2018年华师一附中专县生数学考试模拟试题(一)含答案

华师一附中2018—2018学年度高三高考模拟考试数学试题（理）命题人：汤克勤 时间：120分钟 总分：150分一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知p ：不等式|x -1|+|x +2|＞m 的解集为R ，q: f (x )=log 5-2m X 为减函数，则P 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．函数y=loga (|x|+1)(a ＞1)的图像大致是（ ） 3．当21-=i z 时，z 100+z 50+1的值等于（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．-i 4．已知则),2,23(,54cos ),23,(,41sin ππββππ∈=∈-=a a a +β是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5．过双曲线12222=-by a x 上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则→PM .→PN 的值为（ ）A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2+b 26．已知奇函数f （x ）在)0,(-∞上为减函数，且f(2)=0，则不等式（x-1）f (x-1) ＞0的解集为（ ）A ．{x|-3＜x ＜-1}B ．{x|-3<x<1或x>2}C ．{x|-3<x<0或x>3} C ．{x|-1<x<1或1<x<3}7．如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E ξ＝（ ） A ．43 B ．512 C ．719 D ．31 8．水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示 ，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示。

（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点，不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水 则一定正确的论断是（ ）A ．① B. ③ C. ②③ D. ①②③9．在135°的二面角β--AB a 内有一点P ，点P 到两个面β、a 的距离分别为22和3，则点P 到棱AB 的距离为（ ）A ．14 B. 13 C. 33 D. 1010．非零向量→→→→==b OB a OA ,，若点B 关于→OA 所在直线的对称点为B 1，则向量→1OB 为（ ） A ．→→→→→-⋅b a a b a 2||)(2 B ．2→→-b a C ．2||)(2→→→→→-⋅a b a b a D ．||)(2→→→→→-⋅a ba b a11．在数列{a n }中，a 1=7,a 2=24,对所有的自然数n, 都有a n+1= a n +a n+2，则a 2018为（ ）A ．7B ．24C ．13D ．25 12．设动点坐标（x,y ）满足0)4)(1(3{≥-++-≥y x y x x ，则x 2+y 2的最小值为（ ）A ．5B ．10C ．217D ．10 二、填空题（4×4分＝16分） 13.若在nXx )1(5-展开式中，第4项是常数项，则n=14.若函数在其定义域内连续，则a 、b 的值分别为 。

年中考模拟卷（一）时间：分钟满分：分题号一二三总分得分一、选择题（每小题分，共分）.－的倒数是（）.－ .－.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量.把用科学记数法可表示为（）××××.下列图案中，属于轴对称图形的是（）.如图，直线，被直线所截，若∥，∠＝°，∠＝°，则∠的度数为（）°°°°.下列运算中正确的是（）＋＝÷＝·＝ .（＋）＝＋.如图，该几何体的俯视图是（）－的小数部分是（）－－－－.如图，扇形的半径为，∠＝°，以为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）π .π－π＋第题图第题图.如图①，平行四边形纸片的面积为，沿对角线，将其裁剪成四个三角形纸片，将纸片△翻转后，与纸片△拼接成如图②所示的四边形（点与点，点与点重合），则拼接后的四边形的两条对角线之积为（）.如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第幅图形中“●”的个数为，第幅图形中“●”的个数为，第幅图形中“●”的个数为……以此类推，则＋＋…＋的值为（）…二、填空题（每小题分，共分）.函数＝的自变量取值范围是..已知△∽△，且△＝，△＝，则＝..已知一组数据：，，，，，则它的方差为..我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有个和尚分个馒头，正好分完；如果大和尚一人分个，小和尚人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有，人，则可列方程组为..若关于、的二元一次方程组的解满足＋＞，则的取值范围是..已知，是关于的方程＋＋－＝的两个实数根，且＋＝－，则＝.17.如图，反比例函数＝（≠，＞）的图象经过矩形的对角线的中点.若矩形的面积为，则的值为..规定：[]表示不大于的最大整数，（）表示不小于的最小整数，[）表示最接近的整数（≠＋，为整数），例如：[]＝，（）＝，[）＝.则下列说法正确的是（写出所有正确说法的序号）.①当＝时，[]＋（）＋[）＝；②当＝－时，[]＋（）＋[）＝－；③方程[]＋（）＋[）＝的解为＜＜；④当－＜＜时，函数＝[]＋（）＋的图象与正比例函数＝的图象有两个交点.三、解答题（共分）.（分）计算：－＋（π－）－°＋..（分）化简求值：÷，其中＝..（分）如图，已知点、、、在同一条直线上，＝，∠＝∠，∥.求证：＝..（分）如图，某人为了测量小山顶上的塔的高，他在山下的点处测得塔尖点的仰角为°，再沿方向前进到达山脚点，测得塔尖点的仰角为°，塔底点的仰角为°，求塔的高度（结果保留根号）..（分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，宜宾市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为；（）请补全条形统计图；（）若从对校园安全知识达到“了解”程度的个女生和个男生中随机抽取人参加校园安全知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出恰好抽到个男生和个女生的概率..（分）如图，一次函数＝＋的图象与反比例函数＝的图象交于点（－，＋），（，－）两点.（）求一次函数与反比例函数的解析式；（）求△的面积..（分）如图，已知是⊙的直径，点在⊙上，过点的直线与的延长线交于点，＝，∠＝∠.（）求证：是⊙的切线；（）点是的中点，交于点，若＝，求·的值..（分）如图，抛物线＝＋＋（≠）与轴、轴分别交于（－，）、（，）、（，）三点.（）试求抛物线的解析式；（）是直线上方的抛物线上的一个动点，设的横坐标为，到的距离为，求与的函数关系式，并求出的最大值；（）设点是轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，说明理由.参考答案与解析．．解析：＝＝×，＝＝×，＝＝×，＝＝×，…，＝(＋)，∴＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋＝(－＋－＋－＋－＋…＋－)＝(＋－－)＝.故选.．≤且≠.．＞－.－．②③解析：当＝时，[]＋()＋[)＝[]＋()＋[)＝＋＋＝，故①错误；当＝－时，[]＋()＋[)＝[－]＋(－)＋[－)＝(－)＋(－)＋(－)＝－，故②正确；当＝时，[]＋()＋[)＝＋＋＝＜；当＝时，[]＋()＋[)＝＋＋＝＞，∴可得的大致范围为＜＜.当＜＜时，[]＋()＋[)＝＋＋＝，不符合方程；当＜＜时，[]＋()＋[)＝×＋×＋＝＋＋＝，故③正确；∵－＜＜时，∴当－＜＜时，＝[ ]＋()＋＝－＋＋＝－；当＝时，＝[]＋()＋＝＋＋＝；当＜＜时，＝[]＋()＋＝＋＋＝＋；∵＝，则－＝时，得＝－；＋＝时，得＝；当＝时，＝＝，∴当－＜＜时，函数＝[]＋()＋的图象与正比例函数＝的图象有三个交点，故④错误．综上所述，正确的说法有②③.．解：原式＝－＋－＋＝.(分)．解：原式＝·＝＝.(分)当＝时，原式＝.(分)．证明：∵∥，∴∠＝∠.(分)在△和△中，∴△≌△()．(分)∴＝，∴－＝－，即＝.(分)．解：由题意知∠＝°，∠＝°，∴∠＝∠－∠＝°－°＝°.又∵∠＝°，∴∠＝°－∠＝°－°＝°.∴∠＝∠.∴＝.(分)设＝，则＝＝＝，＝＋＝＋＝()，＝＝＝()．(分)由题意知∠＝°，∠＝°，＝，∴△为等腰直角三角形，∴＝.∴＋＝，解得＝＋，∴＝＋.(分)答：塔的高为(＋).(分)．解：() °(分)()－－－＝，补全条形统计图如图所示．(分)()画树状图如下：(分)∵共有种等可能的结果，恰好抽到个男生和个女生的有种情况，∴恰好抽到个男生和个女生的概率为＝.(分)．解：()将(－，＋)代入反比例函数＝得＝＋，解得＝－，∴＋＝－＋＝，∴点的坐标为(－，)，反比例函数的解析式为＝－.(分)将点(，－)代入＝－，得－＝－，解得＝，∴点的坐标为(，－)．将点(－，)，(，－)代入＝＋得解得∴一次函数的解析式为＝－－.(分)()设与轴相交于点，令－－＝，解得＝－，∴点的坐标为(－，)，∴＝.(分)△＝△＋△＝××＋××＝＋＝.(分)．()证明：∵＝，∴∠＝∠.又∵∠＝∠，∠＝∠，∴∠＝∠＝∠.(分)又∵是⊙的直径，∴∠＋∠＝°.∴∠＋∠＝°.即⊥.∵是⊙的半径．∴是⊙的切线．(分)()解：连接，.(分)∵点是的中点，∴＝，∴∠＝∠.∵∠＝∠，∴∠＝∠.(分)∵∠＝∠，∴△∽△.∴＝.∴＝·.(分)又∵是⊙的直径，＝，∴∠＝°，＝.∵＝，∴＝.∴·＝＝.(分) ．解：()∵抛物线＝＋＋过(－，)，(，)，(，)三点，∴解得∴抛物线的解析式为＝－＋＋.(分)()如图，过点作⊥轴于点，交于点，作⊥于点，连接，.∵(，)，(，)，∴＝＝，＝＝.设直线的解析式为＝＋，则解得∴直线的解析式为＝－＋.(分)∵点的横坐标为，且在抛物线＝－＋＋上，∴(，－＋＋)，(，)，(，－＋)，∴＝(－＋＋)－(－＋)＝－＋，∴△＝△＋△＝·＋·＝·(＋)＝·＝(－＋)×＝－＋.又∵△＝·＝×·＝，∴＝－＋，∴与的函数关系式为＝－＋(＜＜)．(分)∵＝－＋＝－＋，∴当＝时，有最大值，最大值为.(分)()存在．若为菱形对角线，则与互相垂直平分，∴(，－)；(分)若为菱形对角线，则＝＝＝＝，∴(－，)或(，)；(分)若为菱形对角线，则＝＝，设(，)，则＝＋，＝＋.∵＝，∴＋＝(＋)，解得＝，∴＝＝＝，∴(－，)．(分)综上可知，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点有个，分别为(，－)，(－，)，(，)，(－，)．(分)。

湖北华师一附中2018届高三9月调考理科数学一.选择题： 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则tan 2x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）(1,1)- （B ）(1,)-+∞ （C ）(,2)(0,)-∞-⋃+∞ （D ）(,1)(1,)-∞-⋃+∞ 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a = （ ）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足0)2()(=-+⋅-OA OC OB OC OB ，则ABC ∆ 一定是（ ）A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形 D ．等腰直角三角形10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tan θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞ C ．()(),01,-∞+∞ D ．()3,+∞12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6 二.填空题： 13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）三、解答题17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，411=a ，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-(2)n ≥. (Ⅰ) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (Ⅱ) 证明：1231113...232n S S S S n ++++< 2118．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的余弦值 （II ）求点1A 到平面AED 的距离19.（本小题满分12分）已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减，Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 。

2018年湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足i z i -=+1)21(，则复数z 的虚部为（ ）A ．53 B ．53- C ．i 53 D ．i 53- 2．设集合}2,2{-=M ，}21|{<=xx N ，则下列结论正确的是（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．}2{=M ND ．R M N =3．设函数)(x f 是以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，xx f 2)(=，则)(x f 在)2018,2017(上是（ ） A ．增函数，且0)(>x f B ．减函数，且0)(<x f C ．增函数，且0)(<x f D ．减函数，且0)(>x f4．已知向量b a ,满足)2,3(,2||,1||=-==b a b a ，则=-|2|b a （ ） A ．22 B ．17 C ．15 D ．525．在“五一设促销活动中，某商场对5月1日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为14万元，则9时到11时的销售额为（ ）A ．3万元B ．6万元C ．8万元D ．10万元6．将正方体截去两个三棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）7．已知命题xx x p 32),0,(:>-∞∈∀；命题q ：)2,0(π∈∃x ，x x >sin ，则下列命题为真命题的是（ ）A ．q p ∧B ．q p ∨⌝)(C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∧ 8．函数)cos()(ϕω+=x A x f 满足)3()3(x f x f --=+ππ，且)6()6(x f x f -=+ππ，则ω的一个可能值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 的一条渐近线与直线012=--y x 平行，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．26 B ．2 C ．3 D ．3610．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内正多边形的边数无限增多时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（ ）参考数据：1305.05.7sin ,258.015sin ,732.1300≈≈=.A ．12B ．24C ．48D ．9611．二面角βα--AB 的平面角是锐角θ，MCB AB C MN M ∠∈⊥∈,,,βα为锐角，则（ ） A ．θ<∠MCN B ．θ=∠MCN C ．θ>∠MCN D ．以上三种情况都有可能 12．已知函数221x y =的图象在点)21,(200x x 处的切线为l ，若l 也为函数)10(ln <<=x x y 的图象的切线，则0x 必须满足（ ）A ．1220<<x B ．210<<x C ．320<<x D ．230<<x 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．52)12(-+x x 的展开式中，3x 的系数为 ．14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若可行域内存在),(y x 使不等式02≥++k y x 有解，则实数k 的取值范围为 ．15．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过椭圆上一点M 作直线MB MA ,交椭圆于B A ,两点，且斜率分别为21,k k ，若点B A ,关于原点对称，则21k k ⋅的值为 ． 16．在ABC ∆中，6π=∠B ，5=AC ，D 是AB 边上一点，2=CD ，ACD ∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则=BC .三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知公比不为1的等比数列}{n a 的前3项积为27，且22a 为13a 和3a 的等差中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）若数列}{n b 满足),2(log *131N n n a b b n n n ∈≥⋅=+-，且11=b ，求数列}{2+n nb b 的前n 项和n S . 18．华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取60,名同学（男同学30名，女同学30名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）在犯错误的概率不超过1%是条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？ （2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间5—8分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为6—8分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；（3）现从选择做物理题的8名女生中任意选取两人，对题目的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥AB 平面BCP ，//CD 平面ABP ，22=====CD BP CP BC AB .（1）证明：平面⊥ABP 平面ADP ；（2）若直线PA 与平面PCD 所成角为α，求αsin 的值.20.已知抛物线y x C 2:2=的焦点为F ，过抛物线上一点M 作抛物线C 的切线l ，l 交y 轴于点N . （1）判断MNF ∆的形状；（2）若B A ,两点在抛物线C 上，点)1,1(D 满足0=+BD AD ，若抛物线C 上存在异于B A ,的点E ，使得，使得经过E B A ,,三点的圆与抛物线在点E 处有相同的切线，求点E 的坐标. 21．已知函数ax x x f +=ln )(在点))(,(t f t 处的切线方程为13+=x y . （1）求a 的值；（2）已知2≤k ，当1>x 时，12)31()(-+->x xk x f 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）对于在)1,0(中的任意一个常数b ，是否存在正数0x ，使得122023)1(00<+--+x b ex x f ？请说明理由. 22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α为参数），曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 1cos y x （β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）已知射线αθ=:1l （26παπ<<），将射线1l 顺时针方向旋转6π得到2l ：6παθ-=，且射线1l 与曲线1C 交于两点，射线2l 与曲线2C 交于Q O ,两点，求||||OQ OP ⋅的最大值. 23.已知函数|1|)(-=ax x f .（1）若2)(≤x f 的解集为]2,3[-，求实数a 的值；（2）若1=a ，若存在R x ∈，使得不等式m x f x f 23)1()12(-≤--+成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：BBCAD 6-10：BDBAC 11、12：AD二、填空题13．40 14．4-≥k 15．41-16．558三、解答题17．解：（1）由前3项积为27，得32=a ，设等比数列的公比为q ， 由22a 为13a 和3a 的等差中项得34333⨯=+⨯q q， 由公比不为1，解得3=q所以13-=n n a（2）由n b a b b n n n n ⋅=⋅=++-1131log ，得!112211n b b b b b b b b n n n n n =⋅⋅⋅⋅=--- 令2111)1)(2(1)!2(!2+-+=++=+==+n n n n n n b b c n n n ， 则)2(22121)2111()4131()3121(+=+-=+-+++-+-=n n n n n S n 18.解：(1)由表中数据得2K 的观测值635.6444.494036243030)8142216(602<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k 在犯错误概率不超过1%的前提下，不能判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关.（2）设甲、乙解答一道物理题的时间分别为y x ,分钟，则}8685|),{(⎩⎨⎧≤≤≤≤=Ωy x y x ，设事件A 为“甲比乙先解答完此题”，则},|),{(⎩⎨⎧<Ω∈=yx y x y x A ，作出可行域如图∴323222211)(=⨯⨯⨯-=A P .（3）由题设可知选择做物理题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828=C 种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有1526=C 种，恰有一人被抽到有121612=C C 种，两人都被抽到有122=C 种∴X 可能取值为0,1,2，281)2(,732812)1(,2815)0(=======X P X P X P X 的分布列为∴2128122812128150)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19、解：（1）∵//CD 平面⊂CD ABP ,平面ABCD ，平面 ABCD 平面AB ABP =，∴AB CD //，分别取BP AP ,中点E ，O ，连接,DE OC EO ,，则,//EO CD EO CD =，所以四边形DEOC 为平行四边形， ∴OC DE //，∵B AB PB AB CO PB CO =⊥⊥ ,,， ∴⊥CO 平面ABP ， ∴⊥DE 平面ABP ， ∵⊂DE 平面DAP ， ∴平面⊥BAP 平面DAP .（2）由（1）可得OE OB OC ,,两两垂直以O 为原点建立空间直角坐标系xyz O -，如图，则由已知条件有)2,1,0(),0,1,0(),1,0,3(),0,0,3(A P D C -，)1,0,0(=CD ，)0,1,3(=PC ，)2,2,0(=PA平面PCD 的一个法向量记为),,(z y x n =，则⎩⎨⎧=+=030y x z ，∴)0,3,1(-=n从而46|22232||,cos |sin =⨯-=><=n PA α. 20、（1）设)2,(211x x M ，∵22x y =，∴x y ='，则切线l 的方程为)(21121x x x x y -=-，即2211x x x y -=， ∴)2,0(21x N -，∵)21,0(F ，∴,212||,212||2121+=+=x NF x MF ||||NF MF = 所以MNF ∆为等腰三角形.（2）设)2,(222x x A ，∵0=+BD AD ，∴)1,1(D 是AB 的中点，∴)22,2(222x x B --，∵)22,2(222x x B --在抛物线C 上，∴)22(2)2(2222x x -=-，∴02=x 或22=x∴B A ,两点的坐标为)2,2(),0,0(，设)2,(200x x E （2,000≠≠x x ），则由①②得圆心)482,42(020020+++-x x x x M 由10-=⋅x k ME 得02020=--x x ，∴10-=x 或20=x ， ∵2,000≠≠x x ， ∴10-=x∴点E 的坐标为)21,1(-.21.解：（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞， ∵ax x x f +=ln )(，∴a xx f +=1)('， 故函数)(x f 在点))(,(t f t 处的切线方程为))(1()(t x a tt f y -+=-即1ln )1(-++=t x a ty 又已知函数)(x f 在点))(,(t f t 处的切线方程为13+=x y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+11ln 31t a t ∴2=a（2）由（1）可知，x x x f 2ln )(+=，∵12)31()(-+->x x k x f ，∴1)31(ln -->xk x ， 即0)3(ln >--+x k x x x ，令)3(ln )(--+=x k x x x x g ， 则k x x g -+=2ln )('， ∵1,2>≤x k ，∴02,0ln ≥->k x ，∴0)('>x g ，∴)(x g 在),1(+∞为增函数 ∴k g x g 21)1()(+=>， ∴021≥+k ，∴221≤≤-k （3）对于)1,0(∈b ，假设存在正数0x 使得122023)1(00<+--+x b e x x f 成立， 即12)1(2220020)1ln(2023)1(00000<++=+=+--+--+x b e x x b e x b ex x x x x f ， ∴012)1(2000<-++-x b ex x 要存在正数0x 使得上式成立，只需上式最小值小于0即可令12)1()(2-++=-x b ex x H x，则)()1()('x x x e b x bx e x e x H ----=++-=， 令0)('>x H ，得b x 1ln >；令0)('<x H ，得bx 1ln 0<<；∴bx 1ln =为函数)(x H 的极小值点，亦即最小值点，即函数)(x H 的最小值为1ln ln 21ln 2)ln 1(1ln 2)11(ln )1(ln 222ln -+-=-+-=-++=b b b b bb b b b b b e b b H b令)10(1ln ln 2)(2<<-+-=x x x x x x x G ，则02ln 11ln ln 222ln )('22>=+--⋅+=x x x x x x x G ∴)(x G 在)1,0(上是增函数，∴0)1()(=<G x G ， ∴0)1(ln <bH ∴存在正数b x 1ln0=，使得122023)1(00<+--+x b e x x f 成立. 22、（1）曲线1C 直角坐标方程为1)1(22=+-y x ，所以1C 极坐标方程为θρcos 2=， 曲线2C 直角坐标方程we 1)1(22=-+y x ，所以2C 极坐标方程为θρsin 2= （2）设点P 的极坐标为),(1αρ，即αρcos 21=，设点Q 的极坐标为)6,(2παρ-，即)6sin(22παρ-=则||||OQ OP ⋅)cos 21sin 23(cos 4)6sin(2cos 221αααπααρρ-=-⋅=⋅=1)62sin(212cos 2sin 3cos 2cos sin 322--=--=-=παααααα ∵26παπ<< ∴65626ππαπ<-< 当262ππα=-，即3πα=时，||||OQ OP ⋅取最大值1.23.解：（1）显然0≠a当0>a 时，解集为]3,1[a a -，31-=-a ，13=a，无解； 当0<a 时，解集为]1,3[aa -，令11=-a ，33-=a ，1-=a ， 综上所述，1-=a （2）当1=a 时，令=)(x h ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<-≤--=--=--+2,220,230,2|2||2|)1()12(x x x x x x x x x f x f由此可知，)(x h 在]0,(-∞上单调递减，在),0[+∞上单调递增，则当0=x 时，)(x h 取到最小值2-，由题意知m 232-≤-，则实数m 的取值范围是]25,(-∞.。

华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设是虚数单位，则复数的虚部等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：对所给的复数分子、分母同乘以，利用进行化简，整理出实部和虚部即可．详解：∵∴复数的虚部为故选D.点睛：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除时，一般需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简求值．2. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题目中使函数有意义的的值求得集合，再利用函数的值域求得集合，再求它们的交集即可．详解：∵集合∴集合∵集合∴集合∴故选B.点睛：本题属于以圆的方程式及函数的值域为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用余弦的二倍角公式可得，进而利用同角三角基本关系，使其除以，转化成正切，然后把的值代入即可．详解：由题意得.∵∴故选A.点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．4. “”是“直线与圆相切”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解可得到的值，即可得出结论．详解：由圆，可得圆心为，半径.∵直线与圆相切∴∴∴“”是直线与圆相切的充要条件故选C.点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，考查四种条件．直线和圆的位置关系分相交，相离，相切三种状态，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．5. 已知变量，满足则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求解．详解：由约束条件作出可行域如图所示：联立，解得，即；联立，解得，即.的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率.∵，∴的取值范围是故选B.点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于斜率型.6. 已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为，宽为，圆半径为，则该几何体的体积和表面积分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】分析：几何体为圆柱中挖去一个圆锥，分别算出圆柱体积和圆锥的体积即可算出该几何体的体积；分别算出圆柱的侧面积、底面积和圆锥展开的扇形面积即可求得该几何体的表面积．详解：根据三视图可得，该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，圆柱底面半径和高均为，圆锥的底面圆的半径为，如图所示：∴该几何体的体积为；该几何体的表面积为.故选B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：执行程序框图，依次写出，的值，程序运行的功能是，根据计算变量判断程序终止运行时的值，利用并项求和求得.详解：执行程序框图，，；，；，；，；…，.∴输出故选A.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 将函数（）的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则的值可能为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】按照题目要求求出函数图像按向量平移后的解析式，将点代入，算出的值【详解】根据题意得函数按向量平移后的解析式为，又因为图像关于点中心对称，代入得，即，解得，当时的值可能为，故选【点睛】本题考查了三角函数图像的平移，掌握平移的方法，求出平移后的表达式，根据题意求解出的值，本题较为基础9. 关于的方程在内有且仅有5个根，设最大的根是，则与的大小关系是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】分析：将方程根的问题转化为图象的交点问题，先画图，再观察交点个数，即可得必是与在内相切时切点的横坐标，从而可得结论．详解：由题意作出与在的图象，如图所示：∵方程在内有且仅有5个根，最大的根是.∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为，，则.∴，则.∴∴故选C.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．10. 中，，，，是边上的一点（包括端点），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由于是边上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设，，再根据，，，利用数量积运算性质表示出，然后根据一次函数的单调性即可得出范围.详解：∵是边上的一点（包括端点）∴可设，.∵∴∵，，∴故选D.点睛：本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，着重考查了推理能力和计算能力，解题的关键是向量共线定理的应用，若点、、三点共线，点在线外，可得.11. 设椭圆（）的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点，且满足，设为坐标原点，若（，），，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】分析：根据向量共线定理及，，可推出，的值，再根据过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），可推出，两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线的方程，即可求得点的坐标，从而可得，，三者关系，进而可得椭圆的离心率.详解：∵、、三点共线，∴又∵∴或∵∴∵过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限）∴，∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点∴直线的方程为为∴∵∴，即.∴，即.∴∵∴故选A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．12. 已知函数（其中无理数…），关于的方程有四个不等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：对函数求导，利用导数研究函数的单调性，从而可作出函数的图象，再根据关于的方程有四个不等的实根，可设，判断出单调性，转化为在和上分别有根，构造，由，只需即可保证题意，从而可得实数的取值范围.详解：由题意可得函数的定义域为，且.令得或，则函数在，上单调递增；令得，则函数在上单调递减.∵∴函数的图象如图所示：令，则的增减性与相同，.∵关于的方程有四个不等的实根∴有四个不等的实根，即在和上分别有根.令，则.∴，即∴故选C.点睛：本题考查的是有关已知函数零点个数有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合，求得相应的结果.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 如图所示，已知正方形，以对角线为一边作正，现向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为__________．【答案】【解析】分析：设正方形的边长为2，则，根据为正三角形，分别求出和阴影部分面积，利用面积比即可求得概率.详解：设正方形的边长为2，则.∵为正三角形∴∴阴影部分面积为∴向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为故答案为.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.14. 已知双曲线的标准方程为（，），且其焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】分析：根据双曲线的标准方程求得双曲线的渐近线的方程，再根据焦点到渐近线的距离等于，利用点到直线距离公式，即可得出，即可求出，然后结合，从而求得双曲线的标准方程.详解：∵双曲线的标准方程为∴双曲线的渐近线的方程为，即.∵其焦点到渐近线的距离等于∴，即.∵∴∴∴双曲线的标准方程为故答案为.点睛：本题主要考查了双曲线的方程、渐近线方程，以及点到直线的距离公式的应用等方面的知识与运算技能，是常考题.确定，，的值是解答本题的关键.15. 在中，角，，的对边分别为，，，且，若的面积，则的最小值为__________．【答案】48【解析】【分析】运用余弦定理化简，求出角的大小，再由面积得边长关系，运用不等式求解【详解】，由余弦定理得，整理得，，则由余弦定理可得：，，当且仅当时，等号成立，的最小值为【点睛】本题运用余弦定理和面积公式解三角形，为求最值先化简，注意这里公式的运用及转化，然后运用不等式来求最值，本题综合性较强，解答时一定要按照公式解题16. 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意的都有，则称函数（）有一个宽度为的通道．给出下列函数：①；②；③；④．其中在区间上通道宽度为1的函数有__________（写出所有正确的序号）．【答案】①②③【解析】分析：对于①，求出函数的值域，判断即可；对于②，从函数图象入手，寻找符合条件的直线即可；对于③，利用导数研究函数的单调性，即可得其值域，判断即可；对于④，求出函数的值域，并根据导数的几何意义求出函数的切线方程，从而可判断.详解：对于①，，当时，，故在上有一个宽度为1的通道，两条直线可取，；对于②，，当时，表示的是双曲线在第一象限的部分，双曲线的渐近线为，故函数满足，满足在上有一个宽度为1的通道；对于③，，，当时，，时，，则，且在上的值域为，满足，故该函数满足在上有一个宽度为1的通道；对于④，，，与之间的距离为，又因为，则为增函数，设的切点为，则，解得，则与平行的切线为：，即，，因为与相切，故不存在两条直线.故答案为①②③.点睛：本题考查的重点是对新定义的理解，解题的关键是正确理解“新定义”，主要是能将“新问题”转化为“老问题”、用“老方法”解决问题，本题通过研究函数的性质，找出满足题意的直线，结合导数的知识进行求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项等比数列满足，前三项和．（1）求；（2）若数列满足，的前项和为，求．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）根据等比数列的性质，可将转化为，再根据数列各项为正数，可得的值，然后根据前三项和，可求得公比，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，再根据数列的特性，利用裂项相消法即可求得.详解：（1）∵∴∵∴∵，且∴∴（2）∵∴∴．点睛：本题主要考查递推公式求通项的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户．为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）．（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，．如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？附：【答案】（1）45；（2）见解析【解析】分析：（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等求得答案；（Ⅱ）根据频率分布直方图可得该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（Ⅲ）由题意列出2×2列联表，计算出的值，结合附表得答案．详解：（Ⅰ）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应手机户山区家庭的样本数据．（Ⅱ）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为．（Ⅲ）样本数据中，年收入超过2万元的户数为户．而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：所以，∴有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”．点睛：本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题.解决独立性检验的三个步骤：①根据样本数据制成2×2列联表；②根据公式，计算的值；③查值比较的值与临界值的大小关系，作出判断.19. 如图1，在中，，，分别为线段，的中点，，．以为折痕，将折起到图2中的位置，使平面平面，连接，．（1）证明：平面；（2）设是线段上的动点，，若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（Ⅰ）由平面平面，，推出平面，再根据中位线定理可得，，，结合勾股定理可得，从而根据线面垂直判定定理即可求证；（Ⅱ）由，推出，结合（Ⅰ），可得，从而可得的值.详解：（Ⅰ）∵平面平面，，平面平面∴平面∵平面∴．∵，分别为线段，的中点∴，，，设与交于点，∴．∴，，∵∴，∴，∵∴平面．（Ⅱ）∵∴由（Ⅰ）知，平面.∴∴∴．点睛：本题考查了立体几何中的直线与平面垂直的判定和有关三棱锥体积计算.证明线线垂直的常用方法：①等腰三角形三线合一；②勾股定理逆定理；③线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.20. 已知曲线：，是焦点，点为准线上一点，直线交曲线于、两点．（1）若，且在第一象限，求直线的方程；（2）求的最大值，并求出此时点的坐标．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（Ⅰ）根据题意可得，设，，，由，可得为的中点，从而可求得，即可求得直线的方程；（Ⅱ）设直线：（），其中，表示出，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理及基本不等式即可求得的最大值与此时点的坐标. 详解：由题意，设，，．（Ⅰ）∵∴为的中点∴，∴∴∴直线的方程为，即．（Ⅱ）设直线：（），其中．.由得，则有，.∴，当且仅当时取“”.∴当时，有最大值，此时点的坐标为.点睛：求圆锥曲线中研究范围或最值问题得常见方法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的方法，确定参数的取值范围.21. 已知函数（），其中无理数…．（1）若函数有两个极值点，求的取值范围．（2）若函数的极值点有三个，最小的记为，最大的记为，若的最大值为，求的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（Ⅰ）先对函数求导，构造，则函数有两个极值点等价于有两个不等的正实根，对函数求导，然后对和进行讨论，可得函数的单调性，结合，即可求得的取值范围；（Ⅱ）对函数求导，由有三个极值点，则有三个零点，1为一个零点，其他两个则为的零点，结合（Ⅰ），可得的两个零点即为的最小和最大极值点，，即，令，由题知，则，令，利用导数研究函数的单调性，从而可求得的最小值即的最小值.详解：（Ⅰ），令，，∵有两个极值点∴有两个不等的正实根∵∴当时，，在上单调递增，不符合题意．当时，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．又∵，当→时，→∴∴综上，的取值范围是．（Ⅱ）．∵有三个极值点∴有三个零点，1为一个零点，其他两个则为的零点，由（Ⅰ）知.∵∴的两个零点即为的最小和最大极值点，，即.∴令，由题知.∴，，∴令，，则，令，则．∴在上单调递增∴∴在上单调递减∴故的最小值为．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查了导数的应用以及分类讨论思想，转化与化归思想，逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求得曲线的切线方程及参数的值；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用．22. 以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为．（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值．【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）将代入到直线的参数方程，消去即可得直线的普通方程，再根据，即可求得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，根据韦达定理可得，，结合参数的几何意义及三角函数的图象与性质即可求得的最小值．详解：（1）当时，由直线的参数方程消去得，即直线的普通方程为；因为曲线过极点，由，得，所以曲线的直角坐标方程为．（2）将直线的参数方程代入，得.由题意知，设，两点对应的参数分别为，，则，.∴．∵，，.∴当，即时，的最小值为．点睛：本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程互化的方法，直线的参数方程及其几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解.把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.23. 已知函数．（1）若在上的最大值是最小值的2倍，解不等式；（2）若存在实数使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）根据在上的最大值是最小值的2倍求出a的值，再解不等式.(2)先分离参数得，再求右边式子的最小值，得到a的取值范围.详解：（1）∵，∴，，∴，解得，不等式，即，解得或，故不等式的解集为．（2）由，得，令，问题转化为，又故，则，所以实数的取值范围为．点睛：（1）本题主要考查不等式的解法和求绝对值不等式的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，得到，问题转化为，不是转化为,因为它是存在性问题.。

华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考试文科数学（附答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，则复数21iz i =-的虚部等于（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．12.设集合{}22|2,,M x x y x R y R =+=∈∈，{}2|,N y y x x R ==∈，则M N =I （ ）A ．{}(1,1),(1,1)-B．⎡⎣ C ．[]0,2D．⎡⎣3.已知1tan 2α=，则cos2α=（ ）A ．35B ．25C ．35-D ．25-4.“0k =”是“直线10x ky --=与圆22(2)(1)1x y -+-=相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知变量x ，y 满足240,2,20,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩则12y x ++的取值范围是（ ）A ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1(,][1,)4-∞+∞UD ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为2r ，宽为r ，圆半径为r ，则该几何体的体积和表面积分别为（ ）A ．343r π，2(3r π+ B ．323r π，2(3r π+C ．343r π，2(4r π+D ．323r π，2(4r π+7.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A ．1009B ．1009-C ．1008-D ．10088.将函数sin()3y x πω=+（0ω>）的图象按向量(,0)12a π=r 平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则ω的值可能为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19.关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是（ ）A ．tan αα>B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对10.ABC ∆中，135BAC ∠=︒，AB =，1AC =，D 是BC 边上的一点（包括端点），则AD BC ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．[]3,0-B ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]0,2D ．[]3,2-11.设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l与直线l 交于A 点，且满足||||AP BP <u u u r u u u r ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r （λ，R μ∈），29λμ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．35 B ．1213 C ．35或2131 D ．4512.已知函数2()xe f x x =（其中无理数 2.718e =…），关于x的方程λ=有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(0,)2e B ．(2,)+∞C ．2(,)2e e ++∞D ．224(,)4e e ++∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，已知正方形ABCD ，以对角线AC 为一边作正ACE ∆，现向四边形区域ABCE 内投一点Q ，则点Q 落在阴影部分的概率为 ．14.已知双曲线C 的标准方程为22221x y a b -=（0a >，0b >），且其焦点(3,0)F 到渐近线，则双曲线的标准方程为 ．15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积S =，则ab 的最小值为 ．16.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx b =+和2y kx b =+，使得对任意的x D ∈都有12()kx b f x kx b +≤≤+，则称函数()f x （x D ∈）有一个宽度为d 的通道．给出下列函数：①1()f x x =；②()f x =ln ()xf x x =；④()sin f x x x =+．其中在区间[1,)+∞上通道宽度为1的函数有 （写出所有正确的序号）．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项等比数列{}n a 满足423a a a =，前三项和313S =．（1）求na ；（2）若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．18.某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户．为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）． （1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为(0,0.5]，(0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]．如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图1，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，4AB =，BC =DE 为折痕，将ADE ∆折起到图2中'A DE ∆的位置，使平面'A DE ⊥平面DBCE ，连接'A C ，'A B ．（1）证明：BE ⊥平面'A DC ；（2）设F 是线段'A C 上的动点，''A F A C λ=u u u u r u u u u r，若'A BDFV -=λ的值．20.已知曲线C ：28x y =，F 是焦点，点P 为准线上一点，直线PF 交曲线C 于D 、E 两点．（1）若PF FE =u u u r u u u r，且E 在第一象限，求直线PF 的方程；（2）求DP PE ⋅u u u r u u u r的最大值，并求出此时点P 的坐标．21.已知函数()ln 1x m f x x e =+-（m R ∈），其中无理数 2.718e =…．（1）若函数()f x 有两个极值点，求m 的取值范围．（2）若函数3211()(2)32x g x x e mx mx =--+的极值点有三个，最小的记为1x ，最大的记为2x ，若12x x 的最大值为1e ，求12x x +的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l 的参数方程为cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=．（1）若6πα=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求||AB 的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|f x x a =--()a R ∈．（1）若()f x 在[]1,2-上的最大值是最小值的2倍，解不等式()5f x ≥； （2）若存在实数x 使得1()(1)2f x f x <+成立，求实数a 的取值范围．华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考试文科数学卷答案一、选择题1-5:DBACB 6-10:BACCD 11、12：AC二、填空题13.2 14.22145x y -= 15.48 16.①②③三、解答题17.解：（1）∵423a a a =，∴414a a a =，∵40a ≠，∴11a =，∵23123113S a a a q q =++=++=，且0q >，∴3q =，∴1113n n n a a q --==．（2）∵13log 321n n b n n -=+=-，∴111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+，∴11(1)22121n n T n n =-=++． 18.解：（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应手机4500.145⨯=户山区家庭的样本数据．（2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为(0.5000.3000.100)0.50.45++⨯=．（3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为(0.3000.100)0.515030+⨯⨯=户． 而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：所以22150(2540580)200 3.175 2.706301201054563K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”．19.解：（1）∵平面'A DE ⊥平面DBCE ，'A D DE ⊥，平面'A DE I 平面DBCE DE =， ∴'A D ⊥平面DBCE ，∵BE ⊂平面DBCE ，∴'A D BE ⊥．∵D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，∴//DE BC，DE =2BD =，设BE 与CD 交于点O ，∴12DE DO EOBC CO BO ===．∴133DO DC ==，233BO BE ==， ∵2BD =，∴222DO BO BD +=，∴BE DC ⊥，∵'A D DC D =I ，∴BE ⊥平面'A DC ．（2）∵''A F A C λ=u u u u r u u u u r，∴''''A BDF F A BD C A BD A BCDV V V V λλ----===，由（1）知，'A D ⊥平面DBCE ，∴'1'3A BCD BCD V A D S -∆=⋅，∴112232λ⋅⋅⋅⋅⋅=34λ=．20.解：由题意(0,2)F ，设0(,2)P x -，11(,)D x y ，22(,)E x y ．（1）∵PF FE =u u u r u u u r，∴F 为PE 的中点，∴2222y -=⨯，26y =，∴E ，∴EF k ==∴直线PF的方程为2y x =+，即0x -+=．（2）设直线PF ：2y kx =+（0k ≠），其中04k x =-．01202(,2)(,2)DP PE x x y x x y ⋅=---⋅-+u u u r u u u r201212012()(4)(4)x x x x x x kx kx =+---++22012120(4)()(1)16x k x x k x x x =-+-+--，由22,8,y kx x y =+⎧⎨=⎩得28160x kx --=，则有128x x k +=，1216x x =-， ∴2200(4)816(1)16DP PE x k k k x ⋅=-++--u u u r u u u r 224168(4)16k k k k k -=-+-2213216()64k k =--+≤-，当且仅当1k =±时取“=”.∴当1k =±时，DP PE ⋅u u u r u u u r有最大值64-，此时点P 的坐标为(4,2)±-.21.解：（1）1'()x x x m e mx f x x e xe -=-=， 令()xx e mx ϕ=-，0x >， ∵()f x 有两个极值点，∴()x ϕ0=有两个不等的正实根，'()x x e m ϕ=-，当1m ≤时，'()0x ϕ>，()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，不符合题意．当1m >时，当(0,ln )x m ∈时，'()0x ϕ<，当(ln ,)x m ∈+∞时，'()0x ϕ>， ∴()x ϕ在(0,ln )m 上单调递减，在(ln ,)m +∞上单调递增． 又(0)1ϕ=，当x →+∞时，()x ϕ→+∞， ∴(ln )ln 0m m m m ϕ=-<，∴m e >． 综上，m 的取值范围是(,)e +∞．（2）2'()(1)(1)()(1)()x xg x e x mx mx x e mx x x ϕ=--+=--=-． ∵()g x 有三个极值点，∴'()g x 有三个零点，1为一个零点，其他两个则为()x ϕ的零点， 由（1）知m e >，∵(1)0e m ϕ=-<，∴()x ϕ的两个零点即为()g x 的最小和最大极值点1x ，2x ，即1212,,x x e mx e mx ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴1212x x x e x -=，令12x t x =，由题知10t e <≤， ∴222(1)tx x t x t ee --==，2ln 1t x t =-，1ln 1t t x t =-，∴12(1)ln 1t tx x t ++=-，令(1)ln ()1t t h t t +=-，10t e <≤，则212ln '()(1)t tt h t t --=-，令1()2ln m t t t t =--，则22121'()1(1)0m t t t t =+-=->．∴()m t 在1(0,]e 上单调递增，∴11()()20m t m e e e ≤=-+<，∴()h t 在1(0,]e 上单调递减，∴1(1)11()()111e e h t h e e e -++≥==--，故12x x +的最小值为11e e +-．22.解：（1）当6πα=-时，由直线l 的参数方程cos ,2sin ,x t y t αα=⎧⎨=+⎩消去t得23y x =+，即直线l的普通方程为0x -+=；因为曲线过极点，由2cos 4sin ρθθ=，得2(cos )4sin ρθρθ=， 所以曲线C 的直角坐标方程为24x y =．（2）将直线l 的参数方程代入24x y =，得22cos 4sin 80t t αα--=， 由题意知[0,)(,)22ππαπ∈U ，设A ，B 两点对应的参数分别为1t，2t ，则1224sin cos t t αα+=，1228cos t t α=-，∴12||||AB t t =-==== ∵[0,)(,)22ππαπ∈U ，2cos (0,1]α∈，211cos α≥， 当2cos 1α=，即0α=时，||AB的最小值为23.解：（1）∵[]1,2x ∈-，∴min 1()()2f x f a ==-，max ()(1)(2)3f x f f a =-==-，∴32a a -=-，解得3a =-，不等式()5f x ≥，即|21|2x -≥，解得32x ≥或12x ≤-，故不等式()5f x ≥的解集为31|22x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或． （2）由1()(1)2f x f x <+，得|42||21|a x x >--+，令()|42||21|g x x x =--+，问题转化为min ()a g x >， 又123,,211()61,,22123,,2x x g x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩故min 1()()22g x g ==-，则2a >-，所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．。

华中师大一附中2018年高中招生考试数学试题考试时间：70分钟 卷面满分:120分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题 （本大题共5小题,每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．二次函数y =x 2＋2x ＋c 的图象与x 轴的两个交点为A(x 1，0)，B(x 2,0),且x 1＜x 2,点P （m ，n )是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ) A ．当n ＞0时，m ＜x 1 B ．当n ＞0时，m ＞x 2 C ．当n ＜0时，m ＜0D ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 22．已知实数a 、b 、c 满足a ＜b ＜c ，并目k =，则直线y =－kx ＋k 一定经过( ）A ．第一、三、四象限B ．第一、二、四象限C ．第一、二、三象限D ．第二、三、四象限3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为16、22,则输出的a =（a ←a －b 的含义：将a －b 的结果赋给a ）（ ） A ．0 B ．2 C ．4D ．144．直线l:kx －y －2k －1=0被以A （1，0)为圆心，2为半径的⊙A 所截得的最短弦长为( ) A ． B ．2 C ．2D ．45．如图，△ABC 中，AB=AC=8，BC=4,BF ⊥AC 于F,D 是AB 的中点,E 为AC 上一点,且2EF=AC ，则tan ∠DEF=( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)． 6．若a ＋b －2=3c 5，则（b c )a 的值为__________．BA CDEF7．已知△ABC的一边长为4，另外两边长恰是方程2x212x＋m＋1=0的两实根,则实数m 的取值范围是__________．8．如图，D是△ABC的边AB上的一点，且AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点,使得∠ADP=∠ACB，则=__________．9．有十张正面分别标有数字1,2,3，4，5，6，7，8,9，10的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5x a≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率为__________．10．若四个互不相等的正实数a,b,c,d满足（a2018c2018）（a2018d2018）=2018,(b 2018c2018）（b2018d2018)=2018，则（ab）2018（cd)2018的值为__________．三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 11．（本小题满分16分）如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．(1）求证：CE=CF;（2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE、BE、GD有什么数量关系？说明理由；（3)运用（1）（2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC＞AD）,∠B=90°,AB=BC=6，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，求DE的长．12．(本小题满分16分）如图1,在平面直角坐标系xOy内，已知点A（1，0)，B(1,1)，C（1，0)，D(1，1)，记线段AB为L1，线段CD为L2，点P是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P的直线l与L1，L2都有公共点，则称点P是L1L2相关点，例如，点P （0，1)是L1－L2相关点．（1)以下各点中，__________是L1－L2相关点(填出所有正确的序号）;①(1，2)；②(5，2）；③（4，2）．(2）直接在图1中画出所有L1－L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示；（3)已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，若⊙M上有且只有一个点为L1L2相关点．①当r=1时，求点M的纵坐标；②求r的取值范围．13．(本小题满分18分)定义：点P(x，y）为平面直角坐标系中的点，若满足x=y时，则称该点为“平衡点”，例如点(－1，－1)，(0，0），(,）都是“平衡点"．①当－1≤x≤3时，直线y=2x＋m上存在“平衡点”，则实数m的取值范围是__________．（2）直线y=3mx＋n－1上存在“平衡点"吗？若存在,请求出“平衡点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线y=ax2＋bx＋1（a＞0）上存在两个不同的“平衡点”A(x1，x1），B(x2，x2），且满足0＜x1＜2，=2，令t=b2－2b＋，试求实数t的取值范围．华中师大一附中2018年高中招生考试数学试题参考答案考试时间：70分钟卷面满分：120分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）题号 1 2 3 4 5答案 D A B C A二、填空题(本大题共5小题，每小题7分,共35分)．6．36 7．9<m≤17 8．9．10．－2018 三、解答题（本大题共3小题,共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．）11．(1)证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF,BE=DF，∴△ACBE≌△CDF．∴CE=CF．……………………………4分（2)GE=BE＋GD．理由如下：∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD＋∠ECB=∠ECD＋∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°．又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC,∴△ECG≌△FCG．∴EG=EF．∴GE=DF＋GD=BE＋GC．……………………………10分（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G,在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°,又∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG=BC=6．已知∠DCE=45°，根据（1)（2）可知，ED=BE＋DG，设DE=x，则DG=x－2，∴AD=AG－DG=8－x，AE=AB－BE=6－2=4．在Rt△AED中∵DE2=AD2＋AE2，即x2=(8－x）2＋42解得x=5．∴DE=5……………………………16分12．(1)②，③是L1－L2相关点。

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学适应性试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则a=（）A．B．C．或D．或或02．设复数z1=+i，z2=3+4i，则=（）A．B．C．D．3．武汉市2015年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是（）A．25.5 B．22 C．20.5 D．204．设等比数列{a n}的前n项和为S n．则“a1＞0”是“S3＞S2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，4AB2+2BD2=1，将此平行四边形沿BD折成直二面角，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．B．πC．2πD．4π6．对于函数f（x）=（sin x+cos x），给出下列四个：①存在a∈，使f（α）=；②存在α∈，使f（x﹣α）=f（x+α）恒成立；③存在φ∈R，使函数f（x+φ）的图象关于坐标原点成中心对称；④函数f（x）的图象关于直线x=对称；⑤函数f（x）的图象向左平移个单位长度就能得到y=﹣2cos x的图象．其中正确的序号是（）A．①②③ B．③④⑤ C．③④D．②③⑤7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知f（x），g（x）是定义在R上的两个函数，且对∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，P1：若f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数；P2：若x≠0时，x•f′（x）＞0在R上恒成立，则f（x）+g（x）为R上的单调函数，则下列正确的是（）A．P1∧（￢P2）B．（￢P1）∧P2C．（￢P1）∧￢P2D．P1∧P29．已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上的一个动点，N （1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D． +110．若P是锐角△AOB所在的平面内的动点，且•=•．给出下列：①||=||恒成立②||的最小值为||③点P的轨迹是一条直线④存在P使|+|=||其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图：网格上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面面积中的最大值为（）A．16 B．8 C．2D．612．已知e=2.71828…，设函数f（x）=x2﹣bx+alnx存在极大值点x0，且对于b的任意可能取值，恒有极大值f（x0）＜0，则下列结论中正确的是（）A．存在x0=，使得f（x0）＜﹣B．存在x0=，使得f（x0）＞﹣eC．a的最大值为e2D．a的最大值为e3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若（1﹣2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则|a0|+|a1|+|a3|=______．14．给定双曲线C：x2﹣=1，若直线l过C的中心，且与C交M，N两点，P为曲线C上任意一点，若直线PM，PN的斜率均存在且分别记为k PM、k PN，则k PM•k PN=______．15．已知，点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为______．16．在数列{a n}中，a1=1，3n﹣1a n=3n﹣2a n﹣2•3n﹣2+2（n≥2），S n是数列{}的前n项﹣1和，当不等式（m∈N*）恒成立时，m•n的所有可能取值为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°．（1）求A，C两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米∕秒）18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．．20．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ae x﹣x+b，g（x）=x﹣ln（x+1），（a，b∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）与y=g（x）在坐标原点处的切线相同，问：（ⅰ）求f（x）的最小值；（ⅱ）若x≥0时，f（x）≥kg（x）恒成立，试求实数k的取值范围；（2）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，对任意a∈（0，+∞），b∈R，证明：f′（）＜0（f′（x）为f（x）的导函数）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为圆I与边CA的切点．（1）求证A，I，H，E四点共圆；（2）若∠C=50°，求∠IEH的度数．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆C：（θ为参数）和直线θl：（其中t为参数，α为直线l的倾斜角）（1）当时，求圆上的点到直线l的距离的最小值；（2）当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．2016年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学适应性试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则a=（）A．B．C．或D．或或0【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简A={3，5}，从而可得B=∅，{3}或{5}，再分类讨论求值即可．【解答】解：A={x|x2﹣8x+15=0}={3，5}，∵B⊆A，∴B=∅，{3}或{5}，若B=∅时，a=0，若B={3}，则a=，若B={5}，则a=；故a=或或0，故选D．2．设复数z1=+i，z2=3+4i，则=（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】由于复数z1=+i=，可得=+i=1，=|3﹣4i|=5．即可得出．【解答】解：∵复数z1=+i=，∴=+i=cos336π+isin336π=1，=|3﹣4i|==5．∴=．故选：D．3．武汉市2015年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是（）A．25.5 B．22 C．20.5 D．20【考点】众数、中位数、平均数．【分析】把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出排在中间的两个数的平均数即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列为：8，9，12，16，17，20，21，23，23，28，31，32；排在中间的两个数是20和21，所以这组数据的中位数是=20.5．故选：C．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n．则“a1＞0”是“S3＞S2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分公比q=1和q≠1两种情况，分别由a1＞0推出S3＞S2成立，再由S3＞S2也分q=1和q≠1两种情况推出a1＞0，从而得出结论．【解答】解：当公比q=1时，由a1＞0可得s3=3a1＞2a1=s2，即S3＞S2成立．当q≠1时，由于=q2+q+1＞1+q=，再由a1＞0可得＞，即S3＞S2成立．故“a1＞0”是“S3＞S2”的充分条件．当公比q=1时，由S3＞S2成立，可得a1＞0．当q≠1时，由S3＞S2成立可得＞，再由＞，可得a1＞0．故“a1＞0”是“S3＞S2”的必要条件．综上可得，“a1＞0”是“S3＞S2”的充要条件，故选C．5．在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，4AB2+2BD2=1，将此平行四边形沿BD折成直二面角，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．B．πC．2πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用折成直二面角推出AB⊥BC，CD⊥AD．取AC的中点O，说明外接球的球心是O，求出外接球的半径，然后求解表面积．【解答】解：如图，因为平面BDC⊥平面ABD（折成直二面角），所以AB⊥平面BDC，CD⊥平面ABD，得AB⊥BC，CD⊥AD．取AC的中点O，则OA=OB=OC=OD．于是外接球的球心是O，OA=AC．而AC2=AB2+BC2=（4AB2+2BD2）=．所以半径OA=．于是外接球的表面积为S=4π•OA2=．故选：A．6．对于函数f（x）=（sin x+cos x），给出下列四个：①存在a∈，使f（α）=；②存在α∈，使f（x﹣α）=f（x+α）恒成立；③存在φ∈R，使函数f（x+φ）的图象关于坐标原点成中心对称；④函数f（x）的图象关于直线x=对称；⑤函数f（x）的图象向左平移个单位长度就能得到y=﹣2cos x的图象．其中正确的序号是（）A．①②③ B．③④⑤ C．③④D．②③⑤【考点】两角和与差的正弦函数；的真假判断与应用；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用辅助角公式，我们可将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，由正弦型函数的值域，可以判断①的真假；根据正弦型函数的周期性，可以判断②的真假；根据正弦函数的对称性，可以判断③④的真假；根据正弦型函数的图象的平移变换法则，及诱导公式，可以判断⑤的真假，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=（sinx+cosx）=2sin（x+），当α∈，α+∈（﹣，）此时f（α）∈（﹣，），故①错误；若f（x﹣α）=f（x+α）恒成立，则2α为函数的一个周期，则2α=2kπ，k∈N*，即α=kπ，k ∈N*，故②错误；存在φ=﹣+kπ，k∈Z，使函数f（x+ϕ）的图象关于坐标原点成中心对称，故③正确；函数图象的对称轴为x=+kπ，k∈Z，当k=﹣1时，x=，故④正确；函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到y=2sin（x++）=2sin（x+）=2cosx的图象，故⑤错误．故选：C．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】循环结构．【分析】框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2；判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3；判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4；判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．故选：B．8．已知f（x），g（x）是定义在R上的两个函数，且对∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，P1：若f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数；P2：若x≠0时，x•f′（x）＞0在R上恒成立，则f（x）+g（x）为R上的单调函数，则下列正确的是（）A．P1∧（￢P2）B．（￢P1）∧P2C．（￢P1）∧￢P2D．P1∧P2【考点】复合的真假．【分析】分别求出P1、P2的真假，从而求出复合的真假即可．【解答】解：令x2=﹣x1，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，∴不等式|f（x1）﹣f（﹣x1）|≥|g（x1）﹣g（﹣x1）|恒成立，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x1）=f（x1），∴f（x1）﹣f（﹣x1）=0，∴不等式0≥|g（x1）﹣g（﹣x1）|恒成立，又|g（x1）﹣g（﹣x1）|≥0，∴g（x1）﹣g（﹣x1）=0，∴g（﹣x1）=g（x1），∴函数g（x）是偶函数，故P1是真；若x≠0时，x•f′（x）＞0在R上恒成立，则f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，∵|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，设x1＜x2，x＞0时，∴f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）=f（x1）﹣f（x2）+g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）＜0，x＜0时，h（x1）﹣h（x2）＞0，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）上是增函数，故P2是假；故选：B．9．已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上的一个动点，N （1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D． +1【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题意画出图形，根据N为抛物线的焦点，可过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|﹣1．【解答】解：如图，由抛物线方程y2=4x，可得抛物线的焦点F（1，0），又N（1，0），∴N与F重合．过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|﹣1=3．故选：A．10．若P是锐角△AOB所在的平面内的动点，且•=•．给出下列：①||=||恒成立②||的最小值为||③点P的轨迹是一条直线④存在P使|+|=||其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】①由•=•，可得，利用向量垂直与数量积的关系可得：，||=||不一定成立；②根据①，及由于△AOB是锐角三角形，可得||＜||；③由①可知：，可知：点P的轨迹是一条直线；④当时，以PO、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，利用矩形的对角线的性质即可得出．【解答】解：①由•=•，可得，即，||=||不一定成立，因此不正确；②根据①，及由于△AOB是锐角三角形，可得||＜||，因此②不正确；③由①可知：，因此点P的轨迹是一条直线，正确；④当时，以PO、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，因此存在P使|+|=| |，正确．综上可知：只有③④正确．故选：B．11．如图：网格上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面面积中的最大值为（）A ．16B ．8C ．2D ．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图判断长线面的位置关系、由勾股定理求出棱长，由余弦定理、平方关系，三角形的面积公式求出各个面的面积，即可得到答案．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥， 其中SC ⊥平面ABC ，直观图如图所示：由三视图得，SC=4，AC=4，AB=，BC=，∵SC ⊥BC ，∴SB=，同理可得SA=4，∴S △ABC =4，S △ASC =8，，在△SAB 中，由余弦定理得cos ∠SAB==，则sin ∠SAB==，∴=6，综上可得，各面面积中的最大值为8． 故选：B ．12．已知e=2.71828…，设函数f （x ）=x 2﹣bx +alnx 存在极大值点x 0，且对于b 的任意可能取值，恒有极大值f （x 0）＜0，则下列结论中正确的是（ ）A ．存在x 0=，使得f （x 0）＜﹣B ．存在x 0=，使得f （x 0）＞﹣eC ．a 的最大值为e 2D ．a 的最大值为e 3 【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f ′（x ）=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可． 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f ′（x ）=x ﹣b +， 若函数f （x ）存在极大值点x 0，则f′（x）=0有解，即x2﹣bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＞0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极大值点为x1=x0，∵b＞2，（a＞0），∴x1=x0==∈（0，），=f（x0）=）=﹣bx0+alnx0=x02﹣x02﹣a+alnx0=﹣+alnx0﹣a，则f（x）极大值设g（x）=alnx﹣x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极大值恒小于0等价为g（x）恒小于0，∵g′（x）=﹣x=＞0，∴g（x）在（0，）上单调递增，故g（x）＜g（）=aln﹣a≤0，得ln≤，即a≤e3，故a的最大值为是e3，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若（1﹣2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则|a0|+|a1|+|a3|=41．【考点】二项式定理的应用．【分析】令x=0，可得：a0=1．对（2x﹣1）4=（1﹣2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两边求导即可得出．【解答】解：令x=0，可得：a0=1．对（2x﹣1）4=（1﹣2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两边求导可得：4（2x﹣1）3×2=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3，令x=0，可得：a1=8．上式两边再两次求导可得：4×3×2（2x﹣1）×2×2×2=3×2×1×a3+4×3×2a4x，令x=0，可得a3=﹣32．∴|a0|+|a1|+|a3|=41．故答案为：41．14．给定双曲线C：x2﹣=1，若直线l过C的中心，且与C交M，N两点，P为曲线C上任意一点，若直线PM，PN的斜率均存在且分别记为k PM、k PN，则k PM•k PN=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P（x P，y P），结合题意，又由M，P在双曲线上，可得x2﹣=1，将其坐标代入k PM•k PN中，计算可得答案．【解答】设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N（﹣x0，﹣y0）．设P（x P，y P），则，又∵x2﹣=1，∴x2=+1，则x02=y02+1．同理x P2=y P2+1，两式作差得x P2﹣x02=（y P2﹣y02），即y P2﹣y02=（x P2﹣x02），则=，故答案为：15．已知，点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为[﹣）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，P（x，y）为内部一点，设A（，），可得向量、的夹角θ∈（，]，由向量的夹角公式可得=2cosθ，由此结合余弦函数的单调性即可得到本题的答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的平面区域，其中B（﹣2，0），C（1，）设A（，），P（x，y）为区域内一个动点，向量、的夹角为θ∵||=，•=x+y∴cosθ===×∵当P运动到C点时，θ达到最小值；P运动到与x轴负半轴上一点重合时，θ达到最大值∴∠AOC＜θ≤∠AOB，由直线OA、OC的倾斜角分别为、，可得θ∈（，]由此可得：﹣≤cosθ＜，即﹣≤×＜∴﹣≤＜，即的取值范围为[﹣）故答案为：[﹣）16．在数列{a n}中，a1=1，3n﹣1a n=3n﹣2a n﹣2•3n﹣2+2（n≥2），S n是数列{}的前n项﹣1和，当不等式（m∈N*）恒成立时，m•n的所有可能取值为1，2，4．【考点】数列的求和．【分析】由3n﹣1a n=3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），可得：3n a n﹣3n﹣1a n﹣1=6﹣2×3n﹣1．利用“累加求和”与等比数列的前n项和公式可得：a n=，于是=．可得数列{}的前n项和S n=．不等式（m∈N*）化为：＜1，对m分类讨论即可得出．【解答】解：∵3n﹣1a n=3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），∴3n a n﹣3n﹣1a n﹣1=6﹣2×3n﹣1．∴3n a n=（3n a n﹣3n﹣1a n﹣1）++…+（32a2﹣3a1）+3a1=（6﹣2×3n﹣1）+（6﹣2×3n﹣2）+…+（6﹣2×3）+3=6（n﹣1）﹣2×+3=6n﹣3n，∴a n=（n=1时也成立）．∴=．∴数列{}的前n项和S n==．不等式（m∈N*）化为：＜1（*），m=1时，化为：2•3n﹣1＜3，n=1时成立．此时mn=1．m=2时，化为：3n＜21，n=1，2时成立．此时mn=2，或4．m≥3时，3m+1＞3m，=＞1，∴＞1，因此上式（*）不成立．综上可得：m•n的所有可能取值为1，2，4．故答案为：1，2，4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°．（1）求A，C两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米∕秒）【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）利用在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，求出BC，利用余弦定理，即可求得结论；（2）在△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，利用正弦函数，可得结论．【解答】解：（1）由题意，设AC=x，则∵在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒∴BC=x﹣×340=x﹣40，在△ABC内，由余弦定理：BC2=BA2+CA2﹣2BA•CA•cos∠BAC，即（x﹣40）2=x2+10000﹣100x，解得x=420．（2）在△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，∴CH=AC•tan∠CAH=140米．答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米．18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【考点】用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，由题意可得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）易得=（0，2，0）是平面PAB的一个法向量，待定系数可求平面PED的法向量为坐标，由向量的夹角公式可得；（Ⅱ）设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），由夹角公式和二次函数的值域以及余弦函数的单调性可得．【解答】解：以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）∵AD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量，=（0，2，0）．∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2）．设平面PED的法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，即，令y=1，解得z=1，x=1．∴=（1，1，1）是平面PCD的一个法向量，计算可得cos＜，＞==，∴二面角A﹣PE﹣D的余弦值为；（Ⅱ）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），∴cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为．因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值，又∵BP==，∴BQ=BP=19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．．【考点】离散型随机变量及其分布列；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），由已知得后四组频数依次为27，24，21，18，由此能求出估计全年级视力在5.0以下的人数．（2）求出K2，由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（1）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18…所以视力在5.0以下的频率为：=0.82，故全年级视力在5.0以下的人数约为…（2）因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，…，，，，XX的数学期望…20．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意知，==，从而求猫眼曲线Γ的方程；（2）设交点C（x1，y1），D（x2，y2），从而可得，联立方程化简可得，k•k ON=﹣2；从而解得；（3）设直线l的方程为，联立方程化简，从而可得，同理可得，从而利用两平行线间距离表示三角形的高，再求；从而求最大面积．【解答】解：（1）由题意知，，==，∴a=2，c=1，∴，∴；（2）证明：设斜率为k的直线交椭圆T1于点C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD中点M （x0，y0），∴，由得，∵k存在且k≠0，∴x1≠x2，且x0≠0，∴，即；同理，k•k ON=﹣2；∴；（3）设直线l的方程为，联立方程得，化简得，，由△=0化简得m2=b2+2c2，，联立方程得，化简得，由△=0得m2=b2+2a2，，两平行线间距离：，∴；∴△ABN的面积最大值为．21．已知函数f（x）=ae x﹣x+b，g（x）=x﹣ln（x+1），（a，b∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）与y=g（x）在坐标原点处的切线相同，问：（ⅰ）求f（x）的最小值；（ⅱ）若x≥0时，f（x）≥kg（x）恒成立，试求实数k的取值范围；（2）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，对任意a∈（0，+∞），b∈R，证明：f′（）＜0（f′（x）为f（x）的导函数）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）（i）根据导数的几何意义和最值和函数的单调性的关系即可求出，（ii）构造函数，再分类讨论，根据导数和单调性的关系即可求出，（2）依题意，不妨设x2＞x1，求出f′（），构造函数令t=x2﹣x1＞0，设，利用导数求出函数的单调性，即可证明．【解答】解：（1）（ⅰ）∵f'（x）=ae x﹣1，，依题意，f（0）=0，且f（0）=0，解得a=1，b=﹣1，∴f'（x）=e x﹣1，当f'（x）＜0时，即x＜0时，f（x）单调递减，当f'（x）＞0时，即x＞0时，f（x）单调递增，∴当x=0时，f（x）取得最小值0．（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）≥0，即e x≥x+1，从而x≥ln（x+1），即g（x）≥0．设F（x）=f（x）﹣kg（x）=e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，则，①当k=1时，因为x≥0，∴（当且仅当x=0时等号成立），此时F（x）在[0，+∞）上单调递增，从而F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥kg（x）．②当k＜1时，由于g（x）≥0，∴g（x）≥kg（x），又由（1）知f（x）﹣g（x）≥0，∴f（x）≥g（x）≥kg（x），故F（x）≥0，即f（x）≥kg（x）．③当k＞1时，令h（x）=e x+﹣（k+1），则，显然h′（x）在[0，+∞）上单调递增，又，∴h′（x）在上存在唯一零点，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，∴h（x）在[0，x0]上单调递减，从而F（x）＜F（0）=0，即F′（x）＜0，∴F（x）在[0，x0]上单调递减，从而当x∈（0，x0）时，F（x）＜F（0）=0，即f（x）＜kg（x），不合题意．综上，实数k的取值范围为（﹣∞，1]．（2）证明：依题意，不妨设x2＞x1，有，，两式相减得：，整理得，则，于是，令t=x2﹣x1＞0，则设，则，∴y=G（t）在（0，+∞）上单调递增，则，于是有，即，∴．即f′（）＜0．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为圆I与边CA的切点．（1）求证A，I，H，E四点共圆；（2）若∠C=50°，求∠IEH的度数．【考点】圆內接多边形的性质与判定；圆周角定理．【分析】（1）由于⊙I切AC于点E，可得IE⊥AC，又AH⊥IH，可得A、I、H、E四点共圆；（2）在此圆中∠IEH与∠IAH对同弧．再利用三角形内角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出．【解答】（1）证明：由圆I与AC相切于点E得IE⊥AC，结合HI⊥AH，得∠AEI=∠AHI=90°，所以A，I，H，E四点共圆．（2）解：由（1）知A，I，H，E四点共圆，在此圆中∠IEH与∠IAH对同弧，∴∠IEH=∠HAI．∵锐角△ABC的内心为I，∴AI、BI分别是∠BAC、∠ABC的平分线，可得∠HIA=∠ABI+∠BAI=∠ABC+∠BAC=（∠ABC+∠BAC）==90°﹣∠C，结合IH⊥AH，得∠HAI=90°﹣∠HIA=90°﹣（90°﹣∠C）=∠C，所以∠IEH=∠C．由∠C=50°得∠IEH=25°．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆C：（θ为参数）和直线θl：（其中t为参数，α为直线l的倾斜角）（1）当时，求圆上的点到直线l的距离的最小值；（2）当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）圆C、直线l化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆上点到直线的距离最小值一般为圆心到直线的距离减半径可求出所求．（2）把直线的参数方程化为普通方程，把圆的参数方程化为直角坐标方程，根据圆心到直线的距离小于或等于半径，求得tanα≥，由此求出倾斜角α的范围．【解答】解：（1）圆C：（θ为参数）的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，当时，直线直线l：的直角坐标方程为x+y﹣3=0圆心到直线的距离为：=所以圆上的点到直线的距离的最小值为﹣1．（2）∵直线l的参数方程为l：（t为参数，α为直线l的倾斜角），消去参数t化为普通方程为tanα•x﹣y﹣2tanα+=0．圆C化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．根据圆心C到直线的距离d=≤1，解得tanα≥．再由倾斜角α∈[0，π）可得，≤α＜，故α的取值范围为[，]．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）化绝对值函数为f（x）=，从而判断函数的单调性及最值即可；（2）由基本不等式可得．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f（x）在是减函数，在是增函数；∴当x=时，f（x）取最小值=．（2）由（1）知，f（x）的最小值为，∴=2，∵m，n∈R+，，（当且仅当，即m=1，n=2时，取等号），∴的最小值为2．2016年9月27日。

华师一附中专县招生试题选（一）补充：函数y=f(x)（2012年）9、使得不等式|2x －3|＋k ＜x 有解的实数k 的取值范围是 k<23 1）当x≥23时，2x-3≥0，则有，2x-3+k<x ，则 x<3-k ， x<3-k 。

由于此种情况下x≥23，欲使不等式有解，需且只需23<3-k ，即：k<23。

（2）当x<23时，2x-3<0，则有，-2x+3+k<x ，则3+k<3x ， x>(√3+k)/3。

由于此种情况下x<(√3)/2，欲使不等式有解，需且只需(√3+k)/3<(√3)/2，即：k<(√3)/2。

综上，k 的取值范围为：k<23（2012年）10、某超市准备在每周末进行优惠促销，超市规定：①若一次性购物不超过188元，不予以折扣；②若一次性购物超过188元但不超过488元，按标价给予八折优惠：③若一次购物 超过488元，其中488元按标价给予八折优惠，超过部分按标价给予七折优惠某人三次 购物分别付款162元，368元，600 .4元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款 元。

（2012年）11、观察下列三角形数表：1，2，3，4，…，47，48，49，503， 5，7，……，95，97， 998，12，……， 192，19620， (388)……则最后一行的数为 。

第一行第一个数：1第二行第一个数：2+1第三行第一个数：2（2+3-1）第四行第一个数：4（2+4-1）第五行第一个数：8（2+5-1）那么第n 行的第一个数为：所以第50行就一个数，当n=50时的值，51×248（2011年）16、将正整数依下表排列成数表：1,2,5,10,17,26，…3,4,6,11,18,27，…7,8,9,12,19,28，…13,14,15,16,20,29…21,22,23,24,25,30，…31，………设2011位于该数表的第m 行，第n 列，则（m,n ）＝ .（2012年）15（本题13分)己知函数y ＝f(x)(﹣3≤x ≤3)满足f(﹣x) ＝﹣f(x)，且对任意实数d 、b 若﹣3≤d ≤3，﹣3≤b ≤3，a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考试数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题1.设集合{}|lg P y y x ==，集合{|Q x y ==，则()=PQ R ð（ ）A ．[]2,0-B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞-2.已知i 为虚数单位，若复数i 1i-=+a z （∈a R ）的虚部为1-，则a =（ ）A ．2-B ．1C ．2D ．1-3.定义在R 上的函数||1()()12x m f x -=-为偶函数，记0.5(lo g 2)a f =，2(lo g 1.5)b f =，()c f m =，则（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<4.已知向量a ，b 满足||2a=，||4b=，()a a b ⊥+，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A ．1-B ．2-C ．2D ．15.已知变量x ，y 满足220,1,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩则21x y x +++的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．19,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x y ab-=（0a >，0b >）的左、右焦点，若点2F 关于双曲线C 的一条渐近线的对称点为M ，且1||3F M =，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．32B ．3 C2D．7.《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知在直三棱柱111A B C A B C -中，A C B C ⊥，1A C =，2B C =，13A A =，截面11A B C 将该直三棱柱分割成一个阳马和一个鳖臑，则得到的阳马和鳖臑的外接球的半径之比为（ ） A ．2:1B ．1:2C ．1:1D ．2:38.已知a ，b R ∈，则||a b >是||||a a b b >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A ．1009-B ．1009C ．1008-D ．100810.已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为2r ，宽为r ，圆半径为r ，则该几何体的体积和表面积分别为（ ）A ．34π3r ，2(3π+rB ．32π3r ，2(3π+rC ．34π3r ，2(4π+rD ．32π3r ，2(4π+r11.向量π(sin (),sin )4ωω=-a x x ，π(s in (),s in o s )4ωωω=++b x x x （0ω>），函数1()2g x a b =⋅-的两个相邻的零点间的距离为π2，若0x x =（0π02≤≤x ）是函数()f x a b=⋅的一个零点，则0c o s 2x 的值为（ ）A ．18B ．18C ．18- D ．812.若曲线1C ：2y a x =与曲线2C ：xy e =（其中无理数 2.718e =…）存在公切线，则整数a 的最值情况为（ ） A ．最大值为2，没有最小值 B ．最小值为2，没有最大值 C ．既没有最大值也没有最小值D ．最小值为1，最大值为2 第Ⅱ卷二、填空题13.已知5(1)(12)a x x +-的展开式中，3x 的系数为20-，则实数a = ．14.已知平面区域{}(,)|0,01x y x y πΩ=≤≤≤≤，现向该区域内任意掷点，则点落在曲线2c o s y x =下方的概率为 ．15.设抛物线C ：24x y =的焦点为F ，其准线与y 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若90A M B ∠=︒，则||A F = ．16.如图，在平面四边形A B C D 中，A B B C ⊥，A D D C ⊥，1A B A D ==，2π3∠=B A D ，射线B C 上的两个动点E ，F 使得D C 平分E D F ∠（点E 在线段B C 上且与B 、C 不重合），则当4B F B E +取最小值时，tan E D F ∠= ．三、解答题17.已知*∈n N ，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和，212a =且44S a +，66S a +，55S a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2lo g (1)n nb a n λλ=-+≠-，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 满足20182018T =，求λ的值．18.如图1，在R t A B C∆中，90A B C ∠=︒，D ，E 分别为线段A B ，A C 的中点，4A B =，B C =D E 为折痕，将A D E ∆折起到图2中'A D E ∆的位置，使平面'A D E ⊥平面D B C E ，连接'A C ，'A B ，设F 是线段'A C 上的动点，且'C F C A λ=．（1）证明：B E ⊥平面'A D C ；（2）试确定λ的值，使得二面角F B E C --的大小为45︒．19.某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60)内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．（1）完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较； （3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在[20,30)或[40,50)内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望． 附：22()()()()()n a d b c Ka b c d a c b d -=++++20.已知椭圆1C ：22221(0)yx a b ab+=>>，过1C 上一动点P 作P M x ⊥轴，垂足为点M ．当点N 满足63M N M P =时，点N 的轨迹2C 恰是一个圆．（1）求椭圆1C 的离心率；（2）若与曲线2C 切于T 点的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且当//A B x 轴时，||2A B =，求A O B ∆的最大面积．21.已知函数21()ln (1)2f x x m x =+-，其中∈m R ．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12()11ln 2042f x x -<<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l 的参数方程为c o s ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα≤<），曲线C 的极坐标方程为2c o s 4s in ρθθ=．（1）若π6α=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求||A B 的最小值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|f x x a =--()∈a R ．（1）若()f x 在[]1,2-上的最大值是最小值的2倍，解不等式()5f x ≥； （2）若存在实数x 使得1()(1)2f x f x <+成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】一、选择题1-5:D C C A B 6-10:B C A B B 11、12：A C 二、填空题 13.3214.1215.2三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由6644552()S a S a S a +=+++， 得6564645()()2S S S S a a a -+-+=+， 即644a a =，∴214q =，∵{}n a 是单调递减数列，∴12q =，又∵212a =，∴11a =，∴11()2n n a -=．（2）由（1）得121lo g ()(1)12n n b n n λλ-=-+=+-，∴[][]111111(1)1(1)(1)11(1)1(1)(1)1n n b b n n n n λλλλλ+⎡⎤==-⎢⎥+-⋅++-++-++-⎣⎦，∴20181112018()2018120192018(20192018)T λλλλλ=-==+++，∴1λ=-或12019λ=， ∵1λ≠-，∴12019λ=．18.解：以D 为坐标原点， D B ，D E ，'D A 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为(0,0,0)D ，'(0,0,2)A ，(2,0,0)B，(2,0)C，(00)E ． （1）(2,0)B E =-，(2,0)D C=，'(0,0,2)D A=， ∵440B E D C ⋅=-+=，∴B E D C ⊥， ∵'0B E D A ⋅=，∴'B E D A ⊥， 又'D CD A D =，∴BE ⊥平面'A D C ．（2）设'C F C A λ=，则(2,2)C F λ=--，∴(22,,2)F λλ-， 设平面B E F 的法向量为(,,)n x y z=，∵(20)B E =-，(2,,2)B F λλ=-，∴20,2()20,x x y z λλ⎧-+=⎪⎨-⋅+-⋅+⋅=⎪⎩取(,,32)n λλ=-，又∵平面B E C 的法向量为'(0,0,1)n =，∴c o s 452︒==，得23620λλ-+=，解得13λ=±，又∵01λ<<，∴13λ=-∴13λ=-F B E C --的大小为45︒．19.解：（1）根据图1和表1得到22⨯列联表：将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：222()200(8649614)5000 6.105()()()()182********819n a d b c Ka b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，∵6.105 6.635<，∴没有99%的把握认为该企业生产的产品的质量指标值与设备改造有关． （2）根据图1和表1可知，设备改造前的产品为合格品的概率约为864310050=，设备改造后产品为合格品的概率约为962410025=，显然设备改造后合格率更高，因此，改造后的设备更优．（3）由表1知： 一等品的频率为12，即从所有合格品产品中随机抽到一件一等品的概率为12； 二等品的频率为13，即从所有合格品产品中随机抽到一件二等品的概率为13； 三等品的频率为16，即从所有合格品产品中随机抽到一件三等品的概率为16．由已知得：随机变量X 的取值为：240,270,300,330, 360，111(240)6636P X ==⨯=，12111(270)369P X C ==⨯⨯=，1211115(300)263318P X C ==⨯⨯+⨯=，12111(330)233P X C ==⨯⨯=，111(360)224P X ==⨯=，∴随即变量X 的分布列为：∴11511()2402703003303603203691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）设00(,)P x y ，(,)N x y ，由P M x ⊥轴知0(,0)M x ，∵63M N M P =，∴00,.2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 又∵P 点在椭圆1C 上，∴2200221y x ab+=，即2222312y x ab+=，又N 点的轨迹恰是一个圆，那么2223b a =，22222213c a b eaa-===，∵(0,1)e ∈，∴3e =（2）由（1）知椭圆1C ：2222132yxcc+=，圆2C ：2222x yc +=．当//A B x 轴时，切点T 为2C 与y轴的交点，即(0,)T ±，此时2A B =，23A x ==，即232c=，故1C ：223290x y +-=，2C ：223x y +=．设直线A B ：y k x m =+（斜率显然存在），11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由直线l 与2C=223(1)mk =+，联立直线l 与椭圆1C 的方程22,3290,y k x m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(23)4290k x k m x m +++-=，其中222222164(23)(29)12(692)360k m k m k m ∆=-+-=+-=>，有12221224,2329,23k m x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩那么122|||23A B x x k=-==+，t =（1t ≥），则266||1212t A B t t t==++，又函数12y t t=+在[1,)+∞上单调递增，则3y ≥，故||2A B ≤，∴11||22A O B S A B ∆=⨯≤⋅，即A O B ∆21.解：（1）函数()f x 定义域为(,1)-∞，且2'()11m x x mf x x xx-+-=-=--，10x ->，令20x x m -+-=，14m ∆=-， 当0∆≤，即14m ≥时，'()0f x ≤，∴()f x 在(,1)-∞上单调递减；当0∆>，即14m <时，由20x x m -+=，解得12x =22x =若104m <<，则121x x <<，∴1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；12(,)x x x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；2(,1)x x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减；若0m ≤，则121x x <≤，∴1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；11(,1)x x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；综上所述：0m ≤时，()f x的单调递减区间为1(,2--∞，单调递增区间为1(2-；104m <<时，()f x的单调递减区间为(,2-∞，2，单调递增区间为22；14m ≥时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞．（2）因为函数()f x 定义域为(,1)-∞，且2'()11m x x mf x x xx-+-=-=--，∵函数()f x 存在两个极值点，∴'()0f x =在(,1)-∞上有两个不等实根1x ，2x ，记2()g x x x m =-+-，则140,11,2(1)(1)0,m g ⎧∆=->⎪⎪-<⎨⨯-⎪⎪<⎩∴104m <<，从而由12121,,x x x x m +=⎧⎨=⎩且12x x <，可得11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈，∴22111122221ln (1)()12ln (1)2x m x f x x m x x x x x +-==⨯+-211111ln (1)2(1)x x x x =⨯+--，构造函数2()ln (1)2(1)xx x x x ϕ=+--，1(0,)2x ∈，则22222'()ln (1)ln (1)2(1)12(1)x xx xx x x x xx ϕ-=+--=+----，记22()ln (1)2(1)xp x x x =+--，1(0,)2x ∈，则231'()(1)3x x p x x h -+-=-，令'()0p x =，得031(0,)22x -=∈（3122x +=>，故舍去），∴()p x 在0(0,)x 上单调递减，在01(,)2x 上单调递增，又(0)0p =，11()ln 2022p =-<，∴当1(0,)2x ∈时，恒有()0p x <，即'()0x ϕ<，∴()x ϕ在1(0,)2上单调递减，∴1()()(0)2x ϕϕϕ<<，即11ln 2()042x ϕ-<<，∴12()11ln 2042f x x -<<．22.解：（1）当π6α=-时，由直线l 的参数方程c o s ,2s in ,x t y t αα=⎧⎨=+⎩消去t得23y x =+，即直线l的普通方程为0x -+=；因为曲线过极点，由2c o s 4s in ρθθ=，得2(c o s )4s in ρθρθ=， 所以曲线C 的直角坐标方程为24x y =．（2）将直线l 的参数方程代入24x y =，得22co s 4sin 80t t αα--=， 由题意知ππ[0,)(,π)22α∈，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1224s in c o s t t αα+=，1228c o st t α=-，∴12||||A B t t=-====∵ππ[0,)(,π)22α∈，2c o s (0,1]α∈，211c o s α≥，当2c o s 1α=，即0α=时，||A B 的最小值为23.解：（1）∵[]1,2x ∈-，∴m in 1()()2f x f a ==-，m a x ()(1)(2)3f x f f a =-==-，∴32a a -=-，解得3a =-，不等式()5f x ≥，即|21|2x -≥，解得32x ≥或12x ≤-，故不等式()5f x ≥的解集为31|22x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或． （2）由1()(1)2f x f x <+，得|42||21|a x x >--+，令()|42||21|g x x x =--+，问题转化为m in ()a g x >，又123,,211()61,,22123,,2x x g x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩故m in 1()()22g x g ==-，则2a >-，所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．。