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高中数学优质课比赛课件：等比数列的概念

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《等比数列说课》课件

《等比数列说课》课件
等比数列在实际问题中的应用案例
介绍几个等比数列在实际问题中的应用案例，激发学生对下节课内容的兴趣。
THANKS
感谢观看
通过绘制散点图或折线图 来表示等比数列的变化趋 势。
数学公式表示法
使用通项公式 an=a1*g^(n-1)来表示等 比数列的各项。
03
等比数列的通项公式
பைடு நூலகம்
等比数列通项公式的推导
定义等比数列
等比数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的比值都相等
。
推导通项公式
通过观察等比数列的特点，利用递 推关系式，推导出等比数列的通项 公式。
等比数列求和公式的变体
公式的推广
等比数列求和公式可以推 广到其他形式，如无穷等 比数列、各项为负数的等 比数列等。
特殊情况的处理
对于一些特殊情况，如公 比为1或无穷等，需要对等 比数列求和公式进行特殊 处理。
近似计算
对于一些近似计算，可以 使用泰勒展开等方法对等 比数列求和公式进行近似 处理，得到近似结果。
等比数列是一种特殊的数列，其中任 意两个相邻项的比值都相等。
an=a1*g^(n-1)，其中an是第n项， a1是首项，g是公比。
等比数列的表示
通常用字母a、g、r等表示等比数列 的项，其中g是公比，表示相邻两项 的比值。
等比数列的性质
公比的性质
公比g是唯一确定的，它决定了 等比数列的特性。当g>1时，数 列是递增的；当0<g<1时，数列 是递减的；当g=1时，数列是常
公式表示
等比数列的通项公式为 a_n = a_1 * q^(n-1)，其中 a_n 是第 n 项的值 ，a_1 是首项，q 是公比。
等比数列通项公式的应用

《等比数列的概念》课件

《等比数列的概念》课件

03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析

等比数列课件ppt

等比数列课件ppt

02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析

高中数学《等比数列的概念及通项公式》课件

高中数学《等比数列的概念及通项公式》课件

[跟踪训练]
1．已知 a 是 1,2 的等差中项，b 是－1，－16 的等比中项，
则 ab＝
()
A．6
B．－6
C．±6
D．±12
解析：依题意知，2a＝1＋2，b2＝(－1)×(－16)，
∴a＝32，b＝±4，∴ab＝±6. 答案：C
2．已知等比数列{an}的前三项依次为 a－1，a＋1，a＋4，则 an＝________. 解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
⑤
将④⑤代入②，得 a23＝a1＋2 a3·a23a＋3·aa55.
a1＋a3a5 ∴a3＝ a3＋a5 ，即 a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)． 化简，得 a23＝a1·a5.又 a1，a3，a5 均不为 0，所以 a1，a3，a5 成等
比数列．
2．已知数列{an}是首项为 2，公差为－1 的等差数列，令 bn ＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 解：依题意 an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是 bn＝123－n. 而bbn＋n 1＝121223－ －nn＝12－1＝2，又 b1＝122＝14. ∴数列{bn}是以14为首项，2 为公比的等比数列，通项公式 为 bn＝2n－3.
求等比数列通项公式的常用方法 (1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再求 an，这是常规方法； (2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最 后求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟踪训练] 在等比数列{an}中． (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
又∵an＋1＝2an＋3，
an＋1＋3 2an＋3＋3 2an＋3

等比数列公开课课件PPT

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等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。

等比数列--省级优质课课件

等比数列--省级优质课课件
an am (n m)d
公 比q 0
通项公式
an a1qn1
an amqn m
引申
展探练P24：
1.C 3. 2.A
作业布置： P30A组1-4题
能 力 提 升
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 求证：(1)数列{an+1}是等比数列， (2)求an的表达式。
8 7 6 5 4 3 2 1
y 2 x 1
a n 2 n 1
o
1 2 3 4 5 6 x
量取正整数时得到的一些孤立的 点。
对于通项公式an a qn1来说，有a , q , an , n四个量， 1 1 可以知三求一
例1：在等比数列{an}中
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n; 1 (2)已知a1 3, q ，求a5； 2 1 1 (3)已知a9 , q , 求a1； 9 3 (4)已知a1 2, a5 8, 求q
其数学表达式：
an q (n 2) an1
或
an1 * q(n N ) an
q≠0
下列数列是否是等比数列,若是公比是多少？
(1) 1，3，9，27，81，… (2)
1 , 2 1 , 4 1 , 8 1 , 16
是,公比 q=3 是,公比 q=
1 2
(3) -5，-5，-5，-5，-5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，… (7) 1, x , x
n=5
a5=3/16
例2．一个等比数列的第３项和第２项．
解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有

等比数列的概念(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

等比数列的概念(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
4 = 3 = 1 2 = 1 3 ,
由此可得
……
= 1 −1 ≥ 2 .
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
首项为1 ，公比为q 的等比数列{ }的通项公式为
= 1 −1
过关测试
1.判断正误
1 1 1
B．a，a2，a3，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2,
2
)
解析：A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符
合定义．
答案：B
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是
A．1 B．－1
(
C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
（2）当 1 > 0, 0 < < 1或 1 < 0, > 1 时，等比数列{ }为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{ }为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{ }为摆动数列.
典型例题
【典例1】 若等比数列{ }的第4项和第6项分别为48和12，求{ }的第5项.
分析：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方
法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算．
已知数列{an}是等比数列，公比q<1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.
(1)求{an}的通项公式．
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
数列①~⑥的公比依次是

苏教版高中数学(必修5)2.3《等比数列》(等比数列的概念)课件

苏教版高中数学(必修5)2.3《等比数列》(等比数列的概念)课件

例1
判断下列数列是否为等比数列，如果是， 则说出它的首项和公比：
1 答：是等比数列，首项是81，公比为 . 3
（1）81，27，9，3，1 （2）5，5，5，5，5
答：是等比数列，首项是5，公比为1.
（3）1，-2，4，-8，16，-32
答：是等比数列，首项是1，公比为-2.
（4）3，6，9，12，15，18
注意 这个 数列 的特 殊性
（6）0，4，8，16，32. （7）2，2，2，2，2.
答：是等差数列，首项是0，公差为0.
答：不是等差数列，也不是等比数列.
答：是等差数列，首项是2，公差为0； 也是等比数列，首项是2，公比为1.
练习1
P47）练习第1题
It’s easy!
练习2
P47）练习第2题
（1）1，4，7，10，13. （2）8，6，4，2，0. 答：是等差数列，首项是 8，公差为－ （ 3）5，－10，20，－ 40，80. 2.
－2. 答：是等比数列，首项是 52 ，公比为－ 2. （ 4）22，2，1，2－1，
答：是等差数列，首项是1，公差为3.
答：是等比数列，首项是 （ 5）0，0，0，0，0. 4，公比为0.5.
答：不是等比数列.
例2
在下列每题的空格上填写适当的数列，使每 个数列成等比数列：
12 ，24. （1）3，6，___
Understand?
4.5 （2）8，6，___. 2 ，___ - 4 ，8. （3）-1，___ ±35 ，105. （4）7，_____
例3
判断下列数列是否为等差数列或等比数列， 如果是等差数列，则说出它的首项和公差， 如果是等比数列，则说出它的首项和公比：

《高二数学等比数列》课件

《高二数学等比数列》课件
03
02
01
04
等比数列与其他数列的联系与区别
等差数列和等比数列都是线性数列，具有特定的规律性。
定义关联
等差数列是等比数列的一种特例，当公比为1时，等比数列退化为等差数列。
增长趋势
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$d$是公差，$q$是公比。
通项公式相似
项的变化
在等差数列中，任意两项之差是一个常数，而在等比数列中，任意两项之比是一个常数。
增长模式
等差数列是均匀增加或减少的，而等比数列则是以固定比例增加或减少。
通项公式差异
等差数列的通项公式仅包含常数和线性函数，而等比数列的通项公式包含指数函数。
联系实例
设有一等差数列${3, 7, 11, 15, ...}$，当公差$d=4$时，该等差数列可以看作是等比数列${3, 7, 15, 29, ...}$的特例，其中公比$q=5$。
详细描述
数列1，-2，4，-8，16是等比数列，因为其满足等比数列的性质，即公比为-2，首项为1，项数为5。
举例
总结词
01
通过具体实例说明等比数列的判定方法
详细描述
02
通过具体的实例来演示如何应用定义和性质进行等比数列的判定，包括计算比值、应用性质等步骤。
举例
03
数列3，6，12，24，48是等比数列，可以通过计算相邻两项的比值来验证（6/3=2，12/6=2，24/12=2，48/24=2），同时也可以应用等比数列的性质来验证（公比为2，首项为3，项数为5）。
06
总结与展望
等比数列的定义与性质
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值是常数。

等比数列的概念及基本运算ppt课件

等比数列的概念及基本运算ppt课件

篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
点评：(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项 a1 和 公比 q，求解时，要注意方程思想的运用．
(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时，直接利用前 n 项和的意义展开，不仅可避 开公比 q 的讨论，还可使求解过程简捷．
q3＝－2， 所以a1＝1，
或q3＝－12， a1＝－8.
所以 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
a111－－qq10＝10， (2)(方法一)设公比为 q，则a111－－qq20＝30， 得 1＋q10＝3，所以 q10＝2. 所以 S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10(1＋2＋22)＝70. (方法二)因为 S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 所以 S30－30＝30－10102＝40，所以 S30＝70. 答案：(1)D (2)70
A．8
B．9
C．10
D．11
解：因为 a5a7＝a62，a7a9＝a82， 所以 a5a7＋2a6a8＋a7a9＝a62＋2a6a8＋a28＝(a6＋a8)2＝100.又 an＞ 0，所以 a6＋a8＝10.
答案：C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3

《等比数列说课》课件

《等比数列说课》课件

等比数列的定义
等比数列的定义是指一个数列中，从第二项开始，每个数等于前一个数乘以同一个固定的比例因子。这 个比例因子也称为公比。
等比数列的特点
比例因子固定
在等比数列中，每个数与前一个数的比例是固定不变的。
比例因子可正可负
公比可以是正数，也可以是负数。
数列逐渐增长或递减
等比数列中的数随着索引的增加，逐渐变大或变小。
通过本次《等比数列说课》的课程，我们明确了等比数列的定义、特点、通项公式以及其性质和应用。 掌握这些知识，可以帮助我们更好地解决数学和实际问题。
《等比数列说课》PPT课 件
欢迎大家来到本次《等比数列说课》的课程。在这个课程中，我们将探讨等 比数列的定义、特点、通项公式，以及其性质和应用。通过举例，帮助大家 更好地理解和应用等比数列的问题。
等比数列是什么？
等比数列是一种特殊的数列，在这个数列中，每个数等于前一个数乘以同一 个固定的比例因子。通过这种关系，我们可以发现数列中的每个数之间存在 一种特定的规律。
等比数列可以用于表示复利 的计算过程。
应用
等比数列在数学、经济学和 科学等领域中都有广泛的应 用。
举例说明等比数列的问题
1
问题1
已知等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和。
2问题2Βιβλιοθήκη 已知等比数列的前3项和为14，公比为2，求首项。
3
问题3
已知等比数列的首项为1，公比为0.5，求第10项。
结语和要点
等比数列的通项公式
1 通项公式
等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an为数列中的第n个数，a1为 首项，r为公比。
等比数列的性质和应用
性质1

等比数列公开课一等奖ppt课件

等比数列公开课一等奖ppt课件

①－②得12Tn＝12＋212＋213＋…＋21n－2nn＋1 ＝1211－－1221n－2nn＋1＝1－21n－2nn＋1＝1－22＋n＋n1 ∴Tn＝2－2＋2n n
1．确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q. 2．等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量： a1、q、n、an、Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出 另外两个量．
∴12m2＋72m＋12≤27 整理得 m2＋7m－30≤0
解得－10≤m≤3，∴m 的最大值为 3.
设正项等比数列{an}的首项 a1＝12，前 n 项和为 Sn， 且 210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.
(1)求{an}的通项； (2)求{nSn}的前 n 项和 Tn.
[解] (1)由 210S30－(210＋1)S20＋S10＝0 得 210(S30－S20) ＝S20－S10 即 210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20 因为 an>0，所以 210q10＝1 解之得 q＝12.
数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列，且b1＋b3＝5，b1b3 ＝4.
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)若an＝log2bn＋3，求证数列{an}是等差数列； (3)若a12＋a2＋a3＋…＋am≤a46，求m的最大值．
[解] (1)由bb11b＋3＝b34＝5 知 b1，b3 是方程 x2－5x＋4＝0 的两根，注意到 bn＋1＞bn 得 b1＝1，b3＝4.
若把例题中的条件改为 an＋1＝13Sn＋1，n＝1,2,3……，思 考数列{an}是否为等比数列．若是请证明并求通项公式，若 不是说明理由．
[解] 数列{an}是等比数列 ∵an＋1＝13Sn＋1 ∴an＝13Sn－1＋1 ∴an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)＝13an(n≥2)，

等比数列的概念优秀课件

等比数列的概念优秀课件
n a S 3 c， （1）、设数列 n 的前项和为 n 若a n 是等比数列，求 c 。
（2）、已知 a n 是无穷等比数列，公比 a a , a a , a a , 1 2 3 4 5 6 为q ，在数列 a n 中， ， 组成一个新数列，这个数列是等比数列 吗？如果是，它的公比是多少？结论可 以推广吗？
a n
复习数列的有关概念2 如果数列 a n 的第n项 a n 与n之间的
关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的通项公式。
S a a a a a n 1 2 3 n 1 n 叫做数列 a n 的前n项和。
n1 ) S 1( a n S n2 ) n S n 1(
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字母q表示。 等差数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d来表示.
等比数列(一) --等比数列概念
等比数列的概念
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 a 1 表示，
第2项用 a 2表示 …，第n项用 a n 表示， …， 数列的一般形式可以成： a 1 , a 2 , a 3 , …， a n , … ， 简记：
a a ( 是与 n 无关的数或式子 n 1 n d

a n 的前n项和
A

等比数列优质课课件

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思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
＿＿an＿＿2＿n＿-1
an
8
·
上式还可以写成
an
1 2n 2
7
6 5
可见，这个等比数列
的图象都在函数
y
1 2
2x
的图象上，如右图所示。
4
3
·
2
1
·
结论 ： 等比数 an列 的图象是其对应 ·的
D 2. 等比数列{ }a 中n , a,1公比4 q=3，则通项公式（ ）
Ａ. 3 n Ｂ. Ｃ4 .n
Ｄ.3 4 n 1
4 3n1
3. 在等比数列{ a}中n ， a26，,a则548 a 8 . 384
4. 2 3与的2+等比3中项为：
1
第十一页
小结：
1.等比数列的定义：
an q(n2)或an1 q.
第三页
非零的
常数列
思考2：
若a,G,b三个数成等比数列，那么这 三个数有 何恒等关系？
结论：G2=ab
G叫做a,b的等比中项
第四页
探究二：通项公式
思考3：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法
a2/a1=q a3/a2=q
a4/a3=q …
an/an-1=q
a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3
第十页
当堂达标：
1.下面有四个结论：
（1）由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数 列；
（2）常数列b,b,…b一定为等比数列；
（3）等比数列{ a }n中，若公比q=1，则此数列各项相等；
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已知数列{an}的前n项和为Sn 3n 1, 求证：
数列{an}是等比数列.
an an1
2 3n1 2 3n2
3为常数(n 2).
当n 1时，a1 S1 31 1 2；
当n 2时，an Sn Sn1 3n 1 (3n1 1)
3n 3n1 3 3n1 3n1 2 3n1，
观察下列数列，说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，…
从第二项起，每一项与 前一项的比都等于2.
(2)5, 25,125, 625...
(3)1, 1 , 1 , 1 ,L 24 8
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
a2
a1
q
a3 a2
q
...
到最后一个式子，共__n__-1_ 个
式子相乘，则有：
累 a2 . a3 ..... an qn1，
a1 a2 an1
乘
an a1.q n1.
an an1
q
当n 1时，等式成立， 所以通项公式为an a1.qn1.
012
例3： 9和3n1分别是等比数列32，32，32，...的第几项?
当n 1时，也满足an 2 3n1 an 2 3n1.
变式2 :
已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn 3n c. 求常数c的值.
a1 S1 3 c，a2 S2 S1 (32 c) (3 c) 6， a3 S3 S2 (33 c) (32 c) 18，
(2)a5 4, a7 6, 求a9.
练习：在等比数列{an}中, (1)已知a4 27, q 3, 求a7； (2)a5 3, a7 27, 试求a10.
思考：(1)在等比数列an中，是否有an2 an1 an1(n 2)?
(2)若数列an中，对于任意的正整数n(n 2),都有 an2 an1 an1，那么 an一定是等比数列吗？
数学语言： an q(n 2且n N* ).
an 1
特征：（1）每项均不为0，且q≠0； （2）各项均为负数，或均为正数或 正负相间.
例1：
1.已知等比数列{ an }：
(1) an 能不能是零？
不能
(2)公比q能不能是1？
能
2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ .
①已知a1=2，an=3an+1；√ ②1，2，4，……；×
链接高考
1.(2005 • 江苏)在各项都为正数的等比数列{an}中, 首项a1 3,前三项和为21,则a3 a4 a5 _______ .
2.已知数列{an}是等比数列，且a4 a7 9, a5 a8 18, an 64,求项数n.
3.已知数列an满足a1 1, an1 2an 1. (1)求证：数列an 1是等比数列；
(2)求数列an的通项公式.
an是等比数列，
a2 a1
a3 ，即 6 18 .
a2
3c 6
解得：c 1.
那么等比数列的通项是什么呢？ 类比等差数列通 项公式的求解
归纳法
解法1： 由定义得
a2 a1.q, a3 a2.q a1.q2... an a1.qn1(a1, q 0).
解法2：
分析：如果把左边由（1）式
0
n 1
解：a1 32 1，q 3， an a1 qn1 3 2 .
9
Hale Waihona Puke 32n13 2 ，即2
n
1， n
5，即为第5项.
x1
2
3n1 3 2 . 第x=2n+3项
变式：
9 3n1是该数列中的项吗？若是，是第几项?
x1
9 3n1 3n3 3 2 ，解得：x 2n 7.
例4.求出下列等比数列中的未知项： （1）2，a,8；
③a，a，a，……，a；× ④1，-1，1，……，(-1)n+1；
⑤ m, 2m, 4m2,8m3,... ×
√
⑥2a，2a，2a，……，2a.√
3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？
非零的 常数列
例2：已知{an}的通项公式an 3n,求证：{an}是
等比数列.
变式1 :
定义法，只要看
an q(q是一个与n无关的非零常数） an1