【精品】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练68含解析

随堂巩固训练(66)1. 如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n 行(n ≥2)的第2个数是 n 2－n ＋22 . 解析：设第n 行的第2个数为a n ，不难得出规律，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，…，a n －a n －1＝n －1，累加得a n ＝n 2－n ＋22. 2. 同样载质量的若干辆汽车运送一批货物，若同时投入运送，24小时可以全部送完这批货；若每隔相同的时间投入一辆车，而且每辆车投入运送后要工作到全部货物运完，已知最后所有的车辆都投入了运送，且第一辆车工作的时间是最后一辆车的5倍，这种运送方式持续的时间共为 40 小时.解析：每辆车隔相同的时间投入使用，那么它们的工作时间t 1，t 2，…，t n 构成了一个等差数列，且有t 1＝5t n .因为全部同时投入运送时，24小时运完，那么每辆车的工作效率为124n ，所以有124n ·t 1＋124n ·t 2＋…＋124n ·t n ＝1.由上面的分析可知⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝5t n ，124n （t 1＋t 2＋…＋t n ）＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝5t n ，124n ·t 1＋t n 2·n ＝1，得t 1＝40，所以这种运送方式共持续了40小时. 3. 为了保护某处珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙，设计时，为了与周边景点协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层…依此类推，到第十层恰好将大理石用完，共需大理石 2 046 块.解析：设共用去大理石x 块，则各层用大理石块数分别为：第一层：x 2＋1＝x ＋22；第二层：x －x ＋222＋1＝x ＋24；第三层：x －x ＋22－x ＋242＋1＝x ＋28；…；第十层：x －x ＋22－x ＋24－…－x ＋2292＋1＝x ＋2210，组成首项为x ＋22，公比为12，项数为10的等比数列，所以x ＝x ＋22＋x ＋24＋…＋x ＋2210，解得x ＝2 046. 4. 1991年，某内河可供船只航行的河段长1 000千米，但由于水资源的过度使用，造成河水断流，从1992年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的三分之二，则到2000年，该内河可行驶的河段长度为 1 000×⎝⎛⎭⎫239千米.解析：设a 1＝1 000，a n ＝2a n －13，则数列{a n }为等比数列，a n ＝1 000×⎝⎛⎭⎫23n －1，所以到2000年，该内河可行驶的河段长度为a 10＝1 000×⎝⎛⎭⎫239千米.5. 一位个体户在一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底获得的利润是该月初投入资金的20%，每月需交所得税为该月所得金额(含利润)的10%，每月生活费和其他开支为3 000元，余额作为资金全部投入再营业.如此继续，到这一年底，这位个体户还清银行贷款后，纯收入一共还有 69 886 元.(银行贷款的年利率为25%，精确到1元)解析：设第n 个月底余额为a n ，由于a 1＝(1＋20%)×105－(1＋20%)×105×10%－3×103＝1.05×105，a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n (1＋20%)×10%－3×103＝1.08a n －3×103，则a n ＋1－3.75×104＝1.08(a n －3.75×104).设a n －3.75×104＝b n ，b 1＝6.75×104，则数列{b n }为等比数列，所以b n ＝b 1×1.08n －1，a n ＝6.75×104×1.08n －1＋3.75×104，a 12≈1.948 86×105，还贷后纯收入为a 12－105×(1＋25%)＝69 886(元).6. 某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算，若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，则每年应还 3 255 元.(精确到1元)解析：设贷款利率为r ，贷款金额为A 元，每年等额归还x 元，第n 年还清，所以贷款A 元，到第n 年连本带利应还A(1＋r)n 元，则有数列模型：(1＋r)n A ＝x[(1＋r)n －1＋(1＋r)n －2＋…＋(1＋r)＋1]，即(1＋r)nA ＝x·（1＋r ）n －1r ，于是x ＝Ar （1＋r ）n（1＋r ）n －1.将r ＝0.1，A ＝20 000，n ＝10代入得x ＝20 000×0.1×1.1101.110－1，所以x ≈3 255元，故每次应还3 255元. 7. 某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万平方米，则2000年底该城市人均住房面积为 5.48 平方米.(精确到0.01)解析：1991年、1992年、…、2000年住房面积总数成等差数列{a n }，a 1＝6×500＝3 000，d ＝30，a 10＝3 000＋9×30＝3 270.1991年、1992年、…、2000年人口数成等比数列{b n }，b 1＝500， q ＝1.01，b 10＝500×1.019≈546.8，所以2000年底该城市人均住房面积为3 270546.8≈5.98平方米.8. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连结等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连结正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小的正方形的边长为 132. 解析：由题意得正方形的边长构成以22为首项，以22为公比的等比数列，共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，n ＝10，所以最小的正方形的边长为22×⎝⎛⎭⎫2210－1＝132. 9. 从盛有盐的质量分数为20%的2kg 盐水的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每次都倒出1kg 盐水，然后再加入1kg 水，(1) 第5次倒出的1kg 盐水中含盐多少千克？(2) 经6次倒出后，一共倒出多少千克盐？此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？ 解析：(1) 由题意得每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n }，则a 1＝0.2，a 2＝12×0.2，a 3＝⎝⎛⎭⎫122×0.2. 所以a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1×0.2， a 5＝⎝⎛⎭⎫125－1×0.2＝⎝⎛⎭⎫124×0.2＝0.012 5(kg ).(2) 由(1)得数列{a n }是等比数列，且a 1＝0.2，q ＝12， 所以S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝0.2×⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝0.393 75(kg ).经过6次倒出后，还剩盐0.4－0.393 75＝0.006 25(kg )，此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.006 25÷2＝0.312 5%.10. 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年(2004年)起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(今年为第一年)的利润为500⎝⎛⎭⎫1＋12n 万元(n 为正整数). (1) 设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(需扣除技术改造资金)，求A n 、B n 的表达式；(2) 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解析：(1) 依题设，A n ＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n －10n 2；B n ＝500[⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12n ]－600＝500n －5002n －100. (2) B n －A n ＝⎝⎛⎭⎫500n －5002n －100 －(490n －10n 2)＝10n 2＋10n －5002n －100＝10[n(n ＋1)－502n－10]. 易得函数y ＝x(x ＋1)－502x －10在区间(0，＋∞)上为增函数， 当1≤n ≤3时，n(n ＋1)－ 502n －10≤12－508－10<0； 当n ≥4时，n(n ＋1)－502n －10≥20－5016－10>0， 所以当且仅当n ≥4时，B n >A n ，故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.11. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.(1) 用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2) 若公司希望经过m(m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).解析：(1) 由题意得a 1＝2 000×(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1×(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d ， a n ＋1＝a n ×(1＋50%)－d ＝32a n －d. (2) 由(1)知a n ＝32a n －1－d(n ≥2)， 即a n －2d ＝32(a n －1－2d)， 所以{a n －2d}是以3 000－3d 为首项，32为公比的等比数列，则a n ＝(3 000－3d)·⎝⎛⎭⎫32n －1＋2d.由题意a m ＝⎝⎛⎭⎫32m －1(3 000－3d)＋2d ＝4 000，解得d ＝1 000（3m －2m ＋1）3m －2m， 故该企业每年上缴资金d 的值为1 000（3m －2m ＋1）3m －2m 时，经过m(m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.12. 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向中国建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1 000人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还中国建设银行贷款形式(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还中国建设银行贷款.(1) 若公寓收费标准定为每个学生每年800元，到哪一年可偿还中国建设银行全部贷款？(2) 若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每个学生每年的最低收费标准是多少元(精确到1元)？(参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈1.477 4)解析：(1) 设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓管理处每年收费总额为 1 000×800＝80(万元)，扣除18万元，可偿还贷款62万元.依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1，化简得62(1.05n －1)≥25×1.05n ＋1，所以1.05n ≥1.734 3.两边取对数整理得n ≥lg 1.734 3lg 1.05≈0.239 10.021 2≈11.28， 所以取n ＝12(年)，所以到2014年底可全部还清贷款.(2) 设每个学生每年的最低收费标准为x 元，因到2010年公寓共使用了8年，依题意有⎝⎛⎭⎫1 000x 10 000－18[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500×(1＋5%)9， 化简得(0.1x －18)×1.058－11.05－1≥500×1.059，所以x ≥10⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋25×1.05×1.0581.058－1≈10×⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋25×1.05×1.477 41.477 4－1≈10×(18＋81.2)＝992(元)，故每个学生每年的最低收费标准为992元.。

随堂巩固训练(55)1. 已知a ＝(3，1)，b ＝(－23，2)，则a 与b 的夹角为2π3. 解析：由题意得|a|＝3＋1＝2，|b|＝12＋4＝4，a·b ＝(3，1)·(－23，2)＝－4，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝－42×4＝－12，所以a 与b 的夹角为2π3.2. 已知a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)，若(a ＋λb)⊥a ，则实数λ＝ 5 .解析：由题意得a ＋λb ＝(2，1)＋λ(0，－1)＝(2，1－λ).因为(a ＋λb)⊥a ，所以(2，1－λ)·(2，1)＝0，即4＋1－λ＝0，解得λ＝5.3. 在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，CA ＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是 －5 .解析：由题意得AB 2＋BC 2＝AC 2，所以AB ⊥BC ，所以AB →·BC →＝0，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →·(BC →＋AB →)＝－|CA →|2＝－5.4. 在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝4，P 是DC 边的中点，则PA →·PB →的值为 7 . 解析：如图，PA →·PB →＝(PD →＋DA →)·(PC →＋CB →)＝⎝⎛⎭⎫－12AB →－AD →·⎝⎛⎭⎫12AB →－AD →＝－14|AB →|2＋|AD →|2＝－14×62＋42＝7. 5. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，DC →＝2BD →，则AD →·BC →的值为 －2 Ｗ.解析：因为BC →＝AC →－AB →，AD →＝AB →＋BD →，所以AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →)＝13(AB →·AC →－2|AB →|2＋|AC →|2)＝13×(3×3×13－2×32＋32)＝－2.6. 已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b|＝1，|a －b|＝21，则a ，b 的夹角为 π3 .解析：由题意得|a|＝16＋9＝5.因为|a －b|＝21，所以a 2－2a·b ＋b 2＝21，所以a·b ＝52，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝525×1＝12，所以a 与b 的夹角为π3.7. 在平行四边形ABCD 中， E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB ＝2，AD ＝1且MA →·MB →＝－16，则AB →·AD →＝ 34.解析：易知MA →＝23EA →＝23(ED →＋DA →)＝－13AB →－23AD →，MB →＝23DB →＝23(AB →－AD →)，所以MA →·MB →＝⎝⎛⎭⎫－13AB →－23AD →·23(AB →－AD →)＝－29|AB →|2＋49|AD →|2－29AB →·AD →＝－29AB →·AD →＝－16，所以AB →·AD →＝34.8. 已知平面向量a 与b 的夹角为π3，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a －3b|解析：由题意可得a·b ＝|a|·|b|cosπ3＝3，所以|2a －3b|＝（2a －3b ）2＝4|a|2＋9|b|2－12|a|·|b|cos π3＝16＋81－36＝61.9. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝ 32.解析：因为AC →·BM →＝(AD →＋DC →)·(AM →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB ·⎝⎛⎭⎫23AD →－AB →＝23|AD →|2－23AB →·AD →－12|AB →|2＝－3，所以23×32－23×AB →·AD →－12×42＝－3，所以AB →·AD →＝32.10. 已知边长为6的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE →＝12AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD→的值为 3 Ｗ.解析：由题意得，D ，E 分别为线段BC ，AC 的中点，所以P 是正三角形ABC 的重心，所以|PB →|＝23|BE →|＝23×32×6＝23，|PD →|＝12|PB →|＝ 3.又∠BPD ＝60°，所以PB →·PD →＝|PB →|·|PD→|·cos 60°＝23×3×12＝3.11. 如图，在△ABC 中，CD →＝2DB →.(1) 若AD →＝xAB →＋yBC →(x ，y 为实数)，求x ，y 的值； (2) 若AB ＝3，AC ＝4，∠BAC ＝60°，求AD →·BC →的值. 解析：(1) 因为CD →＝2DB →，所以AD →－AC →＝2(AB →－AD →)， 所以AD →＝23AB →＋13AC →.又因为AD →＝xAB →＋yBC →＝(x －y)AB →＋yAC →， 所以23AB →＋13AC →＝(x －y)AB →＋yAC →.因为AB →与AC →不共线，所以⎩⎨⎧x －y ＝23，y ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝13.(2) AD →·BC →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →)＝13AB →·AC →－23|AB →|2＋13|AC →|2＝43.12. 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，求AE →·AF →的最小值.解析：因为DF →＝19λDC →，DC →＝12AB →，BE →＝λBC →，所以CF →＝DF →－DC →＝19λDC →－DC →＝1－9λ18λAB →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，所以AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝AB →＋BC →＋1－9λ18λAB →＝1＋9λ18λAB →＋BC →，所以AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·⎝⎛⎭⎫1＋9λ18λAB →＋BC →＝1＋9λ18λ|AB →|2＋λ|BC →|2＋⎝⎛⎭⎫1＋1＋9λ18AB →·BC →＝1＋9λ18λ×4＋λ＋19＋9λ18×2×1×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918， 当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，AE →·AF →取得最小值2918.13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，2).设向量x ＝a ＋(1－cos θ)b ，y ＝－k a ＋1sin θb ，其中0<θ<π.(1) 若k ＝4，θ＝π6，求x·y 的值；(2) 若x ∥y ，求实数k 的最大值，并求取得最大值时θ的值.解析：(1) 方法一：当k ＝4，θ＝π6时，x ＝(1，2－3)，y ＝(－4，4)，则x·y ＝1×(－4)＋(2－3)×4＝4－4 3. 方法二：依题意得a·b ＝0， 则x·y ＝⎣⎡⎦⎤a ＋⎝⎛⎭⎫1－32b ·(－4a ＋2b)＝－4a 2＋2×⎝⎛⎭⎫1－32b 2＝－4＋2×⎝⎛⎭⎫1－32×4＝4－4 3.(2) 依题意得，x ＝(1，2－2cos θ)，y ＝⎝⎛⎭⎫－k ，2sin θ. 因为x ∥y ，所以2sin θ＝－k (2－2cos θ)，整理得1k＝sin θ(cos θ－1).令f (θ)＝sin θ(cos θ－1)，则f ′(θ)＝cos θ(cos θ－1)＋sin θ(－sin θ)＝2cos 2θ－cos θ－1＝(2cos θ＋1)(cos θ－1). 令f ′(θ)＝0，得cos θ＝－12或cos θ＝1，又0<θ<π，故θ＝2π3，列表：故当θ＝2π3时，f (θ)min ＝－334，此时实数k 取得最大值－439.。

随堂巩固训练(71)1. 若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m⊥l，则直线m，n 所成的角是90°.解析：因为α∩β＝l，α⊥β，m⊂α，m⊥l，所以m⊥β.又因为n⊂β，所以m⊥n，所以直线m，n 所成的角是90°.2. 如果—个平面与另—个平面的垂线平行，那么这两个平面的位置关系为垂直.解析：由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可知，如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面垂直.3. 设a，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是③.(填序号)①若α⊥β，a∥α，则a⊥β；②若α⊥β，a⊥β，则a∥α；③若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.解析：若α⊥β，a∥α，则a 与β相交、平行或a⊂β，故①错误；若α⊥β，a⊥β，则a∥α或a⊂α，故②错误；若a⊥b，a⊥α，则b∥a 或b⊂α.又因为b⊥β，所以α⊥β，故③正确.4. 设a，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b 的是③.(填序号)①a⊥α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α∥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊂α，b∥β，α⊥β.解析：对于①，若a⊥α，b∥β，α⊥β，则直线a 与b 的关系可能是平行、相交或异面；对于②，若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b；对于③，若a⊂α，b⊥β，则b⊥α，所以a⊥b；对于④，若a⊂α，b∥β，α⊥β，则a 与b 可能平行、相交或异面.综上，由③可得a⊥b.5. 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连结PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系中正确的序号是①②.①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD.解析：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又在正方形ABCD 中，BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB.又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，故①正确；同理可得AD⊥平面PAB，AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB，故②正确；设平面PAB∩平面PCD＝l，因为AB∥CD，AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB，所以CD∥l.又因为AB⊥平面PAD，所以l⊥平面PAD，所以∠APD 为平面PAB 与平面PCD 所成的二面角.若平面PAB⊥平面PCD，则AP⊥PD，显然不成立，故③错误.6. 可以作为平面α∥平面β的条件是④.(填序号)①存在一条直线a，a∥α，a∥β；②存在一条直线a，a⊂α，a∥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.解析：因为a∥β，所以平面β中存在a′∥a.因为b∥α，所以平面α内存在b′，使得b∥b′，且a′与b 相交，a 与b′相交，所以α∥β.7. 已知P 为△ABC 所在平面外一点，正三角形PBC、正三角形ABC 的边长都为2，PA＝6，则平面PBC 和平面ABC 的位置关系为垂直.解析：取BC 的中点为D，连结AD，PD，如图所示.因为PB＝PC，BD＝CD，所以PD⊥BC.因为正三角形PBC 和正三角形ABC 的边长都为2，PA＝6，所以PD＝AD＝3所，以PA2＝AD2＋PD所2，以PD⊥AD.又因为BC∩AD＝D所，以PD⊥平面ABC.又因为PD⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.8. 设b，c 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题中真命题是④.(填序号)①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.解析：若b⊂α，c∥α，则b∥c 或b 与c 异面，故①错误；若b⊂α，b∥c，则c∥α或c⊂α，故②错误；若c∥α，α⊥β，则可能c∥β，可能c⊂β，故③错误；根据面面垂直的判定可知④是真命题.9. 已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数为2.解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故真命题有2 个.10. 已知点P 在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥AD1PC 的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确命题的序号是①②④.解析：由题意知AD1∥BC1，因为AD1⊂平面AD1C，BC1⊄平面AD1C，所以BC1∥平面AD1C，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以VAD1PC＝VPAD1C＝VBAD1C，故①正确；对于②，连结A1B，A1C1，则A1C1∥AC，由①知AD1∥BC1，所以平面BA1C1∥ 平面ACD1.因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故②正确；对于③，因为DC⊥ 平面BCC1B1，所以DC⊥BC1.若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，则BC1⊥PC，所以P 为BC1 的中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连结DB1，因为AC⊥平面BB1D1D，DB1⊂ 平面BB1D1D，所以AC⊥DB1，同理可得AD1⊥DB1.又因为AD1∩AC＝A，AD1，AC⊂平面ACD1，所以DB1⊥平面ACD1.又因为DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确.11. 如图，已知在斜三棱柱ABCA1B1C1 中，AB＝AC，D 为线段BC 的中点.(1) 求证：A1B∥平面ADC1；(2) 若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1.解析：(1) 连结A1C 交AC1 于点E，连结DE.因为四边形AA1C1C 是平行四边形，所以E 是A1C 的中点.因为D 是BC 的中点，所以DE∥A1B.又因为DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.(2) 因为在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 的中点，所以AD⊥BC.又因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1.因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1.12. 如图，在四棱锥PABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F 分别是CD，PC 的中点.求证：(1) PA⊥底面ABCD；(2) BE∥平面PAD；(3) 平面BEF⊥平面PCD.解析：(1) 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.(2) 因为AB∥CD，CD＝2AB，E 为CD 的中点，所以AB∥DE 且AB＝DE，所以四边形ABED 为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3) 因为AB⊥AD，所以四边形ABED 为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，则PA⊥CD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.又E，F 分别为CD，CP 的中点，所以EF∥PD，故CD⊥EF.因为EF，BE⊂平面BEF，且EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.思维升华：(1) 判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2) 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.13. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝10，BC＝6，沿矩形的对角线BD 把△ABD 折起，使得点A 移到点A1，且点A1 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上.求证：(1) BC⊥A1D；(2) 平面A1BC⊥平面A1BD.解析：(1) 因为点A1 在平面BCD 上的射影O 在CD 上，所以A1O⊥平面BCD.又BC⊂平面BCD，所以BC⊥A1O.又BC⊥CD，A1O∩CD＝O，所以BC⊥平面A1CD.又A1D⊂平面A1CD，所以BC⊥A1D.(2) 因为四边形ABCD 为矩形，所以A1B⊥A1D.由(1)知BC⊥A1D，A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC. 又A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BC⊥平面A1BD.。

随堂巩固训练(73) 1. 如果过球的球心的截面圆的面积扩大为原来的4倍，那么球的体积扩大为原来的 8 倍. 解析：根据球的体积公式可知，球的体积扩大为原来的8倍 2. 将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 3π3 . 解析：由题意可知，圆锥的底面周长为2π，则底面半径为1，圆锥的高为3，所以圆锥的体积为13×π×12×3＝3π3. 3. 已知正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为 6 .解析：由题意得正四棱锥的高h ＝23sin 60°＝3，底面正方形的对角线长为23，所以底面积S ＝2×12×23×3＝6，所以体积V ＝13×6×3＝6. 4. 已知圆锥的高为4，母线长为5，则该圆锥侧面展开图的中心角为 6π5，侧面积为 15π .解析：因为圆锥的高为4，母线长为5，所以圆锥的底面半径为3，则底面周长为6π，所以中心角为6π5，侧面积为12×6π×5＝15π 5. 底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的表面积为 33 m 2.解析：如图，在正三棱锥SABC 中，D 为顶点S 在底面BCA 内的射影，则D 为正三角形ABC 的垂心，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，连结SH ，则SD ⊥HC 且HD ＝13CH ＝33.在Rt △SHD 中，SH ＝SD 2＋HD 2＝233，则S △SAB ＝12×AB ×SH ＝233，S △ABC ＝34×AB 2＝3，所以S 表面积＝S △ABC ＋3S △SAB ＝33(m 2).6. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是 32. 解析：设甲、乙两圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，则r 1r 2＝32.因为侧面积相等，所以h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32.7. 如图，正方形ABCD 的边长为a ，E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，沿DE ，EF ，FD 将△DAE ，△EBF ，△FCD 折起来，使A ，B ，C 三点重合于点S ，则三棱锥SDEF 的外接球的体积为 6πa 38Ｗ. 解析：由题意图形折叠为三棱锥，且由点S 出发的三条棱两两垂直，SD＝a ，SE ＝SF ＝a 2，以SD ，SE ，SF 为边补成长方体，则长方体的对角线即为球的直径，2r ＝a 2＋a 24＋a 24＝62a ，r ＝64a ，外接球的体积为V ＝43πr 3＝6πa 38. 8. 圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是 4 cm .解析：设球的半径为r ，则V 水＝8πr 2，V 球＝3×43πr 3＝4πr 3.放入球后，水面高为6r ，则πr 2·6r ＝8πr 2＋4πr 3，解得r ＝4.9. 在三棱锥ABCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则该三棱锥的体积为 66. 解析：由题意得12AB·AC ＝22，12AD·AC ＝32，12AB·AD ＝62，所以AB ＝2，AC ＝1，AD ＝3，所以V ＝13AD·S △ABC ＝66. 10. 如图，三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为a ， ∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，则其全面积为 ⎝⎛⎭⎫332＋1a 2 . 解析：因为在斜三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，所以A 1A 在平面ABC 内的射影是∠BAC 的平分线.作A 1H ⊥平面ABC ，延长AH 交BC 于点D ，因为△ABC 是边长为a 的等边三角形，所以AD ⊥BC.因为A 1H ⊥BC ，AD ∩A 1H ＝H ，所以BC ⊥平面AA 1H.因为AA 1⊂平面AA 1H ，所以AA 1⊥BC.因为AA 1∥BB 1，所以BB 1⊥BC ，因此四边形BB 1C 1C 是矩形，所以S 矩形BB 1C 1C ＝a 2.连结A 1B ，则△AA 1B 是正三角形，所以S 四边形ABB 1A 1＝34a 2×2＝32a 2. 同理S 四边形AA 1C 1C ＝32a 2. 又S 底＝34a 2，所以S 全＝a 2＋32a 2×2＋34a 2×2＝⎝⎛⎭⎫332＋1a 2. 11. 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm 和6cm ， 高是 32cm . (1) 求三棱台的斜高；(2) 求三棱台的侧面积和表面积.解析：(1) 设O 1，O 分别为正三棱台ABCA 1B 1C 1的上、下底面正三角形的重心，如图所示，则O 1O ＝32.过点O 1，O ，分别作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，垂足分别为D 1，D ，则D 1D为三棱台的斜高.过点D 1作D 1E ⊥AD ，垂足为E ，则D 1E ＝O 1O ＝32. 因为O 1D 1＝13×332＝32，OD ＝13×33＝3， 则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32. 在Rt △D 1ED 中，D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫32＝ 3. 故三棱台的斜高为3cm .(2) 设c ，c′分别为上、下底面的周长，h′为斜高，S 侧＝12(c ＋c′)h′＝12×(3×3＋3×6)×3＝2732(cm 2)， S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2). 故三棱台的侧面积为2732cm 2，表面积为9934cm 2. 12. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2BC ＝4，CD ＝3，E 为AB 的中点，过点E 作 EF ⊥CD ，垂足为F(如图1)，将此梯形沿EF 折成一个直二面角AEFC(如图2).(1) 求证：BF ∥平面ACD ；(2) 求多面体ADFCBE 的体积.图1图2解析：(1) 连结EC ，交BF 于点O ，取AC 的中点P ，连结PO ，PD ，可得PO ∥AE ，且PO ＝12AE. 因为DF ∥AE ，且DF ＝12AE ， 所以DF ∥PO ，且DF ＝PO ，所以四边形DPOF 为平行四边形，所以FO ∥PD ，即BF ∥PD.又PD ⊂平面ACD ，BF ⊄平面ACD ，所以BF ∥平面ACD.(2) 因为二面角AEFC 是直二面角，且AE ⊥EF ，所以AE ⊥平面BCFE.又BC ⊂平面BCFE ，所以AE ⊥BC.又BC ⊥BE ，BE ∩AE ＝E ，BE ，AE ⊂平面AEB ，所以BC ⊥平面AEB ，所以BC 是三棱锥CABE 的高.同理可证CF 是四棱锥CAEFD 的高，所以多面体ADFCBE 的体积V ＝V CABE ＋V CAEFD ＝13×12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝103. 13. 如图，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于A ，B 两点的任意一点，A 1A ＝AB ＝2.(1) 求证：BC ⊥平面A 1AC ；(2) 求三棱锥A 1ABC 体积的最大值.解析：(1) 因为C 是底面圆周上异于A ，B 两点的任意一点，AB 是圆柱底面圆的直径，所以BC ⊥AC.因为AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC.因为AA 1∩AC ＝A ，AA 1，AC ⊂平面AA 1C ，所以BC ⊥平面AA 1C.(2) 设AC ＝x(0<x<2)，则在Rt △ACB 中，BC ＝4－x 2，故V A 1ABC ＝13S △ABC ×AA 1＝13×12×AC ×BC ×AA 1＝13x ×4－x 2＝13－（x 2－2）2＋4(0<x<2).因为0<x<2，所以0<x 2<4，所以当x 2＝2，即x ＝2时，三棱锥A 1ABC 的体积最大，其最大值为23.。

随堂巩固训练(80)1. 一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为 12 . 解析：把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率为P ＝816＝12. 2. 在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是 310 . 解析：由题意得基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为310. 3. 一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为112 . 解析：基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1，1，1)，(1，2，3)，(3，2，1)，(2，2，2)，(1，3，5)，(5，3，1)，(2，3，4)，(4，3，2)，(3，3，3)，(2，4，6)，(6，4，2)，(3，4，5)，(5，4，3)，(4，4，4)，(4，5，6)，(6，5，4)，(5，5，5)，(6，6，6)共18个，所求事件的概率P ＝186×6×6＝112. 4. 从分别写有0，1，2，3，4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片，则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是 15 . 解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)共5个，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝525＝15. 5. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 35 . 解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35. 6. 某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 35. 解析：从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 7. A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，a ∈A ，b ∈A ，则A ∩B ＝B 的概率是 89Ｗ. 解析：因为A ∩B ＝B ，所以B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}.当B＝∅时，a 2－4b ＜0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1，2，3；a ＝2，b ＝2，3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1.当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b . 当B ＝{1，2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a ，b ，所以A ∩B ＝B 的概率为83×3＝89. 8. 将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为 512. 解析：圆心(2，0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a|a 2＋b 2.当d ＜2时，直线与圆相交，则由d ＝|2a|a 2＋b 2＜2，解得b ＞a.满足题意的b ＞a ，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512. 9. 从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1，2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为 47. 解析：当方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2，2)，(3，2)，(2，3)，(3，3)，(－1，－1)共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，则m＞0，n ＞0，有(2，2)，(3，2)，(2，3)，(3，3)共4种，所以所求概率P ＝47. 10. 设a ∈{1，2，3，4}，b ∈{2，4，8，12}，则函数f(x)＝x 3＋ax －b 在区间[1，2]上有零点的概率为 1116. 解析：因为f(x)＝x 3＋ax －b ，所以f′(x)＝3x 2＋a.因为a ∈{1，2，3，4}，因此f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，2]上为增函数. 若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a.因此可使函数在区间[1，2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，4，8；a ＝2，3≤b ≤12，故b ＝4，8，12；a ＝3，4≤b ≤14，故b ＝4，8，12；a ＝4，5≤b ≤16，故b ＝8，12.根据古典概型可得有零点的概率为1116. 11. 已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球.(1) 若用数组(x ，y ，z)中的x ，y ，z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z)的所有情形，一共有多少种？(2) 如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由.解析：(1) 数组(x ，y ，z)的所有情形为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，1)，(1，2，2)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)，(2，2，2)，共8种.(2) 记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i ＝3，4，5，6)，易知，事件A 3包含1个基本事件，事件A 4包含3个基本事件，事件A 5包含3个基本事件，事件A 6包含1个基本事件，所以P(A 3)＝18，P(A 4)＝38，P(A 5)＝38，P(A 6)＝18，摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大，故猜4或5获奖的可能性最大.12. 暑假期间，甲、乙两个学生准备以问卷的方式对某城市市民的出行方式进行调查. 如图是这个城市的地铁二号线路图(部分)，甲、乙分别从太平街站(用A 表示)、南市场站(用B 表示)、青年大街站(用C 表示)这三站中，随机选取一站作为调查的站点.(1) 求甲选取问卷调查的站点是太平街站的概率；(2) 求乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率.解析：(1) 由题知，所有的基本事件有3个，甲选取问卷调查的站点是太平街站的基本事件有1个，所以所求事件的概率P ＝13. (2) 由题知，甲、乙两人选取问卷调查的所有情况如下表：由表格可知，共有9种可能结果，其中甲、乙在相邻的两站进行问卷调查的结果有4种，分别为(A ，B)，(B ，A)，(B ，C)，(C ，B)，因此乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率为49. 13. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量；(2) 若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率.解析：(1) 由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数量为6×2121＋14＋7＝3； 从中学中抽取的学校数量为6×1421＋14＋7＝2； 从大学中抽取的学校数量为6×721＋14＋7＝1. 因此，从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量分别为3，2，1.(2) ①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}共15种.②“从6所学校中抽取的2所学校均为小学”记为事件B，所有可能的结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}共3种，所以P(B)＝315＝15.。

随堂巩固训练(72)1. 已知平面α，β都与γ垂直，且α∩β＝l，则直线l与平面γ的关系为垂直.解析：由题意设α∩γ＝m，β∩γ＝n.因为α∩β＝l，所以在l上任取一点P，过点P在平面α内作PA⊥m，过点P在平面β内作PB⊥n.因为α⊥γ，α∩γ＝m，所以PA⊥γ.因为β⊥γ，β∩γ＝n，所以PB⊥γ，所以PA，PB重合，即l，所以l⊥γ.2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为平行.解析：连结AC，BD，交点为F，连结EF，在△BDD1中，E，F分别为DD1，BD的中点，所以EF∥BD1.又因为EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.3. 已知平面α∥平面β，直线m⊂α，则m∥β一定成立，理由为因为平面α∥平面β，所以平面α，β没有公共点.因为直线m⊂α，所以直线m与平面β没有公共点，所以直线m∥平面βＷ.4. 下列命题中正确的是②④.(填序号)①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行.解析：平行于同一直线的两个平面平行或相交，故①错误；平行于同一平面的两个平面平行，由平面平行的性质定理，可知②正确；垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故③错误；垂直于同一平面的两直线平行，故④正确.5. 设不同的直线m，n和不同的平面α，β，则下列命题中正确的是②.(填序号)①若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；②若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；③若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；④若m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α∥β.解析：对于①，因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α.又n⊥β，所以α∥β，故①错误；对于②，因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，则α⊥β，故②正确；对于③，根据面面平行的判定定理可知，必须是两条相交直线分别平行，结论才成立，故③错误；对于④，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α.又n⊂β，所以α∥β不一定成立，故④错误.6. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.其中，真命题的序号是②.解析：若m⊂β，α⊥β，则根据空间中线面的位置关系可知，m⊥α或m∥α或m⊂α或m与α相交，故①为假命题；若m∥α，m⊥β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故②为真命题；若α⊥β，α⊥γ，则根据空间中平面与平面的位置关系可知β∥γ或β与γ相交，故③为假命题；若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则根据三棱柱的三个侧面可得α与β相交，根据四棱柱的四个侧面可得α∥β，故④为假命题.7. 已知α，β为两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)解析：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线不一定与另一平面垂直；若m⊂α，m⊥β，则根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.8. 过△ABC所在平面α外一点P作PO⊥平面α，垂足为O，连结PA，PB，PC，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心.解析：由题意得，过△ABC所在平面α外一点P作PO⊥平面α，垂足为O，且PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，所以O为△ABC的外心.9. 已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么可由上述条件推出的结论有②④.(填序号)①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.解析：因为α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，所以β与γ相交，但不一定垂直，m与β相交，但不一定垂直，故①③错误；由面面垂直的性质，知l⊥α，故②正确；由面面垂直的判定定理，知α⊥β，故④正确.10. 对于平面α与平面β，有下列条件：①平面α，β都垂直于平面γ；②平面α，β都平行于平面γ；③平面α内不共线的三点到平面β的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥α，m∥β；⑤l，m是异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.则可判定平面α与平面β平行的条件是②⑤.(填序号)解析：对于①，由长方体过同一个顶点的三个侧面，可知垂直于同一个平面的两个平面可能相交，故①不正确；对于②，由两个平面互相平行的定义，可得平行于同一个平面的两个平面互相平行，故②正确；对于③，若平面α内不共线的三点不在平面β的同一侧，则平面α与平面β相交，故③不正确；对于④，若l，m为两条平行线，且l∥α，m∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故④不正确；对于⑤，若l，m是异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α∥β，故⑤正确.11. 如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点.求证：(1) AO⊥CD；(2) 平面AOF⊥平面ACE.解析：(1) 因为△ABE为等边三角形，O是BE的中点，所以AO⊥BE.又因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，AO⊂平面ABE，所以AO⊥平面BCDE.因为CD⊂平面BCDE，所以AO⊥CD.(2) 连结BD.因为四边形BCDE为菱形，所以CE⊥BD.因为O，F分别为BE，DE的中点，所以OF∥BD，所以CE⊥OF.由(1)可知，AO⊥平面BCDE，因为CE⊂平面BCDE，所以AO⊥CE.因为AO∩OF＝O，AO，OF⊂平面AOF，所以CE⊥平面AOF.又因为CE⊂平面ACE，所以平面AOF⊥平面ACE.12. 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD ＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点.求证：(1) AB∥平面DEG；(2) BD⊥EG.解析：(1) 因为AD∥EF，EF∥BC，所以AD∥BC.又因为BC＝2AD，G是BC的中点，所以AD＝BG，所以四边形ADGB是平行四边形，所以AB∥DG.因为AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，所以AB∥平面DEG.(2) 过点D作DH∥AE，交EF于点H，连结GH，BH.因为EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，所以EF⊥AE，EF⊥BE.又AE⊥EB，EB∩EF＝E，EB，EF⊂平面BCFE，所以AE⊥平面BCFE，所以DH⊥平面BCFE.因为EG⊂平面BCFE，所以DH⊥EG.因为AD∥EF，DH∥AE，所以四边形AEHD是平行四边形，所以EH＝AD＝2.又EH∥BG，EH⊥BE，EH＝BE＝BG＝2，所以四边形BGHE为正方形，所以BH⊥EG.又BH∩DH＝H，BH，DH⊂平面BHD，所以EG⊥平面BHD.因为BD⊂平面BHD，所以BD⊥EG.13. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝PD，PA⊥AB，N是棱AD 的中点.(1) 求证：平面PAB⊥平面PAD；(2) 求证：PN⊥平面ABCD；(3) 在棱BC上是否存在动点E，使得BN∥平面DEP？并说明理由.解析：(1) 在矩形ABCD中，AB⊥AD.又因为AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2) 在△PAD中，PA＝PD，N是AD的中点，所以PN⊥AD.由(1)知AB⊥平面PAD，PN⊂平面PAD，所以AB⊥PN.又因为AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PN⊥平面ABCD.(3) 在棱BC上存在点E，使得BN∥平面DEP，此时E为BC的中点.理由如下：假设存在点E，使得BN∥平面DEP.因为BN⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PDE＝DE，所以BN∥DE.因为N是AD的中点，所以E为BC的中点，故假设成立，且E为BC的中点.总结：解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论；第二步：证明探求结论的正确性；第三步：给出明确答案；第四步；反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒：(1) 立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.(2) 这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.。

随堂巩固训练(77)1. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 32 名学生.解析：高一年级的学生在总体中所占的比例为44＋3＋3＝25，故应从高一年级抽取的学生数为80×25＝32. 2. 某学校共有学生2 800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人.现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 93 .解析：抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为280×9302 800＝93. 3. 某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4，12，8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 3 .解析：若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为6×1224＝3. 4. 某校共有师生1 600人，其中教师有100人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 75 .解析：学生的总人数为1 600－100＝1 500，则抽取学生的人数为80×1 5001 600＝75. 5. 若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[241，360]内的人数是 6 .解析：根据题意，从420人中抽取21人做问卷调查，组距是420÷21＝20.编号在区间[241，360]内应抽取的人数是(360－241＋1)÷20＝6.6. 某高中共有1 200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列. 现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 16 .解析：因为高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，分别设为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝1 200，a ＋c ＝2b ，所以b ＝400.若用分层抽样的方法从中抽取48人，则高二年级被抽取的人数为48×4001 200＝16. 7. 某单位有840名职工， 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查， 将840人按1，2，…，840随机编号， 则抽取的42人中，编号落入区间[61， 120]的人数为 3 .解析：根据系统抽样的特点，组距应为840÷42＝20，所以抽取的42人中，编号落区间[61，120]的人数为(120－61＋1)÷20＝3.8. 某工厂生产某种产品5 000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线. 为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为1∶2∶2，则乙生产线生产了 2 000 件产品.解析：由题意得甲、乙、丙3条生产数量之比为1∶2∶2，则乙生产线生产了 5000×21＋2＋2＝2 000(件).9. 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为100 .解析：根据频率分布直方图可知，三等品的件数是[(0.012 5＋0.025＋0.012 5)×5]×400＝100.10. 某单位有职工52人，现将所有职工按1，2，3，…，52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 19 .解析：设样本中还有一个职工的编号是x 号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6，x ，32，45，构成等差数列，所以6＋45＝x ＋32，所以x ＝19，即还有一个职工的编号是19.11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入(单位：元)调查了10 000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2 500，3 000)内应抽出 25 人.解析：由直方图可得[2 500，3 000)月收入段共有10000×0.000 5×500＝2 500(人)，所以按分层抽样应从[2 500，3000)月收入段内抽取2 500×10010 000＝25(人). 12. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km /h )绘制的频率分布直方图如下图所示.该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km /h ～120km /h ，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为 15 .解析：由频率分布直方图可知，非正常行驶的频率为20×(0.002 5＋0.005)＝0.15，所以这100辆汽车中非正常行驶的机动车辆为100×0.15＝15(辆).(第12题) (第13题)13. 某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数为 144 .解析：根据频率分布直方图，得男生身高在180 cm 以上(含180 cm )的频率为1－(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.18，所以估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm 以上(含180 cm )的人数为800×0.18＝144.。

随堂巩固训练(75)1. 计算机执行下面的程序段后，输出的结果b是　1　.a←1，b←3，a←a＋b，b←a－b.解析：a←a＋b，即a＝4.又b←a－b，故b＝1.2. 运行如图所示的算法，则输出的结果是　25　.解析：x＝0<20，则x＝1，输出x＝1<20，x＝2，输出x＝4<20，x＝5，输出x＝25>20，结束循环.3. 如图，给出一个算法的伪代码，则f(－2)＋f(3)＝　－1　.解析：由题意得f(－2)＝4×(－2)－1＝－9，f(3)＝23＝8，则f(－2)＋f(3)＝－9＋8＝－1.4. 如图是一个算法的伪代码，输出结果是　14　.解析：一共循环三次，第一次，I＝2，S＝2；第二次，I＝4，S＝6；第三次，I＝8，S＝14，输出结果是S＝14.5. 根据如图所示的伪代码，最后输出的a的值为　48　.解析：由题意可知这是一个当型循环，循环条件为当i≤6时循环，当i＝2时，a＝1×2＝2，i＝2＋2＝4；当i＝4时，a＝2×4＝8，i＝4＋2＝6；当i＝6时，a＝8×6＝48，i＝6＋2＝8.因为i＝8>6，则结束循环，故输出48.6. 运行如下所示的程序，则程序运行后的输出结果为　16　.解析：S←0，I取值从1开始，且步长为2，则S＝1＋3＋5＋7＝16.7. 如果在如图所示的程序中运行后输出的结果为132，那么在程序While 后面的条件应为　i ≥11或i>10　.解析：第一次循环之后S ＝12，i ＝11；第二次循环之后S ＝132，i ＝10.已满足条件，则跳出循环，由于此循环为当型循环，i ＝12，i ＝11都满足条件，故i ≥11或i>10.8. 如图所示是一个算法的伪代码，则输出的结果是　5　.解析：第1次循环：I ＝1＋1＝2，S ＝1×2＝2；第2次循环：I ＝2＋1＝3，S ＝2×3＝6；第3次循环：I ＝3＋1＝4，S ＝6×4＝24；第4次循环：I ＝4＋1＝5，S ＝24×5＝120，不满足S ≤24，输出I ＝5.9. 某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为1，则输入x 的值为　－1或2 014　. 解析：由程序框图知，算法的功能是求y ＝的值.当x ≤0时，由x ＋{x ＋2， x ≤0，log 2 014x ， x >0)2＝1，得x ＝－1；当x>0时，由log 2 014x ＝1得x ＝2 014.综上，输入x 的值为－1或2 014.10. 某算法的伪代码如图所示，则输出的i 的值为　5　.解析：该算法语句运行4次，输出i ＝5.11. 已知某算法的伪代码如图所示，则可算得f(－1)＋f(e )的值为 . 32解析：算法的功能是求f(x)＝的值，所以f(－1)＋f(e )＝＋1＝. {ln x ，x >0，2x ， x ≤0)123212. 根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为　48　.解析：该代码运行3次，所以输出的a ＝1×2×4×6＝48.。

随堂巩固训练(68)1. 已知两条异面直线平行于同一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是　②　.(填序号)①平行；②垂直；③斜交；④不能确定.解析：设a ，b 为异面直线，a ∥平面α，b ∥平面α，直线l ⊥a ，l ⊥b.过a 作平面β∩α＝a′，则a ∥a′，所以l ⊥a′.同理过b 作平面γ∩α＝b′，则l ⊥b′.因为a ，b 异面，所以a′与b′相交，所以l ⊥α.2. 关于不同直线m ，n 和不同平面α，β，给出下列命题：①Error!⇒m ∥β；②Error!⇒n ∥β；③Error!⇒m ，n 异面；④Error!⇒m ⊥β.其中正确命题的序号是　①　.解析：①m 与平面β没有公共点，正确；②直线n 可能在平面β内，错误；③m 与n 也可能相交或平行，错误；④m 与平面β还可能平行或m 在平面β内，错误.3. 在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是　平面ABD 与平面ABC .解析：取CD 的中点E ，连结AE ，BE ，则＝＝，所以MN ∥AB ，所以MN ∥EM AM EN BN 12平面ABC 且MN ∥平面ABD.4. 已知a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，给出一组条件：①α∥β，②a ⊂β，③a ⊄α，④a ∥b ，⑤b ⊂α.则由　①②或③④⑤　组合可得a ∥α.(填序号)解析：因为α∥β，a ⊂β，所以a ∥α，所以由①②可得a ∥α.因为a ∥b ，a ⊄α，b ⊂α，所以a ∥α，所以由③④⑤可得a ∥α.5. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，E 为A 1B 1的中点，过E ，C 1，C 三点作一截面，则截面的面积为 Ｗ.5a 22解析：截面是过A 1B 1中点E 的矩形，长为EC 1＝a ，宽为CC 1＝a ，则截面的面积为52. 5a 226. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 是AB 的中点.试在平面A 1CD中画出与BC 1平行的直线，所画直线为　OD Ｗ.解析：如图，连结AC1交A 1C 于点O ，连结OD ，则OD 即为所求直线.7. 如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，动点M 在四边形EFGH的边上及其内部运动，则点M 满足条件 M ∈线段FH(答案不唯一)　时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：因为F ，H 分别为C 1D 1，CD 的中点，所以FH ∥DD 1.又因为N为BC 的中点，所以NH ∥BD.因为FH ∥DD 1，FH ⊄平面BDD 1B 1，DD 1⊂平面BDD 1B 1，所以FH ∥平面BDD 1B 1.同理可得NH ∥平面BDD 1B 1，又因为NH ，FH ⊂平面HNF ，NH ∩FH ＝H ，所以平面HNF ∥平面BDD 1B 1.若点M 在线段FH 上，则MN ⊂平面HNF ，所以MN ∥平面B 1BDD 1.8. 给出下列条件：①l ∥α；②l 与α至少有一个公共点；③l 与α至多有一个公共点，能确定直线l 在平面α外的条件的序号是　①或③　Ｗ.解析：由直线与平面的位置关系可知，①或③可以确定直线l 在平面α外.9. 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，AB 的中点.(1) 求证：EF ∥平面CB 1D 1；(2) 求证：D 1E ，B 1F ，AA 1三条直线交于一点.解析：(1) 连结BD.因为E ，F 分别为AD ，AB 的中点，所以EF ∥BD.因为BD ∥B 1D 1，所以EF ∥B 1D 1.因为B 1D 1⊂平面CB 1D 1，EF ⊄平面CB 1D 1，所以EF ∥平面CB 1D 1.(2) 因为EF ∥BD 且EF ＝BD ＝B 1D 1， 1212所以四边形EFB 1D 1是梯形.令D 1E ∩B 1F ＝O ，则O ∈D 1E.又D 1E ⊂平面AA 1D 1D ，所以O ∈平面AA 1D 1D.同理O ∈平面AA 1B 1B.因为平面AA 1B 1B ∩平面AA 1D 1D ＝AA 1，所以O ∈AA 1，所以D 1E ，B 1F ，AA 1三条直线交于一点.10. 如图，在五面体ABCDEF 中，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，EF ∥BC ，且EF ＝BC ，求证：FO ∥平面CDE. 12解析：取CD 的中点M ，连结OM ，EM.因为O 是矩形ABCD 的对角线的交点，M 为CD 的中点，所以OM ∥BC 且OM ＝BC. 12又EF ∥BC 且EF ＝BC ， 12所以EF ∥OM 且EF ＝OM ，所以四边形EFOM 为平行四边形，所以FO ∥EM.又FO ⊄平面CDE ，EM ⊂平面CDE ，所以FO ∥平面CDE.11. 如图，四棱锥PABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，BE ⊥PC ，垂足为E ，且BE ＝a ，试在AB 上找一点F ，使得63EF ∥平面PAD.解析：过点E 作EG ∥CD ，交PD 于点G ，连结AG ，在AB 上取点F ，使得AF ＝EG ，连结EF.因为EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ，所以四边形FEGA 为平行四边形，所以FE ∥AG.又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ，所以F 即为所求的点.因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC.又BC ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ，AB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB.因为PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥BC ，所以PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋PA 2.设PA ＝x ，则PC ＝.2a 2＋x 2由PB·BC ＝BE·PC 得·a ＝·a ，a 2＋x 22a 2＋x 263所以x ＝a ，即PA ＝a ，所以PC ＝ a.3又CE ＝＝a ，a 2－(63a )2 33所以＝，所以＝＝，即AF ＝AB.PE PC 23GECD AFAB 2323故F 是AB 上靠近点B 的一个三等分点.。

随堂巩固训练(62)1. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 5＋2a 10＝0，则S 20S 10＝ 54.解析：设等比数列的公比为q ，则由a 5＋2a 10＝0，得q 5＝－12，所以S 20S 10＝a 1（1－q 20）1－q a 1（1－q 10）1－q ＝1＋q 10＝1＋14＝54.2. 在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为 43.解析：由题意得a 4a 5a 6＝a 35＝3，解得a 5＝313. 因为a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，所以log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43.3. 设数列{a n }是首项为1，公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则数列{a n }的公差为 2 .解析：设公差为d ，其中d ≠0，则S 1，S 2，S 4分别为1，2＋d ，4＋6d. 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得(2＋d)2＝4＋6d ，即d 2＝2d. 因为d ≠0，所以d ＝2.4. 若正项等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝ 14 .解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n－1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，则q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14. 5. 已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是 －5 .解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列. 因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35，所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－5.6. 在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin (log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为2. 解析：因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3.log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2·…·a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin (log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 7. 若a ，b 是函数f(x)＝x 2－px ＋q(p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于 9 .解析：由题意知a ＋b ＝p ，ab ＝q ，因为p ＞0，q ＞0，所以a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，所以p ＝5，q ＝4，所以p ＋q ＝9. 8. 在正项等比数列{a n }中，若a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，则a 5＋a 6的最小值为 48 . 解析：设 a 2＋a 1＝x>0，等比数列的公比为q ，则a 4＋a 3 ＝xq 2，a 5＋a 6 ＝xq 4.由a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，得 xq 2＝6＋2x ，所以x ＝6q 2－2＞0，q ＞2，所以a 5＋a 6 ＝xq 4＝6q 4q 2－2＝6·q 4q 2－2＝6(q 2＋2＋4q 2－2)＝6⎝⎛⎭⎫q 2－2＋4q 2－2＋4≥6×(4＋4)＝48，当且仅当q 2－2＝2，即q＝2时，等号成立，故a 5＋a 6的最小值为48.9. 已知正项等比数列{a n }满足a 2 015＝2a 2 013＋a 2 014，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则n ＋4m mn 的最小值为 32.解析：设{a n }的公比为q(q>0).由a 2 015＝2a 2 013＋a 2 014，可得a 2 013·q 2＝2a 2 013＋a 2 013·q ，所以q 2－q －2＝0，所以q ＝2.因为a m a n ＝4a 1，所以q m＋n －2＝16，所以m ＋n ＝6.n ＋4m nm ＝16(m＋n)(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥32，当且仅当n m ＝4mn ，即m ＝2，n ＝4时取等号，故n ＋4m nm 的最小值为32.10. 已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，则数列{a n }的通项公式a n ＝12n 1.解析：由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).因为数列{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12，故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.11. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n＋S n ＝n.(1) 设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2) 求数列{b n }的通项公式. 解析：(1) 因为a n ＋S n ＝n ，① 所以a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得2a n ＋1＝a n ＋1，所以a n ＋1＝a n ＋12. 因为c n ＋1＝a n ＋1－1＝a n ＋12－1＝a n －12＝12c n ，所以c n ＋1c n ＝12.又a 1＋a 1＝1，所以a 1＝12，c 1＝a 1－1＝－12，所以数列{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列.(2) 由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n，所以a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n，b 1＝a 1＝12满足上式，所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n .12. 已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足a n S n＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *).(1) 若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值；(2) 若λ＝12，求S n .解析：(1) 令n ＝1，得a 2＝21＋λ. 令n ＝2，得a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3， 所以a 3＝2λ＋4（λ＋1）（2λ＋1）.由a 22＝a 1a 3，得⎝⎛⎭⎫21＋λ2＝2λ＋4（λ＋1）（2λ＋1），因为λ≠0，所以λ＝1.(2) 当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1，所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12，即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋1a n 是以2为首项，12为公差的等差数列， 所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)×12，即S n ＋1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋32a n .① 当n ≥2时，S n －1＋1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋1a n －1，②①－②得，a n ＝n ＋32a n －n ＋22a n －1，即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1，所以a n n ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋2是常数列，且为13，所以a n ＝13(n ＋2)，代入①得S n ＝⎝⎛⎭⎫n 2＋32a n －1＝n 2＋5n 6. 13. 设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且满足：①|a 1|≠|a 2|；②r (n －p )S n ＋1＝(n 2＋n )·a n＋(n 2－n －2)a 1，其中r ，p ∈R ，且r ≠0.(1) 求实数p 的值；(2) 数列{a n }是否为等比数列？请说明理由. 解析：(1) 当n ＝1时，r (1－p )S 2＝2a 1－2a 1＝0. 又r ≠0，|a 1|≠|a 2|，所以S 2≠0，所以p ＝1. (2) 数列{a n }不是等比数列. 理由如下： 假设数列{a n }是等比数列，公比为q .当n ＝2时，rS 3＝6a 2，即ra 1(1＋q ＋q 2)＝6a 1q ，所以r(1＋q＋q2)＝6q，当n＝3时，2rS4＝12a3＋4a1，即2ra1(1＋q＋q2＋q3)＝12a1q2＋4a1，所以r(1＋q＋q2＋q3)＝6q2＋2，联立得q＝1，与|a1|≠|a2|矛盾，所以假设不成立，故数列{a n}不是等比数列.。