2019-2020学年新人教A版必修一 1.1 集合的概念(习题课) 课时作业

1.1 集合的概念一、单选题1．已知3a =，{|2}A x x =≥，则（ ）A ．a A ∈B ．a A ∉C ．{}a A =D ．{}a a ∉答案：A解析：根据元素与集合的关系，即可求解.详解：由题意，集合{|2}A x x =≥，且3a =，因为32>，所以a A ∈.故选：A.2．设集合{1}A x Z x =∈-，则A ．A ∅∉B ．C ．2A ∈D ．{}2⊆A 答案：B详解：试题分析：集合A 表示大于1-的正数，因此B 项正确 考点：元素与集合的元素3．下列所给关系正确的个数是①π∈R 3Q ；③0∈*N ；④|−4|∉*N ．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B详解：由R(实数集)、Q(有理数集)、*N (正整数集)的含义知，①②正确，③④不正确．4．对于任意实数x x ，表示不小于x 的最小整数，如1.220.20=-=，．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合(){}|10A y y f x x ==-，≤≤，则集合A 中所有元素的和为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-答案：B解析：根据x 的范围即可求出2x 的范围，根据x <>的定义即可求出2x x <>+<>的值，即得出集合A 的所有元素，从而得出集合A 的所有元素的和．详解：因为10x -，∴①1x =-时，22x =-，则：1x <>=-，22x <>=-；23x x ∴<>+<>=-；②10x -<时，220x -<，则：0x <>=，21x <>=-，或0； 21x x ∴<>+<>=-，或0；{3A ∴=-，1-，0}；∴集合A 中所有元素和为4-．故选：B点睛：本题主要考查对x <>的定义的理解，以及不等式的性质，意在考查学生对这些．5．集合5793,,,,234⎧⎫⎨⎬⎩⎭用描述法可表示为（ ） A ．*21|,2n n x x n N +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ B ．*23|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ C ．*21|,n x x n N n -⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ D ．*21|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭答案：D 解析：找出集合中元素的规律通式即可.详解： 由5793,,,,234，即3579,,,,1234，从中发现规律*21,n x n N n +=∈， 故可用描述法表示为*21|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭. 故选：D.点睛：本题考查集合的描述法，属于基础题.6．已知集合A 中元素x 满足x x N *∈，则必有（ ）A ．－1∈AB ．0∈ACD ．1∈A答案：D解析：利用列举法求解即可.详解：因为x ≤≤又x N *∈，所以x 的可能取值1,2.故选：D.点睛：本题主要考查了列举法.属于容易题.7．集合{1,2,3,5}A = ，当x A ∈时，若1,1x A x A -∉+∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据“孤立元素”的定义，依次研究各元素即可得答案.详解：解：对于元素1，112A +=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素2，213A +=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素3，312A -=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素5，514A -=∉，516A +=∉，故满足孤立元素的定义；故A 中孤立元素的个数为1个.故选：A.点睛：本题考查集合新定义问题，正确理解新定义是解题的关键，是基础题.8．已知集合{1,,1}A a a =-，若2A -∈，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1-或2-D ．2-或3-答案：C解析：由已知得2a =-或12a -=-，解之并代入集合中验证可得选项.详解：因为集合{1,,1}A a a =-，且2A -∈，所以2a =-或12a -=-，当2a =-时，{1,2,3}A =--，适合题意；当12a -=-时，1a =-，{1,1,2}A =--，也适合题意，所以实数a 的值为1-或2-.故选：C.点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.9．设集合222,3,3,7A a a a a⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，{}|2|,0B a =-，已知4A ∈且4B ∉,则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}-1，-2B ．{}-1，2C ．{}-2，4D ．{}4答案：D解析：由234a a -=或274a a ++=解出a 的值，再验证集合中元素的互异性.详解：当234a a -=时，可得4a =或1a =-，若1a =-，则274a a ++=，不合题意；若4a =，则2711.5a a ++=，|2|2a -=符合题意； 当274a a++=，可得1a =-或2a =-，若1a =-，则234a a -=，不合题意；若2a =-，则|2|0a -=，不合题意.综上所述：4a =.故选：D.点睛：本题考查了集合中元素的互异性，考查了分类讨论思想，属于基础题.二、填空题1．已知集合{}2|60A x x px =-+=，若3A ∈，则方程15x p -=的解为__________.答案：2x =解析：由题意可知，3是方程260x px -+=的根，解得5p =.方程15x p -=等价变形为155x -=，解得，即可.详解：3A ∈∴3是方程260x px -+=的根，即23360p -+=，解得5p =. 又方程155x p -==11x ∴-=，解得2x =.故答案为：2x =点睛：本题考查元素与集合的关系以及实数指数幂的运算，属于较易题.2．若－3∈x－2，2x 2－5x ，12}，则x ＝________．答案：－1，32，1解析：由已知得x －2＝－3或2x 2－5x ＝－3，解之再代入集合中检验集合的元素是否互异，可得答案.详解：由题意知，x －2＝－3或2x 2－5x ＝－3.①当x －2＝－3时，x ＝－1.把x ＝－1代入，得集合的三个元素为－3，7，12满足集合中元素的互异性；②当2x 2－5x ＝－3时，x ＝32或x ＝1，当x ＝32时，集合的三个元素为－12，－3，12，满足集合中元素的互异性；当x ＝1时，集合的三个元素为－1，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x ＝－1，32，1.故答案为：－1，32，1.点睛：本题考查由集合与元素的关系求参数的值，注意集合中的元素需互异，属于基础题.3．设集合{}2|20x x x a ++=有且只有两个子集，则a =______________.答案：1a =解析：本题先将条件“集合{}2|20x x x a ++=有且只有两个子集”转化为“方程220x x a ++=有且仅有1个解”，再建立方程求a 的值.详解：解：因为集合{}2|20x x x a ++=有且只有两个子集，所以集合{}2|20x x x a ++=有且只有一个元素，所以方程220x x a ++=有且仅有1个解，所以2240a ∆=-=，解得1a =.故答案为：1a =.点睛：本题考查根据集合中元素的个数求参数的值，是基础题.4．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________答案：12(,]23解析：由f （x ）＝x 2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0可得x 2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1，即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1，则满足题意，结合图象即可求出．详解：f （x ）＝x 2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0，即x 2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1，分别令y ＝x 2﹣2x+1，y ＝a （x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A ＝x∈Z|f（x ）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10{120 311a a a -≤--≤＜，解得12＜a 23≤故答案为（12，23]点睛：本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题5．设,a b ∈R ，集合{}{}2,0,a b a =，则b a -=_____________答案：1-解析：根据集合的互异性原则,可求得a 与b 的值,即可求得b a -的值.详解：因为集合{}{}2,0,a b a = 所以0a =或0b =当0a =时,集合20a =,因而元素重复,与集合的互异性原则相悖,所以舍去0a =当0b =时,可得2a a =,解得0a =(舍)或1a =综上可知, 1a =,0b =所以011b a -=-=-故答案为: 1-点睛：本题考查了集合的互异性原则及集合相等的应用,属于基础题.三、解答题1．写出集合2|,3n x x n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N 中最小的3个元素.答案：240,,33解析：让n 取自然数集中最小3个数代入即可得．详解：0,1,2n =时，三个元素为24033，，． 点睛：根据集合中元素的性质，取n 为自然数集中最小3个数代入可求得集合A 中最小的三个元素．2．已知数集{}()1212,,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的i、()1j i j n ≤≤≤，i j a a +，与j i a a -两数中至少有一个属于A ．（1）分别判断数集{}0,1,3,4与{}0,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：10a =，且()122n n na a a a =+++； （3）当5n =时，若22a =，求集合A ．答案：（1）集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明见解析. （3）{0,2,4,6,8}A =.解析：（1）利用i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .即可判断出结论.（2）先由0n na a A =-∈，得出10a =，令“,1j n i =>,由“i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ”可得n i a a -属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,1a 不符合不符合题意,2a 符合.同理可得:令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,倒序相加即可.（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,可得51i a a Ai -∈=51525354550a a a a a a a a a a ->->->->-=,则515533524a a a a a a a a a -=-=-= ,又34245a a a a a +>+=,可得34a a A +∉,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-.可得即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列是首项为0,公差为22a =等差数列.详解：解：（1）在集合{}0,1,3,4中，设{}0,1,3,4A =①011,101A A +=∈-=∈,具有性质P②033,303A A +=∈-=∈,具有性质P③044,404A A +=∈-=∈,具有性质P④134,312A A +=∈-=∉,具有性质P⑤145,413A A +=∉-=∈,具有性质P⑥347,431A A +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,1,3,4具有性质P ；在集合{}0,2,3,6中，设{}0,2,3,6B =,①022,202B B +=∈-=∈,具有性质P②033,303B B +=∈-=∈,具有性质P③066,606B B +=∈-=∈,具有性质P④235,321B B +=∉-=∉,不具有性质P⑤267,624B B +=∉-=∉,具有性质P⑥368,633B B +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,2,3,6不具有性质P .故集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明:令,1j n i =>由于120n a a a ≤<<<，则n n n a a a +>，故2n a A ∉ 则0n n a a A =-∈，即10a =i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ,i j a a ∴+不属于A ,n i a a ∴-属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,10a =不符合题意,2a 可以.如果是3a 或者4a ,那么可知31n n a a a --=那么231n n n a a a a a -->-=,只能是等于n a ,矛盾.所以令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,同理,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,∴倒序相加即可得到1232n n n a a a a a +++⋯+= 即()122n n na a a a a =+++⋯+（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P ,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,51,2,3,4,5i a a Ai ∴-∈=123451234500a a a a a a a a a a =<<<<=<<<<,51525354550a a a a a a a a a a ∴->->->->-=,则515524a a a a a a -=-=,533a a a -=,从而可得245532a a a a a +==,故2432a a a +=,即433230a a a a a <-=-<,又3424534a a a a a a a A +>+=∴+∈/ ,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-又54221a a a a a -==-544332212a a a a a a a a a ∴-=-=-=-=,即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列,{0,2,4,6,8}A ∴=点睛：（1）本问采用举反例的方法证明A 不具有P 性质;（2）采用极端值是证明这类问题的要点,一个数集满足某个性质,则数集中的特殊的元素（比如最大值、最小值）也满足这个性质;本问的第二个要点是集合的元素具有互异性,由互异性及题中给的性质P ,可得出等式;（3）利用在（2）中得到的结论得出12345,,,,a a a a a 之间的关系，再结合A 中元素所具有的P 性质即可得到结论.3．分别用列举法和描述法表示方程x 2+x –2=0的所有实数解的集合．答案：1，–2}，x|x=1或x=–2}解析：根据列举法和描述法的定义分别进行表示即可． 详解：由220x x +-= 得1x = 或2x =- ，所以用列举法表示解集为}{1,2- ，用描述法表示为}{{}22012.x x x x x x +-===-=-或点睛：本题主要考查集合表示的两种方法：列举法和描述法，比较基础，要注意两者之间的区别．。

2019新人教版高一数学同步测试1.1集合的概念（时间：45分钟满分：100分）一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；⑤0∩∅=∅，其中错误写法的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.如果集合中只有一个元素，则a的值是A. 0B. 4C. 0 或4D. 不能确定3.若集合A={x|（k+2）x2+2kx+1=0}有且仅有1个元素，则实数k的值是（）A. 或B. 或C. 2或D.4.下列说法正确的是（）A. 我校爱好足球的同学组成一个集合B. 2,是不大于3的自然数组成的集合C. 集合2,3,4,和4,3,2,表示同一集合D. 数1,0,5,,,,组成的集合有7个元素5.已知集合∈，且∈，则M等于A. B. 3, C. 3, D. 3,6.给出四个结论：①{1，2，3，1}是由4个元素组成的集合②集合{1}表示仅由一个“1”组成的集合③{2，4，6}与{6，4，2}是两个不同的集合④集合{大于3的无理数}是一个有限集其中正确的是()A. 只有③④B. 只有②③④C. 只有①②D. 只有②7.下列所给关系正确的个数是（）①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|-4|∉N*．A. 1B. 2C. 3D. 48.用列举法表示集合{（x，y）|}，正确的是（）A. ,B. ,C. 或0,或D. 0,9.下列说法：①集合∈用列举法可表示为；②集合是无限集；③空集是任何集合的真子集；④任何集合至少有两个子集.其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.已知集合A={a-2，2a2+5a，12}，-3∈A，则a的值为（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共5小题，共30分）11.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则______ ．12.若集合{x|ax2+x+1=0}有且只有一个元素，则a的取值集合为______．13.已知集合，∈，，∈，则集合A、B的关系为______．14.设U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}；若（∁U A）∩B=∅，m=______．15.设集合A={x|x2+x≤0，x∈z}，则集合A= ______ ．三、解答题（本大题共1小题，共20分）16.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．2019新人教版高一数学同步测试答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素．根据“∈”用于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①⑤错，∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对.【解答】解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系，故①错；对于②，∅是任意集合的子集，故②对；对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性，故③对；对于④，因为∅是不含任何元素的集合，故④错；对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系，故⑤错.故选C．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题．利用a=0与a≠0，结合集合元素个数，求解即可．【解答】解：当a=0时，集合A={x|ax2+4x+1=0}={-}，只有一个元素，满足题意；当a≠0时，集合A={x|ax2+4x+1=0}中只有一个元素，可得△=42-4a=0，解得a=4．则a的值是0或4．故选C．3.【答案】A【解析】【分析】讨论k=-2与k≠-2，从而求实数k的值.本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题. 【解答】解：①当k+2=0，即k=-2时，x=，A={}符合题意；②当k+2≠0，即k≠-2时，关于x的方程（k+2）x2+2kx+1=0只有一个根，则△=4k2-4（k+2）=0，解得k=2或k=-1，综上所述，k的值是±2或-1．故选A.4.【答案】C【解析】解：选项A：不满足确定性，选项B：不大于3的自然数组成的集合是{0，1，2，3}，选项C：满足集合的互异性，无序性，确定性，选项D：1，0，5，，，，组成的集合有5个，故选：C．根据集合的含义逐项进行判断，从而得出结论．本题考查了集合的含义，利用其确定性，无序性，互异性进行判断．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合元素的属性，注意元素的约束条件是解答的关键，属于基础题.由已知，5-a应该是6的正因数，所以5-a可能为1，2，3，6，又a∈Z，得到M．【解答】解：因为集合M={a|∈N+，且a∈Z}，所以5-a可能为1，2，3，6，对应a的值为4,3,2,-1,所以M={-1，2，3，4}.故选D.6.【答案】D【解析】解：对于①集合中元素的互异性可知判，①是不正确的．对于②集合的定义判断②是正确的；对于③集合中元素的无序性判断③{2，4，6}与{6，4，2}是两个不同的集合，是不正确的；对于④集合{大于3的无理数}是一个有限集，集合中元素的个数是无数的，所以④是不正确的．只有②正确．故选D．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查元素与集合之间的关系，属于基础题．根据元素与集合之间的关系判断四个结论是否正确.【解答】解：由于①π∈R；②∉Q；③0∉N*；④|-4|∈N*．故①②正确，③④错误，故选B．8.【答案】B【解析】【分析】解方程组，能用列举法表示所求集合．本题考查集合的表示法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合性质、解方程组方法的合理运用．【解答】解：集合{（x，y）|}={（-1，1），（0，0）}，故选：B．9.【答案】B【解析】【此题考查集合的表示，集合的分类，空集及集合的子集、真子集，关键是对相关概念的熟练掌握.【解答】解：①集合用列举法可表示为，所以错误；②集合是无限集，所以正确；2019新人教版高一数学同步测试③空集是任何非空集合的真子集，所以错误；④任何非空集合至少有两个子集，所以错误.故选B.10.【答案】B【解析】【分析】由于-3∈A则a-2=-3或2a2+5a=-3，求出a的值然后再代入再根据集合中元素的互异性对a进行取舍．本题主要考察了集合中元素的互异性，属常考题型，较难．解题的关键是求出a的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验．【解答】解：∵-3∈A∴-3=a-2或-3=2a2+5a∴a=-1或a=-，∴当a=-1时，a-2=-3，2a2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去当a=-时，a-2=-，2a2+5a=-3，满足．∴a=-．故选B．11.【答案】-1【解析】【分析】本题考查集合相等，考查计算能力，是基础题．利用集合相等求出a，b，然后求解表达式的值．【解答】解：有三个实数的集合，既可表示为，，，也可表示为{a2，a+b，0}，∵a为分母, 不能是0，∴a≠0，∴=0，即b=0，∴a2=1，a=±1，当a=1时，不满足集合元素的互异性，故a=-1，b=0，则a2017+b2016=-1+0=-1；故答案是-1．12.【答案】，【解析】本题主要考查了集合与元素的关系，属于基础题.解题时容易漏掉a≠0的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论参数是否为零．此题用描述法表示的集合元素个数问题，要用到一元二次方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零．【解答】解：当a=0时，A={-1}；当a≠0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式△=1-4a=0得a=．综上，当a=0或a=时，集合A只有一个元素．故答案为．13.【答案】A=B【解析】【分析】首先，将给定的集合化简，然后作出判断．本题重点考查集合的相等的概念，属于基础题，难度小．【解答】解：由集合A得：A={x|x=（2n+1），n∈Z}，由集合B得：B={x|x=（2n+3），n∈Z }，∵{x|x=2n+1，n∈Z}={x|x=2n+3，n∈Z}，∴A=B，故答案为：A=B．14.【答案】1或2【解析】【分析】先化简集合A，B，再结合题中条件：“（C U A）∩B=∅”推知集合B中元素的特点即可解决．本题主要考查了交、并、补集的混合运算、空集的含义，属于基础题．【解答】解：∵A={x|x2+3x+2=0}={-1，-2}，x2+（m+1）x+m=0得：x=-1或x=-m．∵（C U A）∩B=∅，∴集合B中只能有元素-1或-2，∴m=1或2故答案为1或2．15.【答案】{-1，0}【解析】【分析】本题考查不等式的解法，考查集合的表示，比较基础．A={x|x2+x≤0，x∈z}={x|-1≤x≤0，x∈z}，即可得出结论．【解答】解：A={x|x2+x≤0，x∈z}={x|-1≤x≤0，x∈z}={-1，0}.故答案为{-1，0}．16.【答案】解：(1)若A是空集，则方程ax2-3x+2=0无解此时△=9-8a＜0即a＞;(2）若A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根,当a=0时方程为一元一次方程，满足条件当a≠0，此时△=9-8a=0，解得：a=2019新人教版高一数学同步测试∴a=0或a=若a=0，则有A={},若a=，则有A={}；(3)若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2-3x+2=0根的情况，是解答本题的关键．（1）A为空集，表示方程ax2-3x+2=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．（2）若A中只有一个元素，表示方程ax2-3x+2=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值．（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．。

1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{}22M x x =-<<，i 为虚数单位，1a i =+，则下列选项正确的是（ ） A ．a M ∈B ．{}a M ∈C ．{}a M ⊄D ．a M ∉2．集合1，3，5，7}用描述法表示出来应为 A ．x|x 是不大于7的非负奇数} B ．x|1≤x≤7} C ．x|x∈N 且x≤7} D ．x|x∈Z 且1≤x≤7}3．集合{}2|(3)2(1)0(2)A x N x m x m m =∈-+++<>的真子集的个数为15个，则实数m 的范围（ ） A ．∅B ．{6}C ．(5,6]D ．(6,7]4．已知集合{}A x x 2018=，a 2019=，则下列关系中正确的是( ) A ．a A ∈ B ．a A ∉ C ．a A ⊆ D ．a A =5．设集合{|5}A x x =≤，m = ）A ．{}m A ∈B ．m A ⊆C ．m A ∈D ．m A ∉ 6．已知集合2{|210}M x R ax x =∈+-=，若M 中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．1- B ．0或1- C ．1 D ．0或17．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}--- 8．设集合A=x|x 2–4≤0}，B=x|2x+a≤0}，且A∩B=x|–2≤x≤1}，则a=（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．49．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是 A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题1．若平面点集M 满足:任意点(),x y M ∈,存在()0,t ∈+∞,都有()tx,ty M ∈,则称该点集M 是“t 阶集”.现有四个命题:①若(){}2M x,y |y x ==,则称M 是“2阶集”②若(){}22M x,y |y x ==,则称M 是“2阶集”③若(){}22240M x,y |x y x y =+++=,则称M 是“2阶集” ④若(){}22M x,y |x y =≤是“t 阶集”,则t 的取值范围是(]0,1其中正确的命题序号为__________. 2．集合A ＝x|y ＝123x +，x∈N，y∈Z}，则A ＝________． 3．已知非空集合A ，若对于任意x A ∈，都有4A x ∈，则称集合A 具有“反射性” .则在集合{}1,2,4,8的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为_____.4．若{}21|220x x ax a ∈-+->，则实数a 的取值范围为__________.5．设a ，b ∈R ，若集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则20202020a b +=_______. 三、解答题1．已知{}14A x x =≤≤，{}2B x x =>，全集U =R . （1）求A B 和()U A B ⋃；（2）已知非空集合{}1C x x a =≤<，若A C C =，求实数a 的取值范围.2．下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它． （1）小于5的自然数； （2）某班所有个子高的同学； （3）不等式217x +>的整数解．3．用描述法表示下列集合：（1）比1大又比10小的实数组成的集合； （2）不等式342x x +≥的所有解； （3）到两坐标轴距离相等的点的集合．参考答案一、单选题 1．A解析：利用复数模的计算公式可得a =，即可判断出结论． 详解：a =，又集合{}22M x x =-<<，∴a M ∈．故选：A ． 点睛：本题考查了复数模的计算公式、元素与集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．A解析：对四个选项逐一分析，由此得出正确选项. 详解：对于A 选项，集合的元素为1,3,5,7，符合题意.对于B 选项，集合的元素包括了小数，不符合题意.对于C 选项，集合的元素包括0不符合题意.对于D 选项，集合的元素包括2,4,6，不符合题意.综上所述，本小题选A. 点睛：本小题主要考查集合的表示方法，考查列举法和描述法，属于基础题. 3．C解析：由集合A 有15个真子集，可得集合A 中有4个元素，解出集合A 中的一元二次不等式，可得21x m <<+，分析即可得解. 详解：由2(3)2(1)0x m x m -+++<，可得(1)(2)0x m x ---<， 又因为2m >，故：21x m <<+假设集合A 中有n 个元素，因此集合A 有2115n -=个真子集，即4n =， 故617m <+≤,所以56m <≤ 故选：C本题考查了一元二次不等式的解法，集合的真子集的个数等知识点，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题. 4．A解析：根据集合A 中元素满足的性质2018,2019x a >=，我们可以判断出元素a 与集合A 的关系． 详解：因为集合{}|2018,2019A x x a =>=，所以a A ∈．故选A ． 点睛：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键． 5．C解析：根据元素与集合之间的关系，即可求出结果. 详解：5，所以m A ∈，故选C. 点睛：本题主要考查了元素与集合之间的关系. 6．B解析：集合M 只含有一个元素，说明方程2210ax x 只有一个解.0a =时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；0a ≠时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式440a ∆=+=，所以解出a 即可，这样a 的值就都求出来了. 详解：集合M 中只含有一个元素，也就意味着方程2210ax x 只有一个解； （1）当0a =时，方程化为210x -=，只有一个解12x =；（2）当0a ≠时，若2210ax x 只有一个解，只需440a ∆=+=，即1a =-； 综上所述，可知a 的值为0a =或1a =-. 故选：B 点睛：本题主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有一个解的充要条件，属于中档题.解析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 详解：由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--，则(){}U1,1A B =-.故选：C. 点睛：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题. 8．B解析：由题意首先求得集合A,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 详解：求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B. 点睛：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．D解析：①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆； ②根据42c n =+，证明42n M ，即c M ∉； ③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈． 详解：解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈， 对于①，21b n =+，n Z ∈， 则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈，若42n M ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n，42()()n x y x y ∴+=+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈； 则2222121122()()a a x y x y =--222212121221()()()()x x y y x y x y =+-- 2212121221()()x x y y x y x y M=+-+∈那么12a a M ∈，③正确． 综上，正确的命题是①②③． 故选D ． 点睛：本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．二、填空题 1．①④解析：对于①，直接代入(2,2)x y 判断即可，对于②，取点(1,2)验证即可，对于③，取点(1,1)-验证即可，对于④，根据题意得到2()2tx ty ≤，解不等式即可. 详解：对于①，若(){}2M x,y |y x ==是“2阶集”，则(2,2)x y M ∈， 即24y x =，2y x =，故①正确.对于②，(){}22M x,y |y x ==，(1,2)M ∈，(2,4)M ∉，故②错误. 对于③，(){}22240M x,y |x y x y =+++=，(1,1)M -∈，(2,2)M -∉，故③错误.对于④，因为(){}22M x,y |x y =≤是“t 阶集”，所以(,)tx ty M ∈，即2()2tx ty ≤，即22y t x ≤. 因为22y x ≥，所以221yx ≥，即1t ≤ 又因为0t >，所以01t <≤.故④正确. 故答案为：①④ 点睛：本题主要考查集合的新定义，同时考查了集合元素的特征，属于中档题.2．{}0,1,3,9 详解：试题分析：由题意可知3x +为12的正约数，所以31,2,3,6,120,1,3,9x x +=∴= 考点：集合3．3解析：记集合{}1,2,4,8的具有“反射性”的子集为A ，由题意可知，若1A ∈，则4A ∈，若A 为单元素集合，则{}2A =，根据题意列举出符合条件的集合A ，由此可得出结果. 详解：记集合{}1,2,4,8的具有“反射性”的子集为A ，由题意可知，若1A ∈，则4A ∈，若A 为单元素集合，则{}2A =. 所以，符合条件的集合为{}2A =或{}1,4A =或{}1,2,4A =. 因此，具有“反射性”的集合个数为3. 故答案为：3.4．(),1-∞-解析：将1代入不等式可求a 的取值范围. 详解：因为{}21|220x x ax a ∈-+->，故1220a a -+->，解得1a <-， 故答案为：(),1-∞-. 点睛：本题考查元素与集合的关系，如果元素在集合中，则该元素满足集合元素的属性要求，本题属于容易题. 5．2解析：由集合相等的定义，分类讨论求出1a =-，1b =，代入20202020a b +求解即可. 详解：由{1,,}0,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭易知0a ≠，1a ≠由两个集合相等定义可知若10b a b =⎧⎨+=⎩，得1a =-，经验证，符合题意；若01b a a b +=⎧=⎪⎨⎪⎩，由于0a ≠，则方程组无解 综上可知，1a =-，1b =，故2020202020202020(1)12a b +=-+=. 故答案为：2 点睛：本题主要考查了根据集合相等求参数，属于基础题.三、解答题1．（1）{}24x x <≤，{}4x x ；（2）()4,+∞.解析：（1）先由题意求出()U B ，再由交集的概念以及并集的概念，即可求出结果； （2）先由A C C =得到A C ⊆，进而可求出结果. 详解：（1）{}2B x x =>，{}2U B x x ∴=≤.{}{}{}14224A B x x x x x x ∴⋂=≤≤⋂>=<≤， (){}{}{}1424UA B x x x x x x ∴⋃=⋃=.（2）A C C =，.A C ∴⊆. 又{}1C x x a =≤<，4a ∴>.即实数a 的取值范围为()4,+∞. 点睛：本题主要考查集合的混合运算，以及由集合间的关系求参数的问题，熟记集合的基本关系，以及集合基本运算的概念即可，属于常考题型.2．（1）能，集合为{}0,1,2,3,4；（2）不能，理由见解析；（3）能，集合为{}3,x x x Z >∈. 解析：（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合； （2）根据集合元素的确定性进行判断即可；（3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合. 详解：（1）小于5的自然数为0、1、2、3、4，元素确定，所以能构成集合，且集合为{}0,1,2,3,4；（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合；（3）由217x +>得3x >，因为x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个， 所以用描述法表示为{}3,x x x Z >∈.3．（1）{}|110x R x ∈<<；（2）{}|4x x ≥-；（3）(){},|x y y x =±. 解析：用描述方法逐项表示可得答案. 详解：（1）根据描述用不等式表示出即可，可以表示成{}|110x R x ∈<<． （2）先表示成{}|342x x x +≥，解不等式即{}|4x x ≥-．（3）到两坐标轴距离相等的点在坐标轴的角平分线上，即y x =，或y x =-，可以表示成(){},|x y y x =±．。

1.1 集合的概念一、单选题1．设集合{}0,1,2,3M =，则下列关系正确的是（ ）A ．1M ⊆B ．2M ∉C ．{}3M ⊆D ．{}0M ∈2．有下列说法：（1）与表示同一个集合； （2）由组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1； （3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2；（4）集合{}|45x x <<是有限集．其中正确的说法是A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对3．已知集合{}{}2|00,1x x ax +==，则实数a 的值为．A ．1-B ．0C ．1D ．2 4．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 5．已知集合(){}21220A x R a x x =∈+-+=,且A 中只有一个元素,则实数a 的值为A ．12- B ．0或12 C ．1- D ．1-或12- 6．把集合2|450{}x x x --=用列举法表示为（ ）A ．{|1,5}x x x =-=B ．{|15}x x x =-=或C ．2{450}x x --=D ．{-1,5} 7．在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程220x +=的实数解”中，能够表示成集合的是A ．②B ．③C ．②③D ．①②③8．以下各组对象不能组成集合的是（ ）A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程270x -=的实数解D ．周长为10cm 的三角形 9．{}|10P m m =-<<，2{|440Q m R mx mx =∈+-<对于任意实数x 恒成立}，则下列关系中立的是A ．P Q ≠⊂B ．Q P ≠⊂C ．P Q =D ．P Q φ=二、填空题1．下列命题正确的个数__（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合y|y ＝x 2﹣1}与集合（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}是同一个集合；（3）1，361,,||,0.5242-，这些数组成的集合有5个元素；（4）集合（x ，y ）|xy≤0，x ，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．2．若集合{}2(,)1A x y y ax ==-，集合{}(,)33B x y y x ==-，若A B 中元素只有一个，则实数a 组成的集合为______.3．设1234,,,a a a a 是4个互不相同的实数，且{}{}|,1411,21,30,39,49i j x x a a i j =+≤<≤=，则集合{}1234,,,a a a a =____________.4．用符号“∈”或“∉”填空：0______N ；3-______N ；0.5______Z ______Z ；13______Q ；π______R.5．若{}20,2m m m ∈-则实数m 的值为_____. 三、解答题1．若集合{}2|10,A x ax bx x R =++=∈.（1）若{}1,1A =-，求,a b 的值；（2）若{}1A =-，求,a b 的值．2．用列举法表示下列集合：（1）不大于10的非负偶数组成的集合；（2）方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；（3）直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；（4）由所有正整数构成的集合．3．用列举法表示下列集合（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合（2）方程290x的所有实数解组成的集合参考答案一、单选题1．C解析：根据元素与集合的关系和集合与集合的关系即可判断.详解：因为{}0,1,2,3M =，所以{}3M ⊆，故选：C.2．C详解：试题分析：（1）不正确：0是数字不是集合，但{}00∈；（2）正确：集合元素满足无序性，即{}{}1,2,33,2,1=；（3）不正确:集合元素具有互异性,方程的解集应为{}1,2；（4）不正确:满足不等式45x <<的x 有无数个,所以集合{}|45x x <<是无限集．故C 正确．考点：1元素与集合的关系；2集合元素的特性．3．A详解：依题意，有{}{}0,0,1a -=，所以，1a =-．选A.4．C解析：由题意先解出集合A,进而得到结果．详解：解：由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂=故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题．解析：由条件可得方程()21220a x x +-+=只有一个实数解，对二次项系数是否为0，结合根的判别式，即可求解.详解：A 中只有一个元素，所以方程()21220a x x +-+=只有一个实数解， 当10,1a a +==-时，方程为220,1x x -+==，满足题意；当10,1a a +≠≠-时，148(1)840,2a a a ∆=-+=--==-，所以1a =-或12a =-.故选:D.点睛：本题考查集合的表示，以及对集合元素的理解，属于基础题.6．D解析：先解一元二次方程2450x x --=的根，然后直接利用列举法表示集合.详解：解方程2450x x --=得1x =-或5x =，因此集合2|450{}x x x --=用列举法表示为{1,5}-. 故选：D.点睛：本题考查了一元二次方程的求解和集合列举法的应用，属于基础题.7．C解析： 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.点睛：集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．对于一个元素，其要么属于集合，要么不属于这个集合，二者选一，不可不选.对于集合中任意两个元素，它们必不相等.8．B解析：根据集合的元素特征，逐个判断即可得解.详解：根据集合元素的确定性，易知：B 答案中的小河流，是不确定的，故不能构成集合，而A ，C ，D 项中集合的元素均确定，故选：B.本题考查了集合的确定性，是概念题，属于基础题.9．A解析：首先化简集合Q ，2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则分两种情况：（1）0m =时，易知结论成立，（2）0m <时，2440mx mx +-=无根，则由∆<0求得m 的范围. 详解：{}2|440Q m R mx mx x =∈+-<对任意实数恒成立， 对m 分类：（1）0m =时，40-<恒成立；（2）0m <时，需要2(4)160m m ∆=+<，解得10m -<<，综合（1）（2）知10m -<≤，所以{}|10Q m m =-<≤，因为{}|10P m m =-<<，所以P Q ≠⊂，故选A. 点睛：该题考查的是有关判断集合间的关系的问题，涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求法，真子集的概念问题，属于简单题目.二、填空题1．0解析：利用集合元素的特征，集合中元素的含义逐一判断可得答案．详解：解：对于（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，所以（1）不正确．对于（2）集合y|y ＝x 2﹣1}表示的是函数y ＝x 2﹣1的值域，而集合（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}表示的是y ＝x 2﹣1图象上的点，故（2）不正确；对于（3）：因为3624=，10.52-=，不满足集合中的元素是互异的，故（3）不正确； 对于（4）集合（x ，y ）|xy≤0，x ，y∈R}是指第二和第四象限内的点集及两个坐标轴上的点，故（4）不正确，故答案为：0.2．90,8⎧⎫⎨⎬⎩⎭解析：将问题转化为2320ax x -+=只有一个解，分类讨论a 可求得结果.因为A B 中元素只有一个，所以2133y ax y x ⎧=-⎨=-⎩只有一组解， 所以2320ax x -+=只有一个解，当0a =时，23x =符合题意；当0a ≠时，2(3)80a ∆=--=，解得98a =，故实数a 组成的集合为90,8⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 故答案为：90,8⎧⎫⎨⎬⎩⎭.点睛：本题考查了根据交集中元素个数求参数，考查了分类讨论思想，属于基础题.3．{}1,10,20,29解析：不妨设1234a a a a <<<，集合{}|,14i j x x a a i j =+≤<≤中至多有6个数，确定i j a a +中的最小和最大的数，再确定次小与次大的数，然后还有两个相等为中间的数，由此可得解． 详解：不妨设1234a a a a <<<，则在集合{}|,14i j x x a a i j =+≤<≤中，12a a +最小，34a a +最大，即1211a a +=，3449a a +=，第二小的数是13a a ，第二大的数是24a a +，即1321a a +=，2439a a +=，从而有142330a a a a +=+=，由1211a a +=，3449a a +=，1321a a +=，2439a a +=，142330a a a a +=+=，可解得11a =，210a =，320a =，429a =，故答案为：{}1,10,20,29点睛：本题考查求集合中的元素，解题时根据集合的定义，把i j a a +排列，再根据集合的定义得出结论后可求解．考查了逻辑推理能力，运算求解能力．4．∈∉∉∉∈∈解析：根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断.详解：0是自然数，则0N ∈；3-不是自然数，则3N -∉；0.5Z Z ∉；13是有理数，则13Q ∈；π是无理数，则R π∈故答案为：(1)∈；(2)∉；(3)∉；(4)∉；(5)∈；(6)∈点睛：本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题.5．2解析：由已知中若0∈m，m 2﹣2m}，根据元素与集合之间的关系，可得m ＝0或m 2﹣2m ＝0，分类讨论，结合集合元素的互异性排除掉不满足条件的m 值，即可得到答案．详解：解：∵0∈m，m 2﹣2m}，∴m＝0或m 2﹣2m ＝0当m ＝0时，m 2﹣2m ＝0，这与集合元素的互异性矛盾，当m 2﹣2m ＝0时，m ＝0（舍去）或m ＝2故答案为：2点睛：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据0∈m，m 2﹣2m}，得到关于m 的方程是解答本题的关键，但解答过程中易忽略集合元素的互异性，而错解为m ＝0或m ＝2三、解答题1．（1）1,0a b =-=；（2）1,2a b ==或01a b ==，解析：（1）若{}1,1A =-，则210ax bx ++=的两个根分别为1,1-，根据韦达定理求得参数值.（2）若{}1A =-，分0a =和0a ≠两种情况进行讨论，从而求得参数值.详解：（1）若{}1,1A =-，则210ax bx ++=的两个根分别为1,1-， 由韦达定理可得110a b ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，故1,0a b =-=. （2）若{}1A =-，则01a b =⎧⎨=⎩或0112a ab a⎧⎪≠⎪⎪=⎨⎪⎪-=-⎪⎩，故1,2a b ==. 综上若{}1A =-，则1,2a b ==或0,1a b ==2．（1）0，2，4，6，8，10}；（2）0，2}；（3）(0，1)}；（4）1，2，3，…}．解析：根据题意求得集合的元素，然后用列举法表示集合.详解：解 （1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 0，2，4，6，8，10}．（2）方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为0，2}．（3）将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是(0，1)}．（4）正整数有1，2，3，…，所求集合为1，2，3，…}．3．（1）{}4,5,6,7,8,9；（2）{}3,3-.解析：（1）用列举法，直接写出结果；（2）先解方程，即可得出对应的集合.详解：（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合为{}4,5,6,7,8,9；（2）解方程290x 得3x =±， 所以方程290x 的所有实数解组成的集合为{}3,3-. 点睛：本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.。

人教A版（2019）必修1《1.1 集合的概念》2020年同步练习卷（2）一、选择题1. ①某班很聪明的同学；②方程x2−1＝0的解集；③漂亮的花儿；④空气中密度大的气体．其中能组成集合的是（）A.②B.①③C.②④D.①②④2. 下列所给关系正确的个数是（）①π∈R；②√3∉Q；③0∈N∗；④|−4|∉N∗．A.1B.2C.3D.43. 方程组{x+y=2，x−y=0的解构成的集合是( )A.{(1,1)}B.{1,1}C.(1,1)D.{1}4. 下列说法中不正确的是()A.0与{0}表示同一个集合B.集合M={3, 4}与N={(3, 4)}表示同一个集合C.方程(x−1)2(x−2)=0的所有解的集合可表示为{1, 1, 2}D.集合{x|4<x<5 }不能用列举法表示二、填空题已知集合A含有两个元素1，2，集合B表示方程x2+ax+b＝0的解的集合，且集合A 与集合B相等，则a+b＝________．设集合M＝{1, 3, 6, 9, 12, 15}，集合N满足：①有两个元素；②若x∈N，则x+3∈M且x−3∈M．请写出两个满足条件的集合N:N＝________；N＝________．三、解答题选择适当的方法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）24的所有正因数组成的集合；（3）三角形的全体组成的集合．四、选择题下列关于集合的命题正确的有（）①很小的整数可以构成集合；②集合{y|y＝2x2+1}与集合{(x, y)|y＝2x2+1}是同一个集合；③1，2，|−12|，0.5，12这些数组成的集合有5个元素．A.0个B.1个C.2个D.3个若1∈{x+2, x2}，则实数x的值为（）A.−1B.1C.1或−1D.1或3已知集合A＝{−2, 2}，B＝{m|m＝x+y, x∈A, y∈A}，则集合B等于（）A.{−4, 4} B.{−4, 0, 4} C.{−4, 0} D.{0}已知x，y为非零实数，则集合M＝{m|m=x|x|+y|y|+xy|xy|}为（）A.{0, 3}B.{1, 3}C.{−1, 3}D.{1, −3}定义集合A、B的一种运算：A∗B={x|x=x1+x2, x1∈A, x2∈B}，若A={1, 2, 3}，B={1, 2}，则A∗B中的所有元素之和为（）A.21B.18C.14D.9五、填空题设集合A＝{x|x2−3x+a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．已知方程组{ax+y=bx+by=−a的解集是{(1, 1)}，则(a, b)＝________．已知集合A＝{2, a2+1, a2−a}，B＝{0, 7, a2−a−5, 2−a}，且5∈A，则集合B＝________．已知集合A＝{m∈N|4m ∈N}，B＝{4m∈N|m∈N}，则集合A＝________；B＝________．已知集合A＝{x|ax2−3x+2＝0}，其中a为常数，且a∈R．（1）若A是单元素集合，求a的取值范围；（2）若A中至少有一个元素，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．已知集合A＝{k+1, k+2, ......, k+n}，k，n为正整数，若集合A中所有元素之和为2019，则当n取最大值时，集合A＝________．∈A(a≠1)．求证：设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11−a（1）若2∈A，则A中必有另外两个元素；（2）集合A不可能是单元素集．参考答案与试题解析人教A版（2019）必修1《1.1 集合的概念》2020年同步练习卷（2）一、选择题1.【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】本题考查的是集合元素的特点：互异性、确定性、无序性．根据集合特点逐一进行判断即可．【解答】①某班很聪明的同学，不确定，不是集合，②方程x2−1＝0的解集；解集为{1, −1}，是集合，③漂亮的花儿，不确定，不是集合，④空气中密度大的气体，不确定，不是集合．2.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据元素与集合之间的关系判断四个结论是否正确【解答】解：①π∈R，故①正确；②√3∉Q，故②正确；③0∉N∗，故③不正确；④|−4|∈N∗．故④不正确.综上，正确的有①②.故选B.3.【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】通过解二元一次方程组求出解，利用集合的表示法：列举法表示出集合即可．【解答】解：{x+y=2，x−y=0，解得{x =1，y =1，所以方程组{x +y =2，x −y =0的解构成的集合是{(1,1)}. 故选A ． 4.【答案】 A,B,C 【考点】集合的确定性、互异性、无序性 元素与集合关系的判断 集合的含义与表示【解析】利用元素与集合的关系、集合的性质及其表示法、集合的运算即可判断出． 【解答】解：A ，0是一个元素（数），而{0}是一个集合，二者是属于与不属于的关系，选项不正确；B ，集合M ={3, 4}表示数3，4构成的集合，而N ={(3, 4)}表示点集，选项不正确；C ，集合的元素具有互异性，不允许重复，因此方程(x −1)2(x −2)=0的所有解的集合可表示为{1, 2}，选项不正确；D ，集合{x|4<x <5}含有无穷个元素，不能用列举法表示，选项正确. 故选ABC . 二、填空题【答案】 −1【考点】 集合的相等 【解析】由集合A 与集合B 相等，列出方程组，求出a ＝−3，b ＝2．由此能求出a +b ． 【解答】∵ 集合A 含有两个元素1，2，集合B 表示方程x 2+ax +b ＝0的解的集合， 且集合A 与集合B 相等， ∴ {1+a +b =04+2a +b =0，解得a ＝−3，b ＝2．∴ a +b ＝−3+2＝−1． 【答案】 {6, 9},{9, 12} 【考点】元素与集合关系的判断 【解析】根据题中条件，若x ∈N ，则x +3∈M 且x −3∈M ，可知集合N 中的元素与3的和与差，都是集合M 中的元素． 【解答】因集合N 中只有两个元素，并且若x ∈N ，则x +3∈M 且x −3∈M ，可知x 可以取6，9，12，又因为集合N中只有两个元素，所以集合N可以是{6, 9}，{9, 12}，三、解答题【答案】被5除余1的正整数组成的集合＝{x|x＝5n+1, n∈N}；24的所有正因数组成的集合＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}；三角形的全体组成的集合＝{三角形}．【考点】集合的含义与表示【解析】根据元素的特点选择列举法或描述法表示即可．【解答】被5除余1的正整数组成的集合＝{x|x＝5n+1, n∈N}；24的所有正因数组成的集合＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}；三角形的全体组成的集合＝{三角形}．四、选择题【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】①由集合元素的性质：确定性可知错误；②中注意集合中的元素是什么；③中注意元素相等的情况．【解答】①错误，很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；②错误，集合{y|y＝2x2+1}的元素为实数，而集合{(x, y)|y＝2x2+1}的元素是点；③错误，|−12|=0.5=12这三个数算一个元素，从而命题③错误故正确的有0个．【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】分类讨论，当x＝1时，x+2＝3，满足要求，当x＝−1时，−1+2＝1，不满足元素的互异性，即可得答案．【解答】由1∈{x+2, x2}，可得x2＝1，则x＝±1．当x＝1时，x+2＝3，满足要求，当x＝−1时，−1+2＝1，不满足元素的互异性，∴x＝1．【答案】B【考点】集合的含义与表示【解析】由已知中集合A＝{−2, 2}，B＝{m|m＝x+y, x∈A, y∈A}，代入运算可得答案．【解答】∵集合A＝{−2, 2}，B＝{m|m＝x+y, x∈A, y∈A}，∴集合B＝{−4, 0, 4}，【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】分类讨论，化简集合M，即可得出结论．【解答】x>0，y>0，m＝3，x>0，y<0，m＝−1，x<0，y>0，m＝−1，x<0，y<0，m＝−1，∴M＝(−1，3}．【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据新定义A∗B={x|x=x1+x2, x1∈A, x2∈B}，把集合A与集合B中的元素分别代入再求和即可求出答案．【解答】解：∵A∗B={x|x=x1+x2, x1∈A, x2∈B}，A={1, 2, 3}，B={1, 2}，∴A∗B={2, 3, 4, 5}，∴A∗B中的所有元素之和为：2+3+4+5=14，故选C．五、填空题【答案】{4, −1}【考点】集合的含义与表示【解析】根据4∈A，求出a，进而求出结论．【解答】∵集合A＝{x|x2−3x+a＝0}，若4∈A，则42−3×4+a＝0⇒a＝−4；∴集合A＝{x|x2−3x−4＝0}＝{4, −1}，【答案】(−1, 0)【考点】两条直线的交点坐标【解析】依题意，可建立方程组{a+1=b1+b=−a，解出即可．【解答】依题意，{a +1=b 1+b =−a，解得{a =−1b =0 ．【答案】{0, 7, 1, 4} 【考点】元素与集合关系的判断 【解析】利用5∈A ，进行分类讨论，a 2+1＝5，或a 2−a ＝5，再考虑集合元素具有互异性． 【解答】因为5∈A ，所以a 2+1＝5，或a 2−a ＝5；解得a ＝±2，1−√212,1+√212，因集合元素具有互异性，所以a ＝−2，此时B ＝{0, 7, 1, 4}． 【答案】{1, 2, 4},{1, 2, 4}【考点】集合的含义与表示 【解析】求出满足集合性质的元素，用列举法表示该集合，可得答案． 【解答】∵ 集合A ＝{m ∈N|4m∈N}＝{1, 2, 4}，B ＝{4m∈N|m ∈N}＝{1, 2, 4}，【答案】当a ＝0时，A ＝{x|−3x +2＝0}＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使A 是单元素集合，则△＝(−3)2−8a ＝0，解得a =98，∴ A ＝{43}．综上，当a ＝0时，A ＝{23}， 当a ≠0时，A ＝{43}；当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使A 中至少有一个元素，则△＝(−3)2−8a ≥0，解得a ≤98．∴ a 的取值范围是(−∞, 98]．A 中有两个元素时，需满足a ≠0且△＝(−3)2−8a >0， 即a <98且a ≠0；故A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是：[98, +∞)∪{0}．【考点】集合的含义与表示 【解析】（1）分二次项系数为0和不为0求解方程ax 2−3x +2＝0，得到单元素集合A ；（2）二次项系数为0满足题意，二次项系数不为0时，由判别式大于等于0求得a 的取值范围．（3）可考虑研究有两个元素的情况，求其补集即可． 【解答】当a ＝0时，A ＝{x|−3x +2＝0}＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使A 是单元素集合，则△＝(−3)2−8a ＝0，解得a =98，∴ A ＝{43}． 综上，当a ＝0时，A ＝{23}， 当a ≠0时，A ＝{43}；当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使A 中至少有一个元素，则△＝(−3)2−8a ≥0，解得a ≤98．∴ a 的取值范围是(−∞, 98]．A 中有两个元素时，需满足a ≠0且△＝(−3)2−8a >0， 即a <98且a ≠0；故A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是：[98, +∞)∪{0}．【答案】{334, 335, 336, 337, 338, 339} 【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由题意利用等差数列的前n 项和公式，分类讨论n ，得出结论． 【解答】∵ 集合A ＝{k +1, k +2, ......, k +n}，k ，n 为正整数，∴ A 中共有n 个正整数，且这n 个正整数从小到大排列，构成以k +1为首项，以1位公差的等差数列．若集合A 中所有元素之和为 n(k +1)+n(n−1)2=2k+n+12⋅n =2019＝3×673，当n 为偶数时，设n ＝2m ，m 为正整数，(2k +2m +1)⋅m ＝3×673， ∴ m ＝3，2k +2m +1＝673， 即 m ＝3，n ＝6，k ＝333．当n 为奇数时，设n ＝2m +1′，m 为正整数，(k +m +1)⋅(2m +1)＝3×673， ∴ 2m +1＝3，k +m +1＝673， 即 m ＝1，n ＝3，k ＝671．故n 的最大值为6，此时，A ＝{334, 335, 336, 337, 338, 339}． 【答案】∵ a ∈A ，则11−a ∈A(a ≠1)．而2∈A ，则11−2=−1∈A ，11−(−1)=12∈A ．∴A中必有另外两个元素−1，12．由a∈A，则11−a∈A(a≠1)．∴11−11−a =1−a−a=1−1a≠1，又1−1a≠a，∴1−1a∈A，不是单元素集．【考点】元素与集合关系的判断【解析】（1）由题意可得2∈A，11−2=−1∈A，11−(−1)∈A．即可得出．（2）由a∈A，则11−a ∈A(a≠1)．可得11−11−a=1−a−a=1−1a≠1，又1−1a≠a，即可得出．【解答】∵a∈A，则11−a∈A(a≠1)．而2∈A，则11−2=−1∈A，11−(−1)=12∈A．∴A中必有另外两个元素−1，12．由a∈A，则11−a∈A(a≠1)．∴11−11−a =1−a−a=1−1a≠1，又1−1a≠a，∴1−1a∈A，不是单元素集．。

1.1 集合的概念一、单选题1．下列叙述正确的是（ ）．A ．方程2210x x -+=的根构成的集合为{}1,1-B ．{}22401030x x R x x R x ⎧⎫+>⎧∈+==∈⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭C ．集合(){,5M x y x y =+=且}20x y -=表示的集合是{}2,3D ．集合{}1,2,3与集合{}3,2,1是不同的集合答案：B解析：解出2210x x -+=、520x y x y +=⎧⎨-=⎩可判断AC 的正误，由集合的无序性可得D 的正误，{}22401030x x R x x Rx ⎧⎫+>⎧∈+==∈=∅⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭，可得B 的正误. 详解：方程2210x x -+=的根为1x =，故A 错误；{}22401030x x R x x Rx ⎧⎫+>⎧∈+==∈=∅⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭，故B 正确； 由520x y x y +=⎧⎨-=⎩可解得53103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故C 错误； 集合{}1,2,3与集合{}3,2,1是相同的集合，故D 错误故选：B2．定义集合运算：{|()(),A B z z x y x y ⊗==+⨯-,}x A y B ∈∈，设A =，{1B =，则集合A B ⊗的真子集个数为A ．8B ．7C ．16D ．15答案：B详解：由题意A =，{B =，则A B ⊗有)))111,0,112,⨯=⨯==1= 四种结果，由集合中元素的互异性，则集合A B ⊗由3个元素，故集合A B ⊗的真子集个数为3217-=个，故选B3．已知M ＝x|x≤5，x∈R}，a =b ( )A ．a∈M，b∈MB ．a∈M，b MC ．a M ，b∈MD ．a M ，b M答案：B解析：∵5a =，5b ，{|5}M x x x R =≤∈，，∴ a M b M ∈∉，，故选B. 4．设集合A=｛1，4，5｝，若a∈A，5-a∈A，那么a 的值为A ．1B ．4C ．1或4D ．0 答案：C详解：试题分析：当1a =时54a A -=∈成立；当4a =时51a A -=∈成立；当5a =时50a A -=∉，舍． 所以1a =或4a =．故C 正确．考点：元素与集合间的关系．5．已知集合A ＝3|,2x x Z Z x 且⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C详解： 试题分析：32Z x ∈-，2x -的取值有3-、1-、1、3，又x Z ∈， x ∴值分别为5、3、1、1-，故集合A 中的元素个数为4，故选C.考点：数的整除性6．集合(x ，y)|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y)C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图像上的所有点组成的集合答案：D解析：由集合中的元素的表示法可知集合（x ，y ）|y=2x ﹣1}表示函数y=2x ﹣1图象上的所有点组成的集合．详解：集合（x ，y ）|y=2x ﹣1}中的元素为有序实数对（x ，y ），表示点，所以集合（x ，y ）|y=2x ﹣1}表示函数y=2x ﹣1图象上的所有点组成的集合．故选D ．点睛：本题考查了集合的分类，考查了集合中的元素，解答的关键是明确（x ，y ）表示点，是基础题．7．已知集合{}1,2,3A =，则下列说法正确的是（ ）A ．2A ∈B ．2A ⊆C ．2A ∉D ．∅=A答案：A解析：根据元素与集合之间关系，可直接得出结果.详解：因为集合{}1,2,3A =，所以2A ∈.故选：A点睛：本题主要考查元素与集合之间关系的判断，熟记元素与集合之间的关系即可，属于基础题型.8．集合8,,3M y y x N y N x ⎧⎫==∈∈⎨⎬+⎩⎭的元素个数是 A ．2B ．4C ．6D ．8答案：A 解析：根据题中给出的条件,x y N ∈,分别从最小的自然数0开始给x 代值,求出相应的y 的值,直到得出的1y <为止,求出y N ∈的个数.详解： 因为8|,,3M y y x y N x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭, 所以：当0x =时,83y N =∈/; 当x 1=时,8213y N ==∈+; 当x 2=时,88235y N ==∈/+; 当3x =时,84333y N ==∈/+; 当x 4=时,88437y N ==∈/+;当5x =时,8153y N ==∈+; 当6x ≥时,813y x =<+,且0y ≠，所以y N ∉. 综上,8|,,{2,1}3M y y x y N x ⎧⎫==∈=⎨⎬+⎩⎭,元素个数是2个. 故选A.点睛：本题考查了集合中元素的个数,关键根据,x y N ∈用赋值法分析和解决问题,属于基础题.9．下面对集合1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是（ ）A ．x|x 是小于18的正奇数}B ．x|x ＝4s ＋1，s∈N，且s <5}C ．x|x ＝4t －3，t∈N，且t<5}D ．x|x ＝4s －3，s∈N ，且s<6}答案：B解析：根据描述法的定义，依次判断选项即可.详解：A ：集合含有元素3，故A 错误；B ：当s 01234=、、、、时，1591317x =、、、、，故B 正确； C ：当0t =时，3x =-，故C 错误；D ：当0s =时，3x =-，故D 错误.故选：B二、填空题1．已知{}20,,A a a =，若1A ∈，则实数a 的值是______．答案：1-解析：利用元素和集合的关系，以及集合的互异性可求解．详解：1A ∈，1a 或21a =，当1a =时，21a =，则{0,1,1}A =，不满足集合的互异性，舍去．当21a =时，解得：1a =-，1a =（舍去），此时{0,1,1}A =-符合题意．故答案为：1-2．已知集合123A x N y Z x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭，则集合A 用列举法表示为__________________答案：{}0,1,3,9解析：由y Z ∈，x ∈N ，可得3x +是12不小于3的因数，列出因数，求解即可详解：由x ∈N ，y Z ∈，则3x +是12不小于3的因数，则3x +可为3,4,6,12，即x 为0,1,3,9， 则集合A 用列举法表示为{}0,1,3,9点睛：本题考查描述法与列举法的转换，列举法表示集合，数集的应用3．设集合{}24,21,A a a =--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9，则实数a 的值为______．答案：3-解析：先通过已知可得219a -=或29a =，解方程求出a ，然后带入集合验证，满足互异性即可.详解：∵{}24,21,A a a =--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9， ∴219a -=或29a =．当219a -=时，5a =，此时{}4,9,25A =-，{}9,0,4B =-，A ，B 中还有公共元素4-，不符合题意；当29a =时，3a =±，若3a =，{}9,2,2B =--，集合B 违背互异性．若3,{4,7,9},{9,8,4},{9}a A B A B =-=--=-=，∴3a =-．故答案为：3-．点睛：本题考查元素与集合的关系，以及集合中元素的互异性，是基础题.4．集合[]{}cos(cos )0,0,x x x ππ=∈= _____．（用列举法表示）答案：2,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 解析：由已知得cos 2x ππ=，或cos 2x ππ=-，由此能得出结果. 详解： 集合[]{}cos(cos )0,0,x x x ππ=∈,cos 2x ππ∴=，或cos 2x ππ=-, 1cos 2x ∴=或1cos 2x =-， 3x π∴=或23x π=. []{}2cos(cos )0,0,,33x x x ππππ⎧⎫∴=∈=⎨⎬⎩⎭. 故答案为：2,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 点睛：本题主要考查的是三角函数以及列举法表示集合，是基础题.5．用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）___________．答案：(){,0,x y xy ≥且211,132x y ⎫-≤≤-≤≤⎬⎭ 解析：根据阴影部分所在象限，确定xy 的范围，再结合图像，判断出,x y 的取值范围，由此求得可以表示出阴影部分的集合.详解：由于阴影部分所在象限为第一、三象限，且在,x y 轴上都有点，故0xy ≥；根据图像可知211,132x y -≤≤-≤≤，所以描述法表示图中的阴影部分（包括边界）为(){,0,x y xy ≥且211,132x y ⎫-≤≤-≤≤⎬⎭. 故填：(){,0,x y xy ≥且211,132x y ⎫-≤≤-≤≤⎬⎭. 点睛：本小题主要考查用集合表示区域，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.三、解答题1．已知53,⎛ ⎝⎭和3)都是集合{}22(,)|1A x y ax by =-=中的元素,求实数,a b 的值.答案：1,14a b ==解析：把3,⎛ ⎝⎭和代入方程221ax by -=列出方程组，即可求出实数,a b 的值. 详解：由题：3,⎛ ⎝⎭和都是集合{}22(,)|1A x y ax by =-=中的元素,所以3,⎛ ⎝⎭和满足方程221ax by -=， 59141631a b a b ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以1,14a b ==.点睛：此题考查根据集合中的元素求参数的值，关键在于准确代值列出方程组，解方程组即可得解.2．若a ，b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭． 求：(1)a b +;(2)20222019a b +．答案：(1) 0; (2) 2;解析：(1)根据{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭可得出0a b +=, (2)由(1)得=-a b ，即1b a=-,根据元素的互异性可得1a =-, 1b =,代入20222019a b +计算即可. 详解： (1)根据元素的互异性，得0a b +=或0a =，若0a =，则b a无意义，故0a b +=; (2) 由(1)得=-a b ，即1b a =-，据元素的互异性可得：1b a a ==-，1b =， ∴()2022202220192019112a b +=-+=.点睛：本题考查集合中元素的互异性，属于基础题.3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对任意的点(),P x y ，定义OP x y =+，任取点()()1122,,,A x y B x y ，记()()''1221,,,A x y B x y ，若此时2222''OA OB OA OB +≥+成立，则称点,A B 相关.（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由.①()()2,1,3,2A B -；②()()4,3,2,4C D -.（2）给定*N ,3n n ∈≥，点集(){},,,,n x y n x n n y n x y Z Ω=-≤≤-≤≤∈，求集合n Ω中与点()1,1A 相关的点的个数.答案：（1）见解析（2）245n +解析：（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求.（2）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合n Ω中与点(1,1)A 相关的点的个数；详解：若点()11,A x y ，()22,B x y 相关，则()12,A x y '，()21,B x y ，而OP x y =+不妨设11220,0,0,0x y x y ≥≥≥≥ 则由定义2222OA OB OA OB ''+≥+可知()()()()222211221221x y x y x y x y +++≥+++ 化简变形可得()()12120x x y y --≥（1）对于①(2,1)A -，(3,2)B ；对应坐标取绝对值，代入可知(23)(12)0--≥成立，因此相关；②对应坐标取绝对值，代入可知(42)(34)0--<，因此不相关.（2）在第一象限内，(1)(1)0x y --≥，可知1x n ≤≤且1y n ≤≤，有2n 个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有2n 个点.在x 轴正半轴上，点()1,0满足条件；在x 轴负半轴上，点1,0满足条件；在y 轴正半轴上，点0,1满足条件；在y 轴负半轴上，点0,1满足条件；原点()0,0满足条件；因此集合n Ω中共有245n +个点与点(1,1)A 相关.点睛：本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题.。

1.1 集合的概念一、单选题1．下列各组中的M 、P 表示同一集合的个数是（ ）①{}3,1M =-，{(3,1)}P =-；②{(3,1)}M =，{(1,3)}P =；③{}21M y y x ==-∣，{}1P t t =∣④{}21M y y x ==-∣，{}2(,)1P x y y x ==-∣.A ．0B ．1C ．2D ．32．下列给出的对象中，能组成集合的是（ ）A ．一切很大数B ．方程210x -=的实数根C ．漂亮的小女孩D ．好心人3．集合{}2*|70,A x x x x N =-<∈，则*6|,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．由实数,,|x x x -） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．下列集合中，表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的是A ．{}2,1B ．{}2,1x y ==C ．(){}2,1D ．(){}1,26．一次函数2y x =+和28y x =-+图象的交点组成的集合是（ ）A ．{2,4}B ．{2,4}x y ==C ．(2,4)D ．{(2,4)}7．下列集合恰有2个元素的集合是 （ ）A ．2{0}x x -=B ．2{|}x y x x =-C ．2{|0}y y y -=D ．2{|}y y x x =-8．集合A ＝1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11，…}，用描述法表示正确的是（）①x|x＝2N ±1，N∈N}；②x|x＝（﹣1）N （2N ﹣1），N∈N}；③x|x＝（﹣1）N （2N+1），N∈N}．A ．③B ．①③C ．②③D ．①②③9．若{}21,a a ∈，则a 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．±1二、多选题1．设集合{|M x x a ==，其中,}a b R ∈，则下列为集合M 元素的是（ ）A ．0B 1C ．3 D2．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5|Z k n k n =+∈，0k =，1，2，3，4，给出如下四个结论，其中，正确结论的是（ ）A ．[]20211∈B ．[]33-∈C ．若整数a ，b 属于同一“类”，则[]0a b -∈D ．若[]0a b -∈，则整数a ，b 属于同一“类”3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为（ ）A ．x|x ＝2k －1，k∈N}B ．x|x ＝2k ＋1，k∈N，k≥2}C ．x|x ＝2k ＋3，k∈N}D ．x|x ＝2k ＋5，k∈N}4．下列说法中不正确的是（ ）A ．0与{0}表示同一个集合；B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；C ．方程2(1)(2)0x x --=的所有解组成的集合可表示为{1,1,2}；D ．集合{45}x x <<∣可以用列举法表示． 5．下列结论不正确的是（ ）A ．1N ∈B QC ．*0N ∈D ．3Z -∈三、填空题1．已知集合|1k M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,且3M -∈，则k 的取值范围是____________. 2．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m ＝________．3．已知集合{}=2,0,1,9A ，{}2|2,2B k k R k A k A =∈-∈-∉，，则集合B 中所有的元素之和为___________.4．已知集合{}0,1A =，{}2,2B a a =，其中a R ∈，我们把集合{}1212,,x x x x x A x B =+∈∈记作A B *，若集合A B *中的最大元素是21a +，则a 的取值范围是________.5．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A ，美国__________A ，印度____________A ，英国_____________A ；（2）若2|A x x x ，则-1_____________A ；（3）若{}2|60B x x x =+-=，则3________________B ；（4）若{|110}C x x =∈N ，则8_______________C ，9.1____________C.四、解答题1．已知集合A ＝x∈R|ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A.2．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）与定点A ，B 等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手.3．已知等差数列{}n a 的公差(]0,d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}|,n S x x b n N *==∈.（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n Tn b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值.参考答案一、单选题1．B解析：利用集合相等的概念判断.详解：在①中，}1{3M =-，是数集，{(3,1)}P =-是点集，二者不是同一集合，故①错误； 在②中，{(3,1)}M =，{(1,3)}P =表示的不是同一个点，故②错误；在③中，{}21[1,)M yy x ==-=-∞∣，{1}[1,)P t t x ==-=-+∞∣，二者表示同一集合，故③正确； 在④中，{}21M yy x ==-∣表示数集，{}2(,)1P x y y x ==-∣表示点集，故④错误. 故选：B.2．B解析：根据集合的概念，逐项判断，即可得出结果.详解：A 选项，很大数没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合；排除A ；B 选项，方程210x -=的实数根为±1，能构成集合；B 正确；C 选项，漂亮没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合，排除C ；D 选项，好心人没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合，排除D.故选：B.3．D详解：试题分析：,,所以集合中的元素个数为4个，故选D.考点：集合的表示4．A解析：分0x =，0x >，0x <三种情况讨论22,,|,x x x x x --素个数，即可求得集合中元素的最多个数.详解：||x ，||x =-，故当0x =时，这几个实数均为0；当0x >时，它们分别是,,,,x x x x x --；当0x <时，它们分别是,,,,x x x x x ---.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个.故选：A点睛：本题考查集合的互异性，集合中元素的个数，属于基础题.5．C解析：解出方程组，方程组的解构成的集合，即有序数对构成的集合.详解：解方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩即(2,1)， 所以方程组的解集(){}2,1.故选：C点睛：此题考查集合元素的辨析，正确解出方程组，方程组的解是有序数对，其解集是由有序数对构成的集合，容易出现概念混淆，把解集的形式弄错.6．D解析：联立两函数方程求出交点，用点的集合表示即可.详解：因为22482y x x y y x =+=⎧⎧⇒⎨⎨==-+⎩⎩， 所以两函数图象的交点组成的集合是{(2,4)}.故选：D点睛：本题考查用集合表示方程组的解，在表示点的集合时要采用合理的表示方法，属于基础题.7．C解析：化简集合即得结果详解：2{0}x x -=不是集合；2{|}x y x x R =-=,2{|0}{0,1}y y y -==,21{|}[,)4y y x x =-=-+∞,所以选C.点睛：本题考查描述法表示集合的含义，考查基本分析判定能力，属基础题.8．A解析：取N ＝0，1，2分别验证三个集合即可．详解：解：取N ＝0，x|x ＝2N ±1，N∈N}＝0，1}，故①错误；取N ＝0，x|x ＝（﹣1）N （2N ﹣1），N∈N}＝﹣1}，故②错误；取N ＝0，x|x ＝（﹣1）N （2N+1），N∈N}＝1}，取N ＝1，x|x ＝（﹣1）N （2N+1），N∈N}＝﹣3}，取N ＝2，x|x ＝（﹣1）N （2N+1），N∈N}＝5}，……，故③正确；故选：A ．9．B解析：分1a =和21a =两种情况讨论，即得解.详解：若1a =，则2a a =，不合题意，舍去；若21a =，则1a =±，易知当1a =-时满足题意.故选：B点睛：本题主要考查元素与集合的关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.二、多选题1．ABCD解析：根据集合M 表示的意义，分别验证即可；详解：解：因为{|M x x a ==，其中,}a b R ∈当00a b =⎧⎨=⎩时，0x =，所以0M ∈当11a b =-⎧⎨=⎩时，1x =1M ∈ 当30a b =⎧⎨=⎩时，3x =，所以3M ∈当1727a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，177x =-+=M 故选：ABCD点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.2．ACD解析：根据“类”的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项．详解：对于A ：因为202140451=⨯+，所以[]20211∈，故选项A 正确；对于B ：因为()3512-=⨯-+，所以[]32-∈，故选项B 错误；对于C ：若a 与b 属于同一类，则15a n k =+，25b n k =+，()[]1250(a b n n -=-∈其中1n ，2Z)n ∈，故选项C 正确；对于D ：若[]0a b -∈，设5,Z a b n n -=∈，即5,Z a n b n =+∈，不妨令5,Z b m k m =+∈，0k =，1，2，3，4，则()555a m n k m n k =++=++，m ∈Z ，Z n ∈，所以a 与b 属于同一类，故选项D 正确；故选：ACD.3．BD解析：用列举法把四个选项对应的集合表示出来，即可验证.详解：对于A ：{}{|}1,1,321x x k k ∈=-N ＝－，对于B ：{}{|212}5,7,9x x k k k +∈≥=N ＝，， 对于C ：{}{|23}3,5,7x x k k +∈=N ＝， 对于D ：{}{|25}5,7,9x x k k +∈=N ＝，故选：BD4．ACD 解析：根据集合的定义和表示方法分别进行判断．详解：解： 0表示元素，不是集合，所以A 错误．根据集合元素的无序性可知，由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}，B 正确．根据集合元素的互异性可知，满足方程的解为{1，2}，所以C 错误．满足45x <<的元素有无限多个，所以无法用列举法表示，所以D 错误．故选：ACD ．5．BC解析：根据N 、Q 、N *、Z 表示的数集，结合元素与集合之间的关系即可做出判断. 详解：由N 表示自然数集，知1N ∈，故A 正确；Q Q ，故B 错；由N *表示正整数集，知*0N ∉，故C 错；由Z 表示整数集，知3Z -∈，故D 正确.故选：BC.三、填空题1．(,3)-∞解析：由集合元素与几何的关系即可得到答案.详解： 因为集合|1k M x x⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,且3M -∈， 所以13k >--，解得3k <， 所以k 的取值范围是(,3)-∞.故答案为：(,3)-∞点睛：本题考查集合的基本定义，属基础题.2．3解析：根据集合与元素的关系，分类求得m 的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍. 详解：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证，当m ＝0或m ＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m ＝3时，满足题意，故m ＝3.答案：33．2-解析：根据集合的定义求出集合B 后可得结论．详解：222k -=，2k =±，2k =时，20k A -=∈，因此2k =-；220k -=，k =221k -=，k =229k -=，k =所以{2,B =-，其中所有元素的和为2-．故答案为：2-．4．()0,2详解：解：∵{}0,1A =，{}2,2B a a =，∴集合A B *中的元素分别是22,2,1,21a a a a ++，∵最大元素是21a +，∴2121a a +<+，∴02a <<，故答案为：()0,2．点睛：本题主要考查集合中元素的特征与解不等式，注意对新定义的理解，属于基础题．5．（1）,,,∈∉∈∉（2）∉（3）∉（4）,∈∉解析：（1）根据国家的地理位置直接得到答案.（2）计算得到2|0,1A x x x ，再判断关系.（3）计算得到{}{}2|602,3B x x x =+-==-，再判断关系.（4）计算得到{}{|110}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10C x x =∈≤≤=N ，再判断关系.详解：（1）根据国家的地理位置直接得到答案：中国A ∈，美国A ∉，印度A ∈，英国A ∉；（2）2|0,1A x x x ，故1A -∉；（3）{}{}2|602,3B x x x =+-==-，故3A ∉；（4）{}{|110}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10C x x =∈≤≤=N ，故8,9.1A A ∈∉；故答案为：（1）,,,∈∉∈∉；（2）∉；（3）∉；（4）,∈∉点睛：本题考查了元素和集合的关系，属于简单题.四、解答题1．1,13A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭解析：把1代入方程求得a ，然后再解方程得解集．详解：∵1是集合A 中的一个元素，∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，∴a×12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3.方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∴集合A ＝－13，1}. 故答案为：1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭． 点睛：本题考查集合的概念，属于简单题．2．（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析.解析：（1）与定点A ，B 等距离的这些点是确定的，根据集合的确定性判断；（2）游泳能手没有一个固定的标准，即不满足集合的确定性.详解：（1）与定点A ，B 等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的.（2）高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.点睛：本题主要考查了判断是否构成集合，一般从集合的确定性进行判断，属于基础题.3．（1）S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭；（2）23d π=或d π=；（3）3,4,5,6T =解析：（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列{}n b 周期为3，从而得到S ；（2）S 恰好有两个元素，可知13b b =或者23b b =，求解得到d 的取值；（3）依次讨论3,4,5,6,7T =的情况，当3,4,5,6T =时，均可得到符合题意的集合S ；当7T =时，对于1,2,3k =，均无法得到符合题意的集合S ，从而通过讨论可知3,4,5,6T =.详解：（1）10a =，23d π= 223a π⇒=，343a π=，42a π= 1sin00b ∴==，223sin 32b π==，343sin 32b π==-，40b = 由周期性可知，n b 以3为周期进行循环33,0,22S ⎧⎫⎪⎪⇒=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭（2）1sin 12b π==，2sin 2b d π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3sin 22b d π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭S 恰好有两个元素∴sin sin 222d ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或sin sin 222d d ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22d π=或2222d d πππ+++= d π⇒=或23d π=（3）由S 恰好有3个元素可知：3T ≥当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意；当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=42n n a d a k π+=+或42n n a d k a π+=-因为{}n a 为公差0d >的等差数列，故42n n a d a k π+=+ 2k d π⇒=又d π≤，故1,2k =当1k =时，如图取10a =，{}0,1,1S =-，符合条件当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin n n a d a +=52n n a d a k π+=+或52n n a d k a π+=-因为{}n a 为公差0d >的等差数列，故52n n a d a k π+=+ 25k d π⇒= 又d π≤，故1,2k =当1k =时，如图取110a π=，3sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，符合条件当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=62n n a d a k π+=+或62n n a d k a π+=-因为{}n a 为公差0d >的等差数列，故62n n a d a k π+=+ 3k d π⇒=又d π≤，故1,2,3k = 当1k =时，如图取10a =时，33,0,22S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，符合条件当7T =时，7n n b b +=，()sin 7sin n n a d a +=72n n a d a k π+=+或72n n a d k a π+=-因为{}n a 为公差0d >的等差数列，故72n n a d a k π+=+ 27k d π⇒=又d π≤，故1,2,3k =当1k =时，因为127,,,b b b 对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2m n a a π-=，即()22,m n d d m n ππ-==-，即22=7m n ππ-，7,7m n m -=>,不符合条件； 当2k =时，因为127,,,b b b 对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2m n a a π-=，即()22,m n d d m n ππ-==-，即24=7m n ππ-，m n -不是整数，故不符合条件；当3k =时，因为127,,,b b b 对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2m n a a π-=或4π若()22,m n d d m n ππ-==-，即26=7m n ππ-，m n -不是整数， 若()44,m n d d m n ππ-==-，即46=7m n ππ-，m n -不是整数，故3k =不符合条件；综上：3,4,5,6T =点睛： 本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到d 的取值，再根据集合S 的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的T ；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题.。

1.1 集合的概念一、单选题1．设集合2{|2}M x R x =∈，1a =，则下列关系正确的是（ ）A ．a MB ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M2．以下六个命题中：0{0}∈；{0}⊇∅；0.3Q ∉；0N ∈；{,}{,}a b b a ⊆；{}220,xx x Z -=∈∣是空集.正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．5D ．2 3．已知集合{(2)(2)0}M x x x x =+-=∣，则M =（ ） A ．{0,2}-B ．{0,2}C ．{0,2,2}-D ．{2,2}- 4．下列集合表示正确的是A ．2，4}B ．2，4，4}C ．1，3，3}D ．漂亮女生} 5．已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =A ．1B ．0C ．1-D ．2 6．设集合A ＝（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝（x ，y ）|x+y ＝1}，则A∩B 中元素的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集不能表示为． A ．()3,1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭ B ．()1,2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭ C ．{}1,2 D ．(){},1,2x y x y ==8．下列对象能确定为一个集合的是（ ）A ．第一象限内的所有点B ．某班所有成绩较好的学生C ．高一数学课本中的所有难题D ．所有接近1的数9．给出下列关系，其中正确的个数为（ ）①0N ∈Q ⊄；③{}0=∅；④(),R =-∞+∞A ．1B ．0C ．2D ．3二、填空题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，集合{},B y y x x A ==∈，则B =_______________.2．由||||(,)a b a b R a b +∈所确定的实数集合是________．3．给出下列关系：①12R ∈Q ；③3N *∈；④0Z ∈．其中正确的序号是______．4．若a∈1，a 2﹣2a+2}，则实数a 的值为___________.5．已知集合A=1，2，a 2-2a}，若3∈A，则实数a=______．三、解答题1．（1）已知{}221,251,1A a a a a =-+++，2A -∈，求实数a 的值； （2）已知集合{}2340A x R ax x =∈--=，若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围．2．集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<．（1）若A B A =，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．3．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-．若2a =，求出A 中其他所有元素．参考答案一、单选题1．D解析：先求解集合M ，即可确定a 与M 的关系．详解：解：22x ，22x，{|22}M x R x ∴=∈， 又1a =，a M ∴∈，{}a M ．故选：D.2．C解析：根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定排除得到答案.详解：根据元素与集合间的关系可判定0{0}∈、0N ∈正确，0.3Q ∉不正确，根据集合与集合之间的关系可判定{0}⊇∅、{,}{,}a b b a ⊆、{}220,x x x Z -=∈∣是空集正确. 故选：C ．3．C解析：直接利用方程的解法化简求解.详解：因为集合{(2)(2)0}{2,0,2}M xx x x =+-==-∣， 故选：C4．A解析：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，利用元素的三个特性对四个命题逐一的进行判断，能够得到答案．详解：对于选项A ，由集合的定义可知，一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合，显然A 项符合定义．故A 项正确．对于B 项和C 项，根据集合中元素的互异性可知，对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，故B 项和C 项错误．对于D 项，根据集合中元素的确定性可知，作为一个集合中的元素，必须是确定的，而D项中的元素显然不是确定的．故D项错误．点睛：本题主要考查集合的含义与表示，以及集合中元素的特性．5．A解析：由题知：12a+=，解得：1a=.详解：因为A B⊆，所以，解得：1a=.故选：A点睛：本题考查集合的子集关系，理解子集的概念是关键，属于简单题.6．C解析：可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B中的元素个数．详解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2.故选：C．点睛：考查了描述法的定义，交集的定义及运算，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于容易题．7．C解析：由方程组31x yx y+=⎧⎨-=-⎩，解得12xy=⎧⎨=⎩，得到解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解．详解：由题意，方程组31x yx y+=⎧⎨-=-⎩，解得12xy=⎧⎨=⎩，其解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，其中A，B．D项表示都是正确的，其中选项C是表示由两个元素组成的熟记，不符合要求，所以不能表示为{}1,2．故选C．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中正确理解集合的表示方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．A解析：根据元素是否具备确定性逐项分析即可.详解：A ．具备集合中元素的确定性，可以构成一个集合，故正确；B．“较好”不满足集合中元素的确定性，故错误；C．“难题”不满足集合中元素的确定性，故错误；D．“接近”不满足集合中元素的确定性，故错误.故选：A.点睛：本题考查集合中元素的特征，着重考查了集合中元素的确定性，难度较易.集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.9．C解析：根据元素与集合的关系，逐一分析①②③④，即可得答案.详解：对于①：0为自然数，所以0N∈，故①正确；Q，故②错误；对于③：0含有元素0，不是空集，故③错误；对于④：R为实数集，所以④正确；故选：C二、填空题1．{}0,1,2解析：根据题意，由列举法，即可得出结果.详解：因为{}2,1,0,1A =--， 所以{}{},0,1,2B y y x x A ==∈=. 故答案为：{}0,1,2.点睛：本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.2．{}202-，， 解析：根据a b 、的正负性分类讨论进行求解即可.详解：当0,0a b >>时，||||2a b a b a b a b +=+=； 当0,0a b ><时，||||0a b a b a b a b +=-=； 当0,0a b <>时，||||0a b a b a b a b +=-+=； 当0,0a b <<时，||||2a b a b a b a b+=--=-， 故答案为：{}202-，，3．①③④解析：根据元素与集合间的关系和特殊集合：有理数集，自然数集，整数集，实数集所含的元素可得选项.详解： 对于①: 12是分数，所有的分数都是实数，故①正确；对于③：3是自然数，故③正确；对于④：0是整数，故④正确；所以①③④正确，故选①③④．点睛：本题考查特殊集合：有理数集，自然数集，整数集，实数集所含的元素和元素与集合的关系，属于基础题.4．2解析：利用集合的互异性，分类讨论即可求解详解：因为a∈1，a 2﹣2a+2}，则：a=1或a=a 2﹣2a+2，当a=1时：a 2﹣2a+2=1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a≠1时：a=a 2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；故答案为：2点睛：本题考查集合的互异性问题，主要考查学生的分类讨论思想，属于基础题5．3或-1解析：根据3∈A 即可得出a 2-2a=3，解方程得到a 即可．详解：∵3∈A，A=1，2，a 2-2a}，∴a 2-2a=3，解得a=-1或3故答案为-1或3．点睛：本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题．三、解答题1．（1）32a =-；（2）9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >． 解析：（1）分析可得12a -=-或22512a a ++=-，结合集合中元素的互异性可求得实数a 的值；（2）根据已知条件得出09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，即可解得实数a 的取值范围. 详解：（1）因为210a +>，故212a +≠-，因为2A -∈，则12a -=-或22512a a ++=-.①当12a -=-时，即当1a =-时，此时212512a a a -=++=-，集合A 中的元素不满足互异性；②当22512a a ++=-时，即22530a a ++=，解得32a =-或1a =-（舍）， 此时512a -=-，21314a +=，集合A 中的元素满足互异性. 综上所述，32a =-；（2）因为集合{}2340A x R ax x =∈--=中有两个元素，则09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩， 解得916a 且0a ≠， 因此，实数a 的取值范围是9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >.2．（1）2a >；（2）1a ≤-解析：（1）由A B A =，可得A B ⊆，即可列出不等关系，求出a 的取值范围；（2）由A B =∅，且B ≠∅，可列出不等关系，求出a 的取值范围.详解：（1）由集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，因为A B A =，所以A B ⊆，则2a >，即实数a 的取值范围为2a >.（2）因为A B =∅，且B ≠∅，所以1a ≤-，故实数a 的取值范围为1a ≤-. 3．113,,23-- 解析：根据定义依次计算即可得答案.详解：解：因为若a A ∈，则11a A a +∈-， 所以当2a =时，11a a +=-12312A +=-∈-； 当3a =-时，11a a +=-131132A -=-∈+， 当12a =-时，11a a +=-11121312A -=∈+，当13a=时，11aa+=-1132113A+=∈-，综上A中其他所有元素为：11 3,,23 --.点睛：本题考查集合的元素的求解，是基础题.。

1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{}2,1A =-，{}2,1B m m =--，且A B =，则实数m 等于（ ）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1-和2 2．已知集合A ＝x|-2≤-x+1＜3}，B ＝x|x 2-2x-3≤0}，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．已知3a ={|2}A x x =≥，则A ．a A ∉B ．a A ∈C ．{}a A =D ．{}a a ∉4．把集合{}2|430?x x x -+=用列举法表示为 A ．{}1,3 B ．{}1,3x x x == C ．2430x x D ．1,3x x5．设集合{|21,}A x x k k ==+∈Z ，则（ ）A ．3A ⊆B ．3A ∈C ．3A ∉D ．3 A6．若集合{},,a b c 中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 7．集合（x ，y ）|y ＝3x 2－11x}表示（ ）A ．方程y ＝3x 2－11xB ．（x ，y ）C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝3x 2－11x 图象上的所有点组成的集合8．若24{2,}x x ∈+，则实数x 的值为.A ．2-B ．2C ．2或2-D ．2或49．如果集合{}2|210A x ax x =+-=中只有一个元素，则a 的值是（ ）A ．0B ．1-C ．0或1D ．0或1- 二、填空题1．若集合有且仅有一个元素，则满足条件的实数k 的取值集合是 ______． 2．已知集合{}2,,1,,0ba a ab a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则不等式()201920192201820a x a b x a -+-<的解集为______.3．已知集合21,2,4m M m ，如果5M ∈，那么m 的取值集合为________.4．2{|420}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是___________.5．用列举法表示集合，{(,)|24,,}x y x y x N y N +=∈∈=___________三、解答题1．用另一种形式表示集合.（1）63A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ；（2）{2,4,6,8}.2．已知集合{}2|320A x R ax x =∈-+=，其中a 为常数，且a R ∈.①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围.3．已知集合2{|320}A x ax x =-+=，其中a 为常数，且a R ∈．（1）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．参考答案一、单选题1．C解析：令22m m -=，解出实数m 即可．详解：令22m m -=，解得2m =或1-故选：C2．C解析：利用集合的包含关系，得到B ⊆A ，进而判断选项即可详解：因为A ＝x|-2≤-x+1＜3}＝x|-2＜x≤3}，B ＝x|x 2-2x-3≤0}＝x|-1≤x≤3}，所以B ⊆A 故选C3．B答案.详解：>a A ∈，故A 错，B 对，显然{}a A ≠，所以C 不对，而{}a a ∈，所以D 也不对，故本题选B.点睛：关系是解题的关键.4．A详解：解方程2430x x -+=得13x 或=，应用列举法表示解集即为{}1,3故选A5．B解析：根据元素与集合的关系以及表示方法即可求解.详解：由21,x k k =+∈Z ，可得x 表示的是奇数，所以3A ∈，故选：B点睛：本题考查了元素与集合之间的关系以及表示方法，属于基础题.6．D解析：根据集合中元素的互异性可知详解：根据集合中元素的互异性可知，a b c ≠≠，所以此三角形一定不是等腰三角形，故D 正确；因为,,a b c 可任取，所以可以构成直角，锐角，钝角三角形，故ABC 不正确故选：D.7．D解析：根据描述法表示集合的特征，即可判断选项.详解：由集合(){}2,311x y y x x =-的特征可知，集合表示函数y ＝3x 2－11x 图象上的所有点组成的集合.故选：D8．A解析：由元素与集合的关系及集合中元素的互异性可得2242x x x +=⎧⎨+≠⎩或2242x x x ⎧=⎨+≠⎩，再求解即可. 详解：解：因为24{2,}x x ∈+，所以2242x x x +=⎧⎨+≠⎩或2242x x x ⎧=⎨+≠⎩， 解得：2x =-，故选:A.点睛：本题考查了元素与集合的关系，重点考查了集合中元素的互异性，属基础题.9．D解析：按0a =和0a ≠分类讨论．详解：0a =时，12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足题意， 0a ≠时，440a ∆=+=，1a =-，此时{1}A =，综上0a =或1-，故选：D ．点睛：本题考查集合的概念，掌握集合元素的性质是解题关键．二、填空题1．详解：试题分析：若集合有且仅有一个元素,则方程有且只有一个实数根，即解得. 考点：集合的应用.2．R解析：集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，由集合相等及集合的互异性可得,a b 的值，代入()201920192201820a x a b x a -+-<即可得解集．详解：解：{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭若0a =，则ba 无意义，故有0,0b b a=∴=此时有a a b =+，21a ∴=1a ∴=-或1a =（舍去，因为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中不满足集合的互异性） 1,0a b ∴=-=代入()201920192201820a x a b x a -+-<得220x x --<+，解得此不等式解集为R ，故答案为R ．点睛：本题考查集合相的条件，要特别注意求得的,a b 值不能使集合中的元素相同，本题难度不大．3．{}1,3详解：因为{}251,2,4m m ∈++，所以25m 或245m ，即3m =或1m =±，当3m =时，{}1,5,13M =；当1m =时，{1,3,5}M =；当1m =-时，{}1,1,5M =不满足互异性，所以m 的取值集合为{}1,3.4．{|2a a 或0}a =解析：由集合A 为方程的解集，根据集合A 中至多有一个元素，转化为方程至多有一个解求解.详解：当0a =时，方程2420ax x -+=，即为12x =，1{}2A =，符合题意；当0a ≠时，因为2420ax x -+=至多有一个解，所以△1680a =-，解得2a ，综上，a 的取值范围为：2a 或0a =.故答案为：{|2a a 或0}a =.点睛：本题主要考查集合元素的个数以及方程的解，还考查了分类讨论思想，属于基础题.5．{}(0,4),(1,2),(2,0)解析：由集合元素所满足的性质250,,x y x N y N +-=∈∈，我们依次对x 取0,1,2，易得到满足条件的所有的有序实数对，进而得到集合的所有元素，最后得到答案.详解：因为{(,)|24,,}x y x y x N y N +=∈∈，当0x =时，4y =，当1x =时，2y =，当2x =时，0y =，故集合可以表示为：{}(0,4),(1,2),(2,0)，故答案为：{}(0,4),(1,2),(2,0).点睛：该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点是用列举法表示集合，属于较易题目.三、解答题1．（1）{3,0,1,2,4,5,6,9}-；（2）{|2,14,}x x k k k =≤≤∈Z .解析：(1)描述法转为列举法时，首先确定集合是有哪些元素组成的，然后将所有元素写在花括号内；(2)列举法转为描述法时，首先明确集合中元素的公共属性，即把握住集合中元素满足什么条件.详解：（1）要使6,3x x -是整数，则|3|x -必是6的约数，当3,0,1,2,4,5,6,9x =-时，|3|x -是6的约数，∴{3,0,1,2,4,5,6,9}A =-.（2）{|2,14,}x x k k k =≤≤∈Z .点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题.2．①98a >；②0a =或98a =；③0a =或98a ≥.解析：①只需方程2320ax x -+=无解即可；②当0a =成立，当0a ≠时，只需0∆=；③由题意可知0a =时成立，当0a ≠时，只需0∆≤即可.详解：①若A 是空集，则方程2320ax x -+=无解，此时980a ∆=-<，即98a >，②若A 中只有一个元素，则方程2320ax x -+=有且只有一个实根，当0a =时方程为一元一次方程，满足条件当0a ≠，此时980a ∆=-=，解得：98a =.∴0a =或98a =；③若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由①②得满足条件的a 的取值范围是：0a =或98a ≥.点睛：本题考查根据集合中元素的个数求参，考查方程根的个数问题，较简单.3．（1）9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭ 解析：（1）对a 分类讨论：0a =，解出即可判断出是否满足题意．0a ≠时，A 中至少有一个元素，满足0∆，解得a 范围即可得出．（2）对a 分类讨论：0a =，直接验证是否满足题意．0a ≠时，由A 中至多有一个元素，可得0∆≤，解得a 范围即可得出．详解：解：（1）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =． 0a ≠时，A 中至少有一个元素，∴980a ∆=-，解得98a，0a ≠． 综上可得：a 的取值范围是9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． （2）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =． 0a ≠时，A 中至多有一个元素，∴980a ∆=-，解得98a． 综上可得：a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 点睛：本题考查了集合的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。

1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{}240A x x =-=，集合{}1B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 的值是（ ）A ．0B ．12±C ．0或12±D ．0或122．若集合{}210x ax x -+=中只有一个元素，则实数a 的值为（ ）A ．14B ．0C ．4D ．0或143．设集合{2,1,0,1,2}A =--,{1,0,1}B =-,22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则集合C 中元素的个数为( ) A ．11 B ．9 C ．6 D ．4 4．若集合{|0,}A x x a x N =<<∈有且只有一个元素，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,2B ．[]1,2C ．[1,2)D ．(1,2]5．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是（ ）A ．3.14B ．－5C ．37D 6．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{}|33x x +=B ．{}22(,)|,,x y y x x y R =-∈C ．{}2|0x x ≤D ．{}2|10,x x x x R -+=∈7．设{|21,}A x x n n Z ==+∈，则下列正确的是（ ） A ．A ∅∈B ．2A ∈C ．3A ∈D ．{2}A ∈8．设P 、Q 为两个非空集合，定义集合{|}P Q a b a P b Q ∈∈＋＝＋，．若{}{}0,2,51,2,6P Q ＝，＝，则P Q ＋中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．69．下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( )A ．x|x ＝1}B ．x|x 2＝1}C ．1}D ．y|(y －1)2＝0}二、填空题1．已知集合A=1，2，3，4，5，6，7}，则集合{|,,,}2x B x x a b a A b A N +==⨯∈∈∈中元素的个数为_____．2．规定⊕与⊗是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数a b、有:a b ab ⊗=,22()1a b b a b ⊕=++.若22a b -<<<且,,a b Z ∈)22|(A x x a b b a b ⊕⎧⎫+=⊗⎨⎩=⎬⎭,则用列举法表示集合A =__________．3．若集合{}**(,)|24,,A x y x y y N x N =+=∈∈，用列举法表示：A =________________.4．已知集合{0,1,2}A =，则集合{|,}B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是______. 5．用[]M A 表示非空集合A 中的元素个数，记[][][][][][][][],,M A M B M A M B A B M B M A M A M B ⎧-≥⎪-=⎨-<⎪⎩，若{}1,2,3A =，{}2|23B x x x a =--=，且1A B -=，则实数a 的取值范围为______.三、解答题1．选择适当的方法表示下列集合．（1）由方程x(x 2－2x －3)＝0的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于6的有理数；（3）由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．2．含有三个实数元素的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成2{,,0}a a b +，求20172018a b +的值．3．已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>. （1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题 1．C解析：计算{}2,2A =-，考虑{}2B =，{}2B =-，B =∅三种情况，计算得到答案. 详解：{}{}2|42,2A x x ===-，B A ⊆，当{}2B =时，21a =，12a =；当{}2B =-时，21a -=，12a =-；当B =∅时，0a =. 即0a =或12a =或12a =-. 故选：C. 2．D解析：分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合集合{}210x ax x -+=中只有一个元素可求得实数a 的值. 详解：当0a =时，{}{}{}210101x ax x x x -+==-==，合乎题意；当0a ≠时，关于x 的方程210ax x -+=有两个相等的实根，则140a ∆=-=，解得14a =. 综上所述，0a =或14. 故选：D. 3．A解析：由题意可得出：x 从1-,0,1任选一个；或者x 从2-,2任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果． 详解：解：根据条件得：x 从1-,0,1任选一个,y 从而1-,0,1任选一个,有9种选法；2x =-或2时,0y = ,有两种选法；共11种选法；∴C 中元素有11个．点睛：本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型. 4．D解析：∵集合{|0,}A x x a x N =<<∈有且只有一个元素， ∴{}1A =，∴实数a 的取值范围为(]1,2. 故选：D 5．D解析：首项R 代表实数集，Q 代表有理数集，对四个数判断是无理数即可. 详解：由题意知a 是实数，但不是有理数，故a 应为无理数，故a . 故选：D 点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，涉及了专用数集符号，属于基础题. 6．D解析：对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出. 详解：选项A ，{}{}|330x x +==；选项B ，{}{}22(,)|,,(0,0)x y y x x y R =-∈=； 选项C ，{}{}2|0=0x x ≤；选项D ，210,1430x x -+=∆=-=-<，方程无解，∴{}2|10,x x x x R -+=∈=∅.选:D. 7．C解析：根据集合{|21,}A x x n n Z ==+∈表示由奇数构成的集合，结合元素与集合的关系，即可求解． 详解：由题意，集合{|21,}A x x n n Z ==+∈表示由奇数构成的集合，所以3A ∈． 故选：C ．本题主要考查了集合的表示方法，以及元素与集合的关系的判定，其中解答中熟记集合的表示方法，正确理解集合的含义是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．8．B解析：根据题意，结合P+Q的计算方法，可得P+Q，即可得答案．详解：根据题意，若P=0，2，5}，Q=1，2，6}，则P+Q=1，2，6，3，4，8，7，11}，其中有8个元素，故选B．点睛：本题考查集合的运算，是新定义题型，关键是理解集合P+Q的含义，并注意集合中元素的性质．9．B详解：x|x2＝1}＝－1,1}，另外三个集合都是1}，选B.二、填空题1．15解析：试题分析：B表示任取的两个元素a，b（a，b可以相同）之积为偶数的集合，又1×6=2×3，3×4=2×6，1×4=2×2，所以集合B的元素的个数为11124333315C C C C++-=．故答案是：15．考点：元素与集合关系的判断．2．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭解析：根据所定义运算可知22122a bx ab++=+，根据,a b取值范围可分别在1a=-和0a=两种情况下确定b的取值，进而求得x的不同取值，得到所求集合. 详解：由题意得：2212,02a bA x x ab b⎧⎫++==+≠⎨⎬⎩⎭22a b-<<<且,a b Z∈∴当1a =-时，1b =，此时x =12-；当0a =时，1b =，此时1x = ∴集合1,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭故答案为1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭点睛：本题考查列举法表示集合、集合中的新定义运算问题，关键是能够充分理解所定义运算所表示的含义，通过分类讨论求得集合中的元素.3．(){}2,1解析：根据**24,,x y y N x N +=∈∈解出方程，写成集合形式. 详解：由题：**24,,x y y N x N +=∈∈，根据0,0x y >>，必有04,02x y <<<<，且**,y N x N ∈∈， 所以只能,12y x ==， 所以(){}2,1A =. 故答案为：(){}2,1 点睛：此题考查根据集合描述法求集合中的元素，准确辨析限制条件，用列举法表示，注意元素的表示形式. 4．5解析：分别给,x y 进行取值，可计算求得B 中元素，进而确定集合B ，得到结果. 详解：当0x y ==或1或2时，0x y -= 0B ∴∈当0x =，1y =或2时，1x y -=-或2- 1B ∴-∈，2B -∈ 当1x =，0y =或2时，1x y -=或1- 1B ∴-∈，1B ∈ 当2x =，0y =或1时，2x y -=或1 2B ∴∈，1B ∈ 综上所述：{}2,1,0,1,2B =--，共5个元素 故答案为：5 点睛：本题考查集合中元素个数的求解问题，关键是能够读懂描述法所表示的集合的含义，进而根据要求求得集合.5．04a ≤<或4a >.解析：根据已知条件容易判断出0a =符合，0a >时，由集合B 得到两个方程，2230x x a ---=或2230x x a --+=.容易判断出B 有2个或4个元素，所以判别式()4430a ∆=--<或()4430a ∆=-->，这样即可求出a 的范围.详解：（1）若0a =，得到2230x x --=，∴集合B 有2个元素，则1A B -=，符合条件1A B -=； （2）0a >时，得到223x x a --=±，即2230x x a ---=或2230x x a --+=； 对于方程2230x x a ---=，()4430a ∆=++>，即该方程有两个不同实数根； 又1A B -=，B 有2个或4个元素；()4430a ∆=--<或()4430a ∆=-->；∴4a <或4a >.综上所述04a ≤<或4a >. 故答案为04a ≤<或4a >. 点睛：本题考查新定义问题，考查学生的创新意识，解决问题的方法利用新定义把“新问题”转化“老问题”.三、解答题1．（1）-1，0，3}；（2）x∈Q|2<x<6}；（3）(x ，y)|y ＝－x ＋4，x∈N，y∈N}. 解析：（1）求解方程的实数解，再写成集合形式即可； （2）根据题意用描述法写出集合即可； （3）根据点集的概念，结合描述法表示集合. 详解：（1）方程的实数根为－1，0，3，所以方程的实数根组成的集合可以表示为－1，0，3}； （2）由于大于2且小于6的有理数有无数个，可以用描述法表示该集合为x∈Q|2<x<6}； （3）用描述法表示该集合为M ＝(x ，y)|y ＝－x ＋4，x∈N，y∈N}. 2．-1解析：由题分析可得,令0b a=,则0b =,由互异性可得0a ≠，1a ≠,进而21a =可得1a =-,从而得到20172018a b +的值 详解：由题意得,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与2{,,0}a a b +表示同一个集合,所以0b a=且0a ≠,1a ≠,即0b =,则有{,0,1}a 与2{,,0}a a 表示同一个集合,所以21a =,解得1a =-,所以()2017201720182018101a b +=-+=-，故答案为：1- 点睛：本题考查同一集合问题,考查根据互异性求参数,属于基础题3．（1）(){|21}R C B A x x ⋂=-≤≤（2）{}|42a a -<<- 解析：（1）根据集合的补集和并集的定义计算即可 （2）根据并集的定义得出关于a 的不等式组，求出解集即可 详解：（1）集合{}1B x x =. 则{}|1R C B x x =≤ 集合{}|22A x x =-≤≤， 则(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤(2)集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<- 点睛：本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解．。