极化恒等式（源于冷世平老师PDF ）
1极化恒等式：()()
2214a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦ 极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即222214a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=-=-⎣
⎦
2极化恒等式的应用
例1ABC M BC AM=3BC=10AB AC=∆⋅在中，是的中点，，，则
解析：22
1925162AB AC AM BC ⋅=-=-=- 00001ABC P AB P B=AB AB P 4PB PC P B P C ∆⋅≥⋅例2：设，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则
0.90A ABC ∠= 0.90B BAC ∠= .C AB AC = .D A C B C =
22022000000BC D PD P D PBC PB PC=PD BD P BC P B P C=P D ,PD P D P D AB AC=BC
BD ∆⋅
-
∆⋅-≥⊥解析：取中点，连接，，在内使用极化恒等式得在内使用极化恒等式得由条件知，
即，故
3ABCD P AB APB PC PD f ⋅例：设正方形的边长为4,动点在以为直径的圆弧上，则 第三题图 第四题图 解析：[]24,225016.PC PD PE PE PC PD ⎡⎤⋅=-∈⋅∈⎣由图知，，，故， 2
min ABC 4ABC E F AB AC P EF S =2PC PB+BC =∆⋅例：在中，点，分别是线段，的中点，点在直线上，
若，则
222222221322,,,4443+BC 2PD BC .4BC PBC PC PB PD BC PC PB BC PD BC h PD BC BC PC PB BC ⋅=-⋅+=+=≥⋅+≥≥⊥解析：因此， 051AOB AOB=60C AB OC P OP BP ∠⋅例：如图，在半径为的扇形中，，为弧上的动点，与交于点，则的最小值为
解析：如上图所示，213311,PD ,4162OP BP PD OP BP ⎡⎤⎡⎤⋅=-∈⋅∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
易知，，则
()6ABCD OB OC ⋅例：如图放置的边长为1的正方形顶点分别在x 轴，y 轴正半轴含原点滑动，则的最大值为
22111OB OC=OE 12424⎛⎫⋅-≤+-= ⎪⎝
⎭解析：
