第二章-z变换与离散时间傅里叶变换

z变换与傅里叶变换关系
Z变换和傅里叶变换都是信号处理中常用的数学工具，它们之间
有一定的关系。

具体来说，Z变换可以看作是傅里叶变换在离散时间下的扩展。

我们知道，傅里叶变换是将一个连续时间信号转换到连续频域的过程，而Z变换则是将一个离散时间信号转换到离散频域的过程。

因此，在
一定条件下，可以将一个离散时间信号通过Z变换得到它的频域表达式，然后将其转换为连续频域表达式，即得到该信号的傅里叶变换表
达式。

具体地，假设一个离散时间信号为x[n]，其Z变换为X(z)，则
有以下关系：
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}
而其傅里叶变换为X(\omega)，则有以下关系：
X(\omega)=X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-
j\omega n}
其中，e^{-j\omega n}是傅里叶变换中的复指数函数，与z^{-n}的形
式类似。

需要注意的是，Z变换和傅里叶变换的应用场景是不同的。

Z变
换主要用于处理离散时间信号，而傅里叶变换主要用于处理连续时间
信号，不能混淆使用。

《数字信号处理》课程教学大纲（Digital Signal Processing）编写单位：计算机与通信工程学院计算机科学与系（教研室）编写时间：2021 年 7 月《数字信号处理》课程教学大纲一、基本信息课程名称：数字信号处理英文名称：Digital Signal Processing课程类别：专业教育课程课程性质：选修课课程编码：08100J0257学分：2总学时：32学时。

其中，讲授学时20学时，实验学时12，上机学时0适用专业：计算机科学与技术、计算机科学与技术专业卓越工程师先修课程与知识储备：人工智能基础、信号与系统、MATLAB建模与仿真技术二、课程简介：该课程系统介绍了数字信号z域分析技术z变换，数字信号连续w域分析技术DTFT，数字信号离散w域分析技术DFT，以及数字IIR滤波和FIR滤波器的设计方法及实现结构。

通过本课程学习，学生能够掌握数字信号处理的基本原理和技术，为学习后续专业课程和从事数字信号处理算法研究及其工程实现技术打好基础。

三、教学目标1、课程思政教学目标：通过数字信号处理技术在国家民众生产生活中的影响，培养学生的爱国意识和对新技术的研究探索精神。

2、课程教学总目标：使学生掌握数字信号处理的基本分析方法和分析工具，为从事通信、信息或信号处理等方面的研究工作打下基础。

3、课程目标与学生能力和素质培养的关系：课程思政目标将科学研究精神与爱国主义有机融合，有利于培养德才兼备的通信专业人才；课程教学目标使学生掌握数字信号处理的分析和研究方法，培养学生独立分析问题与解决问题的能力，提高科学素质。

四、课程内容及学时分配本课程内容、建议学时以及知识单元如表1所示。

表1 课程内容及学时分配五、教学方法及要求1、教学方法要求要求任课教师具有通信工程专业背景；严格按照教学大纲执行教学计划，教材选择贴合教学大纲，体现教学目标；采用线上+线下混合式教学，课堂教学结合图形动画视频等多媒体资源，调动学生多种学习感官；课后利用微信、QQ、网络教学平台等多种线上资源，扩大学生的学习空间和形式；并通过一定的上机操作提高学生的动手实践能力，进一步加深理论知识；在讲授过程中，淡化公式推导，注重物理意义，去繁求简，抓住主线，由点到线，由线到面。

z变换和离散傅里叶变换的关系在信号处理的领域中，z变换和离散傅里叶变换(DFT)是两个非常重要的概念。

这两个概念在数字信号处理中都有着广泛的应用。

虽然它们的定义和使用不同，但是它们之间存在着密切的关系。

我们来了解一下z变换和离散傅里叶变换的定义。

z变换是一种数学变换，它将离散信号在z平面上进行变换，得到一个复变量函数。

z变换的定义式为：X(z) = Σ[n=-∞,∞] x[n]z^-n其中，x[n]是离散时间信号，X(z)是z变换后的结果。

而离散傅里叶变换是一种信号分析方法，它将离散时间信号在频域上进行分析，得到离散频谱。

离散傅里叶变换的定义式为：X[k] = Σ[n=0,N-1] x[n]e^(-j2πnk/N)其中，x[n]是离散时间信号，X[k]是离散频谱的第k个频率分量。

虽然z变换和离散傅里叶变换的定义看起来很不一样，但是它们之间存在着一种紧密的联系。

实际上，离散傅里叶变换可以看作是z 变换在单位圆上的取样结果。

具体来说，我们可以通过z变换和离散傅里叶变换之间的关系来解释这个问题。

首先，我们可以将z变换的复变量z表示为单位圆上的点：z = e^(jω)其中，ω表示单位圆上的角度。

将z代入z变换的定义式中，我们得到：X(e^(jω)) = Σ[n=-∞,∞] x[n]e^(-jωn)这个式子看起来很像离散傅里叶变换，但是它是关于复变量e^(jω)的函数。

如果我们在单位圆上取N个等间距的点，例如：e^(j2πk/N)其中，k=0,1,2,...,N-1。

将这些点代入上面的式子，我们得到：X(e^(j2πk/N)) = Σ[n=0,N-1] x[n]e^(-j2πkn/N)这个式子就是离散傅里叶变换的定义式！因此，我们可以将离散傅里叶变换看作是z变换在单位圆上取样的结果。

离散傅里叶变换的N个频率分量对应着z变换在单位圆上的N个采样点。

需要注意的是，离散傅里叶变换和z变换之间的关系只在单位圆上成立。

z变换和离散傅里叶变换的关系
摘要：
Z变换和离散傅里叶变换是两种很相似的变换，它们都是针对信号的变换，其中Z变换可以将信号从时域中转换至频域，而离散傅里叶变换则将信号从时域转换至频域，而且这两种变换都可以将信号进行滤波和分解。

本文主要阐述了Z变换和离散傅里叶变换之间的异同，并讨论它们之间的关系。

关键词：Z变换；离散傅里叶变换；关系
Z变换与离散傅里叶变换之间的关系
离散傅立叶变换（DFT）和Z变换是两种常用的信号处理技术。

它们拥有一些共同的类似特性，都可以用于从时域转换到频域，都可以用于进行滤波和分解。

但也有一些显著的差异，Z变换大多只能用于线性时不变的（LTI）系统；而DFT则可以用于线性时不变的和非
线性时不变的系统，比如微分方程、非线性系统等，从而可以满足更复杂的需求。

首先，两者都是基于线性时不变的系统的，只是实现的方式有所不同。

DFT的输入为一组数据，输出为一个复数，而Z变换则以一种矩阵形式表示，它将输入数据转换为一种特定的形式，即Z矩阵，从而将采样序列变换为一种特定的频谱。

其次，在应用上，Z变换和DFT也有所不同：Z变换可用于确定LTI系统的响应，而DFT则可以用于对信号进行分析，比如频率分析和信号压缩等，同时它也可以用于建模非线性系统。

总之，Z变换和DFT都可以用于信号的处理，它们之间的关系是相互补充的，DFT更适用于线性时不变的和非线性系统，而Z变换则更适用于线性时不变的系统，而两者一起应用可以加快系统的处理速度，提高系统对复杂信号的处理能力。