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人教版-等比数列优质课件

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人教高中数学等比数列优秀PPT

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1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。 2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。 4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事” 5.美方发起贸易战，进行恫吓威胁， 不会给 中国发 展带来 困难和 影响， 只会更 加激发 中国人 民的勇 气、士 气与硬 气。 6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。 7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。 8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。 9. 弊端重重的人类中心主义亟须克服 自身认 识的偏 见，而 中华民 族的中 道智慧 是一个 可取的 办法。
已知a1,q, an时
【注】使用等比数列前n项求和公式时应注意 q=1还是 q≠1。
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想
一 想
在等比数列 {an} 中，若已知五个 量 a1, an, n, q, Sn 中的任意三个量, 请问: 能否求出其余两个量 ?
na1
Sn
a1
(1
q
人教高中数学等比数列优秀PPT
知识盘点
• 等比数列的前n项和公式：
na1

4-3-1等比数列的概念课件(人教版)(第二课时)课件(人教版)

4-3-1等比数列的概念课件(人教版)(第二课时)课件(人教版)

解: 设从今年1月起 , 各月的产量及不合格率分别构成数列{an}, {bn}. 由题意，知an=1050×1.05n-1,
bn=1-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n, 其中n=1, 2,… , 24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1× (0.104-0.004n) =1.05n× (104-4n).
出发，利用指数、对数的知识进行证明。
(1) 若{an }为等差数列, 公差d 2, 证明数列 3an 为等比数列;
(2)
若{an }为等比数列,
公比q
1 9
,
证明数列log3
an 为等差数列.
证明 : (1)由已知得an1 an 2. 设bn 3an ,则
bn1 bn
3an1 3an
3an1 an
所以 aman=(a1qm-1) (a1qn-1) = a12qm+n-2,
akal=(a1qk-1) (a1ql-1) = a12qk+l-2, 因为m+n=k+l(m, n, k, l∈N*), 所以aman=akal . 特别地，若m+n=2k (m, n, k∈N*), 则aman=ak2 .
（1）{ an }；√ （2）{lg an} ×
3.已知数列{an}是等比数列.(教材P31练习5） (1) a3, a5, a7是否成等比数列? 为什么? a1, a5, a9呢? (2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列? 为什么?
当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗?
ban
是首项为ba1 , 公比为bd的等比数列.

4.3.1等比数列的概念PPT课件(人教版)

4.3.1等比数列的概念PPT课件(人教版)

3.在等比数列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60.求a1和公比q.
4.对于数列{an },若点(n,an )(n N )都在函数y cq2的图象上,
其中c,q为常数,且c 0,q 0,q 1,试判断数列an是否是
等比数列,并证明你的结论.
5. 已知数列an是等比数列
（1）a3，a5，a7是否成等比数列？为什么？a1，a5，a9呢？
②
5, 52 , 53 , , 510.
③
古巴比伦人用60进制记数，这里转化为十进制.
2.《庄子·天下》中提到：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭.”如 果将“一尺之棰”的长度看成单位 “1”，那么从第1天开始，各天得 到的“棰”的长度依次是
1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，…
④
2 4 8 16
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min 就通过分裂繁育一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开 始，各次分裂产生的后代个数依次是
f (n).
反之，任给函数f ( x) ka x (k,a为常数, k 0,a 0,且a 1),则f (1) ka，f (2) ka2， ，f (n) kan， 构成一个等比 数列{kan }，其首项为ka，公比为a.
例1 若等比数列an的第4项和第6项分别为48和12，
求an的第5项. 解分法析1：：等由比a4数 列48，ana6由 a112，，q得唯一确定，可利用条件
推导一：归纳法
设一个等比数列an 的公比为q.根据等比数列的定义，可得
an1 an q.
所以
a2 a1q, a3 a2q (a1q)q a1q2 , a4 a3q (a1q2 )q a1q3 ,
不完全 归纳法

数学人教A版(2019)选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念(共16张ppt)

数学人教A版(2019)选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念(共16张ppt)
等比数列的概念
课堂游戏
找出一张纸，将其对半翻折，重复几次，你能发现什 么规律？
引入新知
找规律
形成概念
思考：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比数列的概念吗?
等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差，公差通常用字母 d 表示．
课堂典例
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，13，16，19，112，…； (2)23，232，233，234，…； (3)1,0,1,0,1,0，…；
(4)1，－4,16，－64,256，…；
(5)a，a，a，a，a….
课堂典例
例 2 5－2 和 5＋2 的等差中项与等比中项分别为
形成概念
思考：类比等差中项的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比中项的概念吗?
等比中项的概念
若三个数 a，G，b 组成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项． 此时，G2＝ab．
概念辨析
想一想，类比推理
类比等差数列通项公式的推导过程，你能根据等比数 列的定义式推导它的通项公式吗？
形成概念
思考：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比数列的概念吗?
等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母 q 表示．
概念辨析
想一想，类比推理
对比等差数列，请同学们互相探讨等比数列的项、公 比 q 有无条件限制？等比数列的单调性如何？
A. 5，±2

4-3-1等比数列的概念(第一课时)课件(人教版)

4-3-1等比数列的概念(第一课时)课件(人教版)

析 (2)a2＋a5＝18，a3＋＋aa56＝＝aa11qq＋2＋aa1q1q4＝5＝198，，
③ ④
由④÷③得 q＝21，从而 a1＝32.
解法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，
又 an＝1，所以 32·12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．
分析：三个数成等比数列，可怎么设为？
解： 设前三个数分别为a，a，aq(q≠0)，则第四个数为 2aq－a， q
a＋ 由题意得 q
2aq－a
＝21，
a＋aq＝18，
解得 q＝2 或 q＝35.
当 q＝2 时，a＝6，这四个数为 3,6,12,18；
an a1q n1
当q=1时，这是一 个常数列， an ≠ 0。
注：方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用。
小试牛刀
求下列等比数列的通项公式
(1)2，4，8，16，32，64, … (2) 1 , 1 , 1 , 1 , …
2 4 8 16 (3)1，3，9，27，81，243，…
an 2 2n1 2n
（第一课时）
复习回顾
1.等差数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列. 符号表示：
2.等差中项的定义：
如果在 a与b中间插入一个数A，使a ，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b 的等差中项,
A ab. 2
3.等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d , n N 不完全归纳法、累加法
a4 a3q (a1q 2 )q
a1q3
…… a n a1q n1

4.3.2.1等比数列的前n项和公式课件(人教版)

4.3.2.1等比数列的前n项和公式课件(人教版)
1－3n 解：(1)由题设知{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以 an＝3n－1，Sn＝ 1－3 ＝
12(3n－1)． (2)因为 b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，
所以公差 d＝5， 故 T20＝20×3＋20×219×5＝1 010.
6．将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则 排成如下数表． 记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知： ①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有(n＋1)·bn＋1－nbn＝0； ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q(q>0)的等比数列； ③a66＝25.
当已知a1，q与an时，用Sn＝a11－－aqnq 比较方便．
在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求{an}的通项公式． (2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得a22 ＝a1a5， 则(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，将a1＝1代入并化简得d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0(舍去). 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知bn＝22n－1，所以bn＋1＝22n＋1，所以bbn＋n 1 ＝22n＋1－(2n－1)＝4，所以数列{bn} 是首项为2，公比为4的等比数列．
∴an＝3an－1(n≥2)，
∴数列{an}是首项 a1＝－2，公比 q＝3 的等比数列，
∴S5＝a1
1－q5 1－q
－2× 1－35 ＝
1－3
＝－242.故选 B.
5．设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.

4.3.1等比数列的概念(第2课时)课件(人教版)

∵

，
dn
bn 1an r
a1
q
∴数列{d n }是以 为首项, 为公比的等比数列.
b1
r
应用小结
由等比数列衍生的新数列
n}为递减数列；
0<q<1
q>1
q＝1
(3)当______________________时，等比数列{a
n}为常数列(这个常数列中各项均不等于 0)；
q<0
(4)当______________________时，等比数列{a
n}为摆动数列．
笔记小结
由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：
结论：等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则
a1>0
a1<0

或பைடு நூலகம்
q>1
0<q<1
(1)当______________________时，等比数列{a
n}为递增数列；
a1>0
a1<0

或
(2)当______________________时，等比数列{a
∴an2 an 1an 1 ,∴an 1 ,an ,an 1是等比数列.
同理可证,当n k 0时,an2 an k an k ,∴an k ,an ,an k 也是等比数列.
新知探究三：等比数列的判断
例 3.在数列{an }中，若 an >0，且 an ＋1＝2an ＋3(n∈N*)．证明：
∴a52 a3 a7 ,∴a3 ,a5 ,a7是等比数列.
同理可得a52 a1a9 ,∴a1 ,a5 ,a9也是等比数列.

4.3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式(课件(人教版))

不存在等比中项．
[做一做]
1．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么
()
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
解析：因为 b2＝(－1)×(－9)＝9，且 b 与首项－1 同号，
所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9. 答案：B
a2，a3，a4 成等比数列，a3，a4，a5 的倒数成等差数列， 证明：a1，a3，a5 成等比数列．
证明：由已知，有 2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋ 3·aa55，所以 a4＝a23a＋3·aa55.
④
a1＋a3
由①得 a2＝ 2 .
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
新课程标准解读
核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列 的概念和通项公式的意义.
数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列 逻辑推理、数学运
的等比关系，并解决相应的问题.
算
3.体会等比数列与指数函数的关系.
数学抽象
第一课时 等比数列的概念及通项公式
[问题导入] 预习课本第 27～30 页，思考并完成以下问题 1．等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
2．等比数列的通项公式是什么？
3．等比中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的公比，通常用字母_q__表示(q≠0)．

第四章4.3.1第2课时 等比数列的应用及性质PPT课件(人教版)

又a1，a3，a5均不为0， ∴a1，a3，a5成等比数列.
(2)已知数列{an}是首项为
2，公差为－1
的等差数列，令
bn＝
1 2
an
，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是 bn＝123－n. 12－n
而bbn＋n 1＝213－n＝12－1＝2. 2
证明 由已知，有2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋3·aa55，
∴a4＝a23a＋3·aa55.
④
由①得 a2＝a2 a3·a23a＋3·aa55.
∴a3＝aa1＋3＋aa35a5， 即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3). 化简，得 a23＝a1·a5.
1
所以a8＝103
3
同理 a4a5a6＝a35＝ a52
3
2=
a2a8
3 1 1 2
1
2 53 103 =502 =5
2
三、等比数列的判定与证明
例3 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值；
解 因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4， 解得a1＝3.
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个
繁育成
A.64
√ B.128
C.256
D.255
解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次， 所以经过2小时，这种细菌由1个繁育成28＝256.

4.3.1等比数列课件(人教版)


an
是可பைடு நூலகம்看作关于
q
的指数函数，即
f(x)＝a1·qx(x∈R) q
例题讲解
例3 在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
(1) 因为a4＝a1q3， 所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1.
1， 8
1， 16
1 ，…， 32
像这样，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同 一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，
公比通常用字母q 表示(显然q≠0).
即 an q(n 2) an1
注意点： (1)定义的符号表示：aan－n 1＝q(n∈N*且 n≥2)或aan＋n1＝q(n∈N*). (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)比必须是同一个常数. (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
知识梳理
等比中项：
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项， 此时，G2＝ab
注意 (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数.
试一试 5－2 和 5＋2 的等差中项与等比中项分别为
试一试 若等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，则数列{an}的公比为
A.－2
B.2
C.－3
√D.3
设等比数列{an}的公比为q， 因为a1＋a2＝3，a4＋a5＝81， 所以aa11＋q3＋a1qa＝1q43＝，81， 所以aa1q1311＋＋qq ＝217，
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(1) 2. a, 8
(2) -4 , b, c, 2
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
11
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注意：
1. 公比是等比数列，从第2项起，每一 项与前一项的比，不能颠倒。
2.对于一个给定的等比数列，它的公比 是同一个常数。
Байду номын сангаас
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12
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练习：判断下列数列是否是等比数列， 是等比数列的求出公比。
(1) 1，-1/3， 1/9 ,-1/27，… √ q=-1/3
(2) 1, 2, 4, 8, 12,16,20, … ×
(3)
数列｛an｝的通项公式为 an=3n/2, (n∈N*) √ q=3
练习P481
(4) 1，1，1，… ，1 √ q=1
(5) a，a，a，…，a
不一定，当a≠0时是等比数列，q=1；
an=a1+(n-1)d (n∈N*) 3、推导方法：（1）归纳法（2）迭加法 4、等差数列通项公式的推广公式：
an=am+(n-m)d (n,m∈N*) 4
1 2 3 4 5 6 78
情景展示
1
2
3
左图为国际象棋的棋盘，棋
4 5
盘有8*8=64格
6
7
8
国际象棋起源于印度，关于国际象
棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什
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8
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比一比
(1) 1 ,2 ,2 2,2 3, …… ,2 63
(2)
1, 2
1, 4
1, 8
1, 16
……
(3） 9，92，93，94，95，96， 97
（4） 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
共同特点？从第2项起，每一项
与前一项的比都等于同一常数。
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一
项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
3
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。
定义式（即递推式）：d=an-an-1(n≥2) 2、等差数列的通项公式：
当a=0时非等比数列。
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“an≠0”是数列｛an｝ 为等比数列什麽条件？
必要而非充分条件
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练一练
1、判别下列数列是否为等比数列?
(1) 2, 1,
2 ,
1 ,……
是
22
(2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 ……不是
1
猜一猜：
给你一张足够大的纸，假设 其厚度为0.1毫米，那么当你 把这张纸对折了51次的时候， 所达到的厚度有多少？
猜一猜
把一张纸折叠51次， 得到的大约是地球与 太阳之间的距离！
2
忆一忆
什么是等差数列？
1, 3, 5, 7, 9…;
(1)
3, 0, -3, -6, … ;
(2)
1 10 ,1 20 ,1 30 ,1 40 , . (3)
？ 思考： an1 an q
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名
等差数列
称
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数,那么这个数列 叫做等比数列.
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列； (3) aq1 1 0或 0a 1q 01 {an}递 增 ；
0a 1q 01或 aq1 10 {an}递 减 ；
17
q=1，常数列q；<0，摆动数列；
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例1:求出下列等比数列中的未知项. 1
(3) 2, -2, 2, -2, 2
是
(4) a, a, a, a, a …
不一定
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思考：等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？ (2)公比q=1时是什么数列？
(3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
说明：(1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；
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等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一 项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公 比，公比通常用字母q表示。(q≠0）
其数学表达式(定义式即递推式）：
an q(n2) 或 an1
an1 q(nN*) an
1， 2， 2 2， 2 3， ， 2 6 3
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庄子 曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木 棒，每日取其一半， 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：
1， 1， 1， 1，1 ， … 2 4 8 16
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出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢， 每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛有 九色,问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏， 几毛，几色？（《孙子算经》）
(3)2, 2, 2, 2, …
是
(4)1, 0, 1, 0 ……
不是
q=
2 2
q= 1
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2、指出下列数列是不是等比数列，若是， 说明公比；若不是，说出理由．
(1) １,2, 4, 16, 64, …
不是
(2) 16, 8, 1, 2, 0,…
不是
么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，
第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格
子上放8粒麦子，依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是
前一个格子麦粒数目的2倍，直到第64个格子放满为止。” 国
王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？
上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：
9，92，93，94，95，96， 97
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某种汽车购买时的价格是36万元，每年 的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价 格（单位：万元）。
各年汽车的价格组成数列：
36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…