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《等比数列性质》课件

《等比数列性质》课件

等比数列的性质
等比数列的性质取决于公比的正负情况。
公比为正的情况
1 单调性
2
当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当 公比小于1但大于0时，数列呈现递减趋势。
公比为负的情况
极限值
当公比大于1时，数列趋于正无穷；当公 比小于1但大于0时，数列趋于0。Biblioteka 1 单调性2 极限值
无论公比是多少，等比数列都不会出现单 调性。
无论公比是多少，等比数列都不会收敛于 一个确定的极限值。
等比数列的无穷级数
等比数列的无穷级数指的是将数列的所有项相加，即求和。 如果公比的绝对值小于1，那么等比数列的无穷级数将收敛，其和可以通过以下公式计算： S∞ = a1 / (1 - r)
等比数列在几何意义上的应用
等比数列在图形中的应用
等比数列可以用来生成一些有趣的图形，如分形。分形是一种具有自相似性质的图形，无论放大或缩 小，形状都保持一致。
《等比数列性质》PPT课件
什么是等比数列
等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值保持不变。它可以用以下 的通项公式来表示： an = a1 × r(n-1) 其中，a1表示等比数列的首项，r表示公比，而an表示第n项。
等比数列的通项公式与前n项和公式
等比数列的通项公式允许我们计算数列中的任何一项。而前n项和公式则可以帮助我们计算数列前n项 的和。 通项公式：an = a1 × r(n-1) 前n项和公式：Sn = a1 × (1 - rn) / (1 - r)
黄金分割的生成与应用
黄金分割是一种与等比数列相关的数学概念，在建筑、艺术、自然界等领域中有广泛的应用。它具有 特殊的美学意义。
相关练习题目
等比数列的计算 填空题 选择题 解析题

4.3.1等比数列的概念(第二课时)课件——高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念(第二课时)课件——高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

是函数
f x a1
q
qx x R
当 x n 时的函数值，即 an = f n .
a4
(4, a4 )
反之：任给指数函数f(x)=kax ( k, a为常数, k≠0 , a>0, 且 a≠1 ), 则f(1)=ka, f(2)=ka2 , …, f(n)=kan…构成一个等比数列 {kan}，其首项为ka，公比为a．
是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正的等比数列， 那么数列{logb an}是否一定是等差数列？
➯ an1
b an1-an
d
b b b an
性质1：数列{an}是等差数列 ⇔数列{ban }是等比数列.
➯ logban1
logban
logb
an1 an
logbq
性质2：数列{an}是正项等比数 列⇔数列{logban}是等差数列.
∴a1＝－12. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得aan－n 1＝－12.又 a1＝－12， 所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列.
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝ n.
设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足aan＋n1 ＝q(q 为常数且不为零)或aan－n1 ＝q(n≥2，q 为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列 {an}是等比数列． (3)等比中项法：若 a2n＋1 ＝anan＋2(n∈N*且 an≠0)，则数列{an}为等比数列． 说明：证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．

等比数列PPT课件

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第6章 第三节
高考数学总复习
[解析] (1)a2＝a1＋14＝a＋14，
a3＝12a2＝12a＋
1 8.
北
师
大
(2)∵a4＝a3＋14＝12a＋38，
版
∴a5＝12a4＝14a＋136，
第6章 第三节
高考数学总复习
∴b1＝a1－14＝a－14，b2＝a3－14＝12(a－14)，
b3＝a5－14＝14(a－14)，
6．(2012·安徽怀宁一模)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若
a1＝1，S6＝4S3，则 a4＝________.
北 师
大
[答案] 3
版
第6章 第三节
高考数学总复习
[解析] 本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和公式．
若 q＝1 时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然 S6≠4S3，故 q≠1，
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，
当 q＝1 时，Sn＝_n_a_1_；当 q≠1 时，Sn＝a_1_11_－－ __q_q_n__＝a1qq－n－1 1
北 师 大 版
＝qa－1qn1－q－a1 1.
第6章 第三节
高考数学总复习
6．等比数列前 n 项和的性质
公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和 Sn，则 Sn，S2n－Sn，
北
∴a111－－qq6＝4·a111－－q∴a4＝a1q3＝q3＝3.
第6章 第三节
高考数学总复习
[点评] 解有关等比数列的前 n 项和问题时，一定要注意对
北
公比 q 进行分类讨论，否则会出现漏解现象．
师
大
版
第6章 第三节
高考数学总复习

《等比数列的概念》课件

《等比数列的概念》课件

03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
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目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析

等比数列课件ppt

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02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析

高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.1等比数列的概念及通项公式》课件

高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.1等比数列的概念及通项公式》课件
4．3 等比数列 4．3.1 等比数列的概念
新课程标准 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．掌握等比数列的性质并应用． 3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运
算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核 心素养．
第一课时 等比数列的概念及通项公式
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an， 这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[对点练清]
1则 log3a2 020
等于
()
A．2 017
B.2 018
C．2 019
D.2 020
解析：由已知可得 a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为 an＝a1·qn
得，最佳乐观系数 x 的值等于________． [析题建模]
读懂 题意
→
根据乐观系数的概念 及等比中项的意义
―建―模→
建立关于 x的方程
→
求 解
解析：已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项， 即(c－a)2＝(b－c)(b－a)， 把 c＝a＋x(b－a)代入上式， 得 x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)， 即 x2(b－a)2＝(1－x)·(b－a)2. 因为 b＞a，所以 b－a≠0， 所以 x2＝1－x，即 x2＋x－1＝0， 解得 x＝－1＋2 5或 x＝－1－2 5(舍去)． 答案：－1＋2 5
a1＝32，
又 an＝1，所以 32×12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.

等比数列的概念及基本运算ppt课件

等比数列的概念及基本运算ppt课件

篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
点评：(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项 a1 和 公比 q，求解时，要注意方程思想的运用．
(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时，直接利用前 n 项和的意义展开，不仅可避 开公比 q 的讨论，还可使求解过程简捷．
q3＝－2， 所以a1＝1，
或q3＝－12， a1＝－8.
所以 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
a111－－qq10＝10， (2)(方法一)设公比为 q，则a111－－qq20＝30， 得 1＋q10＝3，所以 q10＝2. 所以 S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10(1＋2＋22)＝70. (方法二)因为 S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 所以 S30－30＝30－10102＝40，所以 S30＝70. 答案：(1)D (2)70
A．8
B．9
C．10
D．11
解：因为 a5a7＝a62，a7a9＝a82， 所以 a5a7＋2a6a8＋a7a9＝a62＋2a6a8＋a28＝(a6＋a8)2＝100.又 an＞ 0，所以 a6＋a8＝10.
答案：C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3

等比数列的性质和应用 通用精品课件

等比数列的性质和应用 通用精品课件

17
点评：本题的解法体现了构造方程解题 的思想。用到了等比数列的性质1和求和 公式。
18
例5、已知等比数列an中，前10项的和S10 10,
前20项的和S20 30,求S30
解法1：设公比为q, S10 S20 , q 1 10 20
则

a1(1 q10 ) 10 1 q
26
3.等比数列的两个重要性质
4.解等比数列题的解法主要有两种 (1)基本量法即化到a1和q求解 (2)灵活运用性质1和 2求解
27
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。 老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。

2 3
q
由
：aa11
q32q1得：aq1

2 ,
3
an

2 3n1 (n N )
24
点评：本题的解法关键之处在于要证明该等比 数列是递增数列，另外qn 81还要回代到 （1）式中去求出a1和q的关系。

等比数列的概念及通项公式.ppt

等比数列的概念及通项公式.ppt

……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
①
1，1，1，1，1 ，...... 2 4 8 16
②
1,20,202,203,204,205,...... ③
请问:这三个 数列有什么 共同特点?
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_12_;
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_2_;
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2_0_;
是不为
0
的常数)⇔{an}是公比为
q
的等比数列.
(2)等比中项法：a2n＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1 均不为 0)⇔{an}是等比
数列.
跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…). (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； 解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
a2 a1 d
a3 a2 d
归 纳
(a1 d ) d
法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d) d
a…1
3d
…
an a1 (n -1)d
等比数列 an an-1q, n 2

4.3.1等比数列的概念及通项公式(第1课时)课件(人教版)

4.3.1等比数列的概念及通项公式(第1课时)课件(人教版)

是等差数列，也是等比数列；
0,0,0,0,…
是等差数列，不是等比数列；
(2) = 时，{}为非零常数列.
非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1.
课堂练习
1. 判断下列数列是否为等比数列. 如果是，写出它的公比.
×
1 1 1 1 1 1
(3) ， ， ， ， ， ;×
3 6 9 12 15 18
解：因为 是 与 的等比中项，所以
= = × = .
所以 = ± = ±.
因此， 的第5项是24或-24.
探究二：等比数列的通项公式
问题3 类比等差数列通项公式的推导，你能根据等比数列的定义及
递推公式推导它的通项公式吗？
取值规律？你发现了什么规律？
共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
追问：你能否类比等差数列的概念，归纳出等比数列的概念以及它的
递推关系？
等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于
同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，
a1 2
2
{an }的通项公式为an 2 n 1 或an 23 n.
例题精讲
课本例2 已知等比数列 的公比为，试用 的第项 表示 .
解：由题意 , 得
am a1q m 1 ,
an a1q
n 1
①
②
,
等比数列的通项公式：
= − ( ≠ , ∈ + )
, , , … , .

, , , , ,…

2,4,8,16,32,64,…

等比数列定义及性质PPT课件

等比数列定义及性质PPT课件
a1 首项为 a 1，公比为 q 的等比数 列的通项公式：
a n= a 1 q n－1 (a 1 ≠0 且 q ≠0
n ∈N +)
练习:写出下列等比数列通项公式
(1) 2，4，8，16，… a n =2n
(2) 2，2
2 , 4, 4
2…
n 1
a n= 2 2
(3)
1,
1 2
,Байду номын сангаас
1 4
,
1 8
,
…
.
1
一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数) 2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、 等 差 数 列 的： 通an项 a1公 (n式 1)d
用什么方法推出的呢？
.
2
观察以上数列各有什么特点：
1, 2, 4, 8, … (1) 1.对于数列(1),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于___2_
an q(n 2) a n 1
或 a n 1 q ( n 1) an
（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？ 如果存在，你能举出例子吗？
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
.
5
探究： （1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？
（2）公比q能等于0吗？
等差数列
由于等差数列是 作差 故a n , d 没 有要求
的前一项的差等于同 的前一项的 _比等于 _
一个常数,那么这个数 同一个常数，那么这个
列就叫做等差数列. 数列就叫做 等比数列
这个常数叫做等差数 这个常数叫做等 比 数
列的公差
列的 _公__比__

数列等比数列等比数列的概念及通项公式ppt

数列等比数列等比数列的概念及通项公式ppt
电路设计
在电路设计中，电阻、电容、电感等元件的参数 可以用等比数列表示。
计算机领域的应用
数据压缩
在数据压缩过程中，等比数列可以用来表示重复的数据模式，从 而减少数据的大小。
加密算法
在加密算法中，等比数列可以用来生成密钥序列，提高加密的安 全性。
图像处理
在图像处理中，等比数列可以用来表示像素值的变化情况，从而 实现图像的缩放和平移等操作。
等比数列的特性
等比数列的每一项都是前一项 的常数倍。
在等比数列中，常数被称为公 比(ratio)，通常用字母 q 表示
。
如果第一项为 a1，公比为 q， 那么第 n 项 an = a1 × q^(n-
1)。
等比数列的应用
1
等比数列在金融领域的应用：如复利计算、投 资回报等。
2
等比数列在物理和工程领域的应用：如放射性 衰变、电路中的电阻等。
05
等比数列的拓展知识
等比数列与等差数列的关联
等比数列和等差数列是两种常见的数列类型，它们之 间存在一定的关联。
如果一个等差数列的公差为0，那么它就变成了一个等 比数列，其中每一项都等于前一项乘以1。
等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，而等 比数列的每一项与其前一项的比值是一个常数。
在等比数列中，如果存在一项为0，那么这个等比数列 就变成了一个有有限项的等差数列。
应用场景
变形的通项公式可以用于解决一些特定的问题，例如求解等 比数列的前n项和，或者在密码学中生成伪随机数等。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义初始项和公比
通常设等比数列的初始项为 a1，公比为r。
推导求和公式
等比数列的求和公式可以通过错 位相减法推导得到，即利用等比 数列的通项公式和求和公式之间 的迭代关系进行推导。

等比数列概念及性质.ppt

等比数列概念及性质.ppt

1 n ( ) 6
已知
an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a1,公比为q1 ;bn 首项为b1,公比为q 2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) n q1q2 .它是一个与n无关的常数， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,...
2
3
×
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
an 2n -1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
an 8
·
1 n an 2 2
7
6
5 4
可见，这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上，如右图所示。
y 2
x
3
2 1
0
· ·
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式课件(人教版)

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式课件(人教版)

题型三 等比数列的判定与证明
例 4 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*) (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列．
解析：(1)当 n＝1 时，S1＝13(a1－1)＝a1，解得：a1＝－12，
当 n＝2 时，S2＝13(a2－1)＝a1＋a2，解得 a2＝14.
4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则 an＝________.
解析：∵a1＝－2，a3
＝
－8
，
∴
a3＝ a1
q2＝－ －82＝4
，
∴q＝±2，
∴an＝(－2)·2n－1 或 an＝(－2)·(－2)n－1，即 an＝－2n 或 an＝(－2)n.
答案：－2n 或(－2)n
题型一 等比数列通项公式的求法及应用
【易错警示】 1. 出错原因 没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得 a7＝±9，错 选 A. 2. 纠错心得 在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题 时要小心谨慎，以防上当.
1
1
1
解析：令
an＋1－A·2
n＋1＝1 3
an－A·2
n
，则
an＋1＝13an＋A3·2
n＋1.
由已知条件知A3＝1，得 A＝3，
1
1
所以
an＋1－3×
2
n＋1＝1 3
an－3×
2
n
.
1
又
a1－3×21＝源自2≠0， 31所以
an－3×
2
n
是首项为－2，公比为1的等比数列．
3
3
1
1
于是
an－3×
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等比数列
an a1qn1
法1：不完全归纳法
a2 a1
q a2
a1q
a3 a1q2
a4 a1q3
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1qn-1
名称
等差数列
等比数列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
n 2 , a2 a1 d
通项 公式
a3 a2 d
a4 a3 d
厚度 = 228×0.04 ×10-3=10737.41824 米
观察下列数列，看看他们有什么共同的特点
(1) 1, 2, 22 , 23 , …… , 263
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , …… 2 4 8 16
(3） 9，92，93，94，95，96， 97
（4） 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
共同特点:从第2项起，每一项与
前一项的比都等于同一常数.
等比数列概念
等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的 比 等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列 ， 这个常数叫做等比数列的公比（q）。
等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的 差 等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列 ， 这个常数叫做等差数列的公差（d）。
1.看清楚 纸的厚度是怎样变化的.
折1次 折2次 折3次 折4次 ．．． 折28次
厚度 2（21） 4（22） 8（23） 16（24） ．．. 228
• 2.想一想
你能折到28次吗？
（如果一页纸的厚度按0.04毫米计算)当折到第28 次的时候,请大家估计一下纸的总厚度.
0.04毫米= 0.04 ×10-3 米
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
an a1 (n 1)d
当n=1时，a1=a1 上式成立
an a1 (n 1)d , n N*
法2：
法
n 2 , a2 q a1
……
名称
等差数列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
n 2 , a2 a1 d
通项 公式
a3 a2 d
y
y 2x1
8
7
6
5
4
an 2n1
3
2
1
o 1 2 3 4 5 6x
变形结论:
在等差数列 an 中
an am (n m)d
(n, m N * )
试问：在等比数列 an 中，如果知
道 am 和公比q，能否求 an ？如果能， 请写出表达式。
an amqnm (n, m N* )
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么 数后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1，±3， 9
（2）-1， ±2，-4
（3）-12，±6，-3
（4）1， ±1，1
(3) 5， 5， 5， 5，… (4) 1，-1，1，-1，…
(5) 1，0，1，0，… (6) 0，0，0，0，…
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
3. 当q>0，各项与首项同号
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
练习
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，…
(6) 是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
当n=1时，上式成立 an a1qn1 , n N*
等比数列的通项公式：
等比数列an，首项为 a1
公比为q,则通项公式为
,
当q=1时，这是
一个常函数。
an 0
an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）
注：方程中有四个量，知三求一，这是公式最 简单的应用
练习
从通项公式，想象一下等比数列的图象 是怎么样的吗？
等比数列通项公式的图象表示:
在 右 边 的 直 角 坐 标 系 中， 画 出 通 项 公 式 为an 2n1 的数列的图象和函数y 2x1 的 图 象 ， 你 会 发 现 什 么？
课本50页探究（2）
从 图 象 的 对 比 可 以 看 出： 等 比 数 列an关 于n的 图 象 是指数函数图象上的一 些 孤 立 点.
(7) 1, x, x2, x3, x4,L (x 0)
是,公比 q= x
公比q是每一项（第2项起）与它的前一项的比；防止把被除数 与除数弄颠倒；公比可以是正数，负数，可以是1，但不可以为0
对定义的理解
对定义的理解
(1) 1，3，9，27，… (2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列
表示
的公比，用q表示
an+1-an=d
an1 q an
an = a1 +（n-1）d
?
名称
等差数列
an a1 (n 1)d
法1：不完全归纳法
通项 公式
a2 a1 d a3 a1 2d a4 a1 3d
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1 (n 1)d
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
名称
等差数列
等比数列
定义
数学式 子表示 通项公式
如果一个数列从第2项 如果一个数列从第2
起，每一项与前一项 项起，每一项与它前
的差等于同一个常数，一项的比都等于同一
那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数
差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这
复习与提问：
1、等差数列的定义：一个数列从第2项起， 每一项与前一项的差等于同一个常数，这 个数列叫做等差数列.
定义的符号表示： 等差数列 an+1-an=d 2、等差数列的通项公式：an = a1 +（n-1）d 3、等差中项：a，A，b成等差数列，则
A=（a+b）/2
小实验：已知白纸的厚度为1，将白纸对折.
a4 a3 d
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
an a1 (n 1)d
当n=1时，上式成立
an a1 (n 1)d , n N*
等比数列
an a1qn1
法2： 累乘 法
n 2 , a2 q a1
a3 q a2
a…n … q
an1
把这n-1个式子相乘，得： an a1qn1