土木工程制图第五章,投影变换-换面法

H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：
分析：根据直角一边平行于投影面的投影特性 作垂线很简单，因此利用一次换面将BC变换为 投影面平行线。
但是在新投影面体系中作出的垂线仍是一般位 置直线，不能反映其实长，而点A到垂足D这段 垂线AD的实长就是点A到直线BC的真实距离， 所以还要进行第二次换面，继续将垂线AD变换 为投影面平行线而显示实长。
a V
a
ax

A

a1 V1
V XH
ax
O
X
a H X1

ax1
a

O1
ax1 a1
H V X1 1
●
二、直线、平面变换的六种情况 土木工程制图
1、一般位置直线变成投影面平行线 • 可求直线的实长和直线对投影面倾角。
V
a' b' a'
a1' α α
A B X1
a
V1
b1' b' a1'
V a'
c' d' b'
c1'
c' a1'd1' α b1' a'
C D
V1
b'
A B X
ax c d a
X X1
ax1
V H
a b
X1
a1' c α b1'
c1'
O1
b
H
H
V1 O1
土木工程制图 5、投影面垂直面变成投影面平行面
b1
作辅助投影轴平行于投影面垂 直面的积聚投影。
O1 H 1 V
a' b'
X1 X 2
d2 c2b2 b1'
d1'
c1'
4.将H、V1投影面体系看作原投影面体系， 作O2X2∥a1′d1′,继续按投影变换的基 本作图，由a、a1′和d、d1′作出a2、 d2，连接a2d2，a2d2就反映了垂线的实长， 也就是点A到直线BC的真实距离。
a2
H 2 V1 O2
a1'
【例5-2】如图5.13a所示，已知由四个梯形平面所 土木工程制图 构成的料斗的两面投影，求料斗相邻两平面之间的 夹角θ的真实大小。
X
ax
X
ax1
V H
X1
O
α b1'
O1
b a b
H
V1 H O1
例1：求直线的实长和倾角α。
解：1、设辅 助投影轴X1 平行于H投 影。 • 为什么？ • 此时，替换 投影面是谁？
土木工程制图
b
X V H
a
O
a
O1
b H1 X 1
V1
2、求点A的辅助投影。
1）过A作投影连线 ⊥X1；； 2）取ax1a'1=axa' 得a'1 3、同法求点B的 辅助投影。 4、连接两辅助投影，得 实长和倾角。
5.1 投影变换概述
一、投影变换的目的
土木工程制图
1、原因：一般位置的直线和平面，其投影不具有积聚性， 又不能反映实长和实形，而特殊位置的则可以； 2、方法：将一般位置的直线和平面变成特殊位置，即平 行或垂直于投影面。 3、可解决问题： 1）求直线的实长： 将一般线变成投影面平行线。 2）求点到直线或两平行直线间距： 将直线变成投影面垂直线。
a1 c1
c'
X
V H
X1 O
a c
b
6、一般位置平面变成投影面平行面
土木工程制图
4、5步骤的综合
c' a' b'
V X H
a b
X1
a1' c α b1'
O2 V1 c1' H2
c2
V1 H X2 O1
a2 b2
【例5-1】如图所示，已知点A和一般位置直线BC的两面投影，用换 土木工程制图 面法作出点A到直线BC的垂线AD和垂足D，并求出点A与直线BC之间的 真实距离。
替换投 影面
a
V

土木工程制图 辅助投 影面
A

a

1
替换 投影
ax
X
V1
ax1
辅助 投影
a

替换投 影轴
保留 投影
H
X1
辅助投 影轴
保留投 影面
3、投影体系的展开
土木工程制图
辅助投影面绕辅助投影轴旋转到和 保留投影面平齐，然后一起旋转到V投影 面的位置。 可以理解为在投射线的推动下绕轴线转 动。 注意：如果新投影体系由H和V1组成，应怎 样旋转。
a
b'
O
d b c f
2.将H、V1两面体系看作原投影面体系进行第二次 换面，继续将CD变换为H2面垂直线。
X1 H V1 O2
c1' d1' e1' θ e2 a2 c2d2 所求夹角
e
ห้องสมุดไป่ตู้
O1
a1' 3.将a2、e2分别与c2d2相连，即为同时处于 H2面垂直面位置的后壁面和右壁面的有积聚V 1 H 2 性的H2面投影，它们之间的夹角θ就是两相 X 2 邻壁面的夹角。
a'
d' b' c'
土木工程制图
1.作O1X1∥bc，按投影变换的基本作图作出点A 和直线BC的端点B、C的V1面投影a1′、b1′、 c1′，连接b1′c1′。
X
V H
O
a d b c
H O1 V1
2.在H、V1新投影面体系中，过a1′作b1′c1′ 的垂线得垂足d1′。 3.在H、V原投影面体系中，由d作投影连 线可得d′。
4、投影特性：
V a ax X a H X1

土木工程制图
a V XH ax

A

a1
V1
ax1
O
垂直
O1
a

ax1 H V X1 1
●
a1
1）辅助投影与保留投影连线⊥辅助投 影轴，即aa1X1 。
2）辅助投影到辅助投影轴的距离等于替换 土木工程制图 投影到替换投影轴的距离。 即：a1ax1=aax
X
V
b a
土木工程制图
H
O
a .
O1
b H1 X 1
V1
●
a1
●

b1
土木工程制图 2、投影面平行线变成投影面垂直线
• 作辅助投影轴垂直于反映实长的直线的投影。 • 为什么？
V
a' b' ax1
O1
a' b'
X1 X
ax
V X A B
a1b1 a b
V H
O1 H1
O X1
a1b1
a
b
H1
章 后 小 结
土木工程制图
(1) 换面法是将空间几何元素对投影面的一般位置 变成特殊位置，使其有利于解题。 (2) 新投影面必须设立在使空间元素处在有利于解 题的位置，如果一次换面不能解决问题，通常 可考虑连续换面两次解题，必要时，也可进行 更多次换面。 (3) 在不同的情况下，选择合适的换面法可以把一 般位置的点、直线和平面变换为与投影面平行 或垂直的特殊位置，以解决距离、实长和夹角 的问题。