天津市和平区高三数学上学期期末质量调查试题文(扫描版)

天津市和平区高三上学期期末质量调查数学（文）期末质量调查试卷第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|60A x x x =--<，{}|31B x x =-≤≤，则A B 等于（ ）A ．[2,1)-B ．(2,1]-C ．[3,3)-D ．(3,3]- 2.一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是（ ）A ．13 B ．25 C ．815 D ．353.如图的三视图所对应的的立体图形可以是（ ）4.若双曲线2213x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5.“1x <”是“ln(1)0x +<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且32()()23f x g x x x -=++，则(2)(2)f g +等于（ ）A ．9-B ．7-C ．7D ．97.如图，在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BMNCBC DC λ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]1,4C ．[]2,5D ．[]1,78.设函数()4cos()sin 2cos(2)6f x x x x ππ=--+，则函数()f x 的最大值和最小值分别为（） A ．13和11- B ．8和6- C ．1和3- D ．3和1-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若复数12z i =-，则复数1z 的虚部为 ．10.已知函数1()ln xf x x x -=+，'()f x 为()f x 的导函数，则'(2)f 的值为 ．11.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出T 的值为 ．12.直线3y kx =+(0)k ≠与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，若||AB =，则k的值为 ．13. 设0a b >>，则21()a b a b +-的最小值是 ． 14.已知函数22,0,()2,0,x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程1()2f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分）在ABC ∆中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-． （1）求b 的值；（2）求ABC ∆的面积．16. （本小题满分13分）某单位生产A 、B 两种产品，需要资金和场地，生产每吨A 种产品和生产每吨B 种产品所需资金和场地的数据如下表所示：现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A 种产品可获利润3万元；生产每吨B 种产品可获利润2万元，分别用x ，y 表示计划生产A 、B 两种产品的吨数．（1）用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问A 、B 两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润．17. （本小题满分13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为BC 的中点，3AB =，14AC AA ==，5BC =．（1）求证：1AB A C ⊥；（2）求证：1//A B 平面1ADC ；（3）求直三棱柱111ABC A B C -的体积．18. （本小题满分13分）设数列{}n a 满足条件11a =，1132n n n a a -+=+⋅． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n nb n a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19. （本小题满分14分）已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）经过点(2,3)A ，离心率12e =．（1）求椭圆E 的方程；（2）若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当ABC ∆的面积最大时，求C 点的坐标．20. （本小题满分14分） 已知函数3221()233f x x ax a x =-+-（a R ∈且0a ≠）． （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(2,(2))f --处的切线方程；（2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间和极值；（3）当[]2,22x a a ∈+时，不等式|'()|3f x a ≤恒成立，求a 的取值范围．和平区第一学期高三年级数学（文）期末质量调查试卷答案一、选择题1-5CDACB 6-8DCD二、填空题 9.25 10.14 11.120 12.34- 13.4 14.9(0,)16三、解答题15.解：（1）由已知条件2a =，7c b =-，1cos 4B =-， 运用余弦定理，222cos 2a c b B ac+-=，（2）∵(0,)B π∈，∴sin B===而2a=，73c b=-=，由ABC∆的面积公式1sin2ABCS ac B∆=，得123244ABCS∆=⨯⨯⨯=．16.解：（1）由已知，x，y满足的数学关系式为：2312,10050400,0,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即2312,28,0,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图的阴影部分：（2）设利润为z万元，则目标函数为32z x y=+．将其变形为322zy x=-+，这是斜率为32-，随z变化的一族平行直线，2z为直线在y轴上的截距，当2z取最大值时，z的值最大．因为x，y满足约束条件，所以当直线32z x y=+经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大，解方程组2312,28,x yx y+=⎧⎨+=⎩得点M的坐标(3,2)，∴max332213z=⨯+⨯=．答：生产A种产品3吨、B种产品2吨时，利润最大为13万元．17.（1）证明：在ABC∆中，3AB=，4AC=，5BC=，∴222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥．∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ⊥平面ABC ，∵AB ⊂平面ABC ，∴1AB AA ⊥，∵1AC AA A =，∴AB ⊥平面1AA C ，∵1AC ⊂平面1AA C ， ∴1AB A C ⊥．（2）证明：设1A C 与1AC 交于E 点，连接ED ．∵在1A BC ∆中，D 为BC 的中点，E 为1A C 的中点，∴1//A B ED ，∵ED ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，∴1//A B 平面1ADC ．（3）解：∵ABC ∆的面积13462S =⨯⨯=， 直三棱柱111ABC A B C -的高4h =，∴直三棱柱111ABC A B C -的体积6424V Sh ==⨯=．18.解：∵11a =，1132n n n a a -+-=⋅，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-...0121323232n -=+⨯+⨯++⨯ (1322)n -=⨯-（2n ≥）．∵当1n =时，113221-⨯-=，式子也成立，∴数列{}n a 的通项公式1322n n a -=⨯-． （2）∵1322n n n b na n n -==⋅-，即013122b =⨯⨯-，123224b =⨯⨯-，233326b =⨯⨯-，…∴123n n S b b b b =++++…01213(1222322)(2462)n n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-++++……．设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅…，① 则2212 1222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅…，② ①②，得0121(2222)2(21)2n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅…，∴(1)21n n T n =-⋅+， ∴3(1)232(123)nn S n n =-⋅+-++++…3(1)2(1)3n n n n =-⋅-++． 19.解：（1）由椭圆E 经过点(2,3)A ，离心率12e =， 可得22222491,1,4a b a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 解得2216,12,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆E 的方程为2211612x y +=． （2）由（1）可知1(2,0)F -，2(2,0)F ，则直线1AF 的方程为3(2)4y x =+，即3460x y -+=， 直线2AF 的方程为2x =，由点A 在椭圆E 上的位置易知直线l 的斜率为正数．设(,)P x y 为直线l 上任意一点，|2|x =-，解得210x y --=或280x y +-=（斜率为负数，舍去）．∴直线l 的方程为210x y --=．设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=， 由221,161220x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，整理得2219164(12)0x mx m ++-=，由22(16)4194(12)0m m ∆=-⨯⨯-=，解得276m =，因为m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m >，故m =∴C点的坐标为(． 20.解：（1）∵当1a =-时，321()233f x x x x =---，2'()43f x x x =---， ∴82(2)8633f -=-+=，'(2)4831f -=-+-=． ∴[]2(2)3y x =--+，即所求切线方程为3380x y -+=． （2）∵22'()43()(3)f x x ax a x a x a =-+-=---．当0a >时，由'()0f x >，得3a x a <<；由'()0f x <，得x a <或3x a >． ∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3)a a ，单调递减区间为(,)a -∞和(3,)a +∞， ∵(3)0f a =，34()3f a a =-， ∴当0a >时，函数()y f x =的极大值为0，极小值为343a -． （3）2222'()43(2)f x x ax a x a a =-+-=--+，∵'()f x 在区间[]2,22a a +上单调递减， ∴当2x a =时，2max '()f x a =，当22x a =+时，2min '()4f x a =-．∵不等式|'()|3f x a ≤恒成立， ∴220,3,43,a a a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩解得13a ≤≤，1,3．故a的取值范围是[]。

高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（）A. B. C. D.2. “”是“关于的方程有实数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 9B. 7C. -3D. -74. 已知直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.5. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A. 56B. 72C. 84D. 906. 将函数的图象向右平移个单位，得到图象对应的解析式为（）A. B.C. D.7. 如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为（）A. B. C. D.8. 已知函数若始终存在实数，使得函数的零点不唯一，则的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知是虚数单位，则复数__________．10. 某校高中共有720人，其中理科生480人，文科生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生参加调研，则抽取理科生的人数__________．11. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．12. 已知函数，若，则的值为13. 已知，则的最小值为__________．14. 已知数列的通项，若数列的前项和为，则__________．（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 在中，角所对的边分别是，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，，求的面积.16. 某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于90为一等品，不小于80小于90为二等品，小于80为三等品，每件一等品盈利50元，每件二等品盈利30元，每件三等品亏损10元.现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下：根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率.（Ⅰ）求出甲生产三等品的概率；（Ⅱ）求出乙生产一件产品，盈利不小于30元的概率；（Ⅲ）若甲、乙一天生产产品分别为30件和40件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？17. 如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，，为的中点，为线段上一点，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：平面平面.18. 已知是等差数列，是等比数列，其中，，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和.19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值.20. 已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：在上恒成立；（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.数学（文）试题（解析版）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】求解二次不等式可得：，结合交集的定义可得：.本题选择C选项.2. “”是“关于的方程有实数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】关于的方程有实数根，则，据此可知：“”是“关于的方程有实数根”的充分不必要条件.本题选择A选项.3. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 9B. 7C. -3D. -7【答案】B本题选择B选项.4. 已知直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】结合双曲线的方程可得双曲线的渐近线为：，则双曲线的一条渐近线为：，据此有：.本题选择D选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．5. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A. 56B. 72C. 84D. 90【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图的功能为计算：.本题选择B选项.6. 将函数的图象向右平移个单位，得到图象对应的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】结合函数平移的结论可得：将函数的图象向右平移个单位，得到图象对应的解析式为.本题选择D选项.7. 如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，据此可得：，由平面向量数量积的坐标运算法则有：.本题选择A选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．8. 已知函数若始终存在实数，使得函数的零点不唯一，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，则时，的零点不唯一，选项A错误；当时，，则时，的零点不唯一，选项B错误；当时，，函数在上单调递增，则不存在实数，使得函数的零点不唯一，选项D错误.本题选择C选项.点睛：分段函数中求参数范围问题：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知是虚数单位，则复数__________．【答案】【解析】结合复数的运算法则有：.10. 某校高中共有720人，其中理科生480人，文科生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生参加调研，则抽取理科生的人数__________．【答案】60【解析】由题意结合分层抽样的概念可得：... ... ... ... ... ... ... ...11. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，其体积为：，下半部分是半个球，球的半径，其体积为据此可得，该几何体的体积为.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．12. 已知函数，若，则的值为【答案】-1【解析】函数有意义，则必须满足：，此时，则：，据此整理函数的解析式：，据此可得，结合可得：.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．13. 已知，则的最小值为__________．【答案】4【解析】由题意可得：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值为4.14. 已知数列的通项，若数列的前项和为，则__________．（用数字作答）【答案】480【解析】结合数列的通项公式分组求和有：,则.三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 在中，角所对的边分别是，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，，求的面积.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合正弦定理角化边可得.则.据此利用余弦定理可得.(Ⅱ)由题意可得.利用同角三角函数基本关系可得.则∴.据此结合三角形面积公式有的面积.试题解析：（Ⅰ）由及正弦定理，得.∵，∴.由余弦定理，得.（Ⅱ）由已知，，得.∵在中，为锐角，且，∴.∴.由，及公式，∴的面积.16. 某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于90为一等品，不小于80小于90为二等品，小于80为三等品，每件一等品盈利50元，每件二等品盈利30元，每件三等品亏损10元.现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下：根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率.（Ⅰ）求出甲生产三等品的概率；（Ⅱ）求出乙生产一件产品，盈利不小于30元的概率；（Ⅲ）若甲、乙一天生产产品分别为30件和40件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)2000元.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可得：甲生产三等品的测试指标小于80，据此结合古典概型计算公式可得. (Ⅱ)由题意可得：乙生产一件产品的测试指标不小于80，据此结合古典概型计算公式可得.(Ⅲ)由题意结合古典概型计算公式可得甲生产三等品，二等品一等品的件数为6，21,3，乙生产三等品，二等品一等品的件数为4,24,12，据此估计可得甲、乙两人一天共为企业创收2000元.试题解析：（Ⅰ）依题意，甲生产三等品，即为测试指标小于80，所求概率为：.（Ⅱ）依题意，乙生产一件产品，盈利不小于30元，即为测试指标不小于80，所求概率为：.（Ⅲ）甲一天生产30件产品，其中：三等品的件数为，二等品的件数为，一等品的件数为；乙一天生产40件产品，其中：三等品的件数为，二等品的件数为，一等品的件数为.则.∴估计甲、乙两人一天共为企业创收2000元.17. 如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，，为的中点，为线段上一点，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：平面平面.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】试题分析：(1)连接交于点，则为的中点，连接.由三角形中位线的性质可得.结合线面平行的判定定理可得平面.(2)连接.由几何关系可证得四边形是平行四边形.则，结合直角三角形的性质和题意可得，则.(3)由题意可知为等边三角形，则.同理可得.利用线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理可得平面平面.试题解析：（Ⅰ）连接交于点，则为的中点，连接.∵在中，为的中点，为的中点.∴.∵平面，平面，∴平面.（Ⅱ）连接.∵四边形是矩形，，∴，且.∵，，，∴.∵，，∴.∴四边形是平行四边形.∴，.∵在中，，，，∴.∵在中，，，，∴是直角三角形.∴.∴.（Ⅲ）∵在中，，∴为等边三角形.∵为的中点，∴.同理，由为等边三角形，可得.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.18. 已知是等差数列，是等比数列，其中，，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)，.(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，据此计算可得的通项公式，的通项公式.(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中求得的通项公式可得.错位相减结合等差数列前n项和公式可得.试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，由，得，，由，，得，，∴.∴的通项公式，的通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，故.则.令，①则，②由②-①，得.∴.点睛：一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合点到直线距离公式可得.结合离心率计算公式有.则椭圆的方程为.(Ⅱ)对直线的斜率分类讨论：当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，设，，，，联立直线方程与椭圆方程有，由弦长公式可得.联立直线与椭圆方程，结合弦长公式有.计算可得.据此可得：为定值.试题解析：（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，则有.由，得.∴椭圆的方程为.（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，则.（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，依题意，则直线的方程为，直线的方程为.设，，，，由得，则，，.由整理得，则..∴.综合（1）（2），为定值.20. 已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：在上恒成立；（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)2.【解析】试题分析：(Ⅰ)函数有相同的切线，则，，据此计算可得；(Ⅱ)构造函数，令，原问题等价于在上恒成立，讨论函数的单调性可得，即在上恒成立.(Ⅲ)构造函数，其中，结合导函数讨论函数的单调性有.构造函数，则在内单调递减，，据此讨论可得在区间内有两个零点，即方程在区间内实根的个数为2.试题解析：（Ⅰ）∵，，，∴.∵，，∴，.∵，即，∴.（Ⅱ）证明：设，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴，即在上恒成立. （Ⅲ）设，其中，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴.，设，其中，则，∴在内单调递减，，∴，故，而.结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，∴方程在区间内实根的个数为2.。

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 （选择题共45分）注意事项：1．答题Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．·柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．·如果事件A B 、互斥，则()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =．·任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()()()P AB P A P B A =．一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合{}{}{}23,1,360U x x A B x x x =∈≤==+-=N ，则()U A B = ð（）（A ）{}2,0,2,3-（B ）{}3,2-（C ）{}3,2,4-（D ）{}3,0,2-（2）“x y >”是“11x y<”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）函数()f x 的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（）（第3题）（A ）()2334x x f x x -++=（B ）()334x x f x x-++=（C ）()2334x x f x x -+-=（D ）()334x x f x x-+-=（4）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70,85,86,88,90,90,92,94,95,100．针对这一组数据，以下说法正确的个数有（ ）①这组数据的中位数为90；②这组数据的平均数为89；③这组数据的众数为90；④这组数据的第75百分位数为93；⑤这组数据的每个数都减5后，这组数据的平均数与方差均无变化．（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个（5）已知数列{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，1322n n a S =+，则4S 的值为（ ）（A ）9（B ）21（C ）45（D ）93（6）已知函数()sin (0)f x x ωω=>，函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2，将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）（A ）()πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）()1πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（C ）()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）()cos2f x x=（7）如图，已知四棱锥A BCDE -的体积为,V CE 是BCD ∠的平分线，34CD CE BC ==，若棱AC 上的点P 满足13AP AC =，则三棱锥A DEP -的体积为（ ）（第7题）（A ）27V（B ）17V（C ）316V （D ）421V （8）已知实数,,a b c ，满足31log 35bca ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则下列关系不可能成立的是（ ）（A ）b c a<<（B ）b a c<<（C ）c b a<<（D ）c a b<<（9）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为点F ，过点F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为点A （点A 在第一象限），直线FA 与双曲线C 交于点B ，若点B 为线段AF 的中点，且2FA =，则双曲线C 的方程为（ ）（A ）22144x y -=（B ）22124x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=第Ⅱ卷 （非选择题共105分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．2．本卷共11题，共105分．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）（10）i 为虚数单位，复数z 满足()34i 12i z +=-，则z 的虚部为______．（11）在8的二项展开式中，2x 的系数为______．（12）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是______；（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是______．（13）直线:l y x =与圆()()()222:240C x y rr -+-=>相交于,A B 两点，若点D 为圆C 上一点，且ABD △为等边三角形，则r 的值为______．（14）如图，在ABC △中，3BO OC =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ，记,AB a AC b == ，用,a b表示AO = ______；设,AB mAM AC nAN == ，若0,0m n >>，则21m n+的最小值为______．（第14题）（15）若方程222210x ax a x -+++-=在区间(]0,3内有两个不等的实根，则实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（16）（本小题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为3,,,sin2sin ,7a b c C C a c ==．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若7c =，（ⅰ）求b 的值；（ⅱ）求()cos A B -的值．（17）（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面,,ABCD AD DC AB DC ⊥∥，4,26AD DC AB ===，四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36．（第17题）（Ⅰ）证明：1AB ∥平面11CDD C ；（Ⅱ）求平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角的余弦值；（Ⅲ）求点1D 到平面1ACB 的距离．（18）（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为点12,F F ，左，右顶点分别为点12,A A ，离心率为23．已知点2A 是抛物线()22:20C y px p =>的焦点，点1F 到抛物线2C 的准线的距离为1．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程和抛物线2C 的方程；（Ⅱ）直线1A M 交椭圆1C 于点M （点M 在第二象限），交y 轴于点2,N A MN △的面积是11A MF △面积的125倍，求直线1A M 的斜率．（19）（本小题满分15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式以及()2*2nii S n i=∈∑N ；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足11b =，且120n n b b +-=，（ⅰ）求()*112nk k k k k k k a a b b n a a =+⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦∑N ；（ⅱ）若()()1*113521246211,,n n n m m m m nc c n P c c c c Q c c c c b -+-=-∈=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+N ，*N ,m m G ∈是m P 与m Q 的等比中项且0m G >，则对任意*,,s t s t G G h ∈-≤N ，求h 的最小值．（20）（本小题满分16分）已知函数())()()0,g e ax f x x x a =>=∈R ，（Ⅰ）若1a =-，讨论()()()F x f x g x =⋅在()0,+∞的单调性；（Ⅱ）若0a >，函数()()()4ln G x f x g x ⎡⎤=⋅⎣⎦，不等式()1sin 66x a x G x >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当*N ,2n n ∈≥时，求证：221671sin 6nk n n k k n =-+>∑．和平区2023－2024学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（9×5分＝45分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）DBDBCABBA二、填空题（6×5分＝30分）（10）25-．（11）74．（12）131:254．（13）．（14）1344a b + ．（15）1915⎛⎤+ ⎥⎝⎦．三、解答题（共75分）（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为sin22sin cos C C C =，已知sin2sin C C =，所以1cos 2C =且()0,πC ∈，所以π3C =，由正弦定理有sin sin a c A C =，所以3sin sin 7A C ==（Ⅱ）（ⅰ）因为7c =，所以3a =，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得23400b b --=，解得8b =或5b =-（舍），所以b 的值为8．（ⅱ）因为(),0,πa c A <∈，又因为sin A =13cos 014A ==>，法（一）()cos cos cos sin sin A B A B A B -=+，因为7,3,8c a b ===，所以2221cos 27a cb B ac +-==-，所以sin B =，()13123cos 14798A B ⎛⎫-=⨯-+=⎪⎝⎭．法（二）因为ππ,3A B C C ++==，所以2π3B A =-，则()2222cos cos πcos 2πcos2cos πsin2sin π3333A B A A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦271sin22sin cos 2cos 198A A A A A ===-=，所以()7111177123cos 98219698A B -⎛⎫-=⨯-==⎪⎝⎭．（17）（本小题满分15分）解：因为侧棱1AA ⊥底面,ABCD AD DC ⊥，所以以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，又因为棱柱体积为36，易知底面ABCD 为直角梯形，其面积为364182S +=⨯=，柱体体积36V Sh ==，有12DD =．所以()()()()()()()()11114,0,0,4,3,0,0,6,0,0,0,0,4,0,2,4,3,2,0,6,2,0,0,2A B C D A B C D ．（第17题）（Ⅰ）证明：因为()10,3,2AB = ，平面11CDD C 的法向量为()11,0,0n =，110AB n ⋅= ，所以11AB n ⊥，又因为1AB ⊂平面11CDD C ，所以1AB ∥平面11CDD C ．（Ⅱ）解：因为()()10,3,2,4,6,0AB AC ==- ，设平面1ACB 的法向量为()2,,n x y z =，则212320,460.n AB y z n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令3x =，则()23,2,3n =- ，由（Ⅰ）得()11,0,0n =，设平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角为θ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅====⋅则平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角θ（Ⅲ）解：因为()114,3,0D B =，所以，点1D 到平面1ACB的距离为1122D B n n ⋅==（18）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设点1F 的坐标为(),0c -．依题意，2,3,2 1.c a p a a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得3,2,6.a c p =⎧⎪=⎨⎪=⎩，于是2225b a c =-=．所以，椭圆1C 的方程为22195x y +=，抛物线2C 的方程为212y x =．（Ⅱ）设点M 坐标为()11,x y ，点N 坐标为()20,y ，且由题意1120,00,y x y <>>，（法一）由211125A MN A MF S S =△△，可得1211425A A N A MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，即2175y y =，则1127x A O =，由1127x A O=，即1237x =，可得167x =，因为点M 在第二象限，则167x =-，将167x =-代入椭圆方程22195x y +=，求得1157y =，所以点M 坐标为615,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()13,0A -，则直线1A M 的斜率为()1571637=---．（法二）因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为()3,0y k x k =+>，因此点()20.3,3N k yk =．()223,1.95y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2222955481450k x k x k +++-=．由韦达定理得()2128145395k x k --⋅=+，所以212152795k x k -=+，代入直线方程123095k y k =+．由121125A A MN MF S S =△△，可得1211425A A N A MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，所以2175y y =，则2123730595y k k y k ==+，解得1k =±，因为0k >，则直线1A M 的斜率为1．或者因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为3,0x my m =->，因此点2330,,N y m m⎛⎫= ⎪⎝⎭．223,1.95x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2259300m y my +-=，由韦达定理，得1230059m y m +=+，所以123059my m =+．由112125MN A A MF S S =△△，可得1112425A A A N MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，所以2175y y =，则2123730559y m m y m ==+，解得1m =±，因为0m >，直线1A M 的方程为3x y =-，即3y x =+，则直线1A M 的斜率为1．（法三）因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为()3y k x =+，则0k >，因此点()20.3,3N k y k =．()223,1.95y k x x y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2222955481450k x k x k +++-=．由韦达定理得()212845395k x k --⋅=+，所以212152795k x k -=+，代入直线方程123095k y k =+．()2212132122995303339595M A NA A M A N A k k kS S S y y k k k -=-=⨯-=-=++△△△，1112115295A MF kS y k ==+△，112125A F M M A NS S =△，即()322995121595595k k k k k -=⨯++，解得1k =±，因为0k >，则直线1A M 的斜率为1．或者因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为3x my =-，则0m >，因此点2330,,N y m m⎛⎫= ⎪⎝⎭．223,1.95x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2259300m y my +-=，由韦达定理，得1230059m y m +=+，所以123059my m =+．()()212212212232715330335959A NA A MN A MA m m S S S y y m m m m -=-=⨯-=-=++△△△，1112115259A MF mS y m ==+△，211125A M M A F NS S =△△，即()()22232715121555959m m m m m -=⨯++，解得1m =±，因为0m >，直线1A M 的方程为3x y =-，即3y x =+，则直线1A M 的斜率为1．（19）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112143442,22 1.a d a d a a ⨯⎧+=+⎪⎨⎪=+⎩，即11420,1.a d a d -=⎧⎨-=-⎩，解得()11,,121212.n a a n n d =⎧=+-=-⎨=⎩，()22112n n n S n -+==，则n S n n =，()()222222122232212n ni i i n n S i n n n i ==-+==++⋅⋅⋅+==+-∑∑．所以22221n i i S n n i==+-∑．（Ⅱ）等比数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=，公比为2，所以12n n b -=，（ⅰ）设()1112,n nk k k k k k k k a A a b B b a a ==+⎛⎫-== ⎪⎝⎭∑∑，()1111122n nn k k k k k k k k k k k k k k k a a a b b a b b A B a a a a ===++⎡⎤⎛⎫--+=+==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑∑，()()11,212nk k k k k k A a b a b k -===-∑，()0121123252212n A n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，①()1232123252212n A n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-．②①式－②式得()231122222212n n A n -⎡⎤-=+⨯+++⋅⋅⋅+--⎣⎦，()()2212212332212nn n n n -=+⨯--=-+--．所以()3232nA n =+-．又112nk k k k k a B b a a =+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，则()()11122322221212121k k k k k k k a k b a a k k k k --+--==--++-．所以10213212222222221315375212121n n nB n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．则()()223232123222121n n nn A B n n n n +=+-+-=-++++．所以21124422221nn k k k k k k k a n n a b b a a n =+⎡⎤⎛⎫---+=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑．（ⅱ）当1n =时，012112c c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，12111,21.2n n n n n n c c c c ++-+⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式相除得212n n c c +=-，121211112221211,11132321122m m m m m m c c P c Q c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦==--==--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21132m m G ⎡⎤⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．当m 为偶数时，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递增，2m =时m G 有最小值112,,223m G ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．当m 为奇数时，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递减，1m =时m G 有最大值21,,13m G ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．则()()max min 11122m m h G G ≥-=-=，所以h 的最小值为12．（20）（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为()()()1,e x a F x f x g x -=-=⋅=，所以())e e e e xx x x F x ----'==='，所以，函数()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）()()()423ln G x f x g x x ax ax ⎡⎤=⋅=⋅=⎣⎦不等式可化为：311sin 066x x x a -+>，设16t a =，令()31sin 6h x x tx x =-+，则()21cos 2h x x x t +'=-，令()21cos 2m x x x t =+-，则()sin m x x x -'=+，再令()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x =+'-≥，所以()s x 在()0,+∞单调递增，则()0s x >，即()0m x '>，所以()m x 在()0,+∞单调递增，又因为()21cos 02y x x x =+>的值域为()1,+∞．①当1t ≤时，即16a ≥时，()21cos 02m x x x t =+->，即()0h x '>，则()h x 在()0,+∞单调递增，所以()0h x >恒成立，符合题意．②当1t >时，即106a <<时，()010m t =-<，若取x >时，()0m x >，所以存在00x >，使()00m x =，则当()00,x x ∈时，()0m x <，函数()h x 在()00,x 上单调递减，此时()0h x <，所以()00,x x ∈时，()0h x <，与原题()0h x >矛盾，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅲ）原式即证1111172sin3sin 4sin sin 23466n n n n +++⋅⋅⋅+>+-．由（Ⅱ）可知，0x >时，31sin 6x x x >-，则2sin 116x x x >-．令1x n =，则()21111111sin 11166161n n n n n n n ⎛⎫>->-=+- ⎪--⎝⎭．取2,3,4,n =⋅⋅⋅，则11111111112sin 3sin 4sin sin 1123462321n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+>-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1766n n =+-．。

天津市和平区高三上学期期末质量调查数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|60A x x x =-->，{}|31B x x =-≤≤，则A B =I （ ） A ．(2,1]- B ．(3,2]-- C ．[3,2)-- D ．(,1](3,)-∞+∞U2.设变量x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．11C ．12D ．143.如图，在ABC ∆中，若5AB =，7AC =，60B ∠=︒，则BC 等于（ ）A ．53B ．62C ．8D ．524.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T 的值为（ ）A ．57B ．120C ．183D ．2475.已知log 2a ，log 2b R ∈，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐进线与抛物线28y x =-的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为43，则双曲线的离心率为（ ）A ．72B ．2C ．13D ．47.如图，在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NC BC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]1,4C ．[]2,5D ．[]1,78.已知函数22,0,()2,0,x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程1()2f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ）A．3 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．3(0,)4C．90,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．9(0,)16第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知13z a i=+，234z i=-，若12zz为纯虚数，则实数a的值为．10.91()2xx-的展开式中的常数项为．（用数学作答）11.几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为2cm．12.直线3y kx=+(0k≠)与圆226490x y x y+--+=相交于A、B两点，若||23AB=，则k的值是．13.设0a b>>，则21()ab a b+-的最小值是．14.定义在R上的奇函数()f x是周期为2的周期函数，当[0,1)x∈时，()21xf x=-，则2(log3)f的值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x xπππ=-++-．（1）求()f x的最小正周期；（2）求()f x在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间．16. （本小题满分13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为12和23． （1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//EB PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（1）求证：AF PC ⊥；（2）求证：//BD 平面PEC ； （3）求锐角三角形D PC E --的余弦值．18. （本小题满分13分）设数列{}n a 满足条件11a =，1132n n n a a -+=+⋅． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n nb n a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19. （本小题满分14分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,3)A ，离心率12e =． （1）求椭圆E 的方程；（2）若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当ABC ∆的面积最大时，求C 点的坐标．20. （本小题满分14分）已知函数3221()233f x x ax a x =-+-(a R ∈且0a ≠）．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(2,(2))f --处的切线方程；（2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间和极值；（3）当[]2,22x a a ∈+时，不等式|'()|3f x a ≤恒成立，求a 的取值范围．和平区第一学期高三年级数学（理）期末质量调查试卷答案一、选择题1-5CBCBA 6-8BCD二、填空题9.4 10.212 11.12.34-13.4 14.13-三、解答题15.解：（1）∵1()cos 2sin 2(sin cos )(sin cos )22f x x x x x x x =+++-221cos 22sin cos 2x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+-31sin 2cos 22x x =- sin(2)6x π=- ∴()f x 的最小正周期22T ππ==．则63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增． 16.解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为311()28=， ∴甲至多击中目标目标2次的概率为17188-=． （2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．03321(0)(1)327P X C ==-=，123222(1)(1)339P X C ==⨯⨯-=，223224(2)(1)339P X C ==⨯⨯-=()， 33328(3)()327P X C ===． ∴随机变量X 的分布列为 X0 1 2 3 P 127 29 49 827∴随机变量X 的数学期望1248()01232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17.（1）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ，如图，以A 为原点，分别以AD u u u r 、AB uuu r 、AP uuu r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ． ∵(2,0,2)AF =u u u r ，(4,4,4)PC =-u u u r ，∴80(8)0AF PC ⋅=++-=u u u r u u u r ，∴AF PC ⊥.（2）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．∵(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-u u u u r ，(4,4,0)BD =-u u u r ，∴2BD EM =u u u r u u u u r ，∴//BD EM ．∵EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴//BD 平面PEC ．（3）解：∵AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =I ，∴AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =u u u r 为平面PCD 的一个法向量．设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =r ，∵(4,4,4)PC =-u u u r ，(0,4,2)PE =-u u u r ，∴0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1y =，得1x =，2z =，故(1,1,2)n =r ．∴cos ,2AF n <>==u u u r r ， ∴锐二面角D PC E --的余弦值为2．18.解：（1）∵11a =，1132n n n a a -+-=⋅，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-…0121323232n -=+⨯+⨯++⨯…101211(12)13(222)1332212n n n ---⨯-=++++=+⨯=⨯--…（2n ≥）， ∵当1n =时，113221-⨯-=式子也成立，∴数列{}n a 的通项公式1322n n a -=⨯-． （2）解：∵1322n n n b na n n -==⋅-，即：013122b =⨯⨯-，123224b =⨯⨯-，233326b =⨯⨯-，…∴123n n S b b b b =++++…01213(1222322)(2462)n n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-++++……．设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅…，① 则2212 1222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅…，② ①②，得0121(2222)2(21)2n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅…，∴(1)21n n T n =-⋅+， ∴3(1)232(123)nn S n n =-⋅+-++++…3(1)2(1)3n n n n =-⋅-++． 19.解：（1）由椭圆E 经过点(2,3)A ，离心率12e =， 可得22222491,1,4a b a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 解得2216,12,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆E 的方程为2211612x y +=． （2）由（1）可知1(2,0)F -，2(2,0)F ，则直线1AF 的方程为3(2)4y x =+，即3460x y -+=， 直线2AF 的方程为2x =，由点A 在椭圆E 上的位置易知直线l 的斜率为正数．设(,)P x y 为直线l 上任意一点，|2|x =-，解得210x y --=或280x y +-=（斜率为负数，舍去）．∴直线l 的方程为210x y --=．设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=， 由221,161220x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，整理得2219164(12)0x mx m ++-=，由22(16)4194(12)0m m ∆=-⨯⨯-=，解得276m =，因为m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m >，故m =∴C点的坐标为(1919-）． 20.解：（1）∵当1a =-时，321()233f x x x x =---，2'()43f x x x =---， ∴82(2)8633f -=-+=，'(2)4831f -=-+-=． ∴[]2(2)3y x =--+，即所求切线方程为3380x y -+=． （2）∵22'()43()(3)f x x ax a x a x a =-+-=---．当0a >时，由'()0f x >，得3a x a <<；由'()0f x <，得x a <或3x a >． ∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3)a a ，单调递减区间为(,)a -∞和(3,)a +∞，∵(3)0f a =，34()3f a a =-， ∴当0a >时，函数()y f x =的极大值为0，极小值为343a -． （3）2222'()43(2)f x x ax a x a a =-+-=--+， ∵'()f x 在区间[]2,22a a +上单调递减， ∴当2x a =时，2max '()f x a =，当22x a =+时，2min '()4f x a =-． ∵不等式|'()|3f x a ≤恒成立， ∴220,3,43,a a a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩解得13a ≤≤，故a 的取值范围是[]1,3．。

2024届天津市和平区高三数学第一学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨2．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B 6C 3D 2 4．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．2]B ．(2,3]C ．2,5]D ．3,5]5．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）A 337--B 337-+ C ．4- D ．26．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．82+D ．842+8．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P ，渐近线方程为2y x =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=9．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，(2log3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<10．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．74-D ．121-11．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D 512． “8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2016-2017学年天津市和平区高三上学期期末质量调查理数一、选择题：共8题1.设集合A = {x|x2— x — 6 > 0], B = {x| — 3 < x < 1},则A n B =A. (—2,1]B. (—3,—2]C. [—3, —2)D. (—8,1] U (3, +8)【答案】c【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得A = {x|x < —2 或x > 3},所以A AB = {x| — 3 S x V —2}=[—3, —2).选C.r x — y + 1 > 02.设变量x,y满足约束条件x + y- 1 > 0 ,则目标函数z = 4x + y 3x — y — 3 < 0 的最大值为A. 4B. 11C. 12D. 14【答案】B【解析】本题考查线性规划问题•画出可行域，如图4ABC所示;A(0;l), B(2,3), C(l,0).当过点B时，目标函数z取得最大值4x2 + 3 = 11.选B.3.如图，在AABC中，若AB = 5, AC = 7, Z.B = 60°,贝ijBC等于A. 5A/3B. 6^2C. 8D. 5返【答案】C【解析】本题考查余弦定理.由余弦定理得:AC? = AB2 + BC2-2AB x BCcos60°,代入数据得49 = 25 + BC2一5BC,解得BC = 8. 选C.4•阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T的值为T = O.Jk=l结柬A. 57B. 120C. 183D. 247【答案】B【解析】本题考查程序框图•起初:T = l,k = 1；循环1次：k = 3,T = 4；循环2 次：k= 7,T= 11；循环3 次1< = 15, T = 26；循环4次：k = 31,T = 57；循环5次：k = 63,T = 120,满足条件, 结束循环，输出T的值为120.选B.5.已知比b e R,则“2玄> 2b > 2” 是“loga2 <log b2"的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查指数、对数函数，充要条件・“2^ >2b> 2”等价于“a > b > 1” ;而“a > b > 1” 可得To師2 <log b2",即充分性成立;反之不成立，即必要性不成立;所以"2a >2b> 2” 是"log a2 <log b2"的充分不必要条件•选A.2 26.已知双曲线冷一書=l(a〉0, b > 0)的两条渐近线与抛物线a2 b2y2 = -8x的准线分别交于A, B两点，0为坐标原点，若AABO的面积为4靖，则双曲线的离心率为A.吃B. 2C. V13D.42【答案】B【解析】本题考查双曲线、抛物线的标准方程与几何性质•抛物线2 9y2 = -8x的准线为x = 2;双曲线冷-£= 1的两条渐近线为a2 b2y = ±?x,联立y = ±?x与x = 2,可得A(2,弓)，B(2, —弓)，而AABO 的面积S = -x — x2 = 4V3,即b =V3a: [fn双曲线中a2 + b2 = c2, 2 a2 r所以以=4a2,即2 = 4,即双曲线的离心率e = £ = 2.选B・a2a2 2 r【备注】双曲线右一令=l(a >0,b> 0),离心率e = -, a2 + b2 = c2,渐近线为y = ±^x.at__ JT7.如图，在平行四边形ABCD中，乙BAD=® AB = 2, AD =1,若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足罟=鈴=入,其中入e [0,1],oC DC则丽•丽的取值范围是【答案】C【解析】本题考查平面向量的线性运算与数量积•因为罟=筹=入, BC DC 所以丽 =ABC, NC =入反；所以丽・AN=(AB + ABC)・(AD + DN)=(AB + ABC)・(AD + AB - ADC)=(AB + AAD)・(AD + (1 -A)AB)=AB ・ AD + 4(1 - A) + 入 + 入(1 一A)AB ・ AD=1 + 4(1 一入)+ 入+入(1 一入)二一入2 — 2入+ 5;当入=0时，丽•丽取得最大值5;当入=1吋,AM •丽取得最小值2;即丽•丽的取值范围是[2,5]•选C.8.已知函数/(%) = {_二?2：：； 0'若关于％的方程广(兀)=非+ m 恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是A. [0,;]B. (0,;)C. [0, —]D. (0,—)【答案】DA. [0,3] 氏[1,4] C. [2,5] D. [1,7]【解析】本题考查函数与方程，导数的几何意义•画出函数f(x)的图像如图所示;若f(x) = + m恰有三个不相等的实数解，则f （咒）的图像与y = |% + m有3个交点；当m = 0时,它们恰有2个交点;y =纤+ m向上平移，当函数/*（%） = -%2 + 2%与y = ^x +m乙乙相切吋，它们恰有2个交点，此吋一2咒+ 2= |,即兀=£ y =字即2 4 16切点为（£■—）；而y = + m过切点G，H）,代入可得m =佶;由图4 1 D Z 4 lo 1o可得0 V m V估.即m的取值范围是（0泾）.选D.16 16二、填空题：共6题9. ________________ 己知z r = a + 3i, z2 = 3 - 4i,若?为纯虚数，则实数a的值为________ .【答案】4【解析】本题考查复数的概念与运算•寺蛙半詈+却，其为纯虚数，所以詈=0,解得a = 4.10. __________________________________________ （言一仮尸的展开式中的常数项为___________________________ ・（用数学作答）【答案】y【解析】本题考查二项式定理•其展开式的通项公式T r+1 =得常数项为CK|）3 = ・11・几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积为___________________ cm3.【答案】3V3【解析】本题考查三视图，空间几何体的体积•该空间几何体为四棱锥P - ABCD;S ABCD = |（2 + 4）xV3 = 3^3,所以该儿何体的体积 \ =亍S&ECD X 3 =12. ___________________________________________ 直线y= kx + 3 （k工0）与圆送+ y2— 6% — 4y + 9 = 0相交于力、B两点，若|加| = 2馅，贝毗的值是 _______________________ ・【答案】-f4【解析】本题考查直线与圆的位置关系•圆(x - 3)2 + (y - 2)2 = 4 的圆心为(3,2),半径厂=2;而|4B| = 2A/3,所以圆心到直线y = kx + B的距离d = = 74 - 3 — 1,解得k = — |.【备注】点到线的距离公式d =13. ______________________________________________ 设a >b > 0,则a? +歼上j的最小值是__________________________ -【答案】4【解析】本题考查基本不等式.a2 + > a2 + [b+(^_b)]2=a2 +咅> 2Ja? x存4 (当且仅当a = 2b吋等号成立).即/ +虹£历的最小值是4.14.定义在R上的奇函数几町是周期为2的周期函数，当乂e [0,1)时,/(%) = 2X-1,则/(log23)的值为______________________ ・【答案】-扌【解析】本题考查指数、对数函数，函数的性质•由题意得/(log23)-/(log23 一2)=-f(2一log23)=-(22-,o^3_ 1)二一(4 一三、解答题：共6题15.已知函数£0) = cos(2x 一£) + 2sin(x + ^)sin(x 一”).(1)求/'(x)的最小正周期;⑵求f(x)在上的单调递增区间.【答案】(1) = -cos2x + — sin2x + (sinx + cosx)(sinx 一cosx)--cos2x + —sin2x + sin2% — cos2%-- cos2x + —sin2x —/./(x)的最小正周期T =芋=TT .(2)由⑴可知/*(%) = sin(2x 一9,令z = 2%O O函数f(x) = sinz的单调递增区间是［一扌+ 2k兀寸+ 2M］(/c £ Z), 可得一E + 2ku < 2x —— < — 4- 2ke k E Z,贝I］-— + ku S 兀S ：+2 6 2 63 km k e Z,所以，当%e［-^5时，/Xx)的单调递增区间为［-=,；］.【解析】本题考查三角函数的性质，三角恒等变换.(1)经三角恒等变换得/(%)-sin(2x-^), ：.T = y = n;(2)由⑴可知f(x)= sin(2x — f),求得在［一上单调递增.16.甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为扌和扌.(1)求甲至多击中目标2次的概率；(2)记乙击中目标的次数为X,求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(1)・••甲3次均击中目标的概率为(|)3 =2 o・•・甲至多击中目标目标2次的概率为1 一£ = £O O(2)随机变量X的所有可能取值为0, 1, 2, 3.P(X = 0) = C§(1 -1)3 = P(X = l) = C|x|x(l-1)2 =P(X = 2) = C| x (|)2 x(l-|) = i, P(X = 3) = Ci(|)3 =专.随机变量X的分布列为・••随机变量X的数学期望E(X) = 0x^-+lx|+2x^ + 3x^ =27 9 9 Z7 2.【解析】本题考查随机变量的分布列与数学期望.(1) J甲3次均击中目标的概率为G)3 = £・•・甲至多击中目标目标2次的概率为2 o1_ 6 = 6；⑵求得P(X = o) = —, P(X = 1)= 6, P(x = 2)=-,P(X = 3)=彩・列出X的分布列，求得E(X) = 2・17.如图，四边形SBCD是正方形，P4丄平面SBC。

和平区2014-2015学年度第一学期期末质量调查高三数学（文科）试卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B =P A +P B 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式1V 3Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、i=（ ）A．12- B．12+ C．1 D．1+2、设变量x ，y 满足约束条件26026020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值为（ ）A ．2 B ．4 C ．8 D ．12 3、已知命题:p 0x ∀<，都有20x >，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃<，使得200x ≤B ．00x ∃≥，使得200x ≤C ．0x ∀<，都有20x ≤D ．0x ∀≥，都有20x ≤ 4、设20.3a =，0.32b =，0.3log 2c =，则（ ）A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b << 5、若{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =．等比数列{}n b 满足19b =，1212b b a a +=+，则3b 等于（ ）A ．9 B ．81 C ．63- D ．81- 6、若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为y =，则双曲线的离心率为（ ）ABCD ．27、函数()26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223x k ππ≠+（k ∈Z ）的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8、若0x >，0y >，且26x y xy ++=，则2x y +的最小值是（ ）A ．12 B ．14 C ．18 D ．20 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9、工厂对一批产品进行抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产 品重量的范围是[]46,56，样本数据分组为[)46,48，[)48,50，[)50,52，[)52,54，[]54,56．若样本中产品重量小于50克的个数是36，则样本中重量不小于48克，并且小于54克的产 品的个数是 ．10、已知奇函数()f x 的图象关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()26f =⎡⎤⎣⎦ ．11、一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 3cm ．12、在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若cos cos C c b ⋅B =⋅，且1cos 3A =，则sin B 的值为 ．13、在平行四边形CD AB 中，()C 1,2A =，()D 3,2B =-，则D C A ⋅A = ．14、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15、（本小题满分13分）袋中有大小、形状完全相同，并且标号分别为1和2的小球各一个，现有放回地随机摸取4次，每次摸取一个球，并依次用所得标号表示千位、百位、十位和个位数字，组成一个四位数． ()I 请列出所有可能组成的四位数；()II 求组成的四位数的各数字之和小于7的概率； ()III 求组成的四位数是3的倍数的概率．16、（本小题满分13分）已知函数()2sin cos f x x x x ωωω=+（0ω>）的最小正周期为π．()I 求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；()II 求()f x 在闭区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17、（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111C C AB -A B 中，C 3A =，5AB =，3cos C 5∠BA =．()I 求证：1C C B ⊥A ；()II 若D 是AB 的中点，求证：1C //A 平面1CD B ．18、（本小题满分13分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若37S =，且1a ，21a +，31a +构成等差数列．()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 令21ln n n b a +=（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T ．19、（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）与直线10x y +-=相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线12y x =上．()I 求椭圆的离心率；()II 若椭圆的右焦点关于直线12y x =的对称点的横坐标为065x =，求椭圆的方程．20、（本小题满分14分）设函数()22ln 2f x x x ax a =+-+，R a ∈．()I 若0a =，求函数()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值； ()II 若函数()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，求a 的取值范围； ()III 当a >()f x 的极值点．和平区2014-2015学年度第一学期期末质量调查高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9. 9010.911．641213．314．12三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本题13分）16．（本题13分）17．（本题13分）18．（本题13分）19．（本题14分）20．（本题14分）。