2014年与名师对话高考数学

【与名师对话】2014年高考数学总复习 10-2 用样本估计总体配套课时作业 理 新人教A 版一、选择题1．(2012年某某)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由图可得，x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6，x 乙＝3×5＋6＋95＝6，故A 错；而甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 错；s 2甲＝4－62＋5－62＋6－62＋7－62＋8－625＝2，s 2乙＝3×5－62＋6－62＋9－625＝2.4，故C 正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，故D 错．答案：C2．(2012年某某调研)根据《中华人民某某国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2 000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2011年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28 800人，如图是对这28 800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为( )A．2 160 B．2 880C．4 320 D．8 640解析：血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上的频率约为(0.005＋0.01)×10＝0.15，属于醉酒驾车的人数约为28 800×0.15＝4 320.答案：C3．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，纤维的长度小于20 mm的棉花的根数为( )A．20 B．30C．40 D．50解析：由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm的有0.3×100＝30(根)．答案：B4．(2012年某某质检)甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙，则下列结论正确的是A．X甲>X乙，甲比乙成绩稳定B．X甲>X乙，乙比甲成绩稳定C．X甲<X乙，甲比乙成绩稳定D．X甲<X乙，乙比甲成绩稳定解析：由茎叶图知识，可知道甲的成绩为68、69、70、71、72，平均成绩为70；乙的成绩为63、68、69、69、71，平均成绩为68；再比较标准差：甲的标准差为1[68－702＋69－702＋70－702＋71－702＋72－702]5＝2，乙的标准差为1[63－682＋68－682＋69－682＋69－682＋71－682]5＝655>2，故甲比乙的成绩稳定． 答案：A5．某班有50名学生，在一次考试中，数学平均成绩为70分，方差为102，后来发现2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得60分却记为90分．更正后的平均成绩和方差分别为( )A ．70,90B ．70,114C ．65,90D ．65,114解析：依题意得，更正后的平均成绩仍是70，更正后的方差是150×{102×50－[(50－70)2＋(90－70)2－(80－70)2－(60－70)2]}＝90，选A. 答案：A6．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x A >x B ，s A >s BB.x A <x B ，s A >s BC.x A >x B ，s A <s BD.x A <x B ，s A <s B解析：由图可知A 组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10，B 组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56，x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706.显然x A <x B ，又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A >s B ，故选B.答案：B 二、填空题7．某校举行2012年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为________，________.解析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87，其平均数为84＋15(0＋0＋0＋2＋3)＝85，方差为s 2＝15[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝85. 答案：85 858．(2012年某某市高三学情调研)将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于________．解析：设第一组至第六组的样本数据的频数分别为2x,3x,4x,6x,4x ，x ，则2x ＋3x ＋4x ＝27，解得x ＝3，故n ＝20x ＝60.答案：609．(2012年西城一模)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在[16,18]的学生人数是________．解析：成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为6＋31＋3＋7＋6＋3＝920，所以成绩在[16,18]的学生人数为120×920＝54.答案：54 三、解答题10．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出的次品数分别是：甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙23112111均数较小？出次品的波动较小？解：x 甲＝110×(0×3＋1×2＋2×3＋3×1＋4×1)＝1.5，x 乙＝110×(0×2＋1×5＋2×2＋3×1)＝1.2，s 2甲＝110×[(0－1.5)2＋(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋…＋(2－1.5)2＋(4－1.5)2]＝1.65， s 2乙＝110×[(2－1.2)2＋(3－1.2)2＋(1－1.2)2＋…＋(0－1.2)2＋(1－1.2)2]＝0.76. 从结果看乙台机床10天生产出次品的平均数较小，出次品的波动也较小．11．(2012年某某某某二模)为征求个人所得税法修改建议，某机构对当地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,4 000)的频率； (2)根据频率分布直方图估算样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？解：(1)居民月收入在[3 000,4 000)的频率为(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2. (2)第一组和第二组的频率之和为(0.000 2＋0.000 4)×500＝0.3， 第三组的频率为0.000 5×500＝0.25， 因此，可以估算样本数据的中位数为 2 000＋0.5－0.30.25×500＝2 400(元)．(3)第四组的人数为0.000 5×500×10 000＝2 500，因此月收入在[2 500,3 000)的这段应抽2 500×10010 000＝25(人)．12．某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命(单位：h)，可以把这批电子元件分成第一组[100,200]，第二组(200,300]，第三组(300,400]，第四组(400,500]，第五组(500,600]，第六组(600,700]，由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：分组 [100,200](200,300](300,400](400,500](500,600](600,700]频数 B 30EF20H 频率CD 0.20.4GI(2)求图2中阴影部分的面积；(3)若电子元件的使用时间超过300h 为合格产品，求这批电子元件合格的概率． 解：(1)由题意可知0.1＝A ·100，∴A ＝0.001， ∵0.1＝B200，∴B ＝20，又C ＝0.1，D ＝30200＝0.15，E ＝0.2×200＝40，F ＝0.4×200＝80，G ＝20200＝0.1，∴H ＝10，I ＝10200＝0.05.(2)阴影部分的面积为0.4＋0.1＝0.5.(3)电子元件的使用时间超过300 h 的共有40＋80＋20＋10＝150个，故这批电子元件合格的概率P ＝150200＝34.[热点预测]13．(1)某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲乙9 8 8 6 1 0 5 3 2 0 7 1 0 1 2 3 47 7 9 9 2 5 6 7 9 9 0 2 3A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定(2)(2012年某某汉沽一模)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．解析：(1)对A，甲运动员得分的极差为29，而乙运动员得分的极差为16，故A正确；对B，甲得分的中位数为30，而乙得分的中位数为26，故B正确；对C，由茎叶图知甲的平均分大于乙的平均分，故C正确；对D，从茎叶图中知乙更稳定，D错误．故选D.(2)由题意可得x＋y＝20，①(x－10)2＋(y－10)2＝8，②即x2＋y2＝208，将①式平方得x2＋y2＋2xy＝400，将②式代入得2xy＝192，故|x－y|＝x2＋y2－2xy＝208－192＝16＝4.故填4.答案：(1)D (2)4。

质量检测(二)测试内容：函数 导数及应用(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝log 2(3x－1)的定义域是( ) A ．R B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：由3x－1>0得x >0，故定义域是(0，＋∞)，选C. 答案：C2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ， 又f (2)＝1，即log a 2＝1， 所以a ＝2，故f (x )＝log 2x . 答案：A3．(2012年市丰台区高三第一学期期末)预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n ＝P 0(1＋k )n(k >－1)，其中P n 为预测人口数，P 0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1<k <0，那么这期间人口数( )A ．呈上升趋势B ．呈下降趋势C ．摆动变化D ．不变解析：由于－1<k <0，所以0<1＋k <1，因此P n 为关于n 的递减函数，故选B. 答案：B4．若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．－1解析：∵f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2－x ，∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x －1. 令x ＝1得f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，所以f ′(1)＝0，故选A. 答案：A5．若函数f (x )＝ax 2＋(a 2－1)x －3a 为偶函数，其定义域为[4a ＋2，a 2＋1]，则f (x )的最小值为( )A ．3B ．0C ．2D ．－1解析：由f (x )为偶函数知a 2－1＝0，即a ＝±1， 又其定义域需关于原点对称， 即4a ＋2＋a 2＋1＝0必有a ＝－1. 这时f (x )＝－x 2＋3，其最小值为f (－2)＝f (2)＝－1. 故选D. 答案：D6．(2012年某某某某质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y 与储藏温度x 的关系为指数型函数y ＝ka x，若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h ，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h ，那么在10 ℃下的保鲜时间是( )A ．49 hB ．56 hC ．64 hD ．76 h解析：由题意知，指数型函数为y ＝ka x，于是⎩⎪⎨⎪⎧100＝ka 080＝ka 5，所以k ＝100，a 5＝45，则当x ＝10时，y ＝100×a 10＝100×(45)2＝64.故选C.答案：C7．(2012年某某四校联考)已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不能确定解析：∵0<x 0<a ，∴2x 0<2a且log 12x 0>log 12a .即－log 12x 0<－log 12a ，∴2x 0－log 12x 0<2a－log 12a又a 是f (x )＝2x－log 12x 的零点，∴2a－log 12a ＝0，∴f (x 0)＝2x 0－log 12x 0<0，选C.答案：C8．(2012年某某)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件解析：∵x ∈[0,1]时，f (x )是增函数，又∵y ＝f (x )是偶函数， ∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数． 当x ∈[3,4]时，x －4∈[－1,0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)．∴x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，充分性成立． 反之：x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，x －4∈[－1,0]，∵T ＝2， ∴f (x )＝f (x －4)，∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数．∵y ＝f (x )是偶函数，∴x ∈[0,1]时，f (x )是增函数，必要性成立，故选D. 答案：D9．(2012年某某市高三期末质量检查)已知g (x )为三次函数f (x )＝a3x 3＋a2x 2－2ax (a ≠0)的导函数，则它们的图象可能是( )解析：由已知得g (x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，∴g (x )的图象与x 轴的交点坐标为(－2,0)，(1,0)，且－2和1是函数f (x )的极值点，故选D.答案：D10．(2012年正定中学第一次月考)已知函数 f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值X 围是( )A ．0<a <1eB ．0<a ≤eC ．a ≤eD ．a ≥e解析：f ′(x )＝1x·x －ln a ＋ln x x2＝1－ln a ＋ln xx 2，因为 f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故 f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e.答案：D11．(2013届某某省重点中学联合考试)定义在(1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－(x －3)2，若函数f (x )的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c 等于( )A ．1B ．2C ．2或4D ．1或2解析：由已知可得，当1≤x ≤2时，f (x )＝1c f (2x )＝1c[1－(2x －3)2]；当2≤x ≤4时，f (x )＝1－(x －3)2， 当4≤x ≤8时，f (x )＝cf (x 2)＝c [1－(x2－3)2]由题意可知三点(32，1c )，(3,1)，(6，c )共线，则1－1c 32＝c －13，解得c ＝1或c ＝2.答案：D12．(2012年某某统考)已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1、x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值X 围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：由于f x 1－f x 2x 1－x 2＝k >2恒成立，所以f ′(x )≥2恒成立．又f ′(x )＝ax＋x ，故ax＋x ≥2，即a ≥－x 2＋2x ，而g (x )＝－x 2＋2x 在(0，＋∞)上的最大值为1，所以a ≥1.故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13． f (x )＝ (n ∈Z )是偶函数，且y ＝ f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.解析：因为 f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n <0，即0<n <3，又因为 f (x )是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或214．(2012年某某某某模拟)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“冏”字，故我们把它称为“冏函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“冏函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝__________.解析：由题易知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1x ≥0且x ≠1，－1x ＋1x <0且x ≠－1，在同一坐标系中画出“冏函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．答案：415．(2013届某某普通高中质检)已知函数f (x ＋12)为奇函数，设g (x )＝f (x )＋1，则g (12 013)＋g (22 013)＋g (32 013)＋g (42 013)＋…＋g (2 0122 013)＝________. 解析：由题意f (－x ＋12)＝－f (x ＋12)，即f (－x ＋12)＋f (x ＋12)＝0，故可得结论：若m ＋n ＝1，则f (m )＋f (n )＝0，g (m )＋g (n )＝2.∴原式＝1 006×2＝2 012. 答案：2 01216．(2012年某某市高三学情调研)给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m叫做离x 最近的整数，记作{x }＝m .在此基础上给出下列关系函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①函数y ＝f (x )的定义域为R ，值域为[0，12]；②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，且最小正周期为1；④函数y ＝f (x )在[－12，12]上是增函数．其中正确的命题是________．解析：由条件知－12<x －{x }≤12，所以①正确；作出图象可知②③正确．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知f (x －3)＝log a x6－x(a >0，且a ≠1)，试判断f (x )的奇偶性．解：∵f (x －3)＝log a x 6－x ，∴f (x )＝log a 3＋x3－x.3＋x3－x>0⇒－3<x <3， ∴定义域关于原点对称． 又f (－x )＋f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫3－x 3＋x ·3＋x 3－x ＝log a1＝0，∴f (x )为奇函数．18．已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2－x 在点A (1，f (1))处的切线为l ，若此切线在点A 处穿过y ＝f (x )的图象(即动点在点A 附近沿曲线y ＝f (x )运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求函数f (x )的表达式．解：由已知得f ′(x )＝x 2＋ax －1，由f ′(1)＝a 知f (x )在点A (1，f (1))处的切线l 的方程是y －f (1)＝f ′(1)(x －1)，即y ＝ax －23－12a .因为切线l 在点A 处穿过y ＝f (x )的图象，所以g (x )＝f (x )－(ax －23－12a )在x ＝1两边附近的函数值异号，则x ＝1不是g (x )的极值点．而g (x )＝13x 3＋12ax 2－(1＋a )x ＋23＋12a ，则g ′(x )＝x 2＋ax －a －1＝(x －1)(x ＋1＋a )． 令g ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1－a ，若1≠－1－a ，则x ＝1和x ＝－1－a 都是g (x )的极值点， 所以1＝－1－a ，即a ＝－2， 故f (x )＝13x 3－x 2－x .19．已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1,0)及(0，12)上各有一个实数根．证明：(1)对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根，即f (x )－1＝0必有实数根．x 2＋(2t －1)x ＋1－2t －1＝0， x 2＋(2t －1)x －2t ＝0，Δ＝(2t －1)2－4×(－2t )＝(2t ＋1)2≥0，所以对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根．(2)当12<t <34时，因为f (－1)＝3－4t ＝4(34－t )>0，f (0)＝1－2t ＝2(12－t )<0，f (12)＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t >0，所以方程f (x )＝0在区间(－1,0)及(0，12)上各有一个实数根．20．2012年5月12日韩国某某世博会开幕，某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 元．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大． 解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )元，月平均销售量为a (1－x 2)件， 则月平均利润为y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0<x <1)． (2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，所以当0<x <12时，y ′>0；当12<x <1时，y ′<0.所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0<x <1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，纪念品的销售价为20×(1＋12)＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．21．(2013年某某某某月考)已知函数：f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1(1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式；(2)若函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增，求b 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导数得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为：y －f (1)＝f ′(1)(x －1)，即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)而过y ＝f (x )上P (1，f (1))的切线方程为：⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝3a ＋b ＋c －2＝1即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝0a ＋b ＋c ＝3①②∵y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，故f ′(－2)＝0 ∴－4a ＋b ＝－12③由①②③相联立解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)x [－3，－2)－2 (－2，23)23 (23，1] f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大极小f x 极大f 32f (1)＝13＋2×1－4×1＋5＝4∴f (x )在 [－3,1]上最大值为13 由y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由(1)知2a ＋b ＝0 ∴f ′(x )＝3x 2－bx ＋b依题意f ′(x )在[－2,1]上恒有f ′(x )≥0，即3x 2－bx ＋b ≥0在[－2,1]上恒成立 ①在x ＝b 6≥1时，f ′(x )小＝f ′(1)＝3－b ＋b >0，∴b ≥6②在x ＝b6≤－2时，f ′(x )小＝f ′(－2)＝12＋2b ＋b ≥0，∴b ∈Ø③在－2≤b6≤1时，f ′(x )小＝12b －b212≥0，则0≤b ≤6.综上所述讨论可知，所求参数b 取值X 围是：b ≥022．(2012年怀柔高三调研)已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx，其中e是自然常数，a ∈R .(1)讨论a ＝1时，f (x )的单调性、极值； (2)求证：在(1)在条件下，f (x )>g (x )＋12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当1<x <e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)∵f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1， ∴f (x )>0，f (x )min ＝1，令h (x )＝g (x )＋12＝ln x x ＋12，h ′(x )＝1－ln x x ，当0<x <e 时，h ′(x )>0，h (x )在(0，e]上单调递增， ∴h (x )max ＝h (e)＝1e ＋12<12＋12＝1＝|f (x )|min .∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.(3)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)，所以，此时f (x )无最小值．②当0<1a <e 时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a ，e]上单调递增，f (x )min ＝f (1a)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件．③当1a ≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)，所以，此时f (x )无最小值．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.。

【与名师对话】2014年高考数学总复习 9-5 椭圆配套课时作业文 新人教A 版一、选择题1．(2012年东北四校高三模拟)已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1,2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C.答案：C2．(2012年某某某某高三诊断)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 212＋y 216＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．4 3C ．8D ．16解析：由椭圆定义可知，△ABC 的周长等于4a ＝4×4＝16. 答案：D3．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D4．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，3b (其中c 为椭圆的半焦距)，若线段PF 1的中垂线恰好过点F 2，则椭圆离心率的值为( )A.33B.13C.12D.22解析：由题意，|PF 2|＝|F 1F 2|，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2c 2＋(3b )2＝(2c )2.又b 2＝a 2－c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2c 2＋3(a 2－c 2)＝(2c )2.整理得6e 4－e 2－1＝0，∴(2e 2－1)(3e 2＋1)＝0.∴2e 2－1＝0，e ＝22. 答案：D5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．答案：B6．(2013年某某质检)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6. 答案：C 二、填空题7．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，至F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________． 解析：由椭圆定义知，当定常数等于两定点距离时点的轨迹为线段．答案：线段F 1F 28．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆定义|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.答案：159．(2012年某某诊断)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1， ∵直线MF 2的倾斜角为120°， ∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1. ∴e ＝ca＝2－ 3. 答案：2－ 3 三、解答题10．根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；(2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3. 解：(1)设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1，则由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中令x ＝±c 得|y |＝b 2a在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中令y ＝±c 得|x |＝b 2a依题意并结合图形知b 2a ＝23 5.∴b 2＝103.即椭圆的标准方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 210＝1.(2)设经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，代入A 、B 得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. 11．(2012年某某)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ， 所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为：y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝＝43ac 5＝235a 2＝403，解得a＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知， |BF 1|＝3a －t .再由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，解得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12．(2012年某某)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C相切时，求P 的坐标．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12. 故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2. 则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得 |2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0. 同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0. 从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧2－x 02－2≠0，Δ＝8[2－x 02＋y 20－2]>0，①且k 1k 2＝y 20－22－x 02－2＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 212＝1，y 2－22－x 02－2＝12得5x 20－8x 0－36＝0，解得x 0＝－2，或x 0＝185.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式．故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，575，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，－575.[热点预测]13．(2012年某某名校模拟)(1)方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF 1→＝DA →＋2DF 2→，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15(2)(2013届某某省示X 高中高三摸底考试)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足BF 1→＝F 1F 2→，AB ⊥AF 2.①求椭圆C 的离心率；②D 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程．解析：(1)设点D (0，b )，则DF 1→＝(－c ，－b )，DA →＝(－a ，－b )，DF 2→＝(c ，－b )，由3DF 1→＝DA →＋2DF 2→得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.(2)①设B (x 0,0)，由F 2(c,0)，A (0，b )， 知AF 2→＝(c ，－b )，AB →＝(x 0，－b )∵AF 2→⊥AB →，∴cx 0＋b 2＝0，x 0＝－b 2c，由BF 1→＝F 1F 2→知F 1为BF 2中点，故－b 2c＋c ＝－2c∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即a 2＝4c 2，故椭圆C 的离心率e ＝12②由(1)知c a ＝12，得c ＝12a ，于是F 2(12a,0)，B (－32a,0)，△ABF 的外接圆圆心为F 1(－12a,0)，半径r ＝a ，D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，所以|－12a －3|2＝a ，解得a ＝2，∴c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案：(1)D (2)见解析。

【与名师对话】2014年高考数学总复习 7-4 数列求和配套课时作业 理 新人教A 版一、选择题1．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝4，a 2＋a 3＋a 4＝－2，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝( )A.2116B.1916C.98D.78 解析：由于q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝－24＝－12，所以a 3＋a 4＋a 5＝(a 2＋a 3＋a 4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，a 6＋a 7＋a 8＝(a 3＋a 4＋a 5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－18，于是a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝78.答案：D2．(2012年大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101 C.99100D.101100解析：由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3， ∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A.答案：A3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.答案：C4．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n 的前n 项和S n 等于( )A.3n －1n ＋1B.2n n ＋1C.3n n ＋1D.4n n ＋3解析：a n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 答案：B5．(2012年某某四校联考)设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n的取值X 围为( )A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]解析：依题意得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝12a n ，所以数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝121－12n 1－12＝1－12n ，所以S n ∈[12，1)，选C.答案：C6．(2013届某某某某市高三上学期期中)已知函数f (n )＝n 2cos(nπ)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．100C ．5 050D ．10 200解析：因为f (n )＝n 2cos(nπ)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝503＋1992＝5 050，选C.答案：C 二、填空题7．(2012年某某诸城高三月考)已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *有a p a q ＝a p ＋q ，若a 1＝12，则S 9＝________.解析：由题意得a n ＋1＝a n a 1，a n ＋1a n ＝a 1＝12，a n ＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 因此S 9＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫129＝511512.答案：5115128．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________. 解析：∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1(n ≥2)． 两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ， ∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1a n＝4. ∴{a n }从第2项起是公比为4的等比数列． 当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3， ∴n ≥2时，a n ＝3·4n －2，S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×1－491－4＝1＋49－1＝49.∴log 4S 10＝log 449＝9. 答案：99．(2012年辽南协作体高三上学期期中)已知数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1，则a n ＝________解析：由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2＋1a n∴数列{a n }的倒数成公差为2的等差数列，由此可求1a n ＝2n －1，∴a n ＝12n －1. 答案：12n －1三、解答题10．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝6＋d q ＝64，S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403.(舍去)故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)， 所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.11．(2011年某某)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n －1}的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列{a n 2n －1}的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n ， 所以，当n >1时，S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.12．(2013年某某名校调研)在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a 1＝－23. (1)求a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值．解：(1)∵a n ＋1＋a n ＝2n －44，a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)－44. ∴a n ＋2－a n ＝2，又a 2＋a 1＝－42，a 1＝－23，∴a 2＝－19.同理得：a 3＝－21，a 4＝－17，故a 1，a 3，a 5，…是以a 1为首项、2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以a 2为首项、2为公差的等差数列，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －24n 为奇数n －21n 为偶数.(2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋(2×4－44)＋…＋[2×(n －1)－44]＝2[1＋3＋…＋(n －1)]－n 2·44＝n 22－22n ，故当n ＝22时，S n 取得最小值－242. 当n 为奇数时，S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝a 1＋(2×2－44)＋(2×4－44)＋…＋[2×(n －1)－44]＝a 1＋2[2＋4＋…＋(n －1)]＋n －12×(－44)＝－23＋n ＋1n －12－22(n －1)＝n 22－22n －32， 故当n ＝21或n ＝23时，S n 取得最小值－243. 综上所述，S n 的最小值为－243.[热点预测]13．(2012年某某某某5月模拟)已知函数f (x )满足ax ·f (x )＝b ＋f (x )(ab ≠0)，f (1)＝2且f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2.求证：数列{a n }是等差数列；(3)若b n ＝a n2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(ab ≠0)， 得f (x )(ax －1)＝b .若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意，故ax －1≠0，∴f (x )＝b ax －1. 由f (1)＝2＝ba －1，得2a －2＝b .①由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立， 得bax ＋2－1＝－ba2－x －1，由此解得a ＝12.②把②代入①，可得b ＝－1， ∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：∵f (a n )＝22－a n ，S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2，∴S n ＝14(a n ＋1)2，∴a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n >0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2，∴数列{a n }是等差数列． (3)数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n －1. ∴b n ＝2n －12n .T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ③同边同乘以12，得12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1④ ③－④，得12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1，∴12T n ＝2×(12＋122＋123＋…＋12n )－2n －12n ＋1－12＝2×121－12n 1－12－2n －12n ＋1－12＝32－2n ＋32n ＋1， ∴T n ＝3－2n ＋32n .。

【与名师对话】2014年高考数学总复习 1-2 命题及其关系、充分条件与必要条件配套课时作业 理 新人教A 版一、选择题1．(2012年浙江调研)在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分而不必要条件解析：在△ABC 中，若A ＝60°，则cos A ＝12；反过来，若cos A ＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝60°.因此，在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件，选C.答案：C2．(2012年浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：l 1与l 2平行的充要条件为a (a ＋1)＝2×1且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．答案：A3．(2012年山东潍坊一模)命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5解析：原命题等价于“a ≥x 2对于任意x ∈[1,2]恒成立”，其充要条件是a ≥4，所以C 正确．答案：C4．(2012年福建)下列命题中，真命题是 ( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解析：∵∀x ∈R ，e x>0，∴A 错；∵函数y ＝2x与y ＝x 2有交点．如点(2,2)，此时2x＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式可乘性知ab >1，∴D 正确．答案：D5．(2013届湖北省黄冈中学高三10月月考)以下说法错误的是 ( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 3－3x ＋2≠0” B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，则x 2＋x ＋1≥0 解析：若p ∧q 为假命题，则只需p 、q 至少有一个为假命题即可． 答案：C6．(2012～2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测)“a 2＋b 2ab≤－2”是“a >0且b <0”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要解析：a 2＋b 2ab ＋2＝a ＋b 2ab≤0⇔ab <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0b <0，则选A.答案：A 二、填空题7．(2012年茂名模拟)若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]8．已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④綈p 是綈s 的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是________． 解析：由题意知，∴s ⇔q ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q ，∴p ⇒q ，但qp ，②正确；同理判断③⑤不正确，④正确．答案：①②④9．(2012年衡阳六校联考)给出下列命题： ①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，(1)m ＝0时不合题意，(2)m ≠0时由⎩⎪⎨⎪⎧ m >0Δ＝m ＋2－4m m ＋⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >0m >1⇒m >1.故⑤正确． 答案：②③⑤ 三、解答题10．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.证明：(1)必要性：若ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立，由二次函数性质有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，∴0<a <4.(2)充分性：若0<a <4，对函数y ＝ax 2－ax ＋1， 其中Δ＝a 2－4a ＝a (a －4)<0且a >0， ∴ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立． 由(1)(2)知，命题得证．11．(2013届四川省资阳市高三第一次诊断性考试)命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3， 即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3. 由⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤3，x ≤－3或x >2，解得2<x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3，若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)由(1)知p ：a <x <3a ，则綈p ：x ≤a 或x ≥3a ，q ：2<x ≤3，则綈q ：x ≤2或x >3，綈p 是綈q 的充分不必要条件，则綈p ⇒綈q ，且綈q ≠綈p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，3a >3，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．12．(2013届山东潍坊市四县一校高三期中联考)已知条件p ：|5x －1|>a (a ≥0)和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的非负数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：已知条件p ：|5x －1|>a ，∴x <1－a 5或x >1＋a5.已知条件q ，即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1，令a ＝4，则p ：x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然． 故可以选取的一个非负实数是a ＝4.A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p ，则q .自以上过程可知这一命题的原命题为真命题， 但它的逆命题为假命题．(注：本题为开放性命题，答案不惟一，只需满足1－a 5≤12，且1＋a5≥1(端点等号不同时取得)即可)[热点预测]13．(1)(2012年北京朝阳二模)下列命题：p ：函数f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；q ：已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(－1，λ2)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )∥c 的充要条件是λ＝－1；r ：若⎠⎛1a 1xd x ＝1(a >1)，则a ＝e.其中所有的真命题是( )A ．rB ．p ，qC ．q ，rD ．p ，r(2)(2012年浙江温州月考)已知向量a ＝(n,4)，b ＝(n ，－1)，则“n ＝2”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)本题主要考查命题真假的判断，涉及的知识点比较多，需逐一判断． 命题p ：∵f (x )＝sin 4x －cos 4x＝(sin 2x －cos 2x )(sin 2x ＋cos 2x )＝－cos 2x ， ∴最小正周期T ＝2π2＝π，故命题p 为真命题；命题q ：∵a ＋b ＝(λ－1,1＋λ2)，c ＝(－1,1)且(a ＋b )∥c ， ∴λ－1－1＝1＋λ21. 解得λ＝0或－1，故命题q 为假命题；命题r ：⎠⎛1a 1xd x ＝ln x |a1＝ln a －ln 1＝ln a ＝1，∴a ＝e ，∴命题r 为真命题．故D 正确．(2)当n ＝2时，a ＝(2,4)，b ＝(2，－1)，a ·b ＝4－4＝0，∴a ⊥b ；当a ⊥b 时，a ·b ＝n 2－4＝0，得n ＝2或－2.∴“n ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．故选A. 答案：(1)D (2)A s。