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§3.2 复数的四则运算课时目标 1.理解复数四则运算的定义.2.掌握复数四则运算法则，能够熟练地进行复数的运算.3.理解共轭复数的概念．1．复数的加减法(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i.则z 1＋z 2＝__________.z 1－z 2＝__________. 它们类似于多项式的合并同类项． (2)复数的加法满足交换律与结合律，即z 1＋z 2＝________.(z 1＋z 2)＋z 3＝____________. (3)复数减法是加法的__________． 2．复数的乘除法(1)z 1·z 2＝________________，z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i＝________________. (2)复数乘法满足交换律、结合律、分配律，即z 1z 2＝__________.(z 1z 2)z 3＝__________.z 1(z 2＋z 3)＝__________.3．共轭复数若z ＝a ＋b i ，则记z 的共轭复数为z ，即z ＝________. 共轭复数的性质 ①z z ∈R ，z ＋z ∈R ； ②z ＝z ⇔z ∈R .一、填空题1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2＝__________.2．已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a ＝________.3．复数i 3(1＋i)2＝________.4．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.5．设i 是虚数单位，则i3i ＋1i －1＝________.6．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是________． 7．已知复数z ＝1＋i ，则2z－z ＝________.8．若21－i ＝a ＋b i (a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝________.二、解答题9．计算：(1)(2＋i)(2－i)； (2)(1＋2i)2； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i.10．已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y 的值．能力提升11．已知复数z 满足z ·z ＋2i·z ＝4＋2i ，求复数z .12．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋k i＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．1．复数加减法可以类比多项式加减中的合并同类项．2．复数的乘法与多项式乘法是类似的，在所得结果中把i2换成－1.3．复数除法的实质是“分母实数化”，一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数．4．解决复数问题时，可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件，即实数化思想．§3.2复数的四则运算答案知识梳理1．(1)(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i(2)z2＋z1z1＋(z2＋z3) (3)逆运算2．(1)(ac－bd)＋(bc＋ad)i ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(2)z2·z1z1·(z2z3)z1z2＋z1z33．a－b i作业设计1．4＋2i解析z1－z2＝(3＋i)－(－1－i)＝4＋2i. 2．1解析 a －i1＋i ＝a －i 1－i 1＋i1－i ＝a －1－a ＋1i2＝a －12－a ＋12i ，因为该复数为纯虚数，所以a ＝1. 3．2解析 i 3(1＋i)2＝i 3·2i＝2i 4＝2. 4．1 解析 ∵a ＋2ii＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1. 5．－1解析 ∵i ＋1i －1＝1＋i 2－1－i 1＋i ＝2i－2＝－i ，∴i3i ＋1i －1＝i 3·(－i)＝－i 4＝－1.6．x ＝－1，y ＝1解析 x －2＝3x ，y ＝－(－1)，即x ＝－1，y ＝1. 7．－2i解析 2z －z ＝21＋i －1－i ＝21－i 1＋i 1－i －1－i ＝－2i.8．2解析 由21－i ＝a ＋b i ，得2＝(a ＋b i)·(1－i)，∴2＝a ＋b ＋(b －a )i ，(a ，b ∈R )， 由复数相等的定义，知a ＋b ＝2.9．解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.(3)方法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i226＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方法二 (技巧解法)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i 226＋2＋3i i 3－2ii＝i 6＋2＋3i i2＋3i＝－1＋i.10．解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i. 又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.11．解 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)＋2(a ＋b i)i ＝4＋2i ， ∴a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝4＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝4，2a ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.12．解 设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝02x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2k ＝－22或⎩⎨⎧x 0＝－2k ＝22，∴方程的实根为x ＝2或x ＝－2， 相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.。
1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝__________.2．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝117i 12i--(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________． 3．设a ∈R ，且1i 1i 2a -++是实数，则a ＝__________. 4．已知i 为虚数单位，则 2 0121i 1i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭__________.5．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为__________．6．已知复数22i (1i)z +=+，则z 的共轭复数的虚部为__________． 7．若复数z 满足z －2i ＝1＋z i(i 为虚数单位)，则z ＝______.8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__________. ∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋(2＋8)i ＝－1＋10i.9．计算： (1)112i 2i 22⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)(3＋2i)＋2)i ；(3)(1＋2i)＋(i ＋i 2)＋(3＋4i)；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 10．已知复数2(1i)3(1i)2iz -++=-.(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．参考答案1答案： 6－2i 解析：由已知z ＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.2答案：8 解析：∵a ＋b i ＝117i 12i--，∴a ＋b i ＝(117i)(12i)(12i)(12i)-+-+＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8.3答案：－1 解析：1i (1i)1i (1)(1)i 1i 2222a a a a ---+-++=+=+. 则当此复数为实数时，有a ＋1＝0，∴a ＝－1.4答案：1 解析：∵21i (1i)i 1i 2--==-+. ∴ 2 0121i 1i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝(－i)2 012＝i 2 012＝i 4×503＝i 0＝1. 5答案：34解析：z 1z 2＝(1＋2i) ＝m ＋(m －1)i ＋2m i －2(m －1)＝(2－m )＋(3m －1)i ，由已知得2－m ＝3m －1＞0，解得m ＝34. 6答案：1 解析：∵22i 2i (2i)(i)12i 1i (1i)2i 222z +++--=====-+，∴1i 2z =+，即z 的共轭复数的虚部为1.7答案：13i 22-+ 解析：由已知得z －z i ＝1＋2i ， ∴12i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)2z +++-+===--+ ＝13i 22-+. 8答案：－1＋10i 解析：∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， 又z 1＋z 2＝5－6i ，∴3526x y +=⎧⎨-=-⎩，，∴28. xy=⎧⎨=⎩，∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i.9答案：解：(1)原式＝1122i22⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝55i 22 -；(2)原式＝3＋(2－2)i＝3；(3)原式＝(1＋2i)＋(i－1)＋ (3＋4i) ＝(1－1＋3)＋(2＋1＋4)i＝3＋7i；(4)原式＝＋i＝8＋2i.10答案：解：(1)2i33i3i(3i)(2i)1i 2i2i5z-+++++====+--.(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以121a ba+=⎧⎨+=-⎩，，解得34.ab=-⎧⎨=⎩，。
1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝__________.2．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________．117i 12i--3．设a ∈R ，且是实数，则a ＝__________.1i 1i 2a -++4．已知i 为虚数单位，则__________.2 0121i 1i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭5．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为__________．6．已知复数，则z 的共轭复数的虚部为__________．22i (1i)z +=+7．若复数z 满足z －2i ＝1＋z i(i 为虚数单位)，则z ＝______.8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__________.∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋(2＋8)i ＝－1＋10i.9．计算：(1)；112i 2i 22⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)(3＋2i)＋－2)i ；(3)(1＋2i)＋(i ＋i 2)＋(3＋4i)；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．10．已知复数.2(1i)3(1i)2iz -++=-(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．参考答案1答案： 6－2i 解析：由已知z ＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.2答案：8 解析：∵a ＋b i ＝，∴a ＋b i ＝＝5＋3i.根据复数相117i 12i--(117i)(12i)(12i)(12i)-+-+等的充要条件可得a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8.3答案：－1 解析：.1i (1i)1i (1)(1)i 1i 2222a a a a ---+-++=+=+则当此复数为实数时，有a ＋1＝0，∴a ＝－1.4答案：1 解析：∵.21i (1i)i 1i 2--==-+∴＝(－i)2 012＝i 2 012＝i 4×503＝i 0＝1.2 0121i 1i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭5答案： 解析：z 1z 2＝(1＋2i)34＝m ＋(m －1)i ＋2m i －2(m －1)＝(2－m )＋(3m －1)i ，由已知得2－m ＝3m －1＞0，解得m ＝.346答案：1 解析：∵，∴，22i 2i (2i)(i)12i 1i (1i)2i 222z +++--=====-+1i 2z =+即z 的共轭复数的虚部为1.7答案： 解析：由已知得z －z i ＝1＋2i ，13i 22-+∴12i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)2z +++-+===--+＝.13i 22-+8答案：－1＋10i 解析：∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴3526x y +=⎧⎨-=-⎩，，∴28.x y =⎧⎨=⎩，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i.9答案：解：(1)原式＝1122i 22⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝；55i 22-(2)原式＝3＋(2－2)i ＝3；(3)原式＝(1＋2i)＋(i －1)＋ (3＋4i)＝(1－1＋3)＋(2＋1＋4)i＝3＋7i ；(4)原式＝＋i ＝8＋2i.10答案：解：(1).2i 33i 3i (3i)(2i)1i 2i 2i 5z -+++++====+--(2)把z ＝1＋i 代入得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以解得121a b a +=⎧⎨+=-⎩，，34.a b =-⎧⎨=⎩，。
[基础达标]1.若复数(1＋2i)(1＋a i)是纯虚数，则实数a 的值是________．解析：由复数(1＋2i)(1＋a i)＝1－2a ＋(2＋a )i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＝0，2＋a ≠0，解得a ＝12. 答案：122.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，实数y ＝________． 解析：∵x －2＋y i ＝3x －i ＝3x ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. 答案：－1 13.已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝a ＋(a ＋3)i ，且z 1z 2>0，则实数a 的值为________．解析：z 1z 2＝(a ＋2i)[a ＋(a ＋3)i]＝a 2－2(a ＋3)＋[a (a ＋3)＋2a ]i ＝a 2－2a －6＋(a 2＋5a )i ，因z 1z 2>0，即z 1z 2为正实数，故z 1z 2的虚部为0，且实部大于0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －6>0，a 2＋5a ＝0，解得a ＝－5. 答案：－54.设z ＝2－3i ，则z 3－4z 2＋5z －2的值为________．解析：由z ＝2－3i ，得z －2＝－3i ，那么z 3－4z 2＋5z －2＝z 2(z －2)－2z (z －2)＋(z －2) ＝(z －2)(z －1)2＝－3i(1－3i)2＝－6＋23i.答案：－6＋23i5.复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则zz －z －1＝________．解析：由z ＝1＋i ，得z ＝1－i ，则zz －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝1－i 2－1－i －1＝－i. 答案：－i6.若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b 、c 的值分别为b ＝________，c ＝________．解析：因为1＋2i 是实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，所以(1＋2i)2＋b (1＋2i)＋c ＝0，整理得b ＋c －1＋(22＋2b )i ＝0，所以⎩⎨⎧b ＋c －1＝0，22＋2b ＝0.解得b ＝－2，c ＝3. 答案：－2 37.计算：(1)(2－i)－(2＋3i)＋4i ；(2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)；(3)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(4)(0.5＋1.3i)－(1.2＋0.7i)＋(1－0.4i)．解：(1)(2－i)－(2＋3i)＋4i ＝(2－2)＋(－1－3＋4)i ＝0.(2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i ＝－2＋2i.(3)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i.(4)(0.5＋1.3i)－(1.2＋0.7i)＋(1－0.4i)＝(0.5－1.2＋1)＋(1.3－0.7－0.4)i ＝0.3＋0.2i. 8.已知关于x 的方程x 2－(1－i)x ＋m ＋2i ＝0有实根，求实数m 的值，并解方程． 解：设x 0为方程的实根，则有x 20－(1－i)x 0＋m ＋2i ＝0成立，即x 20－x 0＋m ＋(x 0＋2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20－x 0＋m ＝0x 0＋2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，m ＝－6. 把m ＝－6代入原方程，得x 2－(1－i)x －6＋2i ＝0，即x 2－x －6＋(x ＋2)i ＝0，∴(x ＋2)(x －3)＋(x ＋2)i ＝0，即(x ＋2)(x －3＋i)＝0.∴x ＝－2或x ＝3－i.故m ＝－6，且方程的解为x ＝－2或x ＝3－i.[能力提升]1.已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________． 解析：z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝(32a ＋33b )＋(a －b －1)i ＝43， 由复数相等的条件，知⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴a ＋b ＝3. 答案：32.在复数范围内，方程x 2－x ＋1＝0的解集为________．解析：设方程x 2－x ＋1＝0的复数根为x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)2－(a ＋b i)＋1＝0，即a 2－b 2－a ＋1＋b (2a －1)i ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－a ＋1＝0b （2a －1）＝0，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝32，或⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32， 故x 2－x ＋1＝0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12±32i . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫12±32i 3.已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x －1)＋(3－y )i ＝y －i ，求x 和y 的值．解：由y 是纯虚数，可设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则(2x －1)＋(3－b i)i ＝b i －i ，整理，得(2x －1＋b )＋3i ＝(b －1)i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋b ＝0，b －1＝3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，x ＝－32.所以x ＝－32，y ＝4i. 4.设x 、y 互为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .解：由题意设x ＝a ＋b i ，则y ＝a －b i(a ，b ∈R )．由已知条件得(a ＋b i ＋a －b i)2－3(a ＋b i)(a －b i)i ＝4－6i ，即4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3（a 2＋b 2）＝－6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.。
3.2《复数的四则运算》同步检测(2)一、基础过关1.1122(,,,x y x y ∈ R ）定义运算“⊙”为1z ⊙2z ＝2121y y x x +，设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为__________.2．若且21z z 为纯虚数，则实数的值为___________. 二、能力提升3已知复数z 满足: 13i ,z z =+-求22(1i)(34i)2z++的值4.四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A B C ，，三点对应的复数分别为求D 点对应的复数．5. 已知复数z 满足|z |＝5，且(3+ 4i)z 是纯虚数，求z ．4 3 , 2 21iz i a z - = + =三、探究与拓展6.设1zz 是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程．7.已知复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：21220z z <．答案解析1. 解析一：（解析法）设，故得点),(111b a P，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即12211-=⋅a b a b .从而有＝12211-=⋅a b a b .故21OP OP ⊥,也即.解析二：（用复数的模）同解析一的假设，知21212121||||b a OP +==ω,22222222||||b a OP +==ω,＝2121b a +＋2222b a +－2（2121b b a a +） ＝2121b a +＋2222b a +－2×0＝2121b a +＋2222b a +＝21||OP ＋22||OP .由勾股定理的逆定理知.解析三：（用向量的数量积）同解析一的假设，知，则有故.2.83 解析： 12z z =，又21z z 为纯虚数，3a －8＝0，且6＋4a ≠0,38=∴a .3. 解：设i(,)z a b a b =+∈R ，而13i ,z z =+-即2213i i 0a b a b +--++=,25) 4 6 ( 8 3 25 8 4 6 3 ) 4 3 )( 4 3 ( ) 4 3 )( 2 ( 4 3 2 ia a a i i a i i i i a i i a + + - = - + + = + - + + = - + ), ( ), , ( 22 211 1b a OP b a OP = = 221212 212 21 | ) ( ) ( | | | | | i b b a a P P - + - = - = ω ω21OP OP kk⋅ ， 0, ( , 21 2 2 2 1 1 1 ≠ + = + = a a i b a i b a ω ω则224,10,43i.3,30a a b a z b b ⎧=-⎧⎪++-=⇒=-+⎨⎨=-=⎩⎪⎩22(1i)(34i)2i(724i)247i34i 22(43i)43iz ++-++===+-+-.4．解：由已知并应用中点公式可得AC 的中点对应的复数为， 所以D 点对应的复数为[]32221)i 35i.2⨯+⨯-=+（- 5 解：设 z ＝x ＋y i （x , y ∈R ）, ∵ |z |＝5，∴ x 2＋y 2＝25.又(3＋4i)z =(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )+(4x ＋3y )i 是纯虚数， ∴340,430,x y x y -=⎧⎨+≠⎩ 联立三个关系式解得4,3,x y =⎧⎨=⎩或4,3.=-⎧⎨=-⎩x y∴ z =4＋3i 或z ＝－4－3i ．6. 解：∵1z z + 是纯虚数，∴()1z z ++1z z +=0 ，即1z z ++1zz +=, ∴2(1)(1)zz z zz z ++++=0 ，∴).设i (，∈R )，2( 2＋2)＋2＝0（≠0），∴ (x ＋12)2＋y 2＝14（y ≠0）．它为复数z 对应点的轨迹方程． 7. 证明：设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，12OZ OZ ⊥∴，故可设12i(,0)z k k k z =∈≠R ,所以2122222i z k k z ==-.32 2 i +。
3.2 复数的四则运算1、若复数z 满足1z =,则34i z --的最小值为( )A.1B.2C.3D.42、若i 为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数1z i+的点是( )A. EB. FC. GD. H 3、复数12,z z 分别对应复平面内的点12,M M ,且1212z z z z +=-,线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +,则2212z z +等于( )A.10B.25C.100D.2004、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3i +,13i +,则对应的复数是( )A. 24i +B. 24i -+C. 42i -+D. 42i -5、设11i z i +=-,()21f x x x =-+,则()f z = ( ) A. iB. i -C. 1i -+D. 1i --6、(1)(2)i i +-=( )A. 3i --B. 3i -+C. 3i -D. 3i -7、i 是虚数单位, 411i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭等于( ) A. iB. i -C. 1D. 1-8、若复数 (32)z i i =- (i 是虚数单位),则z = ( )A. 32i -B. 32i +C. 23i +D. 23i -9、设i 是虚数单位,则复数32i i -= ( ) A. i -B. 3i -C. iD. 3i10、a 为正实数,i 为虚数单位, ii 2a +=,则a = ( ) A.2 B.D. 111、若12z a i =+,234z i =-,且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为__________. 12、设复数z 满足234z i =+ (i 是虚数单位)则z 的模为 .13、若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭__________. 14、已知a ,b R ∈,i 是虚数单位.若()()1a i i bi ++=,则a bi +=__________.15、已知复数()()()13113i i i z i -+--+=,()z ai a R ω=+∈,当z ω≤,求a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：复数z 满足1z =,则复数z 对应的点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,34i z --表示圆上的点到点()3,4的距离, 点()3,4到原点的距离是5,34i z --的最小值为51 4.-=2答案及解析：答案：D解析：由图知复数3z i =+,则()()()()31321111i i z i i i i i i +-+===-+++-,所以复数1z i +所对应的点是H .3答案及解析：答案：C 解析：由1212z z z z +=-,可知, 12OM OM ⊥,故12OM M ∆为直角三角形,故有2222221212124100z z OM OM M M OM +=+===,故选c.4答案及解析：解析：依题意有CD BA OA OB ==-.而()()31342i i i +--+=-,而CD 对应的复数为42i -,故选D.5答案及解析：答案：A解析：6答案及解析：答案：D解析：7答案及解析：答案：C 解析：()()()4244411211112i i i i i i i ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫====⎢⎥ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦或()()()()2224221211112i i i i i i ⎡⎤++⎛⎫===⎢⎥ ⎪-⎝⎭--⎢⎥⎣⎦.8答案及解析：答案：D解析：因为()3223z i i i =-=+,所以23z i =-,故选D.【考点定位】本题考查复数的基本运算,属于容易题.9答案及解析：答案：C 解析：322i i i i i-=-+=,故选C.10答案及解析：答案：B解析：∵i ii i 2a a ++===,∴a =又0a >,∴a =故选B.11答案及解析： 答案：83解析：()()()()()122343846 23434345a i i a a i z a i z i i i ++-+++===--+,它是纯虚数,所以380a -=,且460a +≠,解得83a =.故答案为: 83.12答案及解析：解析：∵234z i =+,∴225z z ===,∴z .13答案及解析：答案：6解析：∵12z i =+, ∴12z i =-. ∴11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.14答案及解析：答案：12i +解析：由复数相等的定义求得a ,b 的值,即得复数.由()()1a i i bi ++=可得()()11a a i bi -++=,因此10a -=,1a b +=,解得1a =,2b =,故12a bi i +=+.15答案及解析：答案：()()()13113i i i z i -+--+=()()241311i i i i i i +-++===-, 因为()111z ai i ai a i ω=+=-+=+-, 所以()()()111112122a i i a i a ai z i ω+-+⎡⎤+--+⎣⎦===-.所以z ω=≤,所以2220a a --≤,所以11a ≤≤故a 的取值范围是1⎡⎣.解析：。
3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由 az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i) ＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5.答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i ，(i 为虚数单位)则z ·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。
