一、单项选择题（ 每小题2分，共10分）
1．设A ，B 为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题中正确的是（ ）
A ．A 与
B 互不相容 B. A 与B 独立
C. 0)(=A P 或0)(=B P
D.AB 未必是不可能事件
2. 当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则下列结论正确的是( ) A.)()(AB P C P = B. )()(B A P C P ?= C. 1)()()(-+≥B P A P C P D. 1)()()(-+≤B P A P C P
3. 已知()0.5P A =, ()0.4P B =,(|)0.6P B A =，则(|)P A B 等于( )
A.0.2；
B.0.45；
C.0.6；
D.0.75.
4. 若函数)(x f y =是一随机变量X 的概率密度,则下面说法中一定成立的是( )
A. )(x f 非负
B. )(x f 的值域为[0,1]
C. )(x f 单调非降
D. )(x f 在),(∞+-∞内连续 5.若随机变量X,Y 不相关,则下列等式中不成立的是( ) A.0),(=Y X Cov B.DY DX Y X D +=+)( C.DY DX DXY ?= D.EY EX EXY ?= 二、填空题：（ 每空3分，共30分）
1. 设c AB P b B P a A P ===)(,)(,)(，则 =?)(B A P a+b-c
________
____________________)(=B A P 。 2. 设三次独立的试验中，事件A 出现的概率相等，若A 至少出现一次的概率等
于2719
，求A 在一次试验中出现的概率p= 3. 若随机变量X 的概率密度为)(21)(4
)3(2
+∞<<-∞=
+-
x e
x f x π
，则
)1,0(~___________N Y =。
4. 设随机变量X 和Y 服从一区间上的均匀分布，且3
1
,3=
=DX EX ，则X 的概率密度
为______________________。
5．已知随机变量X 的密度为()f x =?
??<<+其它,01
0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则
a =________
b =________。
6．已知随机变量X 服从参数为1的指数分布，则X 的概率密度函数为
求X e Y 2-=的数学期望
7. 公共汽车站每隔5 分钟有一辆汽车到站，乘客到站的时刻是任意的，则一个 乘客候车时间不超过3 分钟的概率为 2/3
三、（6分）一批产品共有20件，其中有5件次品，其余为正品，现依次进行不放回抽取三次，求：
（1）第三次才取到次品的概率； （2） 三次取到都是正品的概率。
四、（8分） 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:
(1)任取一个零件是合格品的概率
(2)若任取一个零件是合格品,它为第二台车床加工的概率.
五、（14分）袋中有4个球分别标有数字1，2，3，4，从袋中任取一球后，不放回再取一球，分别以X ，Y 记第一次，第二次取得球上标有的数字，求： （1）),(Y X 的联合分布； （2）),(Y X 的边缘分布； （3）Y X ,是否独立； （4）E （XY ） 六、（12分）设连续型随机变量X 的概率密度
其他
211
00)2()(≤<≤≤??
?
??-=x x x A Ax x f 求：（1）常数A, (2)X 的分布函数， （3）}2
3
21{≤≤X P
七、（12分）设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度函数为
??
?>>=+-其他
,
00
,0),()
2(y x Ae y x f y x
求：（1）常数A; (2))1(≤+Y X P ;(3)X,Y 的边缘概率密度。
八、（8分）设X 服从区间],0[π上的均匀分布，求12+=X Y 的概率密度函数)(y f Y 。
1.
一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分） 1． 设当事件A 与B 同时发生时C 也发生, 则 ( C ). (A) B A 是C 的子事件; (B)AB C =;
(C) AB 是C 的子事件; (D) C 是AB 的子 事件.
2. 设事件=A {甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A 的对立事件为 ( D ).
(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销;
(C) 甲、乙两种产品均畅销;
(D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 3. 设X 为随机变量，且2()0.7,()0.2,E X D X ==则 C 式一定成立： A ．13
{}0.222
P X -
<<≥ B
．{0.6P X ≥ C
．{00.6P X <<≥ D
．{00.6P X <<≤ 4. 设12,,
,(1)n X X X n >是来自总体(0,1)N 的一个样本，,X S 分别为样本均值和
标准差，则 B 成立。 A. (0,1)X
N B. (0,)nX
N n
C. 2
21
(1)n
i i X n χ=-∑ D. (1)X
t n S
-
5. 设12,,,(1)n X X X n >是来自总体2(,)N μσ的一个样本，期望值μ已知，则下
列估计量中，唯有 C 是2σ的无偏估计。
A. 2
11()n i i X X n =-∑ B. 21
1()1n i i X n μ=--∑ C. 211()1n i i X X n =--∑ D. 21
1()1n i i X n μ=-+∑
二、填空题（共15个空，每空2分，共计30分）
1.已知,5.0)(=A P ()0.2P AB =， 4.0)(=B P , 则
(1) )(AB P = 0.2 ; (2) )(B A P -= 0.3 ;
(3) )(B A P ?= 0.7 ; (4) )(B A P = 0.3 . 2.若(0,1),()X
N x x ?Φ，()分别表示它的概率密度函数、分布函数，则
?（0）= ；(0)Φ= ；{0}P X == ；
{0}P X <= ；{0}P X >= 。
3.随机变量X 的概率密度函数为,0,()0,
0.x e x f x x -?>=?≤?，则()E X = ;
()D X = 。
4.若(1,3),(2,4)X N Y N 且X ，Y 相互独立，23Z X Y =-，
则()E Z = ；()D Z = 。 5.若2
2()n χχ，则有2()E χ= ；2()D χ= 。
三、解答题（共2题，每题5分，共计10分）
1.观察某地区未来5天的天气情况, 记i A 为事件: “有i 天不下雨”, 已知
),()(0A iP A P i = .5,4,3,2,1=i 求下列各事件的概率:
（1）5天均下雨; (2) 至少一天不下雨
2. 一道单项选择题，列有4个答案，学生A 知道正确答案的概率为p ，而乱猜的概率为p -1。设他乱猜而答对的概率为
1
4
，求 (1) 学生A 答对的概率；
(2) 如果他答对了，而他确实知道正确答案的概率。 四、解答题（共1题，每题10分，共计10分） 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
??
?≥≥=--其他，
且,
0,21,
),(2y x ke y x f y x
（1）求常数k ；
（2）求),(Y X 的分布函数。
五、解答题（共1题，每题10分，共计10分） 随机变量X 的概率密度函数为
2,0,
()(0)0,0x X xe x f x x λλλ-?>=>?≤?，
而随机变量Y 在(0,)X 内服从均匀分布。求：
(1) ,X Y 的联合概率密度函数(,)f x y ； (2) 关于Y 的边缘概率密度函数()Y f y ； 六、解答题（共1题，每题10分，共计10分） 随机变量X 的概率密度为
1
,,
()220,,
X x f x πππ?-<
求|sin |Y X =的数学期望与方差。
七、解答题（共1题，每题10分，共计10分）
某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机
是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？（(1.28)0.90Φ=） 八、解答题（共1题，每题10分，共计10分）
设总体X 在区间[,]a b 上服从均匀分布，参数,a b 未知，12,,,n X X X 是来自X 的
一个样本， 12,,
,n x x x 是样本12X ,,,n X X 的观察值。求：
(1) 参数,a b 的矩估计量； (2) 参数,a b 的最大似然估计量。
2一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分）
1． 设当事件C 发生时A 与B 同时发生, 则 ( ). (A) B A 是C 的子事件; (B)AB C =;
(C) C 是AB 的子事件; (D) C 是AB 的子事件.
2. 设事件=A {甲种产品是次品, 乙种产品是正品}, 则A 的对立事件为 ( ).
(A) 甲种产品是正品,乙种产品是次品; (B) 甲种产品是正品;
(C) 甲、乙两种产品均是正品;
(D) 甲种产品是正品或者乙种产品是次品. 3. 设X 为随机变量，且()0.5,()0.2,E X D X ==则 式一定成立： A ．{01}0.8P X <<≥ B
．{0.6P X >≥ C ．{01}0.2P X <<≥ D
．{00.6P X <<≤ 4. 设12,,
,(1)n X X X n >是来自总体2(,)X μσ的一个样本，2,μσ(0)σ>未知，
则下面的式子是统计量的是 。 A.
1
X σ
B. 1X
C. 21
n
i i X μ=∑ D.
X σ
5. 设总体X 的k 阶矩()k k E X μ=已知，又设12,,,(1)n X X X n >是来自总体X 的
一个样本，期望值μ已知，则下列估计量中，唯有 是k μ的无偏估计。
A. 111n k i i X n =-∑
B. 211()1n
i i X n μ=--∑ C. 11n k i i X n =∑ D. 21
1()1n i i X n μ=-+∑
二、填空题（共15个空，每空2分，共计30分）
1.全班42人，其中男生（以A 表示）23人；女生（以A 表示）19人。选学日语的学生（以B 表示）25人，未选学日语的学生（以B 表示）中有女生7人，则
(1) ()P A = ; (2) ()P B = ; (3) ()P AB = ; (4) ()P AB = . 2.若(3,4)X
N -已知(1)0.8413,(3)0.9987Φ=Φ=，则
(0)Φ= ；P{X>-5}= ； {||3}P X <= ； {3}P X =-= ；{0}P X == 。
3.随机变量X 的密度函数为2
1,0,
()20,0.x
e x
f x x -?>?=??≤?
，则()E X = ;()D X = 。
4.若(3,5),(4,6)X N Y N 且X ，Y 相互独立，23Z X Y =-，则
()E Z = ；()D Z = 。
5.若22(100)χχ，则有2()E χ= ；2()D χ= 。
三、解答题（共2题，每题5分，共计10分）
1. 从6双不同的手套中任取4只，求
（1） 所取的4只没有成双的概率；
（2）所取的4只恰有2只成双的概率
2. 某工厂一个班共有男工7人、女工4人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？
四、解答题（共1题，每题10分，共计10分） 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
??
?≥≥=--.
,
0,21,
2),(24其他且y x e y x f y x
（1）求概率?
??
???≤≤≤≤31,231Y X P ；
（2）求),(Y X 关于X ，关于Y 的边缘概率密度.
五、解答题（共1题，每题10分，共计10分） 随机变量X 的概率密度函数为
,0,
()0,0x X xe x f x x -?>=?≤?，
而随机变量Y 在(0,)X 内服从均匀分布。求：
(1) ,X Y 的联合概率密度函数(,)f x y ； (2) 关于Y 的边缘概率密度函数()Y f y ；
六、解答题（共1题，每题10分，共计10分） 设随机变量X 的概率分布为
n n X P 2
1
}{==， ,3,2,1=n
求??
?
??=X Y 2sin π的数学期望及方差。
七、解答题（共1题，每题10分，共计10分）
某市保险公司开办“重大人参意外伤害”（以下简称“大伤”）保险业务。被保险人每年向保险公司交保险金120元。若被保险人在一年内发生了（一次或多次）“大伤”，本人或其家属可从保险公司获得一次（仅一次）3万元的赔偿金。该市历年发生“大伤”的概率为0.0003，且该市现有9万人参加此项保险。求保险公司在一年内，从此项业务中至少获得954万元收益的概率。（(2.90)0.9981Φ=）。
八、解答题（共1题，每题10分，共计10分）
设总体X 的概率密度函数为2,0,(;)00,0,x xe x f x x θθθθ-?≥=>?
,n X X X 是
来自X 的一个样本， 12,,,n x x x 是样本12X ,,,n X X 的一样本值。求：参数θ的
矩估计量及最大似然估计量
3.. 一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分）
1．差事件:A B -发生当且仅当 .
A ． A 发生而
B 不发生； B ．A 与B 同时发生；
C ． A 不发生，B 发生；
D ．A 与B 不能同时发生.
2. 设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示事件：A ，B ，C 中至少有两个发生 。
A ．A
B B
C AC ?? B ．ABC C ．ABC
D ．A B C ??
3. 若连续型随机变量X 的概率密度为1,0,
()0,0.x
e x
f x x θ
θ-?>?=??≤?
，其中0θ>是常数，
则称X 服从参数为θ的 。
A ．泊松分布
B ．均匀分布
C ．指数分布
D ．正态分布 4. 设12,,
,(1)n X X X n >是来自总体2(,)X μσ的一个样本，μ未知，则下面的式
子不是统计量的是 。
A. 211()1n i i X X n =--∑
B. 1X
C. 2
1n
i i X μ=∑ D. 1
11n k i i X n =-∑ 5. 设总体X 的k 阶矩()k k E X μ=已知，又设12,,,(1)n X X X n >是来自总体X 的
一个样本，期望值μ已知，则下列估计量中，唯有 是k μ的无偏估计。
A. 111n k i i X n =-∑
B. 21
1()1n
i i X n μ=--∑ C. 11n k i i X n =∑ D. 21
1()1n i i X n μ=-+∑
二、填空题（共15个空，每空2分，共计30分）
1.已知11111(),(),(),(),(),2351015
P A P B P C P AB P AC =====
1
1
(),(),20
30P BC P ABC == 则
(1) ()P A B ?= ； (2) ()P A B = ； (3) ()P A B C ??= ； (4) ()P A B C = ；
(5) ()P A B C = ； (6) ()P A B C ?= ； 2. 若(0,1),()X
N x x ?Φ，()分别表示它的概率密度函数、分布函数，则
()()x x Φ+Φ-= ；()x dx ?∞
-∞
=? ；{1}P X == 。
3.随机变量X 的密度函数为22,0,
()0,0.x e x f x x -?>=?≤?，则()E X = ;()D X = 。
4. 若X ～N(μ,2σ),令 Z=X μ
σ
-则()E Z = ；()D Z = 。
5.若22()n χχ，则有2()E χ= ；2()D χ= 。
三、解答题（共7题，第1，2题各5分，其余每题10分，共计60分）
1. (5分) 某班学生的考试成绩数学不及格的占%15，语文不及格的占%5，这两门都不及格的占%3。已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？
2. (5分)某工厂一个班共有男工7人、女工4人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？
3. ( 10分) 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布。已知}2{2}1{===X P X P ，求：
(1) }3{=X P ；(2) }2{≥X P 。
4. ( 10分) 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
??
?≥≥=--其他，
且,
0,21,
),(2y x ke y x f y x
（1）求常数k ；
（2）求),(Y X 关于X ，关于Y 的边缘概率密度。 5. ( 10分) 设X 的分布函数为
330 ()1 x a F x a x a x
≤??
=?->??(0)a >， 试求(23)E X +。
6. ( 10分) 已知随机变量X 的概率密度为||)(x ae x f λ-=，0>λ，+∞<<∞-x 。 求系数a 和分布函数()F x 。
7. ( 10分) 设总体X 在区间[,]a b 上服从均匀分布，参数,a b 未知，12,,,n
X X X 是来自X 的一个样本， 12,,
,n x x x 是样本12X ,,,n X X 的观察值。求：
(1) 参数,a b 的矩估计量； 参数,a b 的最大似然估计量。
4. 一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分） 1．设事件B A ,互不相容，,0)(,0)(>>B P A P 则（ ）
A ．1)(=?
B A P B ．)(AB P =0
C ．)()()(B P A P AB P =
D ．0)(>AB P 2. 和事件: A ∪B 发生当且仅当 .
A ．A 与
B 同时发生； B ．A 、B 中至少有一个发生；
C ．A 发生而B 不发生；
D ．A 与B 不能同时发生.
3. 设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示事件：A ，B ，C 中不多于两个发生 。
A ．ABC
B ．AB B
C AC ?? C ． A B C ??
D ．A B C ?? 4. 设12,,
,(1)n X X X n >是来自正态总体(0,1)N 的一个样本，,X S 分别为样本
均值和标准差，则 成立。 A. 22()E S σ= B. (0,1)X N
C. (0,1)nX
N D. 22
1()n E S n
σ-=
5. 设12,,,(1)n X X X n >是来自总体2(,)X μσ的一个样本，2σ(0)σ>未知，则
下面的式子不是统计量的是 。
A. X σ
B. 11n k i i X n =∑
C. 1
11n k
i i X n =-∑ D. 1X
二、填空题（共15个空，每空2分，共计30分）
1.一个口袋有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中有放回的取球两次，每次随机地取一只。令A={取到的两只都是白球}、 B={取到的两只都是红球}、 C={取到的两只球颜色相同}、D={取到的两只球中至少有一只白球}，则
(1) ()P A = ; (2) ()P B = ; (3) ()P C = ; (4) ()P D = .
2.若(0,1),()X
N x x ?Φ，()分别表示它的概率密度函数、分布函数，则
()()x x Φ+Φ-= ；()x dx ?∞
-∞
=? ；{1}P X == ；
{0}P X <= ； {0}P X >= 。
3.若随机变量X 的分布律为1
{},0,1,2,,!
e P X k k k -=== 则
()E X = ; ()D X = 。
4.若(1,1)X U -，则()E X = ；()D X = 。
5.若2
22
2112
2(),()n n χχχχ，并且2212,χχ相互独立，则2212()E χχ+= ；
22
12()D χχ+= 。
三、解答题（共7题，第1，2题各5分，其余每题10分，共计60分）
1.( 5分) 李、刘、赵、王、张 5 人站成一排照相，求王，张 2 人必须相邻排列且张在王的右边的概率。
2. ( 5分) 某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间X 是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.
3. ( 10分) 甲口袋中有3个白球，2个黑球；乙口袋中有4个白球，4个黑球。从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取1球。求此球为白球的概率。
4. ( 10分) 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
sin(),
0,0,
(,)2
20,
A x y x y f x y π
π
?
+≤<≤<
?=?
??其他。
求： （1）系数A ；
（2）（X ，Y ）关于X 与Y 的边缘概率密度(),()X Y f x f y 。 5. ( 10分) 设随机变量X 的概率分布为n
n X P 21
}{=
=， ,3,2,1=n 。 求??
?
??=X Y 2sin π的数学期望及方差。
6. ( 10分) 设(X,Y)具有概率密度
212, 0y x , 0x 1,
(, ) 0, xy f x y ?≤≤≤≤=??
其它，
求Cov(X,Y) 。
7. ( 10分) 设总体X 具有分布律
其中(01)θθ<<为未知参数。已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
5. 一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分）
1．事件C 发生导致事件A 发生, 则 。 A. A 是C 的子事件 B. C 是A 的子事件 C. A C = D ． ()()P C P A > 2. 对于任意两个事件A 和B ，则()P A B -= 。 A. ()()P A P AB - B. ()()()P A P B P AB -+ C. ()()P A P B - D ． ()()()P A P B P AB +- 3. 设事件B A ,相互独立，则 。
A ．1)(=?
B A P B ．)(AB P =0
C ．)()()(B P A P AB P =
D ．0)(>AB P 4. 设12,,
,(1)n X X X n >是来自正态总体(0,1)N 的一个样本，,X S 分别为样本
均值和标准差，则 成立。 A. 2()1E S = B. (0,1)X N C. (0,1)nX
N D. 21
()n E S n
-=
5. 设总体X 的k 阶矩()k k E X μ=已知，又设12,,,(1)n X X X n >是来自总体X 的
一个样本，期望值μ已知，则下列估计量中，唯有 是k μ的无偏估计。
A. 111n k i i X n =-∑
B. 21
1()1n i i X n μ=--∑ C. 11n k i i X n =∑ D. 21
1()1n i i X n μ=-+∑
二、填空题（共10个空，每空2分，共计20分） 1. 随机变量X 的分布律为{},(1,2)1
c
P X k k k ==
=+，则c = 。
2. 若(0,1),()X N x x ?Φ，()分别表示它的概率密度函数、分布函数，则
?（0）= ；(0)Φ= ；{0}P X >= 。
3. 随机变量X 的密度函数为3
1,0,
()30,0.x
e x
f x x -?>?=??≤?
，则()E X = ;()D X = 。
4. 若(2,3),(1,4)X N Y N 且X ，Y 相互独立，Z X Y =-，则
()E Z = ；()D Z = 。
5. 设12,,,(1)n X X X n >是来自正态总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，则
()E X = ；()D X = 。
三、解答题（共8题，第4，7题各5分，其余每题10分，共计70分）
1.( 10分) 甲盒中有1个红球3个白球，乙盒中有1个红球4个白球，丙盒中有1个红球5个白球。现用两种不同的方法取3个球： ⑴ 分别从甲、乙、丙三盒中任取1球；
⑵ 把甲、乙、丙盒中的球都倒入一个大盒中，从中有放回地取3次，每次取1球。
问哪一种方法取到红球的概率较大？
2. ( 10分) 甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球。从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后从乙袋中任取一球。 ⑴ 求此球为白球的概率；
⑵ 已知从乙袋中取得的球为白球，求从甲袋中取得的2个球都为白球的概率。
3.( 10分) 已知随机变量X 的概率密度为||)(x ae x f λ-=，0>λ，+∞<<∞-x 。 求系数a 和分布函数()F x 。
4. ( 5分) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
1
s i n (),0,0(,)2
2
2
0,
x y
x y f x y π
π?+≤<≤<
?=???其他
试求：(,)X Y 关于X 与Y 的边缘概率密度()X f x ，()Y f y 。
5. ( 10分) 设(X,Y)具有概率密度
2, 0y x , 0x 1,
(, ) 0, Axy f x y ?≤≤≤≤=?
?其它，
试求： （1）系数A ；
（2）求Cov(X,Y) 。
6. ( 10分) 对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[,]a b 内，求圆面积的数学期望。
7. ( 5分) 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？（(1.28)0.90Φ=）
8. ( 10分) 设总体X 的概率密度为
(1),01
()0,x x f x θθ?+<<=??
其他
其中，1θ>-是未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的容量为n 的简单随机样
本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。
模拟
一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分） 1 .随机事件123,,A A A 至少两个不发生可表示为 。 A. 321A A A B. 123
123123A A A A A A A A A
C.321A A A D ．121323A A A A A A
2. 设甲乙两人进行象棋比赛，事件A ＝{甲胜乙负}，则A 为 。 A. {甲负乙胜} B. {甲乙平局} C. {甲负或平局} D ．{甲负}
3. 若A 与B 相互独立，且41
)(=
A P ，6
1)(=B P ，则()P AB = 。 A ．14 B ．18 C ．34 D ．56
4. 设X ～2(,)N μσ,那么当σ减小时，{}P X μσ-<的值 。
A ．增大
B ．减少
C ．不变
D ．增减不定。
5. 对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =，则
A ．()()()D XY D X D Y =?
B ．()()()D X Y D X D Y -=+
C ．X 和Y 独立
D ．X 和Y 不独立
二、填空题（共10个空，每空1分，共计10分） 1.离散型随机变量X 的分布律为{},(1,2)t
P X k k k
==
=，则t = 。 2. 对于任意两个随机变量X 与Y ，设()()25,36D X D Y ==，0.4xy ρ=
则()D X Y += 。
3. 已知随机变量X 的密度为()f x =,01
0,ax b x +<
其它,且{1/2}3/8P x ≤=,则
a =________，
b =________。
4. 设连续型随机变量X 的概率密度为1
,20122014
()20,x f x ?<
,
则()E X = ;()D X = 。
5. 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231
()3Y X X X =++，则
()D Y = ，2()E Y = 。
6. 若22(2012)χχ，则有2()E χ= ；2()D χ= 。
三、解答题（共8题，每题10分，共计80分）
1.（1）（5分）将8只球随机地放入编号为1,2,3,4的四只盒子中去，试求1号盒子恰有2只球，2号盒子恰有3只球的概率。 （2）（5分）将n 只球随机地放入编号为1,2,,n 的n 只盒子中去，求恰有一
只空盒子的概率。
2. ( 10分) 甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有4个白球，4个黑球。从甲箱中任取2个球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球。 （1）求此球为白球的概率；
（2）已知从乙箱中取得的球为白球，求从甲箱中取得的2个球都为白球的概率。
3. ( 10分) 设(1,11)K
U ，求x 的方程
24420x K x K +++= 有实根的概率。
4. ( 10分) 已知随机变量X 的概率密度为||()x f x ae -=， +∞<<∞-x 。 求系数a 和分布函数()F x 。
5.( 10分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
s i n (),0,0(,)2
20,
A x y
x y f x y π
π
?
+≤<≤<
?=?
??其他
试求：
（1）系数A ；
（2）(,)X Y 关于X 与Y 的边缘概率密度()X f x ，()Y f y 。 6. ( 10分) 已知二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为
求(),(),(,)E X E Y Cov X Y
7. ( 10分) 设X 的分布函数为
330 t ()1 x F x t x t x
≤??
=?->??(0)t >， 试求(22)E X +。
8. ( 10分) 设总体X 的概率密度为
(1),01
()0,
x x f x θθ?+<<=??其他
其中，1θ>-是未知参数，12,,
,n X X X 是来自总体X 的容量为n 的简单随机样
本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。
练习
一、 单项选择题（共5题，每题2分，共计10分） 1． 设当事件A 与B 同时发生时C 也发生, 则 ( ). (A) B A 是C 的子事件; (B)AB C =;
(C) AB 是C 的子事件; (D) C 是AB 的子事件.
2. 设事件=A {甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A 的对立事件为 ( ).
(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销;(B) 甲种产品滞销;
(C) 甲、乙两种产品均畅销; (D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.
3、对两事件A 和B ,下列命题正确的是、
A. 如果A ,B 互不相容,则A, B 也互不相容；
B. 如果A ,B 相容,则A, B 也相容；
C ．如果A ,B 互不相容,且()0P A > , ()0P B > ,则A ,B 独立; D. 如果A ,B 相互独立,则A, B 也相互独立.
4、已知()0.5P A =, ()0.4P B =,(|)0.6P B A =，则(|)P A B 等于
A.0.2；
B.0.45；
C.0.6；
D.0.75.
5、设每次试验成功的概率为 )10(<
（A ）np （B ）1
(1)n np p -- （C ）
p （D ）1(1)n p p --
二 、填空题（共15个空，每空2分，共计30分） 1.已知,5.0)(=A P ()0.2P AB =， 4.0)(=B P , 则
(1) )(AB P = ; (2) )(B A P -= ;
(3) )(B A P ?= ; (4) )(B A P = .
2.全班42人，其中男生（以A 表示）23人；女生（以A 表示）19人。选学日语的学生（以B 表示）25人，未选学日语的学生（以B 表示）中有女生7人，则
(1) ()P A = ; (2) ()P B = ;
(3) ()P AB = ; (4) ()P AB = . 3、随机变量X 的分布律为{},(2,4)1
c
P X k k k ==
=-，则c = 4、公共汽车站每隔5 分钟有一辆汽车到站，乘客到站的时刻是任意的，则一个 乘客候车时间不超过3 分钟的概率为 5、若A 与B 相互独立，且41
)(=
A P ，6
1)(=B P ，则()P AB = 6、已知随机变量X 的密度为()f x =?
?
?<<+其它,01
0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则
a =________
b =________。
7.若X ～N(0,1), )(),(x x Φ?分别表示它的概率密度函数、分布函数，则
(0)Φ= ；{0}P X == 。
三、解答题（60分）
1. （4分）观察某地区未来5天的天气情况, 记i A 为事件: “有i 天不下雨”, 已知
),()(0A iP A P i = .5,4,3,2,1=i 求下列各事件的概率:
（1）5天均下雨; (2) 至少一天不下雨
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
《_》 期中考试 （一、四） 班级 ______ ___ 姓名 _______学号 _ ___ 一、选择题（共6题，每题3分，共计18分） 1. 事件C 发生导致事件A 发生, 则 B 。 A. A 是C 的子事件 B. C 是A 的子事件 C. A C = D ．()()P C P A > 2. 设事件B A ,两个事件，111 (),(),()2310 P A P B P AB ===，则()P A B = B 。 A ． 1115 B ．415 C ．56 D ．16 （逆事件概率，加法公式，()1()1[()()()]P A B P A B P A P B P AB =-=-+-U ） 3. 设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时，{2}P X μσ-< C 。 A ．增大 B ．减少 C ．不变 D ．增减不定
（随机变量的标准正态化，2(2)1=Φ-) 4. 已知B A ,是两个事件，X ,Y 是两个随机变量，下列选项正确的是（C ） A . 如果 B A ,互不相容，则A 与B 是对立事件 B . 如果B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则B A ,互相独立 C . Y X 与互相独立，则Y X 与不相关 D . Y X 与相关，则相关系数1ρ= 5．已知2,1,(,)1,DX DY Cov X Y === 则(2)D X Y -= ( C ) (A) 3； (B) 11； (C) 5； (D) 7 （考查公式(2)4()()2cov(2,)D X Y D X D Y X Y -=+-） 6.若X,Y 为两个随机变量,则下列等式中成立的是( A ) A.EY EX Y X E +=+)( B.DY DX Y X D +=+)(
第一章 概率论的基本概念 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象 随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象 随机试验： 具有下述三个特点的试验： 1.可以在相同的条件下重复地进行 2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果 3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 样本空间： 将随机试验E 的所有可能出现的结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本点： 样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点 样本空间的元素是由试验的目的所确定的。 随机事件： 一般，我们称试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 基本事件： 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 必然事件： 样本空间S 包含所有的样本点，它是S 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。 不可能事件： 空集Φ不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。 事件间的关系与运算： 设试验E 的样本空间为S ，而A,B,k A （k=1,2,…)是S 的子集。 1.若B A ?，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必然导致事件B 发生。 若B A ?且A B ?,即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。 2.事件{x B A =?｜A x ∈或}B x ∈称为事件A 与事件B 的和事件。当且仅当A,B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生。 类似地，称n k U 1 =k A 为事件,,21A A …n A ,的和事件；称k k A U ∞ =1 为可列个事件,,21A A … 的和事件。 3.事件B A ?=x {｜A x ∈且}B x ∈称为事件A 与事件B 的积事件。当且仅当A,B 同时发生时，事件B A ?发生。B A ?记作AB 。
《概率论与数理统计》期中考试试题汇总
《概率论与数理统计》期中考试试题（一） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 1．某射手向一目标射击两次，A i表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1A2B．21A A C．21A A D．21A A 2．某人每次射击命中目标的概率为p(0 6．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数2为的指数分布，Y ～B (6，2 1)，则D(X-Y)=( ) A ．1- B ．74 C ．54- D ．12 - 二、填空题（本题共9小题，每小题2分，共18分） 7．同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________. 8．将3个球放入5个盒子中，则3个盒子中各有一球的概率为= _______ _. 9．从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取k 次球，第k 次取的黑球的概率是= . 10．设随机变量X ～U (0，5)，且21Y X =-，则Y 的概率密度f Y (y )=________. 11．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度 f (x ,y )=? ??≤≤≤≤，y x ，其他,0,10,101则P {X +Y ≤1}=________. 12．设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是40.50.59?? ???， 则相关系数,X Y ρ= ________. 13. 二维随机变量(X ，Y ) (1,3,16,25,0.5)N -:，则X : ;Z X Y =-+: . 14. 随机变量X 的概率密度函数为 51,0()50,0x X e x f x x -?>?=??≤?，Y 的概率密度函数为1,11()20,Y y f y others ?-< 上海海洋大学试卷答案 学年学期 20 14 ~ 20 15 学年第 2 学期 考核方式 闭卷 课程名称 概率论与数理统计期中考答案 A/B 卷 （期中 ）卷 一、填空题（每小题3分，共27分） 1．已知P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A ∪B)=0.7，则()P AB = 0.4 ，(|)P A B = 3/7 2．对事件A 、B 、C 满足=)A (P 41)()B (P = =C P ，16 1 )()(p ==BC P AC ，则A 、B 、C 都不发生的概率为 3/8 3．离散型随机变量X 只取π,2,1-三个可能值，取各相应值的概率分别为22,,a a a -， 则=a -1/2 4. 袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）. 已知第二次取出的是黑球，则第一次取出的也是黑球的概率为 2/9 5．每次试验成功率为p (0 < p < 1)，进行重复试验，则直到第十次试验才取得三次成功的概率为 36p 3 (1-p) 7 6．设随机变量K 在区间(0, 5)上服从均匀分布，则方程210x Kx ++=无实根的概率为 2/5 7. 已知~(5,16),X N 且}{}{c X P c X P <=>，则c = 5 8. 设X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p), 若5 {1}9 P X ≥= ，则{1}P Y ≥= 19/27 9. 设X 与Y 相互独立，X 的密度函数为22,0 ()0 x X e x f x -?>=??其它，Y 的分布律为 3 3{},0,1,2, ,k P Y k e k k -===！ 且32Z X Y =--，则()E Z =-21/2，()D Z = 109/4 概率课感想与心得体会 笛卡尔说过：“有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时候，我们就应该去探求什么是最最可能的。”随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。 概率起源于现实生活，应用于现实生活，如我们讨论了摸球问题，掷硬币正反面的试验，拍骰子问题等等。都是接近生活实践的概率应用实例。 同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。但是我们不能根据随机事件的概率来断定某次试验出现某种结果或者不出现某种结果。同时，我们还可以利用概率来判定游戏规则，譬如，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需要保证每个人获胜的概率相等。概率教学中的试验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，是很难得出比较接近概率的频率的，也就是说当试验的次数很多的时候，频率就逐渐接近一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。我们说，当进行次数很多的时候，时间发生的次数所占的总次数的比例，即频率就是概率。换句话说，就是时间发生的可能性最大。 概率不仅在生活上给了我们很大的帮助，同时也能帮我们验证某些理论知识，譬如投针问题： ()行直线相交的概率． 平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为a L L a < 我们解如下： 平行线的距离； ：针的中心到最近一条 设：X 此平行线的夹角．：针与? 上的均匀分布；， 服从区间则随机变量?? ? ?? ? 20a X []上的均匀分布；服从区间随机变量π?,0相互独立．与并且随机变量?X ()的联合密度函数为 ，所以二维随机变量?X ()??? ??≤≤≤≤=. , 02 02 其它，，π?π?a x a x f {} 针与任一直线相交设：=A , . sin 2? ?? ???<=?L X A 则所以， ()? ?????<=?sin 2L X P A P 的面积的面积 D A =.22 sin 20 a L a d L ππ??π == ? 概率论与数理统计期中考试试题1 一．选择题（每题4分，共20分） 1.设,,A B C 为三个随机事件，,,A B C 中至少有一个发生，正确的表示是（ ） A. ABC B. ABC C. A B C D. A B C 2.一个袋子中有5个红球，3个白球，2个黑球，现任取三个球恰为一红，一白，一黑的概率为 ( ) A. 12 B. 14 C. 13 D. 15 3.设,A B 为随机事件，()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===，则()P A B =（ ） A ．0.7 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.4 4. 一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为2的泊松分布，则某一分钟恰有4次呼唤的概率为（ ） A. 423e - B. 223e - C. 212e - D. 312 e - 5.若连续性随机变量2 (,)X N μσ，则X Z μσ -= （ ） A ．2(,)Z N μσ B. 2(0,)Z N σ C. (0,1)Z N D. (1,0)Z N 二. 填空题（每题4分，共20分） 6. 已知1 ()2 P A =，且,A B 互不相容，则()P AB = 7. 老张今年年初买了一份为期一年的保险，保险公司赔付情况如下：若投保人在投保后一年内因意外死亡，则公司赔付30万元；若投保人因其他原因死亡，则公司赔付10万元；若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他原因死亡的概率为0.0050，则保险公司赔付金额为0元的概率为 8. 设连续性随机变量X 具有分布函数 0,1()ln ,11,x F x x x e x e 《概率论与数理统计》读书感想 班级： 学号： 姓名：本学期我们开设了《概率论与数理统计》这门课程。在正式学习这门课程之前，我对于它的了解仅限于高中时期所学习的简单的概率与统计相关的定义、概型以及运算。在学习了这门课程之后，我对于将数学知识运用到实践中有了更加深刻的认识。 本门课程总共八章。在第一章中，我在复习到的高中时期基础知识的基础上更加深入的学习了随机事件与概率相关知识，其中我感觉比较重要的就是条件概率与乘法公式、全概率公式和被贝努力公式以及事件的独立性和N重贝努利概型。在第二章中，我理解了随即变量及其概率分布的概念、连续型随机变量及其概率密度的概念，了解了泊松定理的结论和应用条件并学会了用泊松分布近似的表示二项分布，还学会了均匀分布、指数分布、正太分布及其应用。在第三章中，我们学习了二维随机变量及其分布，其中二位二维离散随机变量和二维连续型随机变量以及二维随机变量函数的分布是我感觉比较陌生的。学起来也比较吃力。第四章是随机变量的数字特征，其中数学期望、方差都是高中学过的，学起来比较简单，而协方差、相关系数和矩则是比较新的知识了。第五章是大数定律和中心极限定理，都是新内容，这期间，我掌握了切比雪夫不等式的条件和结论、切比雪夫大数定律、贝努利大数定律以及辛钦大数定律成立的条件和结论，并能运用切比雪夫不等式进行简单的概率估计，另外还学习了独立同分布的中心极限定理以及棣莫弗—拉普拉斯定理的条件与结论。第六章中，主要学习了数理统计的基本概念：总体、个体、简单随机样本、统计量的概念、样本均值、样本方差和样本矩。第七章是参数估计的相关知识，重点是点估计、估计量以及估计值得相关概念还有矩估计法和极大似然估计法，另外，我还掌握了两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。在最后的第八章，我们主要学习了假设检验，我掌握了假设检验的基本概念，学会了对单正态总体参数的假设检验和对双正态总体均值方差的假设检验。 通过对本门课程的学习，我对概率论和数理统计有了更加深刻的了解，我相信这将对我以后的学习大有裨益。 将 个不同的球随机地放在 个不同的盒子里，求下列事件的概率 个球全在一个盒子里 恰有一个盒子有 个球 解 把 个球随机放入 个盒子中共有45 种等可能结果 （ ） 个球全在一个盒子里 共有 种等可能结果 故 个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 30 2 415=C C 种方法 个球中取 个放在一个盒子里，其他 个各放在一个盒子里有 种方法 因此， 恰有一个盒子有 个球 共有 × 种等可能结果 故 12572 625360)(= = B P 某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为 小时和 小时，设甲、乙在 小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解： 设 分别为两船到达码头的时刻。 由于两船随时可以到达，故 分别等可能地在 上取值，如 厦门大学概统课程期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业 考试时间 右图 方形区域，记为Ω。设 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。 222024,024024,024,2111 ()24576,()2322506.522 () ()0.8793 ()x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===?+?===Ω={(x,y)}, A={(x,y)或},有所以， 设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是 ： ： ，且第一、二、三厂家的正品率依次为 、 、 ，若在该商场随机购买一件商品，求： 该件商品是次品的概率。 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解 1231122331, (1) ()()(|)()(|)()(|) =60%*(1-98%)+20%*(1-98%)+20%*(1-96%) =0.024 (2) (|)A B B B P A P B P A B P B P A B P B P A B P B A =++= 设为该产品为次品，,分别为三个厂家产品，则由全概率公式可知由贝叶斯公式可知 111()()(|)60%*(1-98%) ()()0.024 =0.5P AB P B P A B P A P A == 甲乙丙三台机床独立工作，在同一时间内他们不需要工人照顾的概率分别为 ，求在这段时间内，最多只有一台机床需人照顾的概率。 解： 设123A A A 、、分别代表这段时间内甲、乙、丙机床需要照管，i B 代表这段时 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 心得体会 汇报人 注意：本文档适合对应岗位使用，实际使用者需要根据本岗位的实际工作内容和工作职责进行相应调整，下载之前请务必预览前页内容。 概率论学习心得 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论是十七世纪因保险事业发展而产生的，与博弈实践有关；数理统计学源于对天文和测地学中的误差分析以及中世纪欧洲流行黑死病的统计。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系就是基于统计数据的随机性。 概率论与数理统计具有很强的实用性，科学研究与社会活动都需要进行数据的收集、整理以及精炼的形式表达，并以此为基础进行定量或定性估计、描述和解释，预测其未来可能的发展状况。而对大量随机数据进行整理并描述评估、预测其发展正是数理统计学与概率论的重要内容。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 二战后随着科技的发展特别是计算机的发展，概率论与数理统计在新的实践条件下得以迅猛发展，其理论日益完善与深入，其手段日益先进和便利，其作用日益重要和广泛，大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域，许多新兴科学都是以概率论与数理统计作为基础的，如信息论、对策论、排队论、控制论等。 概率论与数理统计不仅在自然科学中发挥重要作用，实证的方法就是基于数据分析整理并推理预测，而且在社会实践中发挥着重要的不可替代的作用，这是因为： 1、人类活动的各个领域都不同程度与数据打交道，都有如何收集和分析数据的问题，因此概率论与数理统计学的理论和方法，与人类活动的各个领域都有关联。 2、组成社会的单元——人、家庭、单位、地区等，都有很大的变异性、不确定性，如果说，在自然现象中尚有一些严格的、确定性的规律，在社会现象中 《概率论》期末 A 卷考试题（免费） 一 填空题(每小题 2分，共20 分) 1．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，则目标被击中的概率为（ ）. 2．设()0.3,()0.6P A P A B == ，则()P A B =( ). 3．设随机变量X 的分布函数为??? ? ? ????> ≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x a x x F ，则=a （ ）， ()6 P X π > =（ ）. 4．设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布，则=-)1(2 X E ( ). 5．若随机变量X 的概率密度为2 36 ()x X p x -= ，则(2)D X -=（ ） 6．设Y X 与相互独立同服从区间 (1,6)上的均匀分布，=≥)3),(max(Y X P （ ）. 7．设二维随机变量（X,Y ）的联合分布律为 X Y 1 2 ?i p 0 a 12 1 6 1 1 3 1 b 则 ( ), ( ).a b == 8．设二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为? ? ?>>=--其它 00,0),(2y x ae y x f y x ，则 =a （ ） 9．若随机变量X 与Y 满足关系23X Y =-，则X 与Y 的相关系数X Y ρ=（ ）. 10.设二维随机变量)0,4,3,2,1(~),(N Y X ，则=-)52(Y X D （ ）. 二．选择题（每小题 2分，共10 分) 1．设当事件C B 和同时发生时事件A 也发生，则有（ ）. ) ()()(1 )()()()(1)()()()() ()()(C B P A P d C P B P A P c C P B P A P b BC P A P a =-+≤-+≥= 2．假设事件B A 和满足1)|(=B A P ，则（ ）. (a ) B 是必然事件 （b ）0)(=-A B P (c) B A ? (d ) 0)|(=B A P 3．下列函数不是随机变量密度函数的是( ). (a )sin 0()20 x x p x π? <=（ ）. 1 11() 1 () () ()4 28 a b c d 三、解答题（1-6小题每题9分，7-8小题每题8分，共70分） 1.某工厂有甲、乙、丙三车间，它们生产同一种产品，其产量之比为5：3：2, 已知三 车间的正品率分别为0.95, 0.96, 0.98. 现从全厂三个车间生产的产品中任取一件，求取到一件次品的概率。 2．设10件产品中有3件次品，从中不放回逐一取件，取到合格品为止.（1）求所需取件次数X 的概率分布 ；（2）求X 的分布函数()F x . 3．设随机变量X 的密度函数为(1) 01()0 A x x f x -<. 4．设随机变量X 的密度函数为sin 0()20 x x f x π? < 《概率论与数理统计》期中考试试题（一） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 1．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（ ） A ．A 1A 2 B ．21A A C ．21A A D ．21A A 2 345C 68．将3个球放入5个盒子中，则3个盒子中各有一球的概率为=________. 9．从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取k 次球，第k 次取的黑球的概率是=. 10．设随机变量X ～U (0，5)，且21Y X =-，则Y 的概率密度 2 f Y (y )=________. 11．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度f (x ,y )=? ??≤≤≤≤，y x ，其他,0,10,101则P {X +Y ≤1}=________. 12．设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是40.50.59?? ??? ，则相关系数,X Y ρ=________. 13.二维随机变量(X ，Y )(1,3,16,25,0.5)N -，则X ;Z X Y =-+. （-1，31），（2，0），且取这些值的概率依次为61，a ，121，125. 求（1）a =？并写出(X ，Y )的分布律；（2）(X ，Y )关于X ，Y 的边缘分布律；问X ，Y 是否独立;（3）{0}P X Y +<;(4)1X Y =的条件分布律； （5）相关系数,X Y ρ 18．(8分)设测量距离时产生的随机误差X ～N (0,102)(单位：m)，现作三次独立测量，记Y 为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知Φ(1.96)=0.975. (1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p ; (2)问Y 服从何种分布，并写出其分布律；求E (Y ). 1取出的3件中恰有一件次品的概率为（ ） A ．601 B ．457 C ．51 D ．15 7 2．下列选项不正确的是（） A ．互为对立的事件一定互斥 B ．互为独立的事件不一定互斥 C ．互为独立的随机变量一定是不相关的 D ．不相关的随机变量一定是独立的 3．某种电子元件的使用寿命X （单位：小时）的概率密度为 《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数 1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 解: 把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果. （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 30 2415=C C 种方法 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故 12572 625360)(= =B P 2.某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙在24小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解： 设x,y 分别为两船到达码头的时刻。 由于两船随时可以到达，故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值，如右图 方形区域，记为Ω。设A 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。 厦门大学概统课程期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业 考试时间 222024,024024,024,2111 ()24576,()2322506.522 () ()0.8793 ()x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===?+?===Ω={(x,y)}, A={(x,y)或},有所以， 3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，求： (1) 该件商品是次品的概率。 (2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解: 1231122331, (1) ()()(|)()(|)()(|) =60%*(1-98%)+20%*(1-98%)+20%*(1-96%) =0.024 (2) (|)A B B B P A P B P A B P B P A B P B P A B P B A =++= 设为该产品为次品，,分别为三个厂家产品，则由全概率公式可知由贝叶斯公式可知 111()()(|)60%*(1-98%) ()()0.024 =0.5P AB P B P A B P A P A == 4.甲乙丙三台机床独立工作，在同一时间内他们不需要工人照顾的概率分别为,08,，求在这段时间内，最多只有一台机床需人照顾的概率。 解： 设123A A A 、、分别代表这段时间内甲、乙、丙机床需要照管，i B 代表这段时间内恰有i 台机床需要照管，i=0、1. 显然，0B 与1B 互斥，123A A A 、、相互独立。并且： 数理统计培训心得体会 篇一：《概率论与数理统计》课程学习心得 《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数 人眼里是绝对不可能的。但在牛人亚里士多德眼里，他觉得成功做这事的概率那是100％——绝对没问题，只要你给他一个支点和足够长的杠杆。就像前面提到的抽奖一样，25％、33％和50％这些概率只不过是外界针对这个群体给出的。25％的机率同样能中奖，50％的机率也会不中奖，对于抽奖者个人而言，没有概率大小之分，只有中与不中之分。别人说做这件事相当容易，切莫掉以轻心，也许你做这件事 概率论与数理统计期中考试试题1 一.选择题(每题4分，共20分) 1.设A.β,C为三个随机事件，A,B,C中至少有一个发生，正确的表示是() A. ABC B. ABC C. Λ∪B∪C D. AUBUC 2.—个袋子中有5个红球，3个白球，2个黑球，现任取三个球恰为一红，一白，一黑的概率为() A.丄 B.丄 C. - D.- 2 4 3 5 3.设A,8 为随机事件,P(A) = 0.5,P(B) = 0.6,P(B IA)=O.8 ,则P(AU B)=() A. 0.7 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.4 4.一总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为2的泊松分布，则某一分钟恰有4次呼唤的概率为() 2 , 2 ， 1 2 1 3 A. B. C. 一e~ D. 一尸 3 3 2 2 5?若连续性随机变量X?Ngb?则Z =兰二《~ () σ A. Z ?N(//,σ2) B. Z ?N(0,σ2) C. Z?7V(0,l) D. Z ?N(l,0) 二.填空题(每题4分，共20分) 1 - 6.已知P(A) =—?且A,3互不相容，则P(AB)= _________________ 2 7.老今年年初买了一份为期一年的保险，保险公司陪付情况如下：若投保人在投保后一年因意外死亡，则公司赔付30万元；若投保人因其他原因死亡，则公司陪付10万元；若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年因意外死亡的概率为 0. 0002,因其他原因死亡的概率为0. 0050,则保险公司赔付金额为0元的概率为_____________ 8.设连续性随机变量X具有分布函数 O5X < 1 F(X) = In x,?≤ X 学习概率论与数理统计感想 作者：丁彦军学号：1130610816 班级：1306108 摘要：概率论与数理统计是一门与生活息息相关的学科，在生活中很多方面都有很广泛的应用，通过本学期对于这门课程的学习，我更加深刻的体会到了这一点。同时，了解一些概率论的发展历史和现状有助于我们更好的理解和学习这门课程的研究对象和方法，也有助于我们掌握这门课程的精髓。 关键词：概率论起源发展应用 通过这学期对概率论与数理统计这门课的学习，我认识到，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。 了解这些后，我对概率论和数理统计的起源和发展历史以及它目前的发展情况产生了浓厚的兴趣。英国数学家格雷舍(Galisber,1848一1928)曾经说过:“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来,我确信,没有哪一种科目比数学的损失更大。”了解和研究概率论发展的历史,有助于我们加深对这门课程研究对象、研究方法的了解;有利于总结成功经验和失败教训,启迪我们更好地学习这门课程。 下面介绍概率论的起源和发展历史: 1.古典概率时期（十七世纪） 概率论的早期研究大约在十六世纪到十一七世纪之间。这段期间,欧洲进入文艺复兴时期,工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题,伴随航海事业发展产生的天气预报问题,伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等,加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题,急需创立一门分析研究随机现象的数学学科。概率论应社会实践的需要出现了。在这个时期,意大利著名物理学家伽俐略(GalileiGalileo,1564.2.18一1642.1.8)就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究,把误差作为一种随机现象,并估计了他们产生的概率。十七世纪末,瑞士数学家伯努利对惠更斯没有解决的问题给出了解答,并第一次用到了母函数概念。伯努利的成就主要是从理论上证明了大数定理。伯努利的另一重大贡献是研究了独立重复试验概型。由于这种概型研究的是只有两个可能结果的试验,并经多次重复的结果。因此具有很普遍的意义。至今,在许多概率论专著中仍把独立重复试验概型称为“伯努利概型”。 2.初等概率时期(十八世纪) 十八世纪,概率论发展很快,几乎初等概率的全部内容都在这个期间形成。法国杰出的数学家德莫哇佛尔(AbrahamDeMoiver,1667--1754)最早研究了随机变量服从正态分布的情形,发现了正态概率分布曲线。接着,他又发现,许多分布的极限正态分布,并证明了二项分布当 1的情形。这种证明某一分布的极限是正态分布的各种定理,以p=q= 2 后发展成概率论的一个重要组成部分—中心极限定理。英国数学家辛普松(TnomasSimpson,1710一1761)所研究的问题中有一个对产品剔 概率论与数理统计的学习心得 步入大二，我们开始学习『概率论与数理统计』这门课程。如名称所述，课程内容分为两部分：概率论和数理统计。这两部分是有着紧密联系的。在概率论中，我们研究的随机变量，都是在假定分布已知的情况下研究它的性质和特点；而在数理统计中，实在随机变量分布未知的前提下通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察，并对观察值对这些数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布做出推断。因此，概率论可以说是数理统计的基础。在长达一个学期的学习中，我增长了不少课程知识，同时也获得了不少对于学习数学这门课程的体会。 一、课程的价值及作用 我们接触概率这一概念应该是从初中开始的，那时所认为的概率不过是简单的乘除法，像是一个骰子有六面，掷到每一面的概率是一样的，就是六分之一。到了高中，才陆续接触了期望方差，还有各种类型的分布等等，才知道概率论也是一门专业学科，有自己独特的概念和方法，内容丰富，在数学这个大家庭中也是不输于任何其他分支的存在。上到大学，在学习了更深层次的内容后，对于概率论的理解也就更深刻，同时也意识到概率论在日常生活和其他学科中的重要应用。因此，学会概率论，对我们的学习生活都十分重要。 概率论与数理统计是一门在大学数学中极为重要的课程。以我个人的理解，如果说微积分、线性代数只是分析数学、或是说解题的工具，那么概率论才是真正把实际问题转换为数学问题的学问，因为它解决的并非纯数学问题，不是给你一个命题让你去解决，而恰恰是让你去构思命题，进而构建模型来想方设法解决实际问题。假设检验就是一个典型的例子，要解决问题，你要先建立假设，还要估计总体的分布，如果是大样本问题，可以近似看作正态分布……学习概率论和数理统计，我很大的一个感受就是和实际问题联系很紧密，对问题需要有更深层次的思考，因而学起来也比微积分和线代更吃力。 在大学中，概率论与数理统计是理工科及经管类学科的必修课之一，因其与生活实践和科学试验有着非常紧密的联系，而且是许多新发展的前沿学科(如信息论、人工智能等)的基础。若能掌握好概率的思想和数理统计的方法，对将来解决各种专业性的问题（如金融业的风险预测、企业的产品检验及天气预报等），都能起到不可估量的作用。概率B期中考试A卷答案
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