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第六章概率初步3 等可能事件的概率（第1课时）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学已经体验过事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性，对简单事件发生的可能性能够做出预测，并阐述自己的理由。
学生已接触了不确定事件，前面两节课通过活动感受了事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，为进一步了解计算一类事件发生可能性的方法、体会概率的意义奠定了知识技能基础。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经体验事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析概率与我们现实生活的联系非常密切，通过本章的学习不仅能让学生体会到数学与现实生活联系的紧密性，而且也能培养学生的各种能力，特别是通过对数据的收集、整理、分析，锻炼学生的综合实践能力，对培养学生“自主、合作、探究”这种新的学习方式将起到重要的作用。
本节课中体会概率的意义不仅是本章的重点，也是学好本章的关键。
一方面可以使学生体会到概率和确定数学一样也是科学的方法，能够有效地解决现实世界中的众多问题；另一方面，也使学生认识到概率的思维方式与确定性思维的差异。
学生只有具备了这种随机观念才能明智地应付变化和不确定性，这也是构成在义务教育阶段学习概率的重要原因。
本节教学目标如下：1．知识与技能：通过摸球游戏，帮助学生了解计算一类事件发生可能性的方法，体会概率的意义，根据已知的概率设计游戏方案2．过程与方法：通过本节课的学习，帮助学生更容易地感受到数学与现实生活的联系，体验到数学在解决实际问题中的作用，培养学生实事求是的态度及合作交流的能力3．情感与态度：通过环环相扣的、层层深入的问题设置以及分组游戏的设置，鼓励学生积极参与，培养学生自主、合作、探究的能力，培养学生学习数学的兴趣教学重点：1．概率的意义及其计算方法的理解与应用。
概率统计的解题技巧【例题解析】考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ;等可能事件概率的计算步骤：① 计算一次试验的基本事件总数n;② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ;③ 依公式()m P A n 求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B );特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1.(3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：①求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n kn nmP AnP A B P A P BP A B P A P BP k C p p-⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件:互斥事件：独立事件：n次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．[解答过程]0.3提示:1335C33.54C102P===⨯例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．[解答过程]1.20提示:51.10020P==例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________．[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个，而总数是20个，所以有51. 204=例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=故填0.94.+++例5．右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是( ) （A ）454（B ）361 （C ）154（D ）158[解答提示]由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有2226423315C C C A =种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有2226423315C C C A =种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有55120A =种，所求的概率是120822515P ==，所以选D.例6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：A “取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．[解答过程]（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+212012()()(1)C (1)1.P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-． 解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220⨯=件，故28002100C 316()C 495P B ==． 00316179()()1()1.495495P B P B P B ==-=-=例7．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有88A 种，左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有442442A A A 种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 44244288135A A A P A ==种.所以,填135.例8．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43，求n.[标准解答]（I ）记“取到的4个球全是红球”为事件A .22222245111().61060C C P A C C =⋅=⋅= （II ）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件1B ，“取到的4个球全是白球”为事件. 2B 由题意，得31()1.44P B =-=2111122222122224242()n n n n C C C C C C P B C CC C ++⋅⋅=⋅+⋅22;3(2)(1)n n n =++22222242()n n C C P B C C +=⋅(1);6(2)(1)n n n n -=++ 所以,12()()()P B P B P B =+22(1)3(2)(1)6(2)(1)n n n n n n n -=+++++14=， 化简，得271160,n n --=解得2n =，或37n =-（舍去），故 2n =.例9.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．[解答过程]（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”,23()(10.6)0.064P A =-=， ()1()10.0640.936P A P A =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=． 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+ 0.648=．例10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B,C ，则P (A )=a ，P (B )＝b ，P (C )=c.(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率p 1=P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )=a ×b ×(1-c)+(1-a)×b ×c+a ×(1-b)×c+a ×b ×c =ab+bc+ca-2abc.应聘者用方案二考试通过的概率p 2=31P (A ·B )+31P (B ·C )+ 31P (A ·C )= 31×(a ×b+b ×c+c ×a)= 31(ab+bc+ca)(Ⅱ) p 1--- p 2= ab+bc+ca-2abc-31 (ab+bc+ca)=23( ab+bc+ca-3abc)≥23]3abc -=0-≥. ∴p 1≥p 2例11．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为54、53、52、51，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. [解答过程]（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(1234)i A i =，，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，41()5P A =， ∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率412341234432496()()()()()5555625P P A A A A P A P A P A P P ===⨯⨯⨯=．（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率 3112123()P P A A A A A A =++112123()()()()()()P A P A P A P A P A P A =++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，ix ，……，ξ取每一个值ix （=i 1，2，……）的概率P （ix =ξ）=iP ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）0≥iP ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且kn k k nkq p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C kn k k n=- . （2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：例12．厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-= （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C CP C ξ===，()2322032190C P Cξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=．记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=．所以商家拒收这批产品的概率为2795． 例13．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)iA i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =， ∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===， 1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=，12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=． ξ∴的分布列为1812571235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)iA i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =． ∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=． （Ⅱ）同解法一．考点3 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ξ…；期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+nn p E x 2)(ξ…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+. (4)若ξ～B(n ，p)，则 np E =ξ ; D ξ =npq （这里q=1-p ） ;如果随机变量ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ，则p E 1=ξ，D ξ =2p q 其中q=1-p.例14．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ，891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ；工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD 由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定. 小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 例15.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．[考查目的] 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元． (200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=． η的分布列为=（元）．Eη=⨯+⨯+⨯2402000.42500.43000.2小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.例16.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是A.70，25B.70，50C.70，1.04D.65，25解答过程：易得x没有改变，x=70，而s2=1［（x12+x22+…+502+1002+…+x482）－48x2］=75，48s′2=1［（x12+x22+…+802+702+…+x482）－48x2］48=1［（75×48+48x2－12500+11300）－48x2］48=75－1200=75－25=50.48答案：B考点4 抽样方法与总体分布的估计抽样方法1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.典型例题例17.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .解答过程：A种型号的总体是210，则样本容量n=1016802⨯=.例18．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第7组中抽取的号码是 ． 解答过程：第K 组的号码为(1)10k - ，(1)101k -+，…，(1)109k -+，当m=6时，第k 组抽取的号的个位数字为m+k 的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63．例19．考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm ）如下： 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 160 168 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 ⑴作出频率分布表；⑵画出频率分布直方图. 思路启迪：确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.解答过程：⑴最低身高为151，最高身高180，其差为180-151=29。
概率计算的常见方法总结概率计算是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的可能性和规律。
在实际应用中，概率计算广泛用于统计学、金融、工程等领域。
本文将总结一些常见的概率计算方法，以帮助读者更好地理解和应用概率计算的技巧。
一、基础概率计算方法1. 古典概率计算古典概率计算是最基础的概率计算方法，涉及到等可能事件的计算。
当每个事件发生的可能性相等时，事件A发生的概率P(A)等于事件A包含的有利结果数目除以总结果数目。
其计算公式为：P(A) = 有利结果数目 / 总结果数目。
2. 排列与组合排列与组合是一种常见的概率计算方法，用于确定事件发生的顺序或选择方式。
排列是指从一组元素中按照一定顺序选取若干元素的方式，而组合是指从一组元素中按照任意顺序选取若干元素的方式。
排列计算公式为：P(A) = n! / (n-k)!；组合计算公式为：C(A) = n! / (k!(n-k)!），其中n为元素总数，k为选择个数。
二、条件概率计算方法1. 直接计算法直接计算法是条件概率计算中最简单的方法，直接利用条件概率的定义计算。
条件概率计算公式为：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
2. 全概率公式全概率公式用于计算复杂情况下的条件概率。
当事件B可以分解为多个相互独立的事件时，可以利用全概率公式计算条件概率。
全概率公式的表达式为：P(A) = Σ P(A|Bi) * P(Bi)，其中Bi为所有可能的事件。
三、独立事件的概率计算方法1. 乘法定理乘法定理用于计算多个独立事件同时发生的概率。
当事件A和事件B独立时，两事件同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
乘法定理的计算公式为：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。
2. 加法定理加法定理用于计算两个事件中至少一个发生的概率。
当事件A和事件B互斥时（即两事件不可能同时发生），两事件中至少一个发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
古典概型计算问题一、主要知识点1.等可能事件的概率公式：P （A ）＝mn ；2.互斥事件至少有一个发生的概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；3.相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；4.n 次独立重复试验事件A 恰有k 次发生的概率公式)(k P n =;)1(kn k k n p p C --⋅ 5.如果事件A 、B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件；6.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （AB ）＝1－P(A)P(B)；7.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （A ∙B ）＝1－P(A )P(B )； 二、典型例题例1.为做好食品安全工作，上级质检部门决定对甲、乙两地的出口食品加工企业进行一次抽检.已知甲地有蔬菜加工企业2家，水产品加工企业3家；乙地有蔬菜加工企业3家，水产品加工企业4家，现从甲、乙两地各任意抽取2家企业进行检查.①求抽出的4家企业中恰有一家为蔬菜加工企业的概率；②求抽出的水产品加工企业的家数不少于蔬菜加工企业家数的概率.解：①1102021123342334222257571215C C C C C C C C P C C C C ⋅⋅=+= ②11022222233424331225787210C C C C C C C C P C C ++== ，11020311233423342225772210C C C C C C C C P C C +==， 22343225718210C C P C C == ，1235970P P P P =++= 例2.某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。
已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。
现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12。
北师大版七年级下册数学第六章第三节《等可能事件的概率》（第2课时）教学设计六枝特区岩脚镇中学高登一学生起点分析：学生的知识技能基础：学生在前面的学习中已经了解了用事件发生的频率估计该事件发生的概率，初步理解了概率的含义以及一些常见概率的求法，具备了求简单事件的概率的基本技能；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些小组合作试验活动，解决了一些简单的概率问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事合作试验所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二学习任务分析：教科书基于学生对频率、概率认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：理解游戏的公平性，并能根据不同题目的要求设计出符合条件的摸球游戏。
但这仅仅是这堂课外显的具体的教学目标，或者说是一个近期目标。
数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课《摸到红球的概率》内容从属于“统计与概率”这一数学学习领域，因而务必服务于概率教学的远期目标：“让学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及作出推断的全过程，发展学生的随机意识”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此，本节课的教学目标为：1、知识与技能：通过小组合作、交流、试验，理解游戏的公平性，并能根据不同问题的要求设计出符合条件的摸球游戏；2、过程与方法：再次经历数据的收集、整理和简单分析、作出决策的合作交流过程.发展学生的随机意识；让学生在小组活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；3、情感与态度：在试验过程中体会数据的客观真实性，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生以科学数据为依据分析问题、解决问题的良好习惯.教学重点：1、概率的意义及古典概型的概率的计算方法的理解与应用。
2、初步理解游戏的公平性,会设计简单的公平的游戏.3、根据题目要求设计游戏方案。
教学难点：1、初步理解游戏的公平性,会设计简单的公平的游戏。
2、灵活应用概率的计算方法解决各种类型的实际问题。
教学方法：为了充分体现“以学生为主体”的教学宗旨，结合本节课内容主要采取了“自主、合作、探究”的探究式和启发式教学法。
三教学过程设计：本节课设计了七个教学环节：创设冲突，导入新课；小组合作交流，学习新知；在自我挑战过程中获得和巩固新知；更上层楼，突破难点；智力大比拼，巩固练习所学知识；课堂小节；布置作业。
四教学流程：第一环节创设冲突，导入新课活动内容：六人为一小组讨论：在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外完全相同）的盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜，这个游戏对双方公平吗？活动目的：前苏联教育家赞可夫就曾主张在教学中“利用‘冲突’来激发学生的学习积极性，即人为的为掌握知识设置各种矛盾”，在互相冲突中“促进学生学习质量的不断上升”。
对于这个游戏的公平性的问题是本节课的教学重点之一和教学难点之一。
有学生会坚持认为摸到红球和白球的概率相同，认为游戏是公平的。
从而产生学生认识问题上的矛盾冲突，激发学生的学习积极性，从而顺利的导入新课，带领学生迅速的进入到本节课的学习过程。
教学的实际效果：大部分同学都认为游戏是不公平的，小凡获胜的可能性大。
教师启发：所谓游戏的公平性，不是一次实验的具体结果，而是在实验之前预测谁获得胜利的可能性大。
下面我们就通过小组合作，看一看在多次实验下究竟是小明获得胜利的机会多，还是小凡获胜的机会多。
把课堂顺利的带入下一个环节。
第二环节小组合作交流，学习新知活动内容：1 、各小组进行摸球实验，记录每次实验的结果。
2、统计各小组的实验结果，填充在课件中链接的电子表格中。
随着实验结果的累计，摸到红球的频率会稳定在0.4附近，摸到白球的频率会稳定在0.6附近。
3、得出结论。
小凡获胜的可能性更大。
从而确定这个游戏是不公平的。
4、学生口述解题书写思路，课件展示解题的完整过程。
5、小组讨论总结：在一个双人游戏中，游戏公平与不公平最终怎样判定。
6、利用刚刚得到的结论，按题目要求设计游戏。
活动目的：1、利用小组合作探究的方式统一验证猜想。
2、规范学生的解题步骤，培养学生良好的答题习惯，突出本节课的重点知识。
3、归纳总结，突破难点。
4、培养学生的逆向思维能力，更好的掌握本节课的内容。
知识的掌握、技能的形成、能力的培养，以及良好学风的养成，必须通过一定量的练习才能实现。
应使学生“初步学会应用所学知识方法解决简单的实际问题”。
所以，练习是学生学习过程中的重要环节。
通过设计游戏的练习，能让学生轻松巩固已学知识，激发学生内心深处的学习兴趣，同时也为教师及时检查学生的学习效果提供方便条件。
教学的实际效果：学生对于小组合作探究，电子表格统计结果表现出极大的兴趣，积极投入到实验中。
通过实验和统计结果逐渐理解了在一个双人游戏中，怎样判定游戏的公平性。
逐渐理解了概率在判定游戏公平性中所起到的作用。
在教师的解题过程展示中掌握本节课的重点知识，同时通过亲身按要求设计游戏完成了本节课难点的突破。
第三环节在自我的挑战过程中获得和巩固新知活动内容：1、学生根据自己掌握知识的程度自主选择智慧版和超人版习题并解决自己选择的试题。
智慧版1：用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到白球的概率为二分之一，摸到红球的概率也是二分之一。
智慧版2：选取4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率为二分之一，摸到白球和黄球的概率都是四分之一。
超人版1：选取10个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率为二分之一，摸到白球的概率也是二分之一。
超人版2：选取10个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率为五分之一，摸到白球和黄球的概率都是五分之二。
2、更上层楼。
（1）思考能否用7个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏。
使得摸到红球的概率是二分之一，摸到白球的概率也是二分之一。
（2）思考能否用7个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏。
使得摸到红球的概率是二分之一，摸到黄球和白球的概率都是四分之一。
活动目的：逆向思维能力是思维能力的一个重要组成部分。
加强从正向思维转向逆向思维的培养，能有效地提高学生思维能力和创新意识。
因此，在数学教学中，必须结合教学实际，有意识地加强逆向思维的训练，引导和培养学生的逆向思维意识和习惯，帮助学生克服单向思维定势，引导学生从正向思维过渡到正、逆双向思维，从而帮助学生提高分析问题、解决问题的能力。
本节课教材很重视培养学生的逆向思维能力，也试图通过逆向思维巩固和加深学生对本节课内容的理解与掌握。
这一内容是本节课的第二个重点知识与难点知识。
本节课在这个环节上采用积极、表扬的方式对习题进行归类分组，增强学生争取进步的内驱力，让学生在积极而愉快的心理体验中完成学习任务，在竞争的氛围里积极思考、勇于挑战，并且在解决问题后获得成功的体验。
这些积极的表扬式的语言是学生学习的强大的精神刺激物，可以极大地激励学生的进取精神，为学生积极行为的不断涌现创设条件。
另外，在一些反应教快，自信心很强的学生挑战成功之后，那些基础教弱、缺乏自信心的学生会受到启发，发现解决问题的方法，他们可以继续挑战教师布置的同类的其他习题，这样有利于好带弱，实现全体学生的共同进步。
辅助完成本节课的重点知识和难点知识的教学。
教学的实际效果：全班同学都对选择性的答题方式表现出极大的兴趣，顺利的完成了教师设计的四个题目。
平时几个学习成绩不太好的学生在前几个学生做答后，掌握了答题方法，也积极踊跃的举手发言，实现了教学面向全体学生的目的。
第四环节智力大比拼，突破难点活动内容：（1）一道单项选择题有A、B、C、D四个备选答案，当你不会做的时候，从中随机地选一个答案，你答对的概率是。
（2）一副扑克牌，任意抽取其中的一张，①P(抽到大王）= 。
②P(抽到3）= 。
③P(抽到方块）= 。
（3）请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到3的机会小。
（4）任意掷一枚均匀的骰子。
①P(掷出的点数小于4）= 。
②P(掷出的点数是奇数）= 。
③P(掷出的点数是7）= 。
④P(掷出的点数小于7）= 。
（5）规定：在一副去掉大、小王的扑克牌中，牌面从小到大的顺序为：2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A，且牌面的大小与花色无关。
①小明和小颖做摸牌游戏，他们先后从这副去掉大、小王的扑克牌中任意抽取一张牌（不放回），谁摸到的牌面大，谁就获胜。
现小明已经摸到的牌面为4，然后小颖摸牌，P(小明获胜）= 。
P(小颖获胜）= 。
②若小明已经摸到的牌面为2，然后小颖摸牌，P(小明获胜）= 。
P(小颖获胜）= 。
③现小明已经摸到的牌面为A，然后小颖摸牌，P(小颖获胜）= 。
P(小明获胜）= 。
（6）请举出一些事件，它们发生的概率都是四分之三。
（7）小明和小刚都想去看周末的足球赛，但却只有一张球票，小明提议用如下的办法决定到底谁去看比赛：小明找来一个转盘，转盘被等分为8份，随意的转动转盘，若转到颜色为红色，则小刚去看足球赛；转到其它颜色，小明去。
你认为这个游戏公平吗？如果你是小明，你能设计一个公平的游戏吗？活动目的：每个学生都有不同方面的学习优势,也有不尽相同的兴趣指向。
因此，本节课教师设计了这种多梯度的练习，让不同水平的学生根据自己的能力、兴趣、需要自主的选择习题。
学生应用所学新知解决典型概率问题，解决与生活实际联系紧密的问题。
同时可以通过分组竞赛的方式培养学生学习数学的积极性。
达到提高学生的学习效率，增强学生的自信心，使学生在学习中获得满足感，最终实现让学生“乐学、爱学、主动学习”的目的。
习题的设置并不是简单的重复学生所学内容,而是从更广泛、与现实联系更紧密的角度巩固本节课的重点知识和难点知识。
让优等生吃饱，让中等生吃好，让学习有困难的学生在学习过程中逐渐形成学习兴趣、树立学习自信心。
真正实现课堂教学的分层次教学，让每一名学生都得到不同程度的发展。
教学的实际效果：有些学生对扑克牌不是很熟悉，教师根据实际情况对这一内容进行了提问铺垫、实物演示，减少了他们解决相关问题的障碍，获得了较好的教学效果。
第五环节课堂小结活动内容：师生互相交流总结本节课的收获与感想。
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）包括：常见概率的计算方法；双人游戏中怎样确定游戏的公平性；根据题目要求设计游戏方案的方法；学习本节课的感想等。
教学的实际效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获：常见概率的计算方法；游戏公平性的原则；根据题目要求设计游戏方案的方法；第六环节布置作业每名学生设计一个游戏，课下互相探讨游戏规则是否公平，若不公平，请修改游戏规则。
