概率论与数理统计期中测试答案
一、 单项选择题
1．当事件A 、B 同时发生时，事件C 必发生，则( B )
(A) ()()()1-+≤B P A P C P (B) ()()()1-+≥B P A P C P (C) ()()AB P C P = (D) ()()B A P C P ⋃=
2．设随机变量X 的概率密度是()x f ，则下列函数中一定可以作为概率密度的是( )
(A) ()x f 2 (B) ()x f 2 (C) ()x f - (D) ()x f 3.
设
1{0,0}5
P X Y ≥≥=
,2{0}{0}5
P X P Y ≥=≥=
,则
{max{,}0}P X Y ≥=( )
(A)
15 (B) 25 (C) 35 (D) 45
4．设,X Y 相互独立，X 服从()0,2上的均匀分布，Y 的概率密度函数为
,0()0,0y Y e y f y y -⎧≥=⎨<⎩
，则{}1P X Y +≥=( )
(A) 11e -- (B) 21e -- (C) 212e -- (D) 110.5e -- 二 填空题
1 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>
}{DX X P 1/e .
2 设和ξη是两个相互独立且均服从正态分布N （0，2
1
）的随机变量，则=
-|)(|ηξE
3 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有≤≥+}6|{|Y X P 1/12
.
4 设平面区域D 由曲线所围成及直线2,1,01
e x x y x
y ====
，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，则（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为1/4
。
三 计算题
1、自动包装机把白色和淡黄色的乒乓球混装入盒子，每盒装12只，已知每盒内装有的白球的个数是等可能的。为检查某一盒子内装有白球的数量，从盒中任取一球发现是白球，求此盒中装的全是白球的概率。
2、已知随机变量X 与Z 相互独立，且)1,0(~U X ,)2.0,0(~U Z ，Z X Y +=，试求：(),(),XY E Y D Y ρ.
3、 测量某目标的距离时，误差X （m ），且知X ~N(20,1600),求三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30m 的概率.
4、学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4.5元，5元。出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，0.2，0.5。已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。
5、设二维随机变量（X ，Y ）在区域D ：0率密度函数及随机变量Z =2X +1的方差DZ 。
6、 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
()()⎪⎩
⎪⎨⎧>>+=+-其它,00,0,21
)(y x e y x x f y x ,
（1）问X 与Y 是否相互独立；（2）求条件概率密度()y x f Y X ；（3）求Y X Z +=的概率。
1、自动包装机把白色和淡黄色的乒乓球混装入盒子，每盒装12只，已知每盒内装有的白球
的个数是等可能的。为检查某一盒子内装有白球的数量，从盒中任取一球发现是白球，求此盒中装的全是白球的概率。
解：令 A={抽出一球为白球}， t B ={盒子中有t 个白球}，12,,2,1,0 =t . 由已知条件，131)(=
t B P ，12
)(t
B A P t =,12,,2,1,0 =t ，
由全概率公式，∑∑====120
12
012131)()()(t t t t t
B A P B P A P ,
由Bayes 公式，13
2)
()
()()(12
12
13
1131121212=
=
=
∑
=t t A P B A P B P A B P . 2已知随机变量X 与Z 相互独立，且)1,0(~U X ,)2.0,0(~U Z ，Z X Y +=， 试求：(),(),XY E Y D Y ρ. 解： 11111
(),()()()222020
E X E Y E X E Z =
=+=+=
cov(,)(())()()
1
()12
X Y E X X Z E X E X Z D X =+-+==
11101
()()()()1212001200
D Y D X Z D X D Z =+=+=
+=
1
XY
ρ==
4、 学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4.5元，5元。出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，0.2，0.5。已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。 解：设i X 为第i 盒的价格(1,2,
,200.)i =，则总价200
1
i i X X ==∑
() 4.6,
()0.19i i E X D X ==
2001
()()200 4.6920i
i E X E X ==
=⨯=∑.
200
1
()()2000.1938i
i D X D X ==
=⨯=∑.
(910930)212(1.622)120.947410.8948
P X P ≤≤=≤≤≈Φ-=Φ-=⨯-=
]
