三次Bezier曲线

lv_bezier3 的用法lv_bezier3是一个用于贝塞尔曲线绘制的函数。

在这篇文章中，我们将逐步回答关于lv_bezier3的用法的问题，帮助读者了解如何使用这个函数绘制优雅的曲线。

第一步：了解贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线是一种数学曲线，它通过控制点来定义。

贝塞尔曲线可以用于绘制平滑的曲线，其形状由曲线上的控制点决定。

一般情况下，贝塞尔曲线由三个或四个控制点组成。

- 三次贝塞尔曲线（Cubic Bezier Curve）由两个端点和两个控制点定义。

- 二次贝塞尔曲线（Quadratic Bezier Curve）由一个起始点、一个结束点和一个控制点定义。

在绘制曲线之前，我们首先需要了解这些基本概念。

第二步：引入lvgl库lvgl是一个开源的图形库，可以用于嵌入式系统中的图形界面设计。

lvgl 库提供了各种绘图函数，包括贝塞尔曲线绘制函数lv_bezier3。

在使用lv_bezier3之前，我们需要引入lvgl库。

可以通过在代码中添加以下语句来实现：#include "lvgl/lvgl.h"这将导入lvgl库，我们就可以开始使用lv_bezier3函数。

第三步：使用lv_bezier3绘制曲线lv_bezier3函数的原型如下：void lv_bezier3(const point_t *points, point_t *out_p, uint16_t t);该函数接受一个包含四个点的数组point_t *points，以及一个指向point_t类型的输出数组out_p和一个0-1000之间的整数t。

out_p数组将包含曲线上的一系列点的坐标，用于绘制曲线。

参数t用于确定曲线上的点的数量，其中t=1000对应于曲线上的1000个点。

以下是一个使用lv_bezier3绘制三次贝塞尔曲线的示例代码：void draw_cubic_bezier(const point_t *points){point_t curve_points[1001]; 1000个点用于绘制曲线lv_bezier3(points, curve_points, 1000);绘制曲线代码}在这个示例中，我们首先创建一个数组curve_points，用于存储曲线上的点的坐标。

（一）Bezier 曲线定义如下：设有 1+n 个点：),(i i y x ，n i ,,2,1,0 = ，下列参数曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==∑∑=-=-n i i n i i n i n i i n i i n i t t C y t y y t t C x t x x 00)1()()1()( ，10≤≤t ， 称为由这 1+n 个点确定的 n 次Bezier 曲线。

例如，已知有下列4个点：)100,100(),(00=y x ,)200,200(),(11=y x ,)100,300(),(22=y x ,)200,400(),(33=y x , 它们可以确定一条3次Bezier 曲线。

这条Bezier 曲线的参数表达式为：⎩⎨⎧+-⨯+-⨯+-=+-⨯+-⨯+-=32233223200)1(3100)1(3200)1(100400)1(3300)1(3200)1(100tt t t t t y t t t t t t x ，10≤≤t 。

这条Bezier 曲线的图像为Bezier 曲线的特点是：曲线只通过开头的一点和结尾的一点，不通过中间的各点。

如果我们要求曲线通过中间的各点，显然Bezier 曲线是不符合我们要求的。

（二）如果要求曲线通过给出的每一点，可以采用“3次样条曲线”。

3次样条曲线是这样一种曲线：它在已知的每两个点 ),(11--i i y x 与 ),(i i y x 之间，用一段段3次曲线 32x d x c x b a y i i i i +++= 作连接，而且保证在各段连接处，一阶、二阶导数都是连续的，整条曲线是处处光滑的。

例如，已知有下列4个点： )100,100(),(00=y x ,)200,200(),(11=y x ,)100,300(),(22=y x ,)200,400(),(33=y x ,通过这4个点可以作一条3次样条曲线。

这条3次样条曲线在各段上的函数表达式为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+-≤≤+-+-≤≤-+-=4003000002.021.07282003002000002.015.03626002001000002.009.012600323232x x x x x x x x x x x x y 。

文章标题：深入探讨JavaScript语言中三次贝塞尔曲线绘制心形代码在本文中，我将深入探讨JavaScript语言中三次贝塞尔曲线绘制心形代码，并通过从简到繁的方式来解析这一主题。

从基础概念入手，逐步深入，帮助您全面、深刻地理解这一主题。

1. 三次贝塞尔曲线简介三次贝塞尔曲线是指在平面上由两个端点和两个中间控制点来定义的二次曲线。

它是一种常用的曲线绘制方法，在JavaScript中，可以通过Canvas来实现对三次贝塞尔曲线的绘制。

在心形代码中，我们将会使用三次贝塞尔曲线来绘制心形的形状。

2. JavaScript Canvas基础在开始讨论三次贝塞尔曲线之前，我们首先需要了解一些JavaScript Canvas的基础知识。

Canvas是HTML5中新增的元素，可用于通过脚本(通常是JavaScript)绘制图形。

使用Canvas，我们可以在网页上绘制出各种图形、动画等。

在心形代码中，我们将通过Canvas来实现三次贝塞尔曲线的绘制。

3. 绘制三次贝塞尔曲线现在，让我们来讨论如何在JavaScript中绘制三次贝塞尔曲线。

在Canvas中，我们可以使用`bezierCurveTo()`方法来绘制三次贝塞尔曲线。

这个方法接受四个参数，分别是两个控制点和一个结束点的坐标。

通过多次调用`bezierCurveTo()`方法，我们可以绘制出复杂的曲线形状。

在心形代码中，我们将会利用这个方法来绘制出心形的形状。

4. 实现心形代码通过以上的基础知识，我们现在可以着手实现JavaScript中绘制心形的代码了。

我们需要定义好心形的各个点的坐标，然后利用`bezierCurveTo()`方法来绘制出心形的形状。

在实现代码的过程中，我们需要仔细考虑控制点的位置和曲线的弧度，以确保绘制出符合预期的心形效果。

5. 个人观点和理解在学习并实践了JavaScript语言中三次贝塞尔曲线绘制心形代码之后，我对这一主题有了更深入的理解。

贝塞尔曲线坐标算法1. 什么是贝塞尔曲线？贝塞尔曲线是一种数学函数，用于描述平滑的曲线形状。

它由两个或多个控制点组成，通过这些控制点来确定曲线的形状和路径。

贝塞尔曲线最常见的应用是在计算机图形学中，用于绘制平滑的曲线和路径。

2. 贝塞尔曲线的分类根据控制点的数量，贝塞尔曲线可以分为以下几类：•二次贝塞尔曲线：由两个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的直线。

•三次贝塞尔曲线：由三个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的曲线。

•高阶贝塞尔曲线：由四个或更多个控制点确定。

在本文中，我们将重点讨论二次和三次贝塞尔曲线。

3. 贝塞尔曲线坐标算法3.1 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1和结束点P2确定。

要计算二次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t^2 * P2其中，t的取值范围为0到1。

当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P2。

3.2 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1、控制点P2和结束点P3确定。

要计算三次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3 * (1 - t)^2 * t * P1 + 3 * (1 - t) * t^2 * P2 + t^3 * P3同样地，t的取值范围为0到1。

当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P3。

4. 应用示例4.1 绘制二次贝塞尔曲线假设我们有一个起始点P0(100, 100)，一个控制点P1(200, 50)，和一个结束点P2(300, 100)。

我们想要绘制一条连接这三个点的二次贝塞尔曲线。

首先，我们需要确定曲线上的一系列点。

可以选择一个步长值，例如0.01，然后使用上述公式计算每个t值对应的坐标点。

在这个例子中，t的取值范围为0到1，所以我们可以从0开始，每次增加0.01，直到达到1。

Fabric.js 是一个可以用于创建交互式图形的HTML5 canvas库。

它提供了丰富的功能和API，使开发者可以轻松地在网页上实现各种图形效果。

其中，三次贝塞尔曲线是Fabric.js库中一个重要的功能之一。

三次贝塞尔曲线是一种常用的曲线绘制方法，它由起始点、终止点和两个控制点组成。

在Fabric.js中，可以使用Bezier对象来创建三次贝塞尔曲线。

在本文中，我们将介绍Fabric.js中三次贝塞尔曲线的基本概念、使用方法和一些常见的应用场景。

一、基本概念1. 三次贝塞尔曲线的定义三次贝塞尔曲线是由四个点确定的一条平滑曲线。

这四个点分别为起始点P0，两个控制点P1和P2，以及终止点P3。

通过调整控制点的位置，可以改变曲线的形状和轨迹。

2. 控制点的作用控制点P1和P2的作用是确定曲线的斜率和曲率，从而控制曲线的形状。

当控制点的位置发生变化时，曲线也会相应地改变。

3. 曲线的参数方程三次贝塞尔曲线可以由参数方程表示：B(t) = (1-t)^3*P0 + 3*t*(1-t)^2*P1 + 3*t^2*(1-t)*P2 + t^3*P3，其中t取值在[0,1]之间。

二、使用方法1. 创建三次贝塞尔曲线在Fabric.js中，可以使用Bezier对象的fromPoints方法来创建三次贝塞尔曲线。

代码示例如下：```javascriptvar points = [{x: 100, y: 100}, {x: 200, y: 200}, {x: 300, y: 300}, {x: 400, y: 400}];var bezier = new fabric.Bezier.fromPoints(points);canvas.add(bezier);```2. 更新控制点可以通过设置Bezier对象的control1和control2属性来更新控制点的位置，从而改变曲线的形状。

代码示例如下：```javascriptbezier.control1 = {x: 150, y: 150};bezier.control2 = {x: 350, y: 350};bezier.setCoords();canvas.renderAll();```3. 删除曲线可以通过调用Canvas对象的remove方法来删除三次贝塞尔曲线。

在计算三次Bezier曲线控制点时，我们需要首先了解什么是Bezier曲线和它的控制点。

Bezier曲线是一种常用的曲线插值方法，它由起始点、结束点和控制点组成。

三次Bezier曲线由四个点控制，分别是起始点P0，结束点P3，以及两个控制点P1和P2。

计算这些控制点的位置是为了确定曲线的形状和路径。

1. 理解Bezier曲线我们需要理解Bezier曲线的基本原理。

Bezier曲线是通过多个控制点插值计算出来的曲线，其中三次Bezier曲线的数学表达式为：\[B(t) = (1-t)^3*P0 + 3*(1-t)^2*t*P1 + 3*(1-t)*t^2*P2 + t^3*P3 \]在这个公式中，\(t\) 是曲线的参数，取值范围在0到1之间。

\(P0\) 到 \(P3\) 分别是起始点、结束点和两个控制点。

2. 计算控制点针对三次Bezier曲线，我们需要计算出控制点 \(P1\) 和 \(P2\) 的具体位置。

这个过程可以通过各种不同的方法来实现，其中一种常用的方法是通过参数化的方式来计算。

- 参数化计算参数化的计算方法是通过设定特定的参数值来计算控制点的位置。

一种常用的参数化计算方法是通过离散化的方式，将曲线按一定的步长进行分割，然后根据每个分割点的位置来计算出对应的控制点。

这种方法的优势在于可以灵活地控制曲线的形状和路径，同时也比较容易理解和实现。

但是在实际应用中，可能需要根据具体情况来选择不同的参数化方法，以获得更好的效果。

3. 个人观点和总结对于三次Bezier曲线控制点的计算，我个人认为在实际应用中需要根据具体情况来选择合适的计算方法。

在计算过程中需要考虑到曲线的平滑度、路径和形状，以达到更好的效果。

三次Bezier曲线控制点的计算是一个重要且复杂的问题，需要综合考虑数学、计算机图形学和实际应用等方面的知识。

通过深入研究和实践，我们可以更好地掌握这个技术，并将其运用到实际的项目中。

三次Bezier曲线是一种重要的数学工具，在计算机图形学、工程建模和动画制作等领域都有着广泛的应用。

mfc 三次贝塞尔曲线拼接圆MFC(Microsoft Foundation Classes)是Microsoft提供的一个用于快速开发Windows应用程序的框架。

在MFC中，图形处理常常是应用程序中的重要组成部分。

在本文中，我将探讨使用MFC实现三次贝塞尔曲线拼接圆的方法和技巧。

让我们来了解一下什么是三次贝塞尔曲线。

三次贝塞尔曲线是一种平滑的曲线，它由起始点、终止点和两个控制点组成。

通过调整控制点的位置，可以改变曲线的形状。

三次贝塞尔曲线的公式如下所示：B(t) = (1 - t)³P0 + 3(1 - t)²tP1 + 3(1 - t)t²P2 + t³P3在这个公式中，P0是起始点的坐标，P1和P2是控制点的坐标，P3是终止点的坐标，t是一个0到1之间的参数。

这个参数决定了曲线上的点的位置。

现在，让我们将三次贝塞尔曲线和圆形联系起来。

我们知道圆是一个由无限多个点组成的曲线，这些点的距离圆心的距离是相等的。

我们可以使用三次贝塞尔曲线来模拟圆形。

为了拼接圆，我们需要使用多个三次贝塞尔曲线来逼近圆的形状。

我们可以将圆分成若干个相等的弧段，并将每个弧段近似为一个三次贝塞尔曲线。

通过在相邻的曲线之间设置控制点使得曲线能够平滑地连接起来，从而拼接成一个完整的圆。

在MFC中，我们可以使用CPoint类来表示点的坐标。

对于每个三次贝塞尔曲线，我们需要四个CPoint对象来表示起始点、两个控制点和终止点。

通过调整这四个点的坐标，我们可以控制曲线的形状。

现在让我们来编写一个程序来实现这个功能。

我们需要创建一个MFC 应用程序，并添加一个绘图区域。

在绘图区域中，我们可以使用MFC 提供的函数来绘制曲线和圆。

接下来，我们需要计算每个弧段的起始点、终止点和控制点的坐标。

由于圆是对称的，我们可以使用旋转和平移的方法来计算这些点的坐标。

对于第一个弧段，起始点和终止点的坐标可以通过简单的旋转获得。

一、什么是三次贝塞尔曲线？三次贝塞尔曲线是一种用于绘制平滑曲线的数学方法，它由四个点来定义曲线的形状，分别是起始点、结束点和两个控制点。

在HTML代码中，可以使用SVG（可缩放矢量图形）或者Canvas来实现三次贝塞尔曲线的绘制。

下面将介绍如何在HTML中使用三次贝塞尔曲线的代码。

二、SVG中的三次贝塞尔曲线代码在SVG中，可以使用<path>标签来创建三次贝塞尔曲线。

该标签的"d"属性用来指定绘制路径的命令，其中包括绘制曲线的起始点、结束点和控制点。

以下是一个简单的SVG三次贝塞尔曲线代码示例：<svg height="150" width="500"><path fill="none" stroke="black" d="M100 50 C200 100 300 0 400 50" /></svg>在上面的代码中，"M100 50"表示起始点的坐标，"C200 100 300 0 400 50"表示控制点的坐标和结束点的坐标。

通过这些坐标信息，SVG就可以绘制出一条平滑的三次贝塞尔曲线。

三、Canvas中的三次贝塞尔曲线代码在Canvas中，可以使用贝塞尔曲线的方法来绘制三次贝塞尔曲线。

Canvas的方法包括bezierCurveTo()和quadraticCurveTo()，其中bezierCurveTo()用于绘制三次贝塞尔曲线。

以下是一个简单的Canvas三次贝塞尔曲线代码示例：var canvas = document.getElementById('myCanvas');var ctx = canvas.getContext('2d');ctx.beginPath();ctx.moveTo(75, 25);ctx.bezierCurveTo(25, 50, 175, 50, 175, 25);ctx.stroke();在上面的代码中，使用bezierCurveTo()方法来指定起始点、两个控制点和结束点的坐标，从而绘制出一条三次贝塞尔曲线。

三次Bezier曲线一、程序设计功能：1.设计绘图窗口，能实现数据的多次输入；2.具有多次绘图功能，能实现不同数据的绘图；3.具有清屏功能，在画完该次图形后，清除图像并重建坐标系，4.具有数据完整性检测功能，当数据输入不完整时，通过弹窗提示用户数据输入不完整。

二、程序设计思想：先在草稿纸上求出三次Bezier曲线的各坐标参数前的系数表达式：a1 = -px(0) + 3 * px(1) - 3 * px(2) + px(3)b1 = 3 * px(0) - 6 * px(1) + 3 * px(2)c1 = -3 * px(0) + 3 * px(1)d1 = px(0)a2 = -py(0) + 3 * py(1) - 3 * py(2) + py(3)b2 = 3 * py(0) - 6 * py(1) + 3 * py(2)c2 = -3 * py(0) + 3 * py(1)d2 = py(0)然后根据三次Bezier曲线的特点来定义为以u为变量的函数，然后根据取点速率的不同来绘制相应四个顶点的曲线。

三、程序代码：Private Sub Command1_Click()Picture1.DrawWidth = 2Picture1.FontSize = 12 '此处定义绘制坐标系时的字体大小，因为后面程序要用到字体设置，故此处字体设置要重新声明，不可用系统默认的字体，否则再次绘制图形时，坐标由于字体过大而很难看Picture1.Scale (-300, 300)-(300, -300) '定义PictureBox坐标系Picture1.Line (-300, 0)-(300, 0)Picture1.Line (0, 300)-(0, -300) 'VB编译系统中，其默认的是在Form（窗体）中画图，当需要在其他属性框中画图时，需要加上其对应的属性框名称Picture1.CurrentX = 270: Picture1.CurrentY = 40: Picture1.Print "X"Picture1.CurrentX = 15: Picture1.CurrentY = 285: Picture1.Print "Y"Picture1.FontSize = 9 '坐标上的数字字体小一些For i = -280 To 280 Step 40Picture1.Line (i, 0)-(i, 8)Picture1.CurrentX = i - 12: Picture1.CurrentY = -5: Picture1.Print iNext iFor j = -280 To -40 Step 40Picture1.Line (0, j)-(8, j)Picture1.CurrentX = -28: Picture1.CurrentY = j + 10: Picture1.Print jNext jFor j = 40 To 280 Step 40Picture1.Line (0, j)-(8, j)Picture1.CurrentX = -28: Picture1.CurrentY = j + 10: Picture1.Print jNext jDim px(4) As Double '定义控制点的x坐标的数组Dim py(4) As Double '定义控制点的y坐标的数组Dim a1, b1, c1, d1 As Double '定义x系数Dim a2, b2, c2, d2 As Double '定义y系数Dim x, y, u As Double '定义曲线中的自变量u和变量x，yIf (Not IsNumeric(Text1) Or Not IsNumeric(Text2) Or Not IsNumeric(Text3) Or Not IsNumeric(Text4) _Or Not IsNumeric(Text5) Or Not IsNumeric(Text6) Or Not IsNumeric(Text7) Or Not IsNumeric(Text8)) ThenMsgBox "对不起！系统检测到数据输入不完整，请您输入完整后绘图。

三次贝塞尔曲线计算机图形学延安大学计算机学院实验报告专用纸一．实验目的熟悉三次贝塞尔曲线的生成算法，并能在TC环境下生成图形，并能熟悉四次贝塞尔曲线的生成，比较两者的异同。

二．实验内容三．实验环境Window某P;TC2.0;四．实验步骤①算法思想P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三維空間中定義了三次方贝塞尔曲線。

曲線起始计算机图形学於P0走向P1，並從P2的方向來到P3。

一般不會經過P1或P2；這兩個點只是在那裡提供方向資訊。

P0和P1之間的間距，決定了曲線在轉而趨進P3之前，走向P2方向的。

曲线的参数形式为︰②具体代码#include"graphic.h"#include"math.h"main(){int某0=50,y0=300,某1=250,y1=150,某2=452,y2=150,某3=550,y3=300;int某,j,y,n=15;floati,dt,t;charmg[80];intgdriver=DETECT,gmode;regiterbgidriver(EGAVGA_driver);initgraph(&gdriver,&gmode,"c:\\TC");etbkcolor(2);etcolor(YELLOW);dt=1/(float)n;/某3_Bezier绘制曲线图某/for(i=0;i<=n;i++){t=i某dt;某=某0某(1-t)某(1-t)某(1-t)+某1某3某t某(1-t)某(1-t)+某2某3某t某t某(1-t)+某3某t某t某t;y=y0某(1-t)某(1-t)某(1-t)+y1某3某t某(1-t)某(1-t)+y2某3某t某t某(1-t)+y3某t某t某t;if(i==0)moveto(某,y);lineto(某,y);}line(某0,y0,某1,y1);line(某1,y1,某2,y2);line(某2,y2,某3,y3);printf(mg,"%%d%%d,%d%","P",0,"(",某0,y0,")");outte某t某y(某0,y0,mg);printf(mg,"%%d%%d,%d%","P",1,"(",某1,y1,")");outte某t某y(某1,y1,mg);printf(mg,"%%d%%d,%d%","P",2,"(",某2,y2,")");outte某t某y(某2,y2,mg);printf(mg,"%%d%%d,%d%","P",3,"(",某3,y3,")");outte某t某y(某3,y3,mg);getch();/某等待按一键结束某/计算机图形学cloegraph();/某关闭图形系统，回到文本模式某/}③实验结果。

三阶贝塞尔曲线公式
三阶贝塞尔曲线是一种常用的曲线拟合技术，它采用一组二次Bezier曲线来
综合插值拟合曲线，可以实现相对较为贴合的拟合效果，在游戏、图片处理和CAD
设计中，三阶贝塞尔曲线的应用得到了宽泛的广泛使用。

三阶贝塞尔曲线由一系列的节点（称为控制点）和所有控制点呈直线或曲线间
连接的曲线段组成。

拟合曲线段之间的控制点，称为延长点。

三阶贝塞尔曲线由四个控制点组成，前三个控制点用于定义拟合的起点和终点，第四个控制点则用于影响曲线的拟合程度。

具体来说，三阶贝塞尔曲线的方程为B(t)=P1*(1-t)^3+3*P2*t*(1-
t)^2+3*P3*t^2*(1-t)+P4*t^3，P1、P2、P3、P4表示四个控制点的坐标，t为参数，范围为0<t<1，当t=0时，B(t)=P1，当t=1时，B(t)=P4.
三阶贝塞尔曲线的优势非常明显，它可以实现高质量、细腻的曲线效果，而且
弯曲拟合度非常高。

它简化了复杂曲线绘制的过程，同时可以更容易满足一定可视化要求，是图形应用设计中不可或缺的形式。

因此，三阶贝塞尔曲线的应用在游戏、图片处理和CAD设计方面越来越广泛。

第17卷第4期纺织高校基础科学学报Vol .17,No .4　2004年12月BASIC SCIENCES JOURNAL OF TEXTILE UNIVERSITIESDec .,2004　 文章编号:1006-8341(2004)04-0331-03有理三次Bezier 曲线的参数化研究李亚利,秦新强,童小红(西安理工大学理学院,陕西西安710048)摘要:应用重心坐标推导出有理三次Bezier 曲线的表达式,通过给定的4个控制顶点和位于这些顶点凸包内三次有理曲线上的一点,反算出了该点的参数和内权因子.研究了在保持曲线形状不变的条件下,空间有理三次Bezier 曲线权因子变换和参数变换的等效性.关键词:有理三次Bezier 曲线;权因子;参数变换;形状控制中图分类号:O 29;T P 319 文献标识码:A NURBS 方法在CAD/CA M 与计算机图形领域获得越来越广泛的应用,它为标准解析形也为自由型曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式.有理Bezier 曲线是NURBS 曲线的特例,有理Bezier 曲线在计算机辅助设计与制造中的应用较为广泛,在统一,精确,简洁地描述二次曲线,曲面方面起着无可替代的重要作用,且有权因子可供设计人员选择[1～3].本文研究了已知空间4个控制顶点和位于这些顶点的凸包内在三次曲线上的一点,反求该点的参数和内权因子,讨论了权因子改变与参数变换之间的关系.1　空间有理三次Bezier 曲线设空间有理三次Bezier 曲线为r (t )=3i =0i B 3i(t )b i3i =0i B 3i (t ),0≤t ≤1,(1)其中　b i 为空间曲线不共面的控制顶点,B 3i (t )=C i3(1-t )3-i t i ,且 i >0(i =0,1,2,3), i 为控制顶点的权因子.曲线r (t )上的点与参数t ∈[0,1]是一一对应的关系[4].指定曲线r (t )上一点p ,要求曲线r (t )在参数t =t *∈(0,1)处插值点p ,即r (t *)=p .点p 关于控制顶点b 0,b 1,b 2,b 3的重心坐标为( 0, 1, 2, 3),3i =0i ≡1,即有p =3i =0i b i ,于是有p =r (t *)=3i =0i B 3i(t )b i3i =0i B 3i(t *)=3i =0i B 3i (t *) 3i =0i B 3i(t *)b i =3i =0i b i .(2)(2)式等价于 i B 3i (t *)= i W (t *),i =1,2,3,其中W (t *)=3i =0i B 3i (t *).因此,权因子作为插值数据可计算如下: i =[W (t *)/B 3i(t *)] i,i =0,1,2,3.即收稿日期:2004-04-08基金项目:陕西省教育厅专项科研计划资助项目(02JK 048).作者简介:李亚利(1978-),女,陕西省华阴市人,西安理工大学2002级硕士研究生.0=W (t *)(1-t *)3 0, 1=W (t *)3(1-t *)2t * 1, 2=W (t *)3(1-t *)t *2 2, 3=W (t *)(t *)3 3.(3) 由(3)式第一个式子和最后一个式的比值可得到点p 所对应的参数t *t *=1[1+3( 0 3)/( 3 0)].(4)(4)式表明曲线上点的参数t *,可由该点的重心坐标和控制顶点的权因子来表示.且参数t *只与重心坐标的首末分量,首末控制顶点的权因子有关,而与内权因子无关.由(3)式还可得到以下两个式子:( 0 2)/ 21=(3 0 2)/ 21=k 1,( 1 3)/ 22=(3 1 3)/ 22=k 2,(5)式中　k 1,k 2为一常数.称k 1,k 2为有理三次Bezier 曲线的形状不变因子.当 0= 3=1时,(1)式为一条空间标准有理三次Bezier 曲线.则(5)式可写成如下的形式:2/ 21=(3 0 2)/ 21=k 1, 1/ 22=(3 1 3)/ 22=k 2.(6)2　参数和权因子已知空间标准有理三次Bezier 曲线的4个控制顶点b 0,b 1,b 2,b 3,反求它的内权因子 1, 2及曲线上指定点p 的参数t *.对反求曲线上指定点p 的参数t *,可用(4)式计算得到,即t *=1[1+30/ 3].反求内权因子 1, 2,有两种方法:方法一:利用上面求出的参数t *和(3)式联合得1=[(1-t *)/(3t *)] ( 1/ 0); 2=[t */(3(1-t *))] ( 2/ 3). 方法二:利用有理三次Bezier 曲线的两个形状不变因子来计算 1, 2,由(6)式得.1=31/(k 21k 2), 2=31/(k 22k 1).3　权因子变换与参数变换的等效性对于非退化的有理三次Bez ier 曲线((1)式),如果保持同一曲线的有理三次B ez ier 表示形式不变,则参数变换只能是分式线性变换[5,6].在保持控制定点不变的条件下,设r(t)和r *(u)是同一条曲线,即r(t)=r *(u),且都具有有理三次B ez ier 曲线的表示形式,若r (t)如(1)式所示,而r *(u )=3i =0*iB 3i(u )bi3i =0*i B 3i (u ),0≤u ≤1.(7) r (t )=r *(u )等价于 i B 3i (t )W (t )= *i B 3i (u )W *(u ),i =0,1,2,3,其中W (t )=3i =0i B 3i (t ),W *(u )=3i =0*i B 3i (u ).于是权因子有变换关系*3 2/( 3 *2)= *2 1/( 2 *1)= *1 0/( 1 *0).(8)(8)式可以等价的表示为( *j / j )= j( *0/ 0),j =1,2,3,(9)其中 =3*3 0/( *0 3).上述讨论表明权因子的变换(9)可保持曲线(1)的有理三次Bezier 表示形式不变.设参数变换形式为t (u )=(au +b )/(cu +d ),u ∈[0,1].不妨令d =1,为使t (0)=0,t (1)=1,得b =0,a =c + 1.于是t (u )=((c +1)u )/(cu +1).由(4)式有t =[1+30 3/( 3 0)]-1,u =[1+30 *3/( 3 *0)]-1.代入t (u )得332 纺　织　高　校　基　础　科　学　学　报 第17卷c=3*3 0/( *0 3)-1=-1-1,a=3 *3 0/( *0 3)=-1,即t=u[u+(1-u)3*0 3/( *3 0)]-1.(10)(10)式表明参数变换可保持曲线(1)的有理三次Bezier表示形式不变.也就是说在保持曲线的有理三次Bezier表示形式不变的条件下,参数的射影变换必然导致了权因子的变换(9).从而说明了权因子的变换(9)与参数的射影变换(10)都可使曲线(1)保持形状不变,它们具有相同的效果.4　结束语对于空间有理三次Bezier曲线,在给定控制顶点的条件下,可以通过权因子变换和参数的射影变换来保持曲线形不变.本文中揭示了权因子变换((9)式)与参数射影变换((10)式)的等效性质.该方法便于曲线的局部修改,调整某段曲线的参数,并不影响其他曲线段的参数.同时,便于几何造型中对曲线的参数进行调整.参考文献:[1]　P IEGL L.O n N U RBS:a surv ey[J].IEEE Co mputer Gr aphics&A pplicatio n,1991,9(1):48-56.[2]　施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M].北京:高等教育出版社,2001.[3]　关履泰.罗笑南,黎罗罗,等.计算机辅助几何图形设计[M].北京;高等教育出版社,1999.[4]　韩西安,蒋大为,黄希利.空间有理三次Bezier曲线参数化[J].航空计算技术,1996,(2):34-40.[5]　施法中.权因子,参数变换与有理二次Bezier曲线参数化[J].航空学报,1994,15(9):1151-1154.[6]　施法中.反求标准型有理二次Bezier曲线的参数与内权因子[J].计算机辅助设计与图形学学报,1995,7(2):91-95.An investigation of parametrization of rational cubic Bezier curvesL I Ya-li,QI N X in-qiang,TON G X iao-hong(Schoo l o f Science,Xi an U niv ersity of T echno lo gy,Xi an710048,China)Abstract:T he ex pr ession o f the rational cubic Bezier curves w as derived by the Bary centric Coordinate method.And the par ameter of the po int and the inner w eight w as inv ersely solv ed w ith fo ur given vertices and a point on the cubic cur ve inside the convex hull of the vertices.The equivalent property betw een the variation w eights for ratio nal cubic Bezier cur ve and param etric transfo rmation of cur ve w ith the shape unchanged w as investigated.Key words:rational cubic Bezier curves;w eight;par am etric transformation;shape control333第4期 有理三次Bezier曲线的参数化研究。

怎样确定 Bezier 曲线的控制点（一）设在平面上已知有 1+n 个数据点 ),(i i i y x P ，n i ,,2,1,0 =。

要求在相邻的每两个点 i P 与 1+i P 之间，用一条3次Bezier 曲线连接。

3次Bezier 由4个点确定：i P 是它的起点，1+i P 是它的终点，在起点和终点之间，另外还有两个控制点，依次记为 i A 和 i B 。

现在的问题是：如何确定这两个控制点？（二）如果在各段3次Bezier 曲线的接头处，只要求曲线函数式的一阶导数连续，也就是说，只要求曲线的切线斜率连续，那么，控制点还是很容易确定的。

我们只要过每一个 i P 点，分别作曲线的切线，然后把位于 i P 前面的控制点 1-i B 和位于i P 后面的控制点 i A ，都取在过 i P 点所作的切线上就可以了。

如果我们把过 i P 点的切线方向，取为与线段 11+-i i P P 平行的方向，那么，控制点 iA 的坐标就可以表示为：i A （)(11-+-+i i i x x a x ，)(11-+-+i i i y y a y ） ；控制点 i B 的坐标就可以表示为：i B （)(21i i i x x b x --++，)(21i i i y y b y --++） 。

其中，a ,b 是两个可以任意给定的正数，比如说，我们可以取 41==b a ，这时，控制点的坐标可以用下列公式求出：i A （411-+-+i i i x x x ，411-+-+i i i y y y ） ；i B （421i i i x x x --++，421ii i y y y --++ ） 。

例 设 1-i P ,i P ,1+i P ,2+i P 这4点的坐标为)1,1(),(11=--i i y x ，)2,2(),(=i i y x ，)1,3(),(11=++i i y x ，)2,4(),(22=++i i y x ，按照上面给出的公式，可以求得控制点 i A 的坐标为（411-+-+i i i x x x ，411-+-+i i i y y y ）=（4132-+，4112-+ ）)2,5.2(= ，控制点 i B 的坐标为（421i i i x x x --++，421i i i y y y --++ ）=（4243--，4221-- ）)1,5.2(= 。