极化恒等式
例1：（2014年高考全国新课标II 卷文（理）科第4（3）题）设向量b a ,满足6,10=-=+b a b a ，则
b a •等于 （ ）
A.1
B. 2
C. 3
D. 5
解：由极化恒等式，即得
.14
6
104
2
2=-=
--+=
•b
a b a b a
例2:（2014江苏）在平行四边形
ABCD 中，已知
,
2,3,5,8=•===BP AP PD CP AD AB 则AD AB •的值是 .
解:22
2
=-=•AE PE PB PA 182
=∴PE 8,3==CD PD CP 中位线为故FAE DP AE PD ,4,2==∴
402
22
222
=-+=
∴PE
AE AF AP 2222=-=•=•∴PE AP AD AB AE AF
例3：.设点P 是边长为2的△ABC 三边上的一动点，则)(PC PB PA ••的取值范围是 解：如图，设BC 的中点为D ，则PD PC PB 2=+,设AD 的中点为M ，
则)4
1
(2)(22AD PM PC PB PA -
=+•,显然，当P 在B 点时，PM 的值最大，此时2)(=+•PC PB PA ；当AB
PM ⊥时，PM 的值最小，此时8
9)(-=+•PC PB PA .
所以)(PC PB PA +•的取值范围是]2,8
9[-.
例4：正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），p 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PN PM •的最大值为
秒杀秘籍：极化恒等式：()(
)[]
.4
122
b a b a b a --+=
•
在ABC ∆中，若AM 是ABC ∆的BC 边中线，有以下两个重要的向量关系：()()
⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=.
21
,21AB AC BM AB AC AM
定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM 是ABC ∆的中
线，则().22
222BM AM AC AB +=+
定理 2 （极化恒等式的三角形模式）在ABC ∆中，若M 是BC 的中点，则有
.
4
1
2222
BM AM BC AM AC AB -=-=•
解：设球心为O ，球半径为R ，则R=2,根据极化恒等式：44442
2
2-=-=•PO R PO PN PM 又因为P 为正方形表面上的动点，所以
PO 的最大值
为正方体体对角线长的一半，即
3，所以PN PM •的最大值为2
例5：.△ABC 中，∠C=︒90,AC=4,BC=3,D 是AB 的中点，E,F 分别是边BC ，AC 上的动点，且EF=1，则DF DE •的最小值等 解：4142
2
--=•EF DH DF DE （H 为EF 的中点）。又因为22125,=-=-≥≥+CH CD DH CD DH CH 所以
所以4
15414412
=-≥-=•DH DF DE 。
一、求数量积的值
1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，F E ,是AD 的两
个三等分点，
1,4-=•=•CF BF CA BA ，则=•CE BE .
则=•AC AB . 2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，,10,3==BC AM 则=•AD AB .
3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，,1,3==BD AB ,4,3==AD AB P 为矩形ABCD
4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，所在平面上一点，满足,21,2==PC PA 则=•PD PB .
二、界定数量积的取值范围
5. （2015年郑州市高三第一次质量预测理科第11题）在ABC Rt ∆中，N M CB CA ,,3==是斜边AB 上的两个动点，且,2=MN 则CN CM •的取值
范围为 （ ） A. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡25,2 B. []4,2 C. []6,3 D. []6,4
三、探求数量积的最值
6. （2017年高考全国II 卷理科第12题）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面内一点，则()
PC PB PA +•的最小值是 （ ） A. 2- B. 23-
C. 3
4
- D. 1- 7.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E 为边CD 上的动点，
则的最小值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．3
8.（2016年高考浙江卷理科第15题）已知向量,2,1,,==b a b a 若对任意单位向量e ，均有,6≤•+•e b e a 则b a •的最大值是 . 四、处理长度问题
9.（2008年高考浙江卷理科第9题）已知b a ,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()(),0=-•-c b c a 则c 的最大值是 （ ） A. 1 B. 2 C. 2 D.
2
2 10.（2013年高考重庆卷理科第10
题）在平面内，.,12121AB AB AP AB AB +===⊥
2
1
<
,
（ ） A. ⎪⎪⎭⎫
⎢⎣⎡25,0 B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛27,25 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛2,25 D. ⎥⎦
⎤ ⎝⎛2,27 11.（2017年高考浙江卷理科第15题）已知向量b a ,满足：,2,1==b a 则b a b a -++的最小值是 ，最大值是 .
12.（2013年高考天津卷文（理）科第12题）在平行四边形ABCD 中，E BAD AD ,60,1︒=∠=为CD 的中点.若1=•BE AC ，则=AB . 13. （2012年全国高中数学联赛湖南赛区预赛第11题）若边长为4的正方形ABCD 沿对角线BD 折成平面角大小为︒60的二面角，则边BC 的中点与点A 的距离为 .
14. （2012年全国高中数学联赛黑龙江预赛题）设P 是椭圆
19
162
2=+y x 上异于长轴端点的任意一点，21,F F 分别是其左右焦点，O 为中心，则=+•2
21PO PF PF .
五、解决综合性问题
15. （2012年高考江西卷理科第7题）在ABC Rt ∆中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则2
2
2PC PB PA +等于 （ ）
A. 2
B. 4
C. 5
D. 10
16. （2013年高考浙江卷理科第7题）已知在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足AB B P 4
1
0=
，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00•≥•，则 （ ）
A. ︒=∠90ABC
B. ︒=∠90BAC
C.AC AB =
D. BC AC =
17. （2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）已知直线AB 与抛物线x y =2
交于点B A ,，点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若点0C 满足
{}
CB CA B C A C •=•min 00，则下列一定成立的是（其中l 是抛物线过点0C 的切线） （ ）
A. AB M C ⊥0
B. l M C ⊥0
C. B C M C 00⊥
D. AB M C 2
1
0=
