第二章 线性时不变系统
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
第二章 线性不变系统.
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2
r ' J 0 (r ' )dr'
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
第二章 线性系统分析
b0 y x sx a0
也就是说，理想的线性时不变系统 , 其输出 是输入的单调、线性比例函数。在这种关系上所 确定的测试系统的传输特性称为静态特性。
定度曲线：表示静态特性方程的图形称为测试系统 的定度曲线（特性曲线、校准曲线、标定曲线、定 标曲线）。 定度曲线是以输入x作为自变量，对应输出y作为因 变量，在直角坐标系中绘出的图形。
第二章 线性系统分析
测试系统与线性系统 线性系统分析基础 测试系统的传输特性 系统的噪声干扰与抑制
一、测试系统与线性系统
测试系统是指由传感器、信号调理电路、 信号处理电路、记录显示设备组成并具有获取 某种信息之功能的整体。
对象 传感器 变换装置
记录 显示 装置 处理 装置
测试系统基本要求 测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理量 (输入信号)的变化过程，不使信号发生畸变，即 实现不失真测试。
系统分析的三类问题： 1)当输入、输出是可测量的(已知)，则可推断系统的传输特性。 (系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，则可推断导致该输出的输 入量。(反求) 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出 量。(预测)
2、系统特性的描述： 系统特性的描述通常可用下列微分方程表达：
测量系统的静态特性有灵敏度、非线性度和回程误差。
1、灵敏度
若系统的输入x有一增量△x，引起输出y发生相 应变化△y时，则定义灵敏度S为: S=△y/△x
当系统的输出和输入具 有同一量纲时，则灵敏 度是一个无量纲的数。 常用“增益”或“放大 倍数”来替代灵敏度。
线性系统的灵敏度为常数，特性曲线是一条直线。 非线性系统的特性曲线是一条曲线，其灵敏度随 输入量的变化而变化。通常用一条参考直线代替 实际特性曲线（拟合直线），拟合直线的斜率作 b0 y 为测试系统的平均灵敏度。 s a0 x 灵敏度反映了测试系统对输入量变化反应的能力， 灵敏度愈高，测量范围往往愈小，稳定性愈差。 （合理选取） 当测试系统由多个相互独立的环节构成时，其总 灵敏度等于各环节灵敏度的乘积。 S=S1×S2×S3
也就是说，理想的线性时不变系统 , 其输出 是输入的单调、线性比例函数。在这种关系上所 确定的测试系统的传输特性称为静态特性。
定度曲线：表示静态特性方程的图形称为测试系统 的定度曲线（特性曲线、校准曲线、标定曲线、定 标曲线）。 定度曲线是以输入x作为自变量，对应输出y作为因 变量，在直角坐标系中绘出的图形。
第二章 线性系统分析
测试系统与线性系统 线性系统分析基础 测试系统的传输特性 系统的噪声干扰与抑制
一、测试系统与线性系统
测试系统是指由传感器、信号调理电路、 信号处理电路、记录显示设备组成并具有获取 某种信息之功能的整体。
对象 传感器 变换装置
记录 显示 装置 处理 装置
测试系统基本要求 测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理量 (输入信号)的变化过程，不使信号发生畸变，即 实现不失真测试。
系统分析的三类问题： 1)当输入、输出是可测量的(已知)，则可推断系统的传输特性。 (系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，则可推断导致该输出的输 入量。(反求) 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出 量。(预测)
2、系统特性的描述： 系统特性的描述通常可用下列微分方程表达：
测量系统的静态特性有灵敏度、非线性度和回程误差。
1、灵敏度
若系统的输入x有一增量△x，引起输出y发生相 应变化△y时，则定义灵敏度S为: S=△y/△x
当系统的输出和输入具 有同一量纲时，则灵敏 度是一个无量纲的数。 常用“增益”或“放大 倍数”来替代灵敏度。
线性系统的灵敏度为常数，特性曲线是一条直线。 非线性系统的特性曲线是一条曲线，其灵敏度随 输入量的变化而变化。通常用一条参考直线代替 实际特性曲线（拟合直线），拟合直线的斜率作 b0 y 为测试系统的平均灵敏度。 s a0 x 灵敏度反映了测试系统对输入量变化反应的能力， 灵敏度愈高，测量范围往往愈小，稳定性愈差。 （合理选取） 当测试系统由多个相互独立的环节构成时，其总 灵敏度等于各环节灵敏度的乘积。 S=S1×S2×S3
通信原理第二版课后答案
通信原理第二版课后答案通信原理是现代通信工程中的基础课程，对于学习者来说，深入理解课程内容并能够熟练掌握相关知识点至关重要。
因此，课后答案的准确性和全面性对于学生来说显得尤为重要。
下面将针对通信原理第二版课后答案进行详细解析，希望能够帮助学习者更好地掌握相关知识。
第一章信号与系统。
1. 什么是信号的能量和功率？能量信号和功率信号有什么区别？答，信号的能量和功率是描述信号特性的重要参数。
信号的能量可以通过对信号的幅度平方进行积分求得，而功率则是信号的能量在单位时间内的平均值。
能量信号是指信号的能量有限，而功率信号是指信号的功率有限。
在时域上，能量信号的幅度随时间趋于零，而功率信号的幅度在某一范围内变化。
2. 什么是线性时不变系统？线性时不变系统的特点是什么？答，线性时不变系统是指系统具有线性和时不变两个特性。
线性性质体现在系统的输入与输出之间满足叠加和缩放的关系，即输入信号的线性组合对应于输出信号的线性组合；时不变性质则表示系统的性质不随时间的变化而变化。
线性时不变系统具有稳定性、可预测性和易分析性等特点。
第二章传输系统。
1. 请简要介绍数字传输系统的基本原理。
答，数字传输系统是指利用数字信号进行信息传输的系统。
其基本原理是将模拟信号经过采样、量化和编码等过程转换为数字信号，然后通过传输介质进行传输，最后再经过解码、重构等步骤将数字信号恢复为模拟信号。
数字传输系统具有抗干扰能力强、传输质量稳定等优点。
2. 什么是调制？调制的作用是什么？答，调制是指将要传输的数字信号通过改变载波的某些参数来实现信号的传输过程。
调制的作用是将低频信号调制到高频载波上，以便在传输过程中能够更好地适应传输介质的特性。
调制技术有助于提高信号的传输距离和传输速率，同时也能够提高信号的抗干扰能力。
第三章数字通信系统。
1. 请简要介绍数字通信系统的工作原理。
答，数字通信系统是指利用数字信号进行信息传输的系统。
其工作原理是将要传输的信息经过采样、量化、编码等步骤转换为数字信号，然后通过调制技术将数字信号调制到载波上进行传输，最后再经过解调、解码等步骤将数字信号恢复为原始信息。
包装测试第二章 线性时不变系统
三. 卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 解析法和数值解法。 解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 一个不动， 移动。 一个不动，另一个反转后随参变量 t 移动。对每一 的值， 对应相乘， 个 t 的值，将 x(τ ) 和 h(t − τ ) 对应相乘，再计算相 乘后曲线所包围的面积。 乘后曲线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有 用的。 用的。
三. 卷积和的计算 计算方法： 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 运算过程： 将一个信号 x( k ) 不动，另一个信号经反转后成 移位。 为h(− k ) ,再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况 对应点相乘， 下，将 x( k ) 与 h(n − k ) 对应点相乘，再把乘积的 各点值累加，即得到 n 时刻的 y ( n) 。 例1： x(n) = α n u (n) 0 < α < 1 ：
α n − 4 − α n +1 = 1−α
④ 6 ≤ n ≤ 10 时， y (n) = ⑤ n > 10
k =n −6
∑
4
α n−k
α n−4 − α 7 = 1−α
时， y ( n ) = 0
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示， 通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。 很有用的。 例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 所有各点都要遍乘一次； ① x ( n) 与 h( n) 的所有各点都要遍乘一次； 在遍乘后，各点相加时， ② 在遍乘后，各点相加时，根据 的特点。 和为 n 的特点。 参与相加的各点都具有 x( k ) 与 h( n − k ) 的宗量之
张宇-信号与系统各章内容整理48学时【最新】
第一章 信号与系统主要内容重点难点1.信号的描述x[n]、x （t ），两者不同之处2.【了解】 信号的功率和能量3.【掌握】自变量变换（计算题目）、理解变换前后图片的缩放或信号的变化4.【了解】 常见信号：指数（j t j n e e w w 、）、正弦（cos cos t n w w 、）、单位冲激（()[]t n d d 、）、单位阶跃（()[]u t u n 、）5.【掌握】用阶跃函数表示矩形函数；冲激与阶跃信号的关系；冲激信号的提取作用；指数信号和正弦信号的周期性。
6.【了解】系统互联7.【掌握】系统的基本性质：记忆与无记忆性、可逆性、因果性、稳定性、时不变与线性。
对已知系统进行性质判断（掌握）1.3、5、71.00cos j n n e w w 、的周期性判断，是周期的条件，若是周期的，则周期：2.00cos j tt e w w 、的周期：自变量变换的量值确定0cos j n n e w w 、的周期性和频率逆转性。
系统的时不变性与线性等性质的证明2T ωπ=02N mωπ=第二章 线性时不变系统第三章 周期信号的傅里叶级数表示FS本章内容安排基本思路:主要内容难点 ✧ 系统的单位冲激响应容易求出：令 ()()x t t d =，对应的输出即为单位冲激响应() h t ；✧ 将任意信号分解为冲激信号()[]t n d d 、的线性组合[][][]; ()()()k x n x k n k x t x t d d t d t t ¥¥-=-=-=-åò✧ 利用L TI 系统的线性和时不变性，在单位冲激响应[]() h t h n 、已知的情况下，推导连续时间和离散时间系统对任意输入x 的响应：[][][]y n =x n * h n ; y(t)=x(t)* h(t)✧ 利用输入输出的卷积关系，根据单位冲激响应[]() h t h n 、，判断ITI 系统的性质1.【掌握】卷积和2.【掌握】卷积积分3.【掌握】用[]() h t h n 、判断L TI 的性质 4.【理解】 初始松弛 5. 【掌握】任意信号与冲激信号、阶跃函数的卷积性质（对比1章冲激信号抽取作用）卷积运算中，求和或者求积时，上下限的确定本章内容安排基本思路:主要内容难点第四章 连续时间傅里变换CFT✧ L TI 系统对复指数信号st ne z 、响应容易求得：()st H s e 、()n H z z 其中()()s H s h e d t t t +--=ò、()[]kk H z h k z+-=-=å✧ 将周期信号分解为0jk tew 的线性组合，即傅立叶级数表示式：()()()0021jk tjk tTk k k k jk t k Tx t a e a e a x t e dt T πωω+∞+∞=-∞=-∞-⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑⎰✧ 傅立叶级数收敛条件分析✧ 从频域分析系统对信号的作用（3.9、3.10）1.【掌握】连续时间周期信号的傅立叶级数公式，求常见信号的傅立叶级数 2.【掌握】收敛条件、傅立叶截断时的吉伯斯现象3..【理解】滤波和频谱的概念，能够判断信号是否能通过一确定的滤波器 5.【掌握】RC 回路实现的滤波器的滤波特性分析，滤波器设计时的折衷思想。
《信号与系统分析基础》第二章部分习题参考答案
第二章部分习题参考答案2-6 试求下列各函数1()f t 与2()f t 之卷积。
121212(-)01(1) ()() ()() (0) ()()()(-) ()(-)11(1) 0(2) ()t tt t tt t f t u t f t e u t f t f t f f t d u eu t d e e d e e e t f t ααταατααταατττττττααδ-+∞-∞+∞---∞--==>*===⋅=⋅=-≥=⎰⎰⎰，解：，2121212() ()cos(45)()()()cos[()45] cos(45)(3) ()(1)[()(1)] ()(1)(2) ()()t f t t f t f t t d t f t t u t u t f t u t u t f t f t ωδτωττω+∞-∞=+*=-+=+=+--=---*⎰，解：，解：ττ222221211211()(-1)(-1)-2(-2)(-2)(-1)(-1)-(-2)(-2)2211-(-2)(-2)(-3)(-3)-(-2)(-2)(-3)(-3)22()*()()1,()0123, (1-)(1)21(1)--(12ttf t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t f t f t f t t f t t t dt t ft t t t τττ=+++=<=<<+=+-=++⎰222-112222212111)-222123, (1-)(1)-221()2(1)-2(1-)(-1)211121---152223, ()*()0.t t t t t t d t f t t t t t t t t t t t f t f t ττττ-+=<<+=+=+++=+++=++>=⎰121221--(4) cos , (1)-(-1)()*()()(-) [(1)-(-1)][cos(-)] cos[(1)]-cos[(-1)]f t t f t t t f t f t f f t d t t t d t t ωδδτττδδωττωω+∞∞+∞∞==+==+⋅=+⎰⎰ -212-212--2-220(5) ()(), ()sin ()()()*()()sin(-)(-) sin(-)sin t t ttt tf t e u t f t t u t f t f t f t e u t u t d e t d ee d τττττττττ+∞∞==⋅==⋅⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰-12-(-)--0022-(-)-33-2-3(6) ()2[()-(-3)], ()4()-(-2)0, ()0.02,()2488-825, 88()8(-)5, ()0.t tt t t tt t t t t f t e u t u t f t u t u t t f t t f t e d e e e t ft ed ef t e e e t f t ττττττ-==<=<<==⋅=<<===>=⎰⎰2-8 求阶跃响应为32()(21)()t t s t e e u t --=-+的LTI （线性时不变）系统对输入()()t x t e u t =的响应。
傅立叶光学
用算符表示系统
Linear Systems
1．线性系统 3）线性系统的定义 g(x, y) = {f(x, y)}
定义: 如果 g1(x, y) = 输入
f(x, y)
{
}
输出
g(x, y)
{f1(x, y)}， g2(x, y) =
{f2(x, y)}
若对任意复常数a1， a2有： {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } =
2.2 线性不变系统
输入输出关系: 空域
Linear Shift-Invariant System
2．二维线性空不变系统 2-D Linear Space Invariant Systems
+∞
∵ f ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ δ ( x, y ) = ∫
∴ g (x, y) =
逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同 ( F ( f x , f y )df x df y） 方向不同（ cosα＝λfx cosβ＝ λ fy ）的平面波线性叠加的结果。 这种方法通常称为傅立叶分解
1.线性系统
2.1 线性系统 Linear Systems
4)线性系统的分析与综合：
g(x, y) =
=
叠加积分
{f(x, y)}
+∞
∫∫ ∫∫
f (ξ ,η )
{ δ ( x − ξ , y − η ) }d ξ d η
−∞ +∞
=
f (ξ ,η ) h ( x , y ; ξ ,η ) d ξ dη
−∞
只要知道各个脉冲响应函数(点扩散函数), 系统 的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如 何求对任意点的脉冲δ (x-ξ, y- η)的响应h(x, y;Linear Space Invariant Systems
Linear Systems
1．线性系统 3）线性系统的定义 g(x, y) = {f(x, y)}
定义: 如果 g1(x, y) = 输入
f(x, y)
{
}
输出
g(x, y)
{f1(x, y)}， g2(x, y) =
{f2(x, y)}
若对任意复常数a1， a2有： {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } =
2.2 线性不变系统
输入输出关系: 空域
Linear Shift-Invariant System
2．二维线性空不变系统 2-D Linear Space Invariant Systems
+∞
∵ f ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ δ ( x, y ) = ∫
∴ g (x, y) =
逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同 ( F ( f x , f y )df x df y） 方向不同（ cosα＝λfx cosβ＝ λ fy ）的平面波线性叠加的结果。 这种方法通常称为傅立叶分解
1.线性系统
2.1 线性系统 Linear Systems
4)线性系统的分析与综合：
g(x, y) =
=
叠加积分
{f(x, y)}
+∞
∫∫ ∫∫
f (ξ ,η )
{ δ ( x − ξ , y − η ) }d ξ d η
−∞ +∞
=
f (ξ ,η ) h ( x , y ; ξ ,η ) d ξ dη
−∞
只要知道各个脉冲响应函数(点扩散函数), 系统 的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如 何求对任意点的脉冲δ (x-ξ, y- η)的响应h(x, y;Linear Space Invariant Systems
信号与系统王明泉第二章习题解答
（1）零输入响应 满足方程
其 值
方程特征根 ， ，故零输入响应
将初始值代入上式及其导数，得
由上式解得 ， ，所以
（2）零状态响应 是初始状态为零，且 时，原微分方程的解，即 满足方程
即
及初始状态 。先求 和 ，由于上式等号右端含有 ，令
积分(从 到 )得
将 、 和 代入微分方程可求得 。对以上三式等号两端从 到 积分，并考虑到 ， ，可求得
解：（1）求齐次解
特征方程为：
特征根为：
所以，
（2）求特解
（3）全响应
将 代入系统方程得
（1）
将初始条件代入
得：
所以全响应为：
2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为
，
当激励为 时，系统的完全响应为 ， 。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
解：由全响应得初始条件 ，
（1）求零输入响应
在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。
因果系统的冲激响应为
（2）阶跃响应
一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 时，系统的零状态响应
阶跃响应 与冲激响应 之间的关系为
或
2.2.6卷积积分
（1）卷积积分的概念
一般情况下，如有两个信号 和 做运算
此运算定义为 和 的卷积(Convolution)，简记为
或
（2）卷积积分的图解法
用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号 和 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：
第一步，画出 和 波形，将波形图中的 轴改换成 轴，分别得到 和 的波形。
其 值
方程特征根 ， ，故零输入响应
将初始值代入上式及其导数，得
由上式解得 ， ，所以
（2）零状态响应 是初始状态为零，且 时，原微分方程的解，即 满足方程
即
及初始状态 。先求 和 ，由于上式等号右端含有 ，令
积分(从 到 )得
将 、 和 代入微分方程可求得 。对以上三式等号两端从 到 积分，并考虑到 ， ，可求得
解：（1）求齐次解
特征方程为：
特征根为：
所以，
（2）求特解
（3）全响应
将 代入系统方程得
（1）
将初始条件代入
得：
所以全响应为：
2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为
，
当激励为 时，系统的完全响应为 ， 。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
解：由全响应得初始条件 ，
（1）求零输入响应
在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。
因果系统的冲激响应为
（2）阶跃响应
一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 时，系统的零状态响应
阶跃响应 与冲激响应 之间的关系为
或
2.2.6卷积积分
（1）卷积积分的概念
一般情况下，如有两个信号 和 做运算
此运算定义为 和 的卷积(Convolution)，简记为
或
（2）卷积积分的图解法
用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号 和 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：
第一步，画出 和 波形，将波形图中的 轴改换成 轴，分别得到 和 的波形。
线性时不变系统--习题
dt
dt
dt
et t et t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质
f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
f t t f 0 t
从而得出错误结论。
(2) f t t e3 δτ d τ
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2 t
t
1 O
1 t3
t-31
即t 4
gt 0
卷积结果
f1t
1
1 O 1 t
f2 t
3
2
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
x(t t0 ) h(t) x(t) h(t t0 ) y(t t0 )
例1 粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2 t
d dt
et cos tut
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘 图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标 出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极 小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t
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利用多项式算法求卷积和的逆运算 已知 y[n] h[n] x[n] 已知 y[n] x[n] h[n]
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
本章主要内容：
• 信号的时域分解——用 (n表) 示离散时间信号；用 表示 (连t) 续时间信号。
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。
• LTI系统的微分方程及差分方程表示。 • LTI系统的框图结构表示。 • 奇异函数。
2
2.0 引言 ( Introduction )
线性时不系统
fi (t) yi (t), i 1,2,3, ,n
10
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
一. 用冲激信号表示连续时间信号
(t)
lim
0
(t
)
xˆ(t) x(k) (t k)
k
x(t)
x(t) lim xˆ(t)
0
x (t)
x(k)
x(t) x( ) (t )d
表明：任何连续时间信号 x(t都) 可以被t分解成移位
加权的单位冲0 激信号的k线 性(k 组1)合 。
15 5 5 24 13 22 10 y[0] y[2] y[4]
y[1] y[3] y[5]
y[n] 6,5,24,13,22,10
n 0,1,2,3,4,5
8
（4）多项式算法（适用于有限长度序列）
x[n] 2,1,5 n 0,1,2
x(t) 2 t 5t2
循 环
（三）
求乘积
x[k]h[n k]
（四） 对每一个n求和
x[n]h[n] x[k]h[n k]
k
7
（3）不带进位的普通乘法
例4 x[n] 2,1,5 n 0,1,2 求 y[n] x[n]h[n] h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
解： 3 1 4 2 h[n] 2 1 5 x[n]
3 t 4t2 2t3 6 5t 24t2 13t3 22t4 10t5 y(t)
h(t)
6 2t 8t2 4t3
3t 16t2 9t3 22t4 10t5
3t t2 4t3 2t4
15t2 5t3 20t4 10t5 15t2 5t3 20t4 10t5
0
x[n] 2,1,5,n 0,1,2
13
（2）图解法
1、 t 0 y(t) 0, t 0
14
2、0 t T
y(t)
t
ABd
ABt
0
3、t T t 2T 0
T t 2T
T
y(t) 0 ABd ABT
4、0 t 2T T
2T t 3T
T
y(t) ABd AB(3T t) t2T
15
5、t 2T T t 3T
x[n] nu[n]
h[n] u[n]
x[n]h[n] x[k]h[n k]
k
ku[k]u[n k]
k
k n k 0
k
k
,n
0
0 ,n 0
1 n1 u[n] 1
6
（2）图解法 图解法步骤
（一） h[n] h[k] （二） 平移
反折 h[k ]
h[n k] n
t
x(t )h()(d)
h()x(t )d
h(t) x(t)
17
y[n] x[n]h[n] x[k ]h[n k ]
k
y(t) 0, t 3T
16
2.3 线性时不变系统的性质
（ Properties of Linear Time-Invariant Systems） 一. 卷积积分与卷积和的性质 1. 交换律：
x(t) h(t) h(t) x(t)
x[n]h[n] h[n] x[n]
x(t) h(t) x( )h(t )d
x[k] [n k] x[k]h[n k] 可加性
k
x[n]
k
y[n]
y[n] x[k]h[n k] x[n]h[n] 卷积和
k
K时刻的脉冲在n时刻的响应
系统在n时刻的输出包含所有时刻输入脉冲的影响
5
卷积和的计算
（1）利用基本定义计算
例3 已知输入x[n]和单位脉冲响应h[n]为 试求 x[n]h[n] ?
h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
h(t) 3 t 4t2 2t3
y(t) x(t)h(t)
2 t 5t2 3 t 4t2 2t3
6 5t 24t2 13t3 22t4 10t5
y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5
n
f (t) ai fi (t ti )
n
y(t) ai yi (t ti )
i 1
i 1
例1 一个线性时不变系统
L
L
3
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
例2
x[k] [n k]
x[n] x[1][n 1] x[0][n] x[1][n 1]
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
本章主要内容：
• 信号的时域分解——用 (n表) 示离散时间信号；用 表示 (连t) 续时间信号。
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。
• LTI系统的微分方程及差分方程表示。 • LTI系统的框图结构表示。 • 奇异函数。
2
2.0 引言 ( Introduction )
线性时不系统
fi (t) yi (t), i 1,2,3, ,n
10
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
一. 用冲激信号表示连续时间信号
(t)
lim
0
(t
)
xˆ(t) x(k) (t k)
k
x(t)
x(t) lim xˆ(t)
0
x (t)
x(k)
x(t) x( ) (t )d
表明：任何连续时间信号 x(t都) 可以被t分解成移位
加权的单位冲0 激信号的k线 性(k 组1)合 。
15 5 5 24 13 22 10 y[0] y[2] y[4]
y[1] y[3] y[5]
y[n] 6,5,24,13,22,10
n 0,1,2,3,4,5
8
（4）多项式算法（适用于有限长度序列）
x[n] 2,1,5 n 0,1,2
x(t) 2 t 5t2
循 环
（三）
求乘积
x[k]h[n k]
（四） 对每一个n求和
x[n]h[n] x[k]h[n k]
k
7
（3）不带进位的普通乘法
例4 x[n] 2,1,5 n 0,1,2 求 y[n] x[n]h[n] h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
解： 3 1 4 2 h[n] 2 1 5 x[n]
3 t 4t2 2t3 6 5t 24t2 13t3 22t4 10t5 y(t)
h(t)
6 2t 8t2 4t3
3t 16t2 9t3 22t4 10t5
3t t2 4t3 2t4
15t2 5t3 20t4 10t5 15t2 5t3 20t4 10t5
0
x[n] 2,1,5,n 0,1,2
13
（2）图解法
1、 t 0 y(t) 0, t 0
14
2、0 t T
y(t)
t
ABd
ABt
0
3、t T t 2T 0
T t 2T
T
y(t) 0 ABd ABT
4、0 t 2T T
2T t 3T
T
y(t) ABd AB(3T t) t2T
15
5、t 2T T t 3T
x[n] nu[n]
h[n] u[n]
x[n]h[n] x[k]h[n k]
k
ku[k]u[n k]
k
k n k 0
k
k
,n
0
0 ,n 0
1 n1 u[n] 1
6
（2）图解法 图解法步骤
（一） h[n] h[k] （二） 平移
反折 h[k ]
h[n k] n
t
x(t )h()(d)
h()x(t )d
h(t) x(t)
17
y[n] x[n]h[n] x[k ]h[n k ]
k
y(t) 0, t 3T
16
2.3 线性时不变系统的性质
（ Properties of Linear Time-Invariant Systems） 一. 卷积积分与卷积和的性质 1. 交换律：
x(t) h(t) h(t) x(t)
x[n]h[n] h[n] x[n]
x(t) h(t) x( )h(t )d
x[k] [n k] x[k]h[n k] 可加性
k
x[n]
k
y[n]
y[n] x[k]h[n k] x[n]h[n] 卷积和
k
K时刻的脉冲在n时刻的响应
系统在n时刻的输出包含所有时刻输入脉冲的影响
5
卷积和的计算
（1）利用基本定义计算
例3 已知输入x[n]和单位脉冲响应h[n]为 试求 x[n]h[n] ?
h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
h(t) 3 t 4t2 2t3
y(t) x(t)h(t)
2 t 5t2 3 t 4t2 2t3
6 5t 24t2 13t3 22t4 10t5
y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5
n
f (t) ai fi (t ti )
n
y(t) ai yi (t ti )
i 1
i 1
例1 一个线性时不变系统
L
L
3
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
例2
x[k] [n k]
x[n] x[1][n 1] x[0][n] x[1][n 1]