精选初二上册数学第11章知识点复习：与三角形有关的线段、角

初二上册第11章三角形知识点总结归纳一、三角形的基本概念与性质三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形叫做三角形。

这三条线段分别称为三角形的三边，相邻两边所组成的角称为三角形的内角。

三角形的分类：按角的大小分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。

按边的长短分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等）、等边三角形（三边都相等）。

三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

举例：若三角形的三边分别为a、b、c，则必须满足a + b > c, a + c > b, b + c > a，以及|a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a。

三角形的内角和：三角形的三个内角之和等于180°。

举例：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。

三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在其三边长度确定后就不会改变。

举例：建筑中的钢架结构、桥梁的支撑结构等常利用三角形的稳定性。

二、等腰三角形与等边三角形的性质与判定等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

举例：在等腰△ABC中，若AB = AC，则∠B = ∠C，且AD（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）重合。

等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。

有两个角相等的三角形是等腰三角形。

举例：若△ABC中，AB = AC或∠B = ∠C，则△ABC是等腰三角形。

等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且每个角都为60°。

等边三角形的三条边都相等。

等边三角形的每条边上的中线、高线和对角的平分线三线合一。

举例：在等边△ABC中，AB = BC = AC，∠A = ∠B = ∠C = 60°，且AD、BE、CF三线合一。

八年级数学上册“第十一章三角形”必背知识点一、三角形的定义与基本性质1. 三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边、三个内角和三个顶点。

2. 三角形的分类：按边分：不等边三角形、等腰三角形 （包括等边三角形，即三边都相等的特殊等腰三角形）。

按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

3. 三角形的主要线段：高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

中线：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段。

三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分。

角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。

三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点（内心）。

4. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，具有稳定性。

这一性质在生产生活中应用广泛。

二、三角形的三边关系基本定理：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

推论：根据三边关系可以判断三条线段是否能组成三角形，或已知两边时确定第三边的取值范围。

三、三角形的内角与外角1. 内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。

推论：直角三角形的两个锐角互余。

2. 外角的定义与性质：定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

外角和定理：三角形的外角和为360°。

四、与三角形有关的角的其他性质等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角）。

等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且均为60°。

五、多边形的基本概念与性质多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形的内角与外角：内角：多边形相邻两边组成的角。

外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角。

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。

第十一章 三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边.任意两边的差小于第三边.注意：已知两边可得第三边的取值范围是：两边之差<第三边<两边之和3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线.顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.注意：①三角形的三条高是线段；②画三角形的高时.只需要三角形一个顶点向对边或对边的延长线作垂线.连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．4.中线：在三角形中.连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 注意：①三角形有三条中线.且它们相交三角形内部一点.交点叫重心．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交.这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：①三角形的角平分线是一条线段.而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点.这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同.可以用量角器画.也可通过尺规作图来画．6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的.三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段.叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内.各个角都相等.各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖.叫做用 多边形覆盖平面.13.公式与性质：⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形的一个外角和与之相邻的内角互补.过三角形的一个顶点有两个外角.这两个角为对顶角〔相等.可见一个三角形共有六个外角．⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线.把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.例题精选1.<2015·XX中考>以下列各组线段为边.能组成三角形的是< >A.1 cm.2 cm.4 cmB.4 cm.6 cm.8 cmC.5 cm.6 cm.12 cmD.2 cm.3 cm.5 cm2.<2015·XX中考>如图.AB∥CD.直线EF交AB于点E.交CD于点F.EG平分∠BEF.交CD于点G.∠1=50°.则∠2等于< >A.50°B.60°C.65°D.90°3.<2015·来宾中考>如图.在△ABC中.已知∠A=80°.∠B=60°.DE∥BC.那么∠CED的大小是< >A.40°B.60°C.120°D.140°4.<2015·XX中考>正多边形的一个外角等于30°.则这个多边形的内角和为< >A.720B.1260C.1800D.23405.<2015·来宾中考>如果一个多边形的内角和是其外角和的一半.那么这个多边形是< >A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形6.<2015·XX中考>若一个多边形内角和等于1260°.则该多边形有条对角线.2．下列说法错误的是< >．A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B．钝角三角形有两条高线在三角形外部C．直角三角形只有一条高线D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线3．如果多边形的内角和是外角和的k倍.那么这个多边形的边数是< >．A．k B．2k＋1C．2k＋2 D．2k－24．四边形没有稳定性.当四边形形状改变时.发生变化的是< >．A．四边形的边长B．四边形的周长C．四边形的某些角的大小D．四边形的内角和5．如图.在△ABC中.D.E分别为BC上两点.且BD＝DE＝EC.则图中面积相等的三角形有< >对．A．4 B．5C．6 D．76．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C.②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3.③∠A＝90°－∠B.④∠A＝∠B－∠C中.能确定△ABC是直角三角形的条件有<>．A．1个B．2个C．3个 D．4个7.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角.那么这个三角形为< >．A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．以上都不对8．如图.把△ABC纸片沿DE折叠.当点A落在四边形BCDE内部时.∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律.你发现的规律是<>．A．∠A＝∠1＋∠2B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2D．3∠A＝2<∠1＋∠2>9．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边.那么这两个角之间的关系是< >．A．相等 B．互补C．相等或互补 D．互余10．如图.生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架.这是因为三角形具有_____________．11．已知a.b.c是三角形的三边长.化简：|a－b＋c|－|a－b－c|＝__________.12．等腰三角形的周长为20 cm.一边长为6 cm.则底边长为__________．13．如图.∠ABD与∠ACE是△ABC的两个外角.若∠A＝70°.则∠ABD＋∠ACE ＝__________.14．四边形ABCD的外角之比为1∶2∶3∶4.那么∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝__________.15．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍.那么这个多边形是__________边形．16．如图.∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__________.17．如图.点D.B.C在同一直线上.∠A＝60°.∠C＝50°.∠D＝25°.则∠1＝__________.18．如图.小亮从A点出发.沿直线前进10米后向左转30°.再沿直线前进10米.又向左转30°.……照这样走下去.他第一次回到出发地A点时.一共走了__________米．19．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的13.这个正多边形是几边形？20．如图所示.直线AD和BC相交于点O.AB∥CD.∠AOC＝95°.∠B＝50°.求∠A和∠D.21．如图.经测量.B处在A处的南偏西57°的方向.C处在A处的南偏东15°方向.C处在B处的北偏东82°方向.求∠C的度数．22．如图所示.分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪<图中阴影部分>．<1>图①中草坪的面积为__________；<2>图②中草坪的面积为__________；<3>图③中草坪的面积为__________；<4>如果多边形的边数为n.其余条件不变.那么.你认为草坪的面积为__________．7．如图.AD是△ABC的中线.CE是△ACD的中线.DF是△CDE的中线.若S△DEF 等于<>＝2.则S△ABCA．16 B．14 C．12 D．109．如图.四边形ABCD中.点M.N分别在AB.BC上.将△BMN沿MN翻折.得△FMN.若MF∥AD.FN∥DC.则∠D的度数为<>A．115°B．105°C．95°D．85°10．如图.∠1.∠2.∠3.∠4恒满足的关系是<>A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠314．若一个三角形的两边长是4和9.且周长是偶数.则第三边长为________．24．<1>如图.一个直角三角板XYZ放置在△ABC上.恰好三角板XYZ的两条直角边XY.XZ分别经过点 B.C.△ABC中.若∠A＝30°.则∠ABC＋∠ACB＝__________.∠XBC＋∠XCB＝__________；<2>若改变直角三角板XYZ的位置.但三角板XYZ的两条直角边XY.XZ仍然分别经过B.C.那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变化.请求出∠ABX＋∠ACX的大小．25．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．<1>如图①.若AB∥CD.点P在AB.CD外部.则有∠B＝∠BOD.又因为∠BOD是△POD的外角.故∠BOD＝∠BPD＋∠D.得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB.CD内部.如图②.以上结论是否成立？若成立.说明理由；若不成立.则∠BPD.∠B.∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；<2>在如图②中.将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q.如图③.则∠BPD.∠B.∠D.∠BQD之间有何数量关系？<不需证明>；<3>根据<2>的结论求如图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．。

八年级上册数学第十一章三角形知识点总结一、与三角形有关的线段1. 三角形的概念- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

- 三角形有三条边、三个内角和三个顶点。

2. 三角形的分类- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角为直角的三角形。

直角三角形可以用“Rt△”表示，直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形中，三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），等边三角形是特殊的等腰三角形。

3. 三角形的三边关系- 三角形两边之和大于第三边，即a + b>c，a + c>b，b + c>a。

- 三角形两边之差小于第三边，即| a - b|<c，| a - c|<b，| b - c|<a。

- 判断三条线段能否组成三角形，只需判断较短两条线段之和是否大于最长的线段。

4. 三角形的高、中线与角平分线- 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角形有三条高，锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高即两条直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。

- 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。

三角形的每一条中线都把三角形分成面积相等的两个部分。

- 三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的三条角平分线相交于一点。

二、与三角形有关的角1. 三角形的内角- 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。

第十一章 三角形（八年级下册）1．与三角形有关的线段⑴三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形⑵三角形按角分类：分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形⑶三角形按边分类：⑷三角形三边关系：三角形两边的和大于第三边 三角形两边的差小于第三边 （依据：两点之间，线段最短）练习：三角形的两条边分别是7、2，则第三边的c 的取值范围是：5＜c ＜9（知道5、9是如何得来的）2．三角形的高、中线和角平分线⑴∵AD 是△ABC 的高∴AD ⊥BC ∠ADC=∠ADB=90°⑵∵AD 是△ABC 的中线∴BD=DC=12BC BC=2BD=2DC 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形。

能分成面积相等的三部分吗？四部分呢？…… 分得的两个三角形面积和两个三角形底边的比是什么关系?⑶∵BD 是△ABC 的角平分线三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 底边和不相等三角形∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC ∠ABC=2∠DBC=2∠ABD⑷三角形的重心：三角形的三条中线的交点。

⑸钝角三角形三条高的画法：3．三角形的稳定性除三角形具有稳定性，四边形等多边形都没有这种性质；4．与三角形有关的角⑴三角形内角和是180°；⑵直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；有一个角是90°⑶直角三角形的符号是Rt△；⑷判定三角形为直角三角形的方法：1有两个角互余的三角形是直角三角形；2有一个角等于90°。

5．三角形的外角三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

∠1=∠2+∠36．多边形的对角线条数：n n2（—3） (n为多边形的边数)。

从一个顶点出发的对角线的条数是（n-3）条。

7．多边形的内角和⑴多边形的内角和等于（n-2）×180°⑵多边形的外角和等于360°(3)正多边形的边相等，角相等。

第十一章 三角形 知识梳理清单11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边1、（1）三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形（2）相关概念：顶点、边、内角、表示方法“∆ABC ”2、三角形的分类：（1）按角分类：三角形⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形（2）按边分类：三角形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形角形底和腰不相等的等腰三等腰三角形形三条边都不相等的三角 3、三边关系：⎩⎨⎧第三边②：两边之差第三边①：两边之和____________ 用途：①用于判断三条线段能否组成三角形 （只需判断两条较短线段的和是否大于第三条线段即可） ②三角形第三边的取值范围 （两边之差 < 第三边 < 两边之和） （求周长的取值范围）11.1.2三角形的高、中线与角平分线1、高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

反之2、中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做三角形的中线。

反之 面积 周长：一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 重心：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心3、角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

反之11.1.3 三角形的稳定性三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性“稳定性”的解释：三角形的边长确定后，三角形的形状和大小都确定。

11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角第1课时三角形的内角和1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°必须要理解掌握证明方法（主要利用“平行线的性质”和“平角的定义”证明）2、常见模型：“8字形”模型3、相关结论：三角形的内角中最多的只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角。

第2课时直角三角形的两个锐角互余1、表示方法：直角三角形可以写成“Rt ABC”2、性质：直角三角形的两个锐角互余3、判定：有两个角互余的三角形是直角三角形符号语言：11.2.2 三角形的外角1、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角2、个数：一个三角形有6个外角（每个顶点有一对，互为对顶角，一共3对）3、性质：①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和②三角形的外角大于与它不相邻的任何一个外角4、外角和：三角形的外角和是360°（每个顶点只计算一个外角）11.3 多边形及其内角和11.3.1多边形1、定义：在平面内，有一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形2、相关概念：顶点、边、内角、外角，表示方法：名称按照顶点的顺序（顺时针、逆时针都可）3、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边预习要点1．三角形的概念由三条的而构成的平面图形叫三角形。

2．三角形的表示在上图中，线段AB，BC，CA是三角形的；点A，B，C是三角形的；∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

是A，B，C的三角形，记作，读作“”。

△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示。

顶点A所对的边BC用表示，顶点B所对的边AC用表示，顶点C所对的边AB用表示。

3．如图，图中共有三角形（）A．4个B．5个C．6个D．8个4．如图，以BC为边的三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．三角形的三边关系（1）三角形两边的和第三边( 即a+b>c或a+c>b或b+c>a )。

（2）推论：三角形两边的差第三边。

6．（2016•岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cmC．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm7．（2016•长沙）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11同步小题12道一．选择题1．（2016春•安徽月考）至少有两边相等的三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形2．如图，共有三角形的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（）A．B．C．D．4．（2016•重庆校级三模）下列四组数分别是三条线段的长度，能构成三角形的是（）A．1，1，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，85．（2016•如东县一模）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则此三角形的第三边长可能为（）A．2 B．3 C．6 D．76．（2016•拱墅区一模）已知△ABC的三边长都是整数，且AB=2，BC=6，则△ABC的周长可能是（）A．12 B．14 C．16 D．17二．填空题7．如图，△ABC中，AB与BC的夹角是，∠A的对边是，∠A、∠C的公共边是．8．如图，一共有条线段，有个三角形．9．（2016春•抚州校级期中）在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，那么BC长的取值范围是．10．（2016春•工业园区期中）已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b-c|+|a-b-c|-|a-b+c|= ．三．解答题11．已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．（1）请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长．（2）若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．12．四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞12 （AB+BC+CD+DA ）．证明：在△OAB 中有OA+OB ＞AB 在△OAD 中有______， 在△ODC 中有______， 在△______中有______，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA 即：______，即：AC+BD ＞12 （AB+BC+CD+DA ）11.1.2 三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性预习要点 1．三角形的高从的顶点A 向它所对的边BC 所在画，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。