最新课件-信号与线性系统分析第二章连续系统的时域分析例232解析法 推荐

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2.3.2 基本离散时间序列
6．矩形序列
1 0 k N 1 R N[k] 0 others
RN[k] 1
k
21 0 1 2
N1
N 1
RN [k] u[k] u[k N ] [k m]
m0
33
2.3.2 基本离散时间序列
7．斜坡序列
r[k] ku[k] n[k n] n0
(1) x1[k] = cos(k/6)
0 /2 1/12, 由于1/12是不可约的有理数，
故离散序列的周期N=12。
(2) x2[k] = cos(k/6)
0 /2 1/12, 由于 1/12不是有理数，
故离散序列是非周期的。
(3)对x3(t) = cos6t,以fs= 8 Hz抽样所得序列
6π
0
f (t)
f (1.5t)
f (0.5t)
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 = 22050Hz
0.4 7
2. 信号的翻转 x(t) x(t)
将 x(t) 以纵轴为中心作180翻转
x(t) 1
t
2
0
1
x(t) 1
1 0
t 2
8
3. 时移（平移） x(t) x(tt0) t0>0
常数，ω0= 2π/T。 (1) x(t) t[u(t) u(t T )]
(2) x(t) sin 0t [u(t) u(t T )]
解： (2) x(t) sin 0t [u(t) u(t T )]
x'(t) 0 cos0t [u(t) u(t T )] sin 0t [ (t) (t T )] 0 cos0t [u(t) u(t T )]

▲ ■ 第 15 页
全解
全解为 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t = (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而 也不能区分自由响应和强迫响应。
▲
■
第 18 页
0-和0+初始值举例
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=u(t)，求y(0+)和y’(0+)。 解：将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t) （ 1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而 y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于 y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 第 19 页 ■ 故 y(0+) = y(0-) = 2

2015/10/15
信号与系统
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2、卷积法
•卷积法：用卷积积分只能求到系统的零状态响应。零输入响 应仍要用经典法求得。 •卷积法：物理概念明确，运算过程方便，是系统分析的基本 方法。是近代计算分析系统的强有力工具。
•卷积法也是时域与变换域分析线性系统的一条纽带，通过它 把变换域分析赋清晰的物理概念。
即特征方程为 C0 n C1 n1 Cn 0
解得此方程的n个根： 1 , 2 ,, n 称为微分方程的特征根。
2015/10/15 信号与系统 16
（2）特征根的情况分析 （１）特征根各不相同（无重根）的情况下，微分方程的齐次解为
rh (t ) A1e
i 1
n
式中 Ai 为待定系数，是由响应区间内t=0+时刻的一组状态确定的。 •初始条件：（导出的起始状态）：由响应区间t=0+时刻组 成的一组状态： n 1
k
k
( )
i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2 t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
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信号与系统
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例2-3
求如下所示的微分方程的齐次解。
d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r ( t ) 12r ( t ) e( t ) 3 dt dt dt
例子2-4
给定微分方程式 d2 d de (t ) r (t ) 2 r (t ) 3r (t ) e (t ) 2 dt dt dt 2 t (1) e ( t ) t ; (2) e ( t ) e ; 如果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。 解:(1)将

2.3.4 关于 0-与0+ 值
由 于 激 励 信号 的 作用 ， 响 应 r(t) 及 其 各阶 导 数 可能 在 t 0 处 发 生 跳 变， 即 r(0 ) r(0 ) ，其跳变量以 [r(0 ) r(0)] 表示。这样对于已知系统，一旦系统微分 方程确定，判断其在 t 0 处是否发生跳变完全取决于微分方程右端自由项中是否 包含冲激函数 (t) 及其导数。如果包含 (t) 及其导数，则在 t 0 处发生跳变，否则 没有发生跳变。而关于这些跳变量的数值，可以根据微分方程两边 (t) 函数平衡的 原理来计算。
r
''(0
)

r
''(0
)

r '' zs
(0
)
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.4.2 零输入响应的求解
设系统的数学模型以 n 阶微分方程表示，即
d nr(t)
d n1r(t)
dr(t)
an dtn an1 dtn1 a1 dt a0r(t)
d me(t)
d m1e(t)
an n

a n1 n1

a1 a0 0
对应式(2.3-5)特征方程的根 1 、 2 、…、 n 称为微分方程的特征根。
当特征根无重根（各不相同）、都是单根时，微分方程的齐次解为
rh (t) A1e1t A2e2t
n
Anent Aieit i 1
f (t) 2
1
/ 2 0 / 2
f1 (t )
1 t
0 图 2.1-1 信号的相加
f2 (t)
1

t

jϕ jβ t ∧ ∧ • jβ t • jϕ 式中 F = Fe ，并进一

所有的特征根均不等于0 有r重等于0的特征根 a不等于特征根； a等于特征单根； a等于r重特征根 所有的特征根均不等于 ± jβ
eα t
Peα t Pteα t + P0eα t 1 Prt reα t + Pr −1t r −1eα t +⋅⋅⋅+ Pteα t + P0eα t 1 P cos(β t) + Qsin(β t) 或Acos(β t −θ )，其中Ae jθ = P + jQ
例如，若方程式（2.1-1 ）的n个特征根λi均为实单根，则其齐次解 yh ( t ) = ∑ Ci eλit
i =1 n
( 2.1-5)
式中常数Ci 将在求得全解后，由初始条件确定。
表2-1 不同特征根所对应的齐次解 特征根λ 单实根 r重实根 一对共轭复根 Ceλt Cr -1t r −1eλt + Cr -2t r − 2 eλt + ⋅⋅⋅ + C1teλt + C0 eλt eα t C cos ( β t ) + D sin ( β t ) 或A cos ( β t − θ ) , 其中 Ae jθ = C + jD [Ar −1t r −1 cos ( β t + θ r −1 ) + Ar − 2t r − 2 cos ( β t + θ r − 2 ) + ⋅⋅⋅ + A0 cos ( β t + θ 0 )]eα t 齐次解yh ( t )
由上式解得P = Q = 1, 得方程的特解 于是方程的全解，即系统的全响应

对不是冲激函数项，不必考虑匹配
例： 2
d 2r(t) dt 2

3
dr (t ) dt

4r (t )

d dt
e(t )
r(0 ) 1, r ' (0 ) 1, e(t) u(t), 求r(0 ), r ' (0 )
解： e(t) u(t)
从最高 项开始
2r''(t) 3r'(t) 4r(t) (t)
ic (0 )

4

C
dvo (0 ) dt
Vo' (0 )

4
2.t>0时,电路方程为:
1
2
v0 (t)

1 l
t
v0 (

)d

c
dv0 (t) dt

10
v0 (t) 2
d
2v0 (t) dt 2

dv0 (t) dt

v0
(t)

0
2 1 0
1
1 2
§2.4起始点的跳变
一.系统的状态
*起始状态(0-状态):系统在激励信号加入之前的瞬间状态
r(k) (0 ) [r(0 ),r(0 ),r(0 ),...,r(n1) (0 )]
*初始状态(0+状态):系统在激励信号加入之后t=0+时刻的状态
r(k) (0 ) [r(0 ),r(0 ),r(0 ),...,r(n1) (0 )]
数微分方程。
微分方程建立的两类约束
来自连接方式的约束:kvl和kil,与元件的性质无关.
来自元件伏安关系的约束:与元件的连接方式无关.

17
2.3 奇异信号
在信号与系统分析中，经常要遇到函数本身有不连续 点或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇 异函数或奇异信号。
1. 单位斜变信号
斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的 信号。其表达式为
R(t)
t 0
t0 t0
(2.2 1)
R(t)
R(t
t0
)
t 0
t0
t t0 t t0
0 cos
e jt cos t j sin t -1 12
2.2 常用连续时间信号
3. Sa(t)函数（抽样函数）
所谓抽样函数是指sin t与 t 之比构成的函数，以符号
Sa(t)表示 Sa(t) sin t t
波形如图：
(2.2 5)
13
2.2 常用连续时间信号
Sat 的性质：
（1） Sat Sa(t) 偶信号
6
2.2 常用连续时间信号
1. 实指数信号 2. 正弦信号 3. 抽样函数 4. 复指数信号 重点：典型确定性信号的描述 难点：复指数信号，抽样信号
7
2.2 常用连续时间信号
下面，我们将给出一些典型信号的表达式和波形。
1. 指数信号 指数信号的表达式为
f (t) Aet
(2.2 1)
f (t) Aet ( 0)
34
2.4 信号的运算
1. 信号的加减 2. 信号的乘法和数乘 3. 信号的反褶、时移、尺度变换 4. 信号的微分与积分运算 5. 信号的卷积
重点：信号的尺度变换，信号的卷积积分 难点：信号时移、反褶、尺度变换同时都有的情况
35
2.4 信号的运算
1. 信号的加减
两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意 时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即

2）无源电路外加电源
①外加电压源
②外加电流源
例1：如下电路的自然频率

2 1 p 1 p


f1
1

0
p2 3 p 2 f1 2 2p 5p 4
1 p2 3 p 2 H ( p) 2 p2 5 p 2 2
5 7 p1 , 2 j 4 4
例2：
已知： 图示电路，
1）i1(0-) =2A，i1’(0+)=1A/s； 2） i1(0-) =1A，i2(0-)=2A；
求 i1(t) 、i2(t)
解:
i1(t)
i2(t)
例3: 图示电路，t<0，K闭合，电路稳定； t=0，K断开; 求电流iL(t) 。
t=0 8V
+ -
4
iL(t)

二、统微分方程的求解
根据微分方程理论，方程（2-1）的解，由两部分组成：一部分 是方程（2-1）对应的齐次微分方程的解y0(t); 另一部分是方程 （2-1）的一个特解yd(t)，即
y(t ) y0 (t ) yd (t )
1、微分方程的齐次解
方程（2-1）对应的齐次微分方程为
d y (t ) d y (t ) dy (t ) an 1 a1 a0 y (t ) 0 n n 1 dt dt dt
t
代入元件参数，并利用消取法得到 d3 d2 d 2 3 i1 (t ) 3 2 i1 (t ) 4 i1 (t ) 2i1 (t ) dt dt dt
d2 d 2 2 f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) dt dt
一般地，对于一个n阶系统，设其响应为y(t)，激励为f(t)，描 述该系统的微分方程为

卷积重要性质： 1) 信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti

n
yh (t)
cit iejt
i 1
(2―12)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
(3)特征根有一对单复根。即λ1, 2=a±jb，则微分 方程的齐次解
yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt
(2―13)
(4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的 复根，则微分方程的齐次解
yh (t) c1 cos dt c2teat cos dt cmt e m1 at cos dt d1eat sin bt d2teat sin bt dmt e m1 at sin dt (2―14)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
例2―3 求微分方程y″(t)+3y′(t)+2 y(t)=f(t)的齐次解。
(2―10)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同 (即无重根)，则微分方程的齐次解
n
yh (t) cieit
i 1
(2―11)
(2) 特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即
有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都 是单根，则微分方程的齐次解
n
n
n
y(t) cieit y p (t) cxieit c fieit y p (t) (2―20)
i 1
i 1
i 1
式中
n
n
n
cieit
cxieit
c fieit
i 1
i 1
i 1
(2―21)

others
x[0], 0, , 0 , x[1], 0, , 0 , x[2], 0, , 个零值
x[k] 3 2
xI2[k]
3
2
1
1
k 012
k 01234
在原序列每两点之间插入L-1个零点
9
3. 尺度变换
➢ 原信号x
M=2; [x,Fs,bits] = wavread('myheart'); x1=x(1:M:end); % Fs=44,100 Hz
➢ 2倍抽取后信号x1
➢ 4倍抽取后信号x1
10
3. 尺度变换
➢ 原信号x
M=8; [x,Fs,bits] = wavread(‘我的祖国’); x1=x(1:M:end); % Fs=22,050 Hz
➢ 4倍抽取后信号x1
➢ 8倍抽取后信号x1
11
4. 序列相加
指将若干离散序列序号相同的数值相加
和，不同的只是它们的强度（系数）不同。 实际应用：
当求解信号通过系统产生的响应时，只需求解 冲激信号通过该系统产生的响应，然后利用线性时 不变系统的特性，进行迭加和延时即可求得信号x(t) 产生的响应。
23
2.5.5 离散信号分解为单位脉冲序列的线性组合
x[k ]
k -1 0 1 2 3
x[k] + x[-1][k +1] + x[0][k] + x[1][k -1] + + x[n][k - n] +
5
2. 位移 x[k] x[kn] n>0
x[k-n]表示将x[k]右移n个单位。
x[k+n]表示将x[k]左移n个单位。

2.6 卷积的数值计算 卷积积分除通过直接积分或查表的方法进行求解外，还可以
利用计算机求解，这就是卷积积分的数值计算。
.
单位冲激函数的工程定义:
(t) 0
t 0 t 0
和
(t)dt1
单位冲激函数的工程定义直观地反映了它出现时间极短和面
积为1两个特点。从它t=0时函数值趋于无穷大，可以看出，
不是通常意义下的函数。人们将这类非常规函数称为广义函
数（generalized function），或称分配函数（distribution
function）。这类函数的数学定义不是象普通函数那样，由对
应于自变量的变化值所取的函数值来定义，而是由它对另一
个函数（常称为测试函数）的作用效果来定义的，也就是说，
不是用它“是”什么来定义，而. 是用它能“做”什么来定义 的。
单位冲激函数的严格的数学定义。
(t)(t)d t (0)
（2.1-4）
y(t) x()h(t)d
t1
（2.3-14）
更一般的确定卷积积分的积分限的方法将在下一节中进一步
进行分析讨论。 .
2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定 上一节讨论了一般形式的卷积积分，以及x(t)和h(t)均为有始
函数时积分上下限的表示方法，但实际上卷积积分限还要根 据具体情况来确定，特别是当x(t)和h(t)两者或两者之一是分段 定义的函数时，图解能帮助正确地确定卷积积分的上下限。
2.4.2 卷积的另一种计算方法 如果x(t)和h(t)两者或两者之一是分段连续的函数时，采用式 （2.3-14）进行卷积计算也是一种较为简便的方法。 2.5 卷积积分的性质 作为一种数学运算方法，卷积积分具有某些特殊的性质。利 用这些性质可使卷积运算大为简化。

第二章连续时间信号与系统的时域分析
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。

得：
LC 2
d
2r( t dt 2
)

L R
dr( t dt
)

r(
t
)

e(
t
)
二阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
信号与系统
三、 用算子符号表示微分方程
1、定义：算子作用于某一时间函数时，此时间函数将进行 算子所表示的特定运算。
•微分算子（Differential operator）：
p d ; dt
p dt
3. 1 Px p
t
[
dx dt
]t
d
x( t ) x( )
若x( ) 0, 则 1 Px＝x p
4.Px Py , 其中P不能消去 dx ＝ dy 两边积分得 x y C
dt dt
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信号与系统
引入算子后，可以简化系统模型的表示，如：
列方程的基本方法： 节点分析法和网孔电流法。
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例1：已知电路，求输出电容电压。 一阶系统：
电源：
us (t)
电容电压： uc (t)
VCR
Ri 电阻电压：
RC duc (t) dt
KVL
RC
duc (t) dt

uc
(t)

us
(t)
一阶常系数线性微分方程
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(
p2

5
p

3 2
)i2
(t)

0.5
pf
(t)
d2 dt 2
i2
(t
)

p 1 y(t) 1 py(t)
p
p
(2.12)
p 1 y(t) d t y( )d y(t)
p
dt
1 py(t) t [ d y( )] d y(t) y() y(t)
p
d
(对应先微分后积分)的算子运算不 能相消, 而对“先除后乘”(对应先积分后微分)的算子运算 可以相消。
u(t)与i(t)之间的关系。 解 画出图2.3(a)所示电路对应的算子模型如图
2.3(b)
图 2.3 例2.3的图
由节点电压法列出u(t)
( p 1 1 )u(t) i(t) 2 2 22p
(p2+2p+2)u(t)=2(p+1)i(t)
d 2u (t ) d2t
2
du(t) dt
2 y(t )
图 2.2 例2.2的电路图
解 设两回路中的电流分别为i1(t)和i2(t), 由基尔霍
LCR2e(t)
L di1(t) 1 dt C
t
i2 ( )d R2i2 (t) e(t)
LR1e(t)
1 1 d2u(t)
L
du(t) 1
de(t)
L( ) R1 R2
d2t
(
1)
R1R2C
dt
y(t)=yzi (t)+yzs(t) 式中, yzi (t)为零输入响应, yzs (t)为零状态响应。
(2.24)
2.2.2
1. 系统的零输入响应是指没有外加激励信号的作用, 仅由 系统初始状态所产生的响应。 为求系统的零输入响应就要
7
d
2 y(t d2t
)
16 dy(t) dt
12 y(t )