章线性回归方程同步练习题（文科）（1）一、选择题1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D ） A ．角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C ．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高2．某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y=50+80x ，则下列说法中正确的是（ C ）A ．劳动生产率为1000元时，月工资为130元B ．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为130元C ．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为80元D ．月工资为210元时，劳动生产率为2000元 3．设有一个回归方程为y=2-1.5x ，则变量x 每增加一个单位时，y 平均 （ C ） A ．增加1.5单位 B ．增加2单位 C ．减少1.5单位 D ．减少2单位4．实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( A )A.y ^＝x ＋1 B.y ^＝x ＋2 C.y ^＝2x ＋1 D.y ^＝x －15．由一组样本(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y ^＝a ＋bx ，下面有四种关于回归直线方程的论述：(1)直线y ^＝a ＋bx 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；(2)直线y ^＝a ＋bx 的斜率是∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2；(3)直线y ^＝a ＋bx 必过(x ，y )点； (4)直线y ^＝a ＋bx 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑ni ＝1 (y i －a －bx i )2是该坐标平面上所有的直线与这些点的偏差中最小的直线．其中正确的论述有( D )A ．0个 B ．1个C ．2个 D ．3个解析 线性回归直线不一定过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的任何一点；b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x 2就是线性回归直线的斜率，也就是回归系数；线性回归直线过点(x ，y )；线性回归直线是平面上所有直线中偏差∑ni ＝1(y i －a －bx i )2取得最小的那一条．故有三种论述是正确的，选D. 6．某化工厂为预测产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取8对观测值，计算，得∑8i ＝1x i ＝52，∑8i ＝1y i ＝228，∑8i ＝1x 2i ＝478，∑8i ＝1x i y i ＝1849，则其线性回归方程为( A ) A.y ^＝11.47＋2.62x B.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62x解析 利用回归系数公式计算可得a ＝11.47，b ＝2.62，故y ^＝11.47＋2.62x . 7. 下列变量之间的关系是函数关系的是（ A ）A ．已知二次函数c bx ax y ++=2，其中a ，b 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式ac b Δ42-=B ．光照时间和果树的亩产量C ．降雪量和交通事故发生率D ．每亩用肥料量和粮食亩产量 8. 列有关线性回归的说法，不正确是（ D ）A.变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C.线性回归直线方程最能代表观测值x ，y 之间的关系D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程 9.已知x 与y 之间的一组数据：则y 对x 的线性回归方程y ＝bx ＋A. (2,2) B. (1.5,3.5) C. (1,2) D. (1.5,4)10. 设回归直线方程为y ＝2－1.5x ，若变量x 增加1个单位，则( C )． A. y 平均增加1.5个单位 B. y 平均增加2个单位 C. y 平均减少1.5个单位 D. y 平均减少2个单位二、填空题11.下列关系中，是相关关系的为 （填序号）.①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. 答案 ①②12.下列有关线性回归的说法，正确的是 （填序号）.①相关关系的两个变量不一定是因果关系②散点图能直观地反映数据的相关程度 ③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系④任一组数据都有回归直线方程 答案 ①②③13.下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线yˆ=b ˆx +a ˆ及回归系数b ˆ,可以估计和预测变量的取值和变化趋势. 其中正确命题的序号是 .答案 ①②③14．下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其截面直径与高度之间的关系；⑤学生的身高与其学号之间的关系，其中有相关关系的是___①③④_____(填序号)．15.已知回归方程为yˆ=0.50x-0.81,则x=25时，y ˆ的估计值为 .答案 11.69 16．下表是某厂1～4由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于______．解析 x ＝2.5，y ＝3.5，∵回归直线方程过定点(x ，y )，∴3.5＝－0.7×2.5＋a .∴a ＝5.25. 17．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．答案 46解析 由所提供数据可计算得出x ＝10，y ＝38，又b ≈－2代入公式a ＝y －b x 可得a ＝58，即线性回归方程y ^＝－2x ＋58，将x ＝6代入可得．18．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y （kg ）依身高x （cm ）的回归方程为y=0.72x-58.5。

高二数学直线方程试题答案及解析1.已知直线l经过点P(-2,1)（1）若直线l的方向向量为(-2,-1)，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或x+y+1=0【解析】（1）已知直线的方向向量利用方向向量设方程时可设为：,然后根据直线过点P(-2,1)来得直线方程.（2）可先设直线的斜率，然后表示直线方程；根据直线方程来表示直线在两坐标轴上的截距，根据截距相等列出方程即可.试题解析：（1）直线斜率为得（2）或x+y+1=0.【考点】函数及其性质的应用.2.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径. 故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．3.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径.故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．4.直线与两坐标轴围成的三角形面积等于__________.【答案】【解析】令，则，令，则，所以【考点】求直线的横纵截距5.光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点,求所在直线的方程及点的坐标．【答案】直线方程为：；.【解析】试题分析:先求出点关于轴的对称点,然后根据直线两点式方程求出的直线方程为.试题解析：点关于轴的对称点.因为点在直线上，，所以的直线方程为：.化简后得到的直线方程为：.【考点】直线方程.6.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 .【答案】或.【解析】直线的截距式中要求截距不为0，而直线的截距相等进可以全为0，因此本题应该分类讨论，截距不为0时，设直线方程为，把点（1，2）坐标代入，解得；截距为0时，设直线方程为，把点（1，2）坐标代入，解得，∴满足题意的直线有两条：或.【考点】直线的截距及截距式方程.7.已知直线不通过第四象限，则的取值范围是 ________.【答案】【解析】∵直线不过第四象限,所以①，解之得；②，综上所述a的取值范围是.【考点】直线的一般式方程.8.已知直线过点（0，7），且与直线平行，则直线的方程为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】根据两直线平行斜率相等，设过P与直线l平行的直线方程是 y=-4x+m把点P（0，7）代入可解得 m，从而得到所求的直线方程解：设过P与直线l平行的直线方程是y=-4x+m，把点P（0，7）代入可解得 m=7，故所求的直线方程是y=-4x+7．故选C【考点】直线方程点评：本题考查根据两直线平行和垂直的性质，利用待定系数法求直线方程的方法9.已知直线方程为,且在轴上的截距为,在轴上的截距为，则等于（）A．3B．7C．10D．5【答案】A【解析】因为直线方程为，所以令，得令，得所以【考点】本小题主要考查直线在两坐标轴上的截距的求法，考查学生的运算能力.点评：注意直线在坐标轴上的截距与距离不同，截距可正可负也可以为零.10.一束光线通过点射到轴上，再反射到圆上，求反射点在轴上的横坐标的活动范围（）A．（0，1 ）B．（1-2，0）C．（1-2，1）D．（1，2-1）【答案】C【解析】因为根据求出点关于x轴的对称点M′，利用反射光线过M′与圆心，即可求得直线方程；A的取值范围是反射后射到圆，临界状态时的取值范围．利用圆心到直线的距离等于半径，从而可求得临界状态时反射光线的方程，进而可求A的活动范围（1-2，1），选C11. .过点(2,1)且与直线平行的直线方程是_______.【答案】【解析】设所求直线3x+4y+m=0，因为此直线过点(2,1)，所以,所以所求直线方程为.12.在等腰中,,顶点为直线与轴交点且平分,若，求（1）直线的方程；（2）计算的面积.【答案】（1）；（2）【解析】第一问中利用等腰中,,，顶点为直线与轴交点且平分,可知两点关于直线对称，利用方程组很容易得到。

【导语】我们学会忍受和承担。

但我们⼼中永远有⼀个不灭的⼼愿。

是雄鹰，要翱翔⽻天际！是骏马，要驰骋于疆域！要堂堂正正屹⽴于天地！努⼒！坚持！拼搏！成功！⼀起来看看⾼⼀频道为⼤家准备的《⾼⼀年级数学下册必修⼆知识点：直线的⽅程》吧，希望对你的学习有所帮助！ 定义： 从平⾯解析⼏何的⾓度来看，平⾯上的直线就是由平⾯直⾓坐标系中的⼀个⼆元⼀次⽅程所表⽰的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个⼆元⼀次⽅程联⽴求解，当这个联⽴⽅程组⽆解时，两直线平⾏；有⽆穷多解时，两直线重合；只有⼀解时，两直线相交于⼀点。

常⽤直线向上⽅向与X轴正向的夹⾓（叫直线的倾斜⾓）或该⾓的正切（称直线的斜率）来表⽰平⾯上直线(对于X轴)的倾斜程度。

可以通过斜率来判断两条直线是否互相平⾏或互相垂直，也可计算它们的交⾓。

直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。

直线在平⾯上的位置，由它的斜率和⼀个截距完全确定。

在空间，两个平⾯相交时，交线为⼀条直线。

因此，在空间直⾓坐标系中，⽤两个表⽰平⾯的三元⼀次⽅程联⽴，作为它们相交所得直线的⽅程。

表达式： 斜截式:y=kx+b 两点式:(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2) 点斜式:y-y1=k(x-x1) 截距式:(x/a)+(y/b)=0 补充⼀下：最基本的标准⽅程不要忘了,AX+BY+C=0, 因为,上⾯的四种直线⽅程不包含斜率K不存在的情况,如x=3,这条直线就不能⽤上⾯的四种形式表⽰,解题过程中尤其要注意,K不存在的情况。

练习题： 1.已知直线的⽅程是y+2=-x-1，则() A.直线经过点(2，-1)，斜率为-1 B.直线经过点(-2，-1)，斜率为1 C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1 D.直线经过点(1，-2)，斜率为-1 【解析】选C.因为直线⽅程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)]，所以直线过点(-1，-2)，斜率为-1. 2.直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有()A.k=-，b=3B.k=-，b=-2C.k=-，b=-3D.k=-，b=-3 【解析】选C.直线⽅程3x+2y+6=0化为斜截式得y=-x-3，故k=-，b=-3. 3.已知直线l的⽅程为y+1=2(x+)，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为() A.B.2C.log26D.0 【解析】选B.由题意得a=2，令x=0，得b=4，所以logab=log24=2. 4.直线l：y-1=k(x+2)的倾斜⾓为135°，则直线l在y轴上的截距是()A.1B.-1C.2D.-2 【解析】选B.因为倾斜⾓为135°，所以k=-1， 所以直线l：y-1=-(x+2)， 令x=0得y=-1. 5.经过点(-1，1)，斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线是()A.x=-1B.y=1C.y-1=(x+1)D.y-1=2(x+1) 【解析】选C.由已知得所求直线的斜率k=2×=. 则所求直线⽅程为y-1=(x+1).。