巧用变形变换解决有理函数的积分计算

§3.6有理函数与三角函数有理式的积分教学目的：使学生理解有理函数与三角函数有理式积分法，掌握有理函数与三角函数有理式积分法的一般步骤与其应用。

重点：有理函数与三角函数有理式积分法与其应用 难点：有理函数与三角函数有理式积分法与其应用教学过程：一、问题的提出前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发〔换元积分法与分部积分法〕已经求出了一些不定积分。

从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容易。

即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出〞。

例如，⎰⎰⎰⎰+-31,,ln ,sin 2x dx dx e x dx dx x x x ，被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂，但是在初等函数X 围内却积不出来，这是因为被积函数的原函数不是初等函数。

本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。

求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套〞“拆〞，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。

“变〞，即代数恒等变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子；三角恒等变形：半角、倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、分母配完全平方等；“凑〞，即凑微法〔第一类换元法〕。

“换〞，即第二类换元法〔三角代换、倒代换、指数代换法等〕。

“分〞，即分部积分法。

“套〞，即套基本公式。

求不定积分的主要技巧在一个“巧〞字和一个“练〞字，即巧用上述方法和综合运用上述方法。

二、有理函数的积分有理函数)(x R 是指由两个多项式的商所表函数，即=)(x R m m m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P +++++++=----11101110)()( 其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,210 与m b b b b ,,,,210 都是实数，通常总假定分子多项式)(x P 与分母多项式)(x Q 之间没有公因式，并且00≠a ，00≠b .当m n <时，称)(x R 为真分式；而当m n ≥时，称)(x R 为假分式. 一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如111122234-++++=-+x x x x x x x .多项式的积分容易计算，因此，有理函数的积分主要是解决真分式的积分问题，而真分式的积分往往是转化为最简分式来计算．鉴此，我们先来讨论真分式分解为最简分式问题.在实数X 围内，真分式)()(x Q x P 总可以分解成最简分式之和，且具有这样的对应关系：① 如果)(x Q 中有因式ka x )(-，那么分解后相应有下列k 个最简分式之和)()()(121a x A a x A a x A k k k -++-+-- ， 其中1A 、2A 、…、k A 都是常数.特别地，如果1=k ，那么分解后只有一项a x A-；② 如果)(x Q 中有因式k q px x )(2++〔042<-q p 〕，那么分解后相应有下列k 个最简分式之和q px x N x M q px x N x M q px x N x M k k k k ++++++++++++-21222211)()( ，其中i M 、i N 都是常数.特别地，如果1=k ，那么分解后只有一项q px x NMx +++2. 有理真分式总能分解为若干个部分分式之和的形式〔部分分式是指这样一种简单分式，其分母为一次因式或二次质因式〕。

§3-7 阅读(有理函数和三角函数有理式的积分法)在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分..在那里，因为被积函数都很特殊，因为被积函数都很特殊，所以用所以用所以用“拼凑的方法”“拼凑的方法”就求出了它们的积分就求出了它们的积分..这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了. .1.有理函数的积分法有理函数的积分()d ()p x x q x ò[ [其中其中()p x 和()q x 都是多项式都是多项式] ] 总可以积出来，即可把它表示成初等函数总可以积出来，即可把它表示成初等函数..积分方法的要点是：第一，若有理函数()()p x q x 中，分子()p x 的次数不低于分母()q x 的次数，则称它为假分式假分式..在这种情形下，就用多项式除法（见下面例2727）），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即()()()()()p x r x s x q x q x =+ [ [其中分子其中分子()r x 的次数低于分母()q x 的次数的次数] ] 于是，()d ()p x x q x ò()()d d ()r x s x x x q x =+òò右端第一项是多项式的积分右端第一项是多项式的积分((用分项积分法可以积出来用分项积分法可以积出来))，所以就变成求有理函数真分式的积分()d ()r x x q x ò. . 关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题. . 例27 例如求有理函数假分式的积分522d 36x x x x -++ò首先像做整数除法那样，做多项式除法：由此可得63225++-x x x 3212323336x x x x +æö=-+ç÷+èø其次再逐项积分，即(余式) 23+x (被除式) （除式）255336000202x x x x x ++++-+++xx x x 40220233-+-+-+-（商式）31233x x -5342222212321132d d d d 33123363636x x x x x x x x x x x x x x x -+++æö=-+=-+ç÷+++èøòòòò这样就变成求这样就变成求((右端最后一个右端最后一个))有理函数真分式的积分有理函数真分式的积分. .第二，第二，对于真分式对于真分式()()r x q x ，先把分母上的多项式()q x 分解成一次因式或没有实根的二次因式的乘积二次因式的乘积((根据代数基本定理，这是可能的).).然后用待定系数法然后用待定系数法然后用待定系数法((或拼凑方法或拼凑方法))把()()r x q x 化成不超出下面这些“最简分式”的和：化成不超出下面这些“最简分式”的和：22,,,()()n m A B Cx D Ex Fx a x b x px q x rx s ++--++++(n 和m 为正整数为正整数)) (分子比分母上的基因式低一次分子比分母上的基因式低一次) )这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分. . 我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法. .⑴分母为一次重因式的真分式的积分法例28 例如求例如求2353d (2)x x x ++ò，可令，可令2323532(2)(2)(2)x A B C x x x x +=++++++将右端通分，将右端通分，并比较两端分子，并比较两端分子，并比较两端分子，即即C x B x A x ++++º+)2()2(3522，则得三元线性方程组则得三元线性方程组ïîïíì=++=+=（常数项）的系数）（的系数）（3240452C B A x B A x A ， 解得解得ïîïíì=-==23205C B A 于是得于是得3232)2(23)2(2025)2(35+++-+=++x x x x x 因此，因此， 2353d (2)x x x ++ò2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =-++++òòò220235ln 222(2)x x x =++-++【注1】上面求待定系数的方法是比较两端x 的同次项系数，下面是求待定系数的另一个方法：根据2253(2)(2)x A x B x C +º++++，则，则第一步，让2x =-，得23C =；第二步，在2253(2)(2)x A x B x C +º++++两端关于x 求导数，得102(2)x A x B º++. 再令2x =-，得20B =-；第三步，在102(2)x A x B º++两端关于x 求导数，则得102A =，即5A =.【注2】把真分式2353(2)x x ++化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法: :25323(510)22x x x x +=-+++,222253510232023522(2)(2)(2)x x x x x x x +-=+=-++++++ 232353520232(2)(2)(2)x x x x x +=-+++++ ( (你看懂了吗你看懂了吗你看懂了吗?) ?)⑵分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法例如求d ()()cx d x x a x b +--ò，可令，可令 bx Ba x Ab x a x d cx -+-=--+))((（A 和B 为待定系数）为待定系数） 然后根据恒等式()()cx d A x b B x a +º-+-，求出待定系数A 和B .于是，于是，d ()()cx d x x a x b +=--òd d ln ||ln ||A B x x A x a B x b x a x b +=-+---òò例29 求2d (3)(5)x x x x ---ò.解 设53)5)(3(2-+-=---x Bx A x x x (B A ,为待定常数为待定常数) ) 则得)3()5(2-+-º-x B x A x ，即，即2)35()(-º+-+x B A x B A 比较两端常数项和x 的系数，则得线性方程组的系数，则得线性方程组îíì=+=+1235BA B A 解得23,21=-=B A ( (求求B A 和的另一个方法见下注的另一个方法见下注).).).因此，因此，因此， 523321)5)(3(2-+--=---x x x x x 从而得从而得2d(3)(5)x x x x ---ò113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x x x =--+-=--+---òò【注】在式2(5)(3)x A x B x -º-+-中，让3x =，则得12A =-，所以12A =-；再让5x =，则得32B =，所以32B =.⑶分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法 例如例如[[注意注意,,分母没有实根2(40)p q -<]，22222111(1)d d d 424x x ux px q u A p q px ==+++-æö++ç÷èøòòò24,22q p p u x A æö-ç÷=+=ç÷èø(套用积分公式)1arctan u A A =2222arctan 44q q x p p p+-=-2222(2)(2)d (0)d d 2b bx p p x ax ba a ax a ax x x px qx px qx px qæö++-+ç÷+èø¹==++++++òòò222d()21d 22ax px q a b p x a x px q x px q++æö=+-ç÷++++èøòò2221ln()d 22aa bx px q p x a x px q æö=+++-ç÷++èøò(套用前一题的结果套用前一题的结果).). ⑷分母为二次重因式的真分式的积分法例30 例如求积分例如求积分322221d (1)x x x x x -+++ò.若用待定系数法，就令若用待定系数法，就令322222221(1)1(1)x xAx B Cx D x x x x x x -+++=+++++++若不用待定系数法，可依次用多项式除法：若不用待定系数法，可依次用多项式除法：第一步，3222212(2)(3)11x x x x x x x x -++=-+++++；第二步，32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x -+-+=+++++++于是，于是，32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x xx x x x x x x x -+-+=+++++++òòò其中右端第一个积分其中右端第一个积分22222231(21)71d(1)7d d d 1212121322x x x x x x x x x x x x x x -+-++==-++++++æöæö++ç÷ç÷èøèøòòòò217221ln(1)arctan 2233x x x +=++-×而第二个积分而第二个积分2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xxx x x x x x x x x +++++==+++++++++òòòò2222113d (1)1322x x x x =-+++éùæöæöêú++ç÷ç÷êúèøèøëûò[套积分公式⒇] ⑸分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法例如，求22d ()()bx cx d x x a x px q ++-++ò时，可令时，可令 q x p x C x B a x Aq x p x a x d x c x b ++++-=++-++222))((然后根据恒等式然后根据恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++º++++-求出待定系数A 、B 和C . 于是，于是，22d ()()bx cx dx x a x px q ++-++ò2ln ||d Bx C A x a x x px q +=-+++ò (注意2xpx q ++没有实根没有实根,,即240p q -<)2.三角函数有理式的积分法 所谓“三角函数有理式”，是指由常数和简单三角函数x sin 与x cos 经过有限次的有理运算经过有限次的有理运算((加、减、乘、除加、减、乘、除))得到的函数，记成)cos ,(sin x x R .下面介绍的是形如积分的是形如积分(sin ,cos )d R x x x ò的积分法的积分法..例如积分例如积分2cos d 2sin cos x x x x +ò，1d 2sin cos 1x x x -+ò，1d (0)cos x ab a b x ¹+ò等.实际上，我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分..这里介绍的是一般方法这里介绍的是一般方法..你在做题时．．．．．，还是要具体问题具体分析．．．．．．．．．．．，未必就一定要用这里介绍的方法．．．．．．．．．．．．．．（因为一般情形下，这里介绍的方法要麻烦一些）方法要麻烦一些）. .令2tan xt =(称它为半角替换或万能替换称它为半角替换或万能替换))，则，则2222122tan12tan22sec 2tan22cos2tan22cos2sin2sin t t x x xx xx x x x +=+==== 22222222112tan12tan 1)2tan 1(2cos 2sin 2cos cos t t x x x x x x x +-=+-=-=-= t t t x d 12)arctan 2(d d 2+==于是，于是，(sin ,cos )d R x x xò2222212,d 111t t R t t t t-æö=ç÷+++èøò这样，三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分..在有些情形下，像前面做过的那样，不必用半角替换，而用其它三角替换会更简单必用半角替换，而用其它三角替换会更简单..例如例如()i 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令cos t x =； ()ii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令sin t x =； ()iii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=时，令tan t x =.习题1.求下面的原函数：⑴25d (3)x x x --ò； ⑵⑵325d (2)x x x --ò；⑶23354d (1)x x x x -+-ò； ⑷⑷3223242d 21x x x x x x -++-+ò. 答案：⑴323ln -+-x x；⑵2)2(2122-+--x x ；⑶2)1(1111ln 3-----x x x ； ⑷171ln 94232---++x x x x .2.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x d )3)(2(73ò---； ⑵⑵x x x x d 2152ò-++； ⑶⑶x x x x x x d )2)(2(2342ò+---. 答案：⑴3ln 22ln -+-x x ；⑵1ln 22ln 3-++x x ；⑶2ln 252ln ln 21++-+x x x . 3.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x x d )1)(2(23222ò++-+； ⑵⑵x x x x x d )32)(1(2ò+++； ⑶⑶x x x d 134ò+. 答案：⑴x x arctan )1ln(2-+；⑵21arctan 21)32ln(411ln 212++++++-x x x x ；⑶312arctan 311)1(ln 6121222--+-++x x x x x . 4.根据提示，请把下面的演算做到底：根据提示，请把下面的演算做到底：⑴tan 21d 2sin cos 1x t x x x æö=ç÷èø====-+ò⑵(cos )1d (2cos )sin t x x x x ======+ò⑶2(sin )cos d 2sin cos t x xx x x ======+ò⑷3(tan )3sin d sin cos t x xx x x======+ò答案：⑴22tan2tan ln21+x x ；⑵32)cos 1()cos 1()cos 2(ln 61x x x +-+；⑶12sin 1ln 222sin 1x x +--+；⑷÷÷øöççèæ---+-x x x x x x x sin 3sin cos 2arctan 31cos sin 1)cos (sin ln 612.。

有理函数的积分方法总结
学习高数时，不定积分问题一直是困扰我们的一个难点，因为解决这类问题，一是费脑，而是方法众多，根本就不知道用哪种方法，三是根本就没有记得那么多的方法，以至于见题不会。

而且，数学这种东西环环相扣，就感觉很麻烦，只要不定积分的问题不会，定积分问题与微分方程问题也都不可能达到精通，这要就会极大的打击我们学高数的积极心。

而我今天会给大家系统的介绍关羽有理函数的积分方法总结，希望对大家以后解决这类问题有所帮助。

有理函数的介绍
以例题的步骤讲解，将有理函数化为多项式与真分式之和形式的方法总结
万能公式：将三角函数化为有理函数进行积分
无理函数的积分与有理函数的积分之间的联系与转换方法，和例题分析
联系与转换方法
例题分析
内容方法总结
基本上关于有理函数的积分就有这么多方法，希望大家可以采纳，并且对解决这类问题有所帮助。

浅谈三角函数有理式积分的求法摘要：本文主要通过恒等变形法、凑微分法、变量代换法、裂项法等方法对三角函数有理式积分的求法进行了一些探讨。

关键词：三角函数有理式积分R（sinx，cosx）表示以sinx、cosx为变元的有理式，即对于sinx、cosx及常数施行有理运算即加减乘除四则运算的结果。

如、、等。

它们都是对cosx、sinx 及常数施行有理运算得到的结果。

笔者对形如R（sinx，cosx）dx的积分算法做了一些探讨，下面就对此类方法作一介绍。

1 恒等变形法由于三角函数有许多特有的性质，如各种三角函数之间有一些公式相互联系，三角函数的导数仍是三角函数，如sin2x+cos2x=1，（sin2x+cos2x）2=1，1+tan2x=sec2x，（sinx）′=cosx等，这使得三角函数有理式的积分可通过三角函数的恒等变形，将其化为分项积分求出。

一般通过适当的三角恒等式及有关的三角函数的微分公式就能把这些积分求出。

例1：求（sin3x+cos2x）dx；解：原式= sin3xdx +cos2xdx=（cos2x-1）d cosx + （1+cos2x）dx=cos3x-cosx+x+sin2x+C例2：求dx；解：原式=cot2xcsc4xdx=-cot2x（1+cot2x）dcotx=-cot3x-cot5x+C例3：求dx；解：原式=（1-）dx = x-dx=x-dx = x-dx=x-dtanx=x-arctan（tanx）+C例4：求dx；解：设3sinx+2cosx=A（2sinx+3cosx）+B（2sinx+3cosx）′= A（2sinx+3cosx）+B（2cosx-3sinx）比较上式两端sinx与cosx的系数，得到2A-3B=33A+2B=2 ，解得：A=，B=-故原式= dx= x-ln|2sinx+3cosx|+C2 凑微分法此类方法需熟练地运用有关微分公式，通过一些微分关系式凑微分求之。

三角有理式积分万能代换1. 引言在高等数学中，积分是一个重要的概念和工具，用于求解曲线下面的面积、求解定积分、求解微分方程等问题。

在积分的过程中，有一类特殊的积分被称为三角有理式积分，即含有三角函数和有理式的积分。

这类积分在实际问题中经常出现，并且求解起来比较困难。

为了解决三角有理式积分的问题，数学家们提出了一种强大的工具——万能代换法。

万能代换法是一种基于代换思想的积分方法，通过巧妙的代换将原积分转化为更容易求解的形式，从而简化积分的过程。

本文将详细介绍三角有理式积分的概念、性质以及万能代换法的具体步骤和应用。

2. 三角有理式积分的概念和性质三角有理式积分是指形如∫R(sinx,cosx)dx的积分，其中R(sinx,cosx)是关于sinx和cosx的有理式。

三角有理式积分在实际问题中经常出现，例如在计算曲线的弧长、求解微分方程等过程中。

三角有理式积分的性质如下：•三角有理式积分的结果通常是一个含有三角函数的有理函数。

•三角有理式积分具有可加性，即∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。

•三角有理式积分具有线性性，即∫(af(x))dx=a∫f(x)dx，其中a为常数。

3. 万能代换法的基本思想万能代换法是一种通过巧妙的代换将原积分转化为更容易求解的形式的积分方法。

其基本思想是通过选择合适的代换变量，将被积函数转化为一个更简单的函数，从而简化积分的过程。

万能代换法的具体步骤如下：1.选择代换变量：根据被积函数的形式，选择一个合适的代换变量，通常选择的变量与三角函数部分有关。

2.进行代换：将被积函数中的变量用代换变量表示，同时计算出代换变量的微分。

3.转化为简单形式：将原积分转化为代换变量的积分，并利用基本的积分公式进行简化。

4.求解代换变量的积分：对代换变量的积分进行求解，得到最终的结果。

4. 万能代换法的具体应用万能代换法在三角有理式积分中的具体应用如下：4.1 第一类三角有理式积分第一类三角有理式积分形如∫R(sinx,cosx)dx，其中R(sinx,cosx)是关于sinx和cosx的有理式。

§6–6 三角函数有理式积分基础知识导学1．定义三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数，记作：R (sin x ,cos x )2．⎰R (sin x ,cos x )dx 的求法（1） 利用三角恒等式和变量代换，把⎰R (sin x ,cos x )dx 化为熟悉的积分；（2）利用下面三种函数代换，把三角函数原积分转化为新变量t 的有理函数积分，而有理函数的积分已经解决，所以三角有理式的积分也就解决了。

三种变量代换① 对⎰R (sin x ,cos x )dx ，利用万能公式，即令t = tg 2x ，则sin x =212t t +，cos x =2211t t +-，dx =212t +dt ② 对⎰R (sin x )cos xdx 或⎰R (cos x ) sin xdx 令t = sin x 或t = cos x③ 对⎰R (sin 2 x , cos 2 x ) dx 或⎰R (tg x ) dx令t = tg x 重点难点突破1．在计算三角函数有理式的积分时，要注意分析被积函数的特点，充分利用三角函数恒等式，达到简化计算的目的。

2．下面的变量代换是根据上述三种变量代换和三角有理式的具体形式得到的一些代换，在计算中常常用到。

① 形如⎰sin m x cos n x dx 的积分如果m ，n 中至少有一个为奇数时，若m 为奇数，则令cos x = t ；若n 为奇数，则令sin x = t如果m ，n 皆为偶数，则作变换sin 2 x =22cos 1x -,cos 2 x =22cos 1x + ② 形如⎰tg m x dx ,和⎰ctg m x dx 的积分，其中m 为正整数 利用tg 2x = sec 2x －1， ctg 2x = csc 2x －1降低正切或余切函数的幂指数。

③ 形如⎰tg m x sec n x dx ,和⎰ctg m x csc n x dx ，其中n 为正偶数 利用sec 2x =1+tg 2x ，csc 2x =1 +ctg 2x 降低正切或余切函数的幂指数。

第二类换元积分法例题及解析过程嘿，咱今儿就来讲讲第二类换元积分法！这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开积分世界里那些看似紧闭的大门。

咱先来看个例子哈，比如求∫(1/(1+x^2))dx。

哎呀，乍一看是不是有点懵？别急呀！这时候第二类换元积分法就派上用场啦。

咱可以设x = tanθ，那 dx 不就等于sec^2θdθ嘛。

这就好像咱走在路上，突然发现了一条小路，走进去说不定就别有洞天啦。

把这些都带进去，原来的式子就变成了∫(1/(1+tan^2θ))sec^2θdθ。

你看，这一下子就变得不一样了吧！就好像原本一团乱麻，现在找到了线头，可以慢慢解开啦。

然后呢，根据一些三角函数的知识，1+tan^2θ不就是sec^2θ嘛，那这式子就变成了∫1dθ，这多简单呀！结果不就是θ+C 嘛。

但咱可不能忘了，咱是设了x = tanθ的呀，那θ不就是 arctanx 嘛。

所以最终结果就是 arctanx+C 啦。

你说这神奇不神奇？这就好比咱要去一个地方，原本走大路绕来绕去好麻烦，结果发现有条小路能直达，多爽呀！再来看个例子，求∫(1/(x^2+2x+2))dx。

哎呀呀，这看着也不简单呢。

不过咱不怕呀，咱还是用第二类换元积分法。

把式子变形一下，变成∫(1/((x+1)^2+1))dx。

这时候咱设x+1 = tanθ，那 dx 不就等于sec^2θdθ嘛。

带进去就变成了∫(1/(tan^2θ+1))sec^2θdθ。

哈哈，又变成熟悉的样子啦！这不就是∫1dθ嘛，结果还是θ+C 呀。

再把x+1 = tanθ 带回去，不就得到 arctan(x+1)+C 嘛。

第二类换元积分法是不是很有意思呀？它就像是我们在积分世界里的秘密武器，能帮我们解决好多难题呢。

咱学习这东西呀，就得多练习，多尝试，别一看到难的就退缩。

就像爬山一样，一开始觉得累，爬上去了不就看到美丽的风景啦！积分也是这样，掌握了方法，就能领略到其中的美妙啦！你说是不是呀？反正我是这么觉得的。

由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】 当被积函数为两多项式的商P(x)的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，Q( x)在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分两个多项式的商P xP x称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式Q x与分母多项式 Q x 之间无公因式，当分子多项式P x 的次数小与分母多项式Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.1. 对于假分式的积分： 利用多项式除法， 总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式 .例3x 4 2x 21.1x 2 1dx解 原式3x 2 x21 x 2x21dx3x2dx x 2 dxx 2 13 x2dx 1 x 2 1 dx1 3 x2dx dx1 dxx 3 x21x arctanx C2x 4x 2 3 例 1.221 dxx2x 2 x 2 13 x2 dx解 原式x212 x 2dx 31 1 dx x2 dxx 2x 2 12 x 34arctan x x C31总结：解被积函数为假分式的有理函数时， 用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分 . 对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：x 2 dx1 1dxx 2 1 x 2 1P x 对于真分式，若分母可分解为两个多项式乘积Q x = Q 1 x Q 2 x ，且 Q 1x ，Q xP x P xP xQ 2 x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：12，上述过程称为Q xQ 1 x Q 2x把真分式化为两个部分分式之和. 若 Qx 或 Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘12积，则最后有理函数分解式中出现多项式、P 1 xk、P 2 x 等三类函数，则多项xx 2px la q式的积分容易求的2. 先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分2.1类型一(ax b) mdxcxkx31dx例 2.1.1x2解 原式 =x 33x23x1dxx 2= xdx3 dx 31dx 1dxx x 2= 1x 2 3x 3In x 1 C 2x总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算2.2类型二cx kax m dxbx 2例 2.2.13 dxx2解 令 x+2=t , 则 xt 2 ， 有 dx dt2t 2原式 = 2dxt 3= t24t4dtt 3= 14 11 dt t2 dt43 dttt=Int+ 4 - 2+Ct t 2=I n x 242Cx 2x 2 2总结：当被积函数形如时cxkm dx ，将其用换元法转换为ax b解法求解2.3 类型三P x l dxax 2bx c例 2.3.1x 32dxx 22x2原式 =x 32 dtx 1 21设=tant,x=tant+1,dx=set2x-1tdt3上式 =1+tantset 2tdtset 2t= tan 3 t 3tan 2 t 3tan t 1dtset 2t = sin 3 t cos 1 t 3sin t cost 3sin 2 t cos 2 t dtm(axb)dx ，再按照后者cx k=- 1 cos 2t costd cost +3sin 2tdt dt cos2tdt4=-Incost + 1cos 2t+2t+2sintcost2 1x 1Q tant=x-1, cost=2,sint= 2x 1 1x1 1上式122x 22 x 214 2arctan x 1 x 2 2x 2C= 2 In x4x 2x 23例2.3.2x 1 dxx 2 2x132x22=2dx22x 3x=1x 21 3 d x 22x 3 -212 dx 2 2 xx 1 2= 1In x22x 3 - 2arttanx 1+C22总结：当被积函数分母含有 ax 2 +bx+c 时，可以用凑微分法进行积分 ；对于形如 ax 2 lbx+c 时，可将其变形为 T 2 x +1或者是1-T 2 x ,然后利用三角函数恒等变形 sin 2x+cos 2x=1和1+tan 2x=set 2x 将T 2 x 降次，便于计算 .3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分例 3.1 2x+3dx2 3x 10x解法 12x+3 dx2 3x 10x =x 21d x 2 3x 103x 10=In x 23x 10 +C解法 22x+3dxx 23x102x+3 10 = 2x+3 = A + B 2 x 2 3x x+5 x 2 x 5 x =A B x 5B 2A1 1x 5 x 2x 5 x 2原式 =11dxx5 x 2=In x 23x 10 +C总结： 假分式分母可以因式分解， 将被积函数化为部分分式之和的形式， 然后用基本积分公4式进行运算 .x2 dx例 3.22x 1x 2 x 1原式 =2xdx2x 1 x 2 x111 2x 1 1=d 2x 1 - 2x 2 x 2dx 2x 11=1 d 2x 11x21 d x 2x 1112dx 2x 12 x121 3x24=In2x 1 - 1In x2x 1+ 1arctan x1+C232总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换.x 3dx 例 3.3x 2x 1 1=x 3dxx 2x11x 2 1 dxx 2 2x 1 x11 2x 2112 dxx 22xdx1 x11 x2 1 d x22x 11 2 dx1dx 2 2x 1x 1x1Inx1 x 1 Cx 11总结： 此题能够得出一个重要结论， 分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标 准进行因式分解，拆项除此之外， 常见的还有， 可化为有理函数的积分 . 例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：1+sin xdx . 例如被积函数中含有cos xsin x 1nax b 或 nax b时用换元法将根号去掉，例：x 1 xdx ， 1dx . 虽然形式cxd1 x3x15各种各样 , 但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松6。