变换作图

一、平移作图的步骤（1）找出能表示图形的关键点；（2）确定平移的方向和距离；（3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；（4）按原图的顺序，连结各对应点。

二、平移定义：将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

平移是图形变换的一种基本形式。

平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。

1、定义：将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

平移是图形变换的一种基本形式。

平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。

2、性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；注：平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）。

三、平移基本性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。

（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等（3）多次连续平移相当于一次平移。

（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。

（5）平移是由方向和距离决定的。

这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。

四、平移的三个要点1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。

2 平移的方向。

（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）3 平移的距离。

（长度，如7厘米，8毫米等）五、平移作用：1.通过简单的平移可以构造精美的图形。

也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制平移粘贴。

2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。

1．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1，0）．（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．2．如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系．（1）画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是；（2）画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2C2，并求出点C旋转到点C2经过的路径的长度．3．在边长为1的方格纸中建立直角坐标系xoy，O、A、B三点均为格点．（1）直接写出线段OB的长；（2）将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．请你画出△OA′B′，并求在旋转过程中，点B所经过的路径的长度．4．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．5．如图，已知点A，B的坐标分别为（0，0），（4，0），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）画出△AB′C′；（2）写出点C′的坐标；（3）求BB′的长．6．如图，△ABC中A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2）．（1）将△ABC各点的横坐标增加4个单位长度，纵坐标保持不变，得△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将△ABC各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以-1，得△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）将△A2B2C2各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，得△A3B3C3，画出△A3B3C3；（4）在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，△与△成轴对称，对称轴是；△与△成中心对称，对称中心的坐标是．7．如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（-1，-1），B（-4，-3），C（-4，-1）．（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．8．如图，点O、B坐标分别为（0，0）、（3，0），将△OAB绕O点按逆时针方向旋转90°到OA′B′．（1）画出△OA′B′；（2）点A′的坐标为；（3）求BB′的长．9．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC；①将△ABC向x轴正方向平移5个单位得△A1B1C1，②再以O为旋转中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母．10．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）．①把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；②以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．11．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′；（2）求△A′B′C′的面积．。

高一数学函数的图像与作图北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：函数的图像与作图二、学习目标1、了解函数图像是描述函数关系的重要形式；2、掌握描点作图、平移变换作图、伸缩变换作图及对称变换作图等常用的作图方法；3、会结合函数的图像研究函数的性质；4、会借助函数的图像、利用数形结合的方法解决一些简单的问题三、知识要点（一）函数的图像函数的图像是函数的一种直观表示形式，它从“形”的方面刻画了函数变量之间的对应关系；通过观察函数的图像，可以形象而直观地了解到函数的有关性质和变化规律；借助函数的图像，既有助于记忆函数的有关性质和变化规律，又有助于研究函数的性质，以及利用数形结合的方法去解决某些问题；高考中有关函数的图像主要考查基本初等函数及简单的三次函数的图像。

（二）函数的作图1、描点作图：对一般函数的作图常采用描点作图，一般步骤是：①确定函数的定义域；②列表；③描点；④连线成图。

2、特征值作图：对基本初等函数的作图常采用特征值描点作图，常常采用的特征值有：最值，零点，对称轴等。

3、对称变换作图：对对称函数的作图，可以先作出部分图像，然后利用对称性作出对称部分的图像。

基本处理思路是将函数图像的对称性转化为点的对称性来处理。

设函数y=f（x），则有：①关于点（a，b）对称的函数为：2b－y=f（2a－x）即y=2b－f（2a－x）；特别地，关于原点对称的函数为y=－f（－x）；②关于直线x=a对称的函数为：y=f（2a－x）；特别地，关于y轴对称的函数为y=f（－x）；③关于直线y=b对称的函数为：2b－y=f（x）即y=2b－f（x）；特别地，关于x轴对称的函数为y=－f（x）；4、平移变换作图：对由基本初等函数平移得到的函数的作图，可以先作出基本初等函数的图像，然后再经水平或竖直方向上的平移得到所求函数的图像。

平移的规律：向坐标轴的正向平移m（>0）时，将对应的坐标减去m；向坐标轴的负向平移n（>0）时，将对应的坐标加上n。

2013年尺规作图问题归纳总结一、基本尺规作图类型：1.作一条线段等于已知线段：（截取）以及线段的和差2.作一个角等于已知角（依据全等）以及角的和差等3.作已知角的平分线（依据全等）4.作线段的垂直平分线（原理：可用菱形的性质或等腰三角形来解释）5.过一点作已知直线的垂线（类同线段的垂直平分线）二、利用基本作图作三角形：1.已知三边作三角形2.已知两边及其夹角作三角形3.已知两角及其夹边作三角形4.已知底边及底边上的高作等腰三角形5.已知一直角边和斜边作直角三角形三、与圆有关的尺规作图1.过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）找外心2.作三角形的内切圆（找内心）3.给定一段圆弧确定圆心和半径（垂径定理）4.把一个圆三等分作图（作圆的内接正三角形或正六边形）5.圆中作圆的正多边形四、图形变换作图1.平移利用其性质作图2.旋转3.轴对称（包括找最短距离和、周长和最小等问题）4.中心对称5.位似作图五、其他作图及应用：1. 三角形内角平分线作图应用内切圆作图外角平分线与内角平分线的作图（三条路建加油站的问题）2. 三角形三边垂直平分线作图应用3. 平行四边形中的作图（利用中心对称）4．面积分割作图：正方形、圆5. 网格中的作图6. 几何体展开图作图7. 三视图画图8. 辅助线画图例题讲解：例题：（2012绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人地作法分别如下：OAD对于甲、乙两人的作法，可判断（）A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确选A.小结：等边三角形的判定方法：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②三条边都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是69°的等腰三角形是等边三角形.2.(2012河北)如图3，点C在∠A O B的O B边上，用尺规作出了C N∥O A，作图痕迹中，FG是A．以点C为圆心，O D为半径的弧B．以点C为圆心，D M为半径的弧C．以点E为圆心，O D为半径的弧D．以点E为圆心，D M为半径的弧图3由图形和条件可以知道：∠A O B＝∠N CB，根据用尺规作一个角等于已知角的方法，即可知道FG是以点E为圆心，D M为半径的弧．选D．解答这类问题的一般步骤，往往是先根据问题条件，再确定隐含在图形中的边角之间的关系，从而解决问题．3. （2012，广东）在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数.思路：首先按照尺规作图的要求作出角平分线，因为已知∠ABC的度数，由等腰三角形的性质可求出∠BAC=36°，再根据角平分线的性质求出∠BDC的度数，最后由三角形的外角定理求出答案．解：(1)作图如下：(2)解：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=72°，∴∠BAC=36°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°.∴∠BDC=∠ABD+∠BAC=36°+36°=72°.2. （2012贵州铜仁）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）思路：到广场的两个入口A、B的距离相等点在线段AB的垂直平分线上，到广场管理处C的距离等于A和B之间距离一半的点在以C为圆心以12AB为半径的圆上，所以只要作出垂直平分线与圆，找到它们在矩形广场内部的交点即可．解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．19(2)题图3.（2012杭州）如图是数轴的一部分，其单位长度为a.已知△ABC中，AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a.（1）用直尺和圆规作出△ABC(要求：使点A、C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法)；（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明SS圆＞π.思路：（1）先作出AC边，再分别以点A、B为圆心，以3a、4a为半径作弧，交点为点B；（2）根据勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，其外接圆圆心为斜边中点，再分别计算圆的面积、三角形的面积作比即可.解：（1）如图所示，△ABC就是所要作的三角形.（2）如图作△ABC的外接圆，∵(3a)2＋(4a)2＝(5a)2，∴AB2＋BC2＝AC2，则△ABC为直角三角形，而∠ABC＝90°，CBAa19(2)题图A CBM∴AC为外接圆的直径.∴S△ABC＝AB·BC2＝6a2,S圆＝π(AC2)2＝254πa2.∴S圆S△ABC＝254πa26a2＝254π＞π.4. （2012绍兴）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．思路：（1）由题意可知AM是∠CAB的平分线，所以∠MAB=∠MCA，又AB∥CD可知∠MAB=∠AMC，即△ACM是等腰三角形，又∠ACD=114°，依据等腰三角形性质和三角形内角和定理可以求出∠MAB的度数；（2）因为CN⊥AM，利用“SAS”或“HL”等判定方法可以证明△ACN≌△MCN.（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CA B=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CA B=66°．由作法可知，AM是∠CA B的平分线，∴∠MAB=12∠CA B=33°．（2）证明：由作法可知，AM是∠CA B的平分线，∴∠MAB=∠CA M．∵AB∥CD，∴∠MAB=∠C MA，∴∠CA M=∠C MA，又∵CN⊥A D，CN=CN，∴△ ACN≌△MCN．5. （2012汕头）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°．⑴用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；⑵在⑴中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．思路：（1）用尺规作出角平分线，重在规范作图；（2）通过等腰三角形的性质，可以得到∠ACB＝∠ABC＝72°，再根据角平分线的性质，得到∠DBC＝36°，再根据三角形的内角和公式，进而得到∠BDC．解：⑴ 画图如下：DCBA⑵ ∵AB ＝AC ，∠ABC ＝72°∴∠ACB ＝∠ABC ＝72° ∵BD 平分∠ABC ∴∠DBC ＝36° ∴∠BDC ＝72°6.（2012广西玉林防城港市）已知等腰△ABC 的顶角∠A=36°（如图）.错误!未指定书签。