工程制图投影变换
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土木工程制图第五章,投影变换-换面法
H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：
工程制图(换面法)
b
b H X1V1
O O1
a1 (b1)
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
b a
a2 b2 B
A b
a H
精品课件
b1
V1
a1
X1
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
V
a2b2 b H2
a
BA
ax
2 V1
第四章 换面法 第一节 概述 第二节 投影变换
精品课件
第一节 概述
特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
O
X
O
a
实长
b
b 实长
a
精品课件
特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题
c 实形
a
b
X
O
a
cb
a c
b
X
O
b
a
类似形 c
正平面
精品课件
正垂面
特殊位置的几何元素： 可直接反映度量、定位问题
c2 d2
精品课件
例3： 求交叉两直线AB和CD间的距离。
C
b
T
S
g
B
a
X
V H
a
k d
t2
a2 D H2
c g
c
b
O d O1
k k1
d1
b2
O2 c2
(k2)(d2)
距离
a2
g2
C2(s2) (d2)
H X1
V1
c1 a1
工程制图第二章
X
平面或H面）
◆侧面投影面（简称侧 面或W面）
2）投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线
工程制图第二章
Z
oW
H
Y
三个投影面互相 垂直
第二章投影基础
二、视图
1. 视图的概念
利用正投影法得到的投影，即物体在V、H和W
面上的三个投影，通常称为物体的三视图。其中三
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
ax
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
a●
解法二:
a●
用圆规直接量
取aaz=aax
ax
a●
工程制图第二章
az
a
●
第二章投影基础
3. 重影点及点的相对位置 重影点：在同一条投射线上的两点，其在某投影面上的
投影重合，称这两点为该投影面的重影点。重影点的可见性
一般位置直线 的三面投影均不反 映实长及倾角的大 小，通常用直角三 角形法求其实长及 倾角的真实大小。 如例题2-3。
工程制图第二章
第二章投影基础
2. 特殊位置直线的投影特性
⑴ 投影面平行线
水平线
正平线
a
b
a b
实长 a b α γ
a b
a βγ b
实长
ba
侧平线
a b
a 实长 βα b
a
b
投 影 特 性： ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
2.教学重点难点：
1).三视图的对应关系 2).点、线、面的投影及投影规律 3).直线上点的求法 4).平面上点、直线的求法
工程制图第二章
03-画法几何及工程制图-第3章-投影变换
a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
kb c
Why？
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例]求D点到平面ABC直线的距离。
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
m
a
d1 a1
c2 k2
➢新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到 原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变
V b
bX1
B
b1
b
bX1 b1
bX
a
b
a1
X
V H
a
b1
b
a2 b2
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
b
d
a
X
V H
b d
a
c
Why X1轴这么选？
c
H面倾角
α1
b1
a1 c1 d 1
变换V面（求α1）
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
画法几何与工程制图第三章(投影变换)
ax1
X1 H V1
a1'
6
06
第三章 投影变换
点的换面投影作 图(换H面）： 换 面
1、选适位置作新投 、 影轴X 影轴 1。 2、作a1a’⊥X1 。 、 3、截取a1 aX1 = 、
2、点的换面投影作图（换H面） 、点的换面投影作图（ 面
H1 H1 X1 V X1 V
a1
ax1 a' V X H ax
第三章 投影变换
第三章 投影变换 1
当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们在该投影 当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时， 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、平面对投影面的倾角等特 而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时， 性。而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时，它们在该投影面上的投影 就不具有这些特性。 就不具有这些特性。 投影变换---把一般位置的几何要素变换成特殊位置 解决其定位和度量问题。 把一般位置的几何要素变换成特殊位置， 投影变换 把一般位置的几何要素变换成特殊位置，解决其定位和度量问题。 线段实长 平面的实形
aaX得a1 。
注意： 注意： 在作点的换面投 影时， 影时，新投影面 的位置可以任取。 的位置可以任取。
O
a
7
07
第三章 投影变换
3、点的两次换面投影 、
根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。 如图所示） 根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。（如图所示） 在一次换面V 投影体系中再设一个新投影面 投影体系中再设一个新投影面H 求得点A在 在一次换面 1/H投影体系中再设一个新投影面 2，求得点 在H2面上的新投 称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作X 影a2 ，称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作 2 。
4、投影变换(换面法)
b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般 线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种 是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成 投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。 如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在 由图可知 同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一 平面上。 画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在 的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题： （一） 定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相 贯线
(二） 度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、 点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直 线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。 一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元 素，变换为有利于解题的位置。
工程制图全册复习要点
点和直线§1-1投影知识1, 中心投影法1、平行投影法（正投影法斜投影法）§1-2点的投影一个形体是由多个侧面所围成，各侧面又相交于多条侧棱，各侧棱又相交于多各顶点，则只要把这些点的投影画出来，再连成线就可作出一个形体的投影。
所以，点是形体的最基本元素。
且点的投影规律是线, 面, 体的投影基础。
一, 点在三投影面体系中的投影1, 点的直角坐标及三面投影的关系”’到W面的距离’”到V面的距离’”到H面的距离2, 三投影面体系中点的投影规律（1）a’a在同一条投影连线上，垂直于X轴。
这两个投影都反映A点的X 坐标。
a’a⊥X轴（2）a’a”在同一条投影连线上，垂直于Z轴。
这两个投影都反映A点的Z 坐标。
a’a”⊥Z轴（3）点的水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离。
这两个投影都反映A点的Y坐标。
”二, 两点的相对位置1、对于两个点在空间就有相对位置的问题了。
（1）对V面投影时，靠近V面的为后，远离V面的为前。
H, W面投影可反映出其前后关系。
（2）对H面投影时，靠近H面的为下，远离H面的为上。
V, W面投影可反映出其上下关系。
（3）对W面投影时，靠近W面的为右，远离W面的为左。
V, H面投影可反映出其左右关系。
三, 重影点当空间两点处于特别位置，即两点恰好在同一条投影线上，此时两点在同一投影面上的投影重合，这时称两点为该投影面的重影点。
四, 投影轴和投影面上点的投影小结：1, 作空间一个点的投影①利用坐标值②利用点到投影面的距离③利用两点间的相对位置。
2, 点的投影方向：自上向下, 自前向后, 自左向右3, 推断重影点的可见性：前遮后, 上遮下, 左遮右§1-2直线的投影一, 直线的投影图从几何学知道，直线是无限长的。
直线的空间位置可由线上随意两点的位置确定，即两点定一线，在次要作直线投影只要作两个点的投影即可。
二, 各类直线的投影特性1, 投影面平行线特点：平行某一投影面，倾斜其他投影面。
工程制图投影变换基础PPT课件
如B何返回k原 投a影b面l 体P 系
X1//ab k1
k1l1//X2
V1 H2
X2a1b1 X2
A
如何K将AB变
k2
L 换成投影面
aBb//垂l 直Pk线？13
结束 返回
例1 例2 例3
换面法
将一般位置平面变换成投影面垂直面
3.2.1
选择新
投影面 的原则 3.2.2 点的投 影变换 规律
3.2.3 四个基 本作图 问题
a' XHV
空间分析
b'
当 平如的A行B何位线一为时确置次新，定换投其X影面1投轴面影的
b O 直接实反长映实长b1
更换a1哪个投影面？
X1
P1 H
V
a H a1 X1 V1
b因1 为a要求（b与H面
实长
倾角）X，1/则/ab必须保
留H面而使AB平行
10
P1。
例1 例2 例3
换面法
3.2.1 选择新 投影面 的原则 3.2.2 点的投 影变换 规律 3.2.3 四个基 本作图 问题
选择新 投影面 的原则 3.2.2 点的投 影变换 规律 3.2.3 四个基 本作图 问题
旋转法
k'
b'
l'
在求如A求什线B其垂么段何实直情的确长相况投定交下影并所直
a'
XVH
kl b
新接投反影映轴其实的长位? 置
AB P
A将AKBL// /P/线
K
a
L将AB 线
H X1 V1 a1
l1
b1
A2(b2) (l2)
求三角形ABC的实形。 先将平面变换
工程制图 第四章 投影变换
例1 求两平行直线AB 和CD 之间的距离
—— 在V/H 投影体系中直接解题： 解题步骤： 1.过一条直线AB 上任一点E 作另 一条直线CD 的 垂面 2.求直线CD 与所 作垂面的交点F 3.连e’f’、ef即为 所求距离的投影
4.求作EF 的实长
实长
例1 求两平行直线AB 和CD 之间的距离
更换水平投影面
把一般位置线变为投影面垂直线
.
把一般位置平面变为投影面垂直面
正平线 垂直
把一般位置平面变为投影面平行面
1.两平行直线之间的距离
例1
求两平行直线AB 和CD 之间的距离 在V/H 投影体系中直接解题 应用换面法在H/V1体系或V1/H2体系中解题 应用换面法在V1/H2体系中解题
例
1. 把一般位置平面变为投影面垂直面 2. 把一般位置平面变为投影面平行面 3. 综合问题举例
点的一次变换
点在V1/H 体系中的投影
旧投影面 旧投影
不变投影面
不变投影 .
新投影
新投影面
点的一次变换
点在V/H1体系中的投影
不变投影
新投影
旧投影
点的二次变换
.
.
把一般位置直线变为投影面平行线
更换水平投影面
例2 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置 —— 在V/H 投影体系中直接解题：
解题步骤： 1.过直线CD上任一点C 作直 线CG 平行于AB,连DG
2.过直线AB 上任一点M 作平 面CDG 的垂线,N 为垂足
3.过垂足N 作直线EF 平行于 直线AB,交CD 于点S
4.过点S 作直线MN 的平行线, 交直线AB 于点T,ST 即为 所求
工程制图之投影变换.ppt
1）作Ｏ1Ｘ1∥ａｂ；
3）作Ｏ2Ｘ2⊥ａ1’ｂ1’；
2）求出新投影ａ1’、ｂ1’； 4）求出ａ2、ｂ2（ａ2与ｂ2重合）。
6.2.4 平面的换面
2.4.1 把一般位置平面变换成投影面垂直面 空间分析：
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
作图方法：
在平面内取一条投影面平行线，经一次换 面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成 新投影面的垂直面。
［例1］已知一般位置平面ABC的两投影， 试求该平面对H面的倾角α 。
分析：欲求一般位
置平面△ＡＢＣ对
H面的倾角α ，应
当保留H面，用Ｖ1
面替换V面，建立
V
d a b
A
Ｖ1/Ｈ新投影体系，X
使平面成为新投影
a
面Ｖ 的垂直面。 1
c
D B
d b H
V1
C c1
a1（d1）
c
b1
X1
［例1］已知一般位置平面ABC的两投影， 试求该平面对H面的倾角α 。
A点的两个投影：a,a 新投影体系 X1,a1
a
ax1
H X1
V1
● a1
2．换H面
XV1H1
a1
. ax1
a
O1
XV
ax O
H
a
点的换面规律：
1)点的新投影和保留投影的连线垂直于新投影轴；
2)点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投 影到旧投影轴的距离 。
把一般位置直线变换为投影面垂直线，只 经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一 般位置直线的平面是一般位置平面，它与原 有的两个投影面均不垂直，不能构成正投影 体系，所以需要经过两次换面。
工程制图
注意:重影点是相对于投影面而言的
例1：已知点A的两投影ɑ和ɑ′，以及点B在点A的右方10mm、上方8mm、前方6mm，试确定点B的投影。
例2：已知A、B、C、D的投影图，判断其相对位置
§3.5投影变换（projection transformation）概述及点的投影变换
一、概述
投影变换就是通过改变空间几何元素对投影面的相对位置，从而简化求解问题的一种方法。
2）从属性
点在线段上，则点的投影一定在该线段的同面投影上。点M在线段AB上，那么点M的投影m也一定在线段AB的投影ɑb上。
同素性从属性和定比关系
3）平行性
空间两直线平行，其同面投影亦平行。空间直线AB∥CD，其投影ɑb∥cd。
4）定比性
点分线段之比，投影后保持不变。即AM∶MB=ɑm∶ mb，上图所示。
已知点的正面投影和其侧面投影，求其水平投影
已知点的水平投影和侧面投影，求作正面投影
四、点的三面投影与直角坐标的关系
XA=aay＝a＇az＝axO＝Aa＇＇，是空间点A到W面的距离。
YA=aax＝a＇＇az＝ayO=Aa＇，是空间点A到V面的距离。
ZA=a＇ax＝a＇＇ay＝azO=Aa，是空间点A到H面的距离。
3.透视投影图：
优点：图形十分逼真。
缺点：不能度量，绘制复杂。
4.标高投影图：
正投影的一种。主要用来表示地形。
采用地面等高线的水平投影，并在上面标注出高度的图示法。
§3.2点的二面投影（two-plane projection of point）
一、二面投影体系的建立及点的二面投影
点是形体最基本的元素。在几何学中无大小、薄厚、宽窄，只占有位置。空间点用大写字母表示，投影点用小写字在H面之下。
例1：已知点A的两投影ɑ和ɑ′，以及点B在点A的右方10mm、上方8mm、前方6mm，试确定点B的投影。
例2：已知A、B、C、D的投影图，判断其相对位置
§3.5投影变换（projection transformation）概述及点的投影变换
一、概述
投影变换就是通过改变空间几何元素对投影面的相对位置，从而简化求解问题的一种方法。
2）从属性
点在线段上，则点的投影一定在该线段的同面投影上。点M在线段AB上，那么点M的投影m也一定在线段AB的投影ɑb上。
同素性从属性和定比关系
3）平行性
空间两直线平行，其同面投影亦平行。空间直线AB∥CD，其投影ɑb∥cd。
4）定比性
点分线段之比，投影后保持不变。即AM∶MB=ɑm∶ mb，上图所示。
已知点的正面投影和其侧面投影，求其水平投影
已知点的水平投影和侧面投影，求作正面投影
四、点的三面投影与直角坐标的关系
XA=aay＝a＇az＝axO＝Aa＇＇，是空间点A到W面的距离。
YA=aax＝a＇＇az＝ayO=Aa＇，是空间点A到V面的距离。
ZA=a＇ax＝a＇＇ay＝azO=Aa，是空间点A到H面的距离。
3.透视投影图：
优点：图形十分逼真。
缺点：不能度量，绘制复杂。
4.标高投影图：
正投影的一种。主要用来表示地形。
采用地面等高线的水平投影，并在上面标注出高度的图示法。
§3.2点的二面投影（two-plane projection of point）
一、二面投影体系的建立及点的二面投影
点是形体最基本的元素。在几何学中无大小、薄厚、宽窄，只占有位置。空间点用大写字母表示，投影点用小写字在H面之下。
工程制图投影变换.
投影变换基本要求掌握换面法的基本原理.换面法作图的投影变换规律对投影面的倾角M量问题形的实形、§6-1概述投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为投影 面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的度量和 定楼间题。
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置时，它们 的投影反映线段的实长.平面的实形及其与投影面 的倾角。
当直线或平面相对于投影面处于一般位置时，它们 的投影不具备上述特性。
HI 1:11=1 1:1 HI 珂点之间距离换面法一、换面法的基本概念二、新投彩面的选择原则三、点的投影变换规律四、四个基本问题五、旋转法简介用新的投影换面法一空间几何元素的位置保持不动，面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投形面上的投影.二、新投影面的选择原则新投形面的选择必须符合以下两个基本条件：1.新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置.2.新投影面必须垂直于一个不变投影面.三、点的投影变换规律1.点的一次变换2.点的投影变换规律3.点的两次变换2.点的投影变换规律(1)点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴(2 )点的新投影到新投影轴的距离弟于点的旧投影到旧投够轴的距离。
"-点在V7H/体系中的投影3点的两次变换（一）把一般位置直线变为投影面平行线（二）把一般位置直线变为投影面垂直线（三）把一般位置平面变为投影面垂直面（四）把一般位置平面变为投影面平行面-（一）把一般位置直线变为投影面平行线［例题1］把一般位置直线变为投影面平行线（二）把一般位置直线变为投影面垂直线把一般位置直线变为投影面垂直线1例题2］求点C到直线A3的距离作图（三）把一般位置平面变为投影面垂直面［例题4］求点S到平面的距离距离求E 点的正面投影"。
『例题5］己知E 到平面ABC 的距离为N, （四）把一般位置平面变为投影面平行面 实形五、旋转法简介旋转法是让几何元素在空间绕垂直轴线转 动，产生新的投影的方法。
工程制图-03第三章 投影变换
第三章《工程制图（含CAD）》第三章投影变换授课教师：和萌林当直线、平面与投影面处于一般位置时，无法在投影面上得到“实形”和真实的角度，因此，工程中经常会遇到求作线段的实长、平面的实形以及对投影面的夹角等问题。
为此，需要设立一个新的投影面，并使其平行于所求一般位置直线或一般位置平面，或改变直线或平面的位置而使其平行于某投影面（或处于解题的有利位置），从而达到解决问题的目的，这就是投影变换。
第三章投影变换300目录本章主要内容：第一节换面法第二节旋转法学习要求：初步掌握用换面法、旋转法求直线的实长、平面实形及真实角度的方法。
第一节换面法310第一节§3-1换面法解决办法：更换投影面，达到有利位置。
问题提出：如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置线、面的夹角？一、换面法的基本概念物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。
VHXABa'b'ab老投影体系V/H新投影面V 1新投影体系V 1/HX 1新轴老轴a 1'b 1'新投影被替换的投影被保留的投影被保留的投影面被替换的投影面311概念基本概念§3-1换面法VHA B a 'b 'a b 二、新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。
●平行于新的投影面●垂直于新的投影面2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
Pa 1b 1312规则§3-1换面法VHAa 'a●●●a xX1. 更换一次投影面●旧投影体系X —V H●新投影体系P1HX1 —A 点的两个投影：a ，a 'A 点的两个投影：a ，a1⑴新投影体系的建立X 1P 1a 1a x1●●●●VHX P 1H X 1a 'aa1a xa x1.313变换规律三、点的投影变换规律§3-1换面法VHAa 'a●●●a xX⑵新旧投影之间的关系X 1P 1a 1a x1●●●●VHX P 1H X 1a 'aa1a xa x1.❶aa 1⊥X 1❷a 1a x1= a 'a x❷点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴一般规律：❶点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。