等比数列PPT教学课件

10
9 （2）数列： 8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,
2 48
8
●
7 6
5
4
●
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等比数列的图象２
10 9 （1）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，… 8
7 6
5
4
3 2
1●
●
●
●
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
因为
a b n1 n1 a b1 1(pq)n pq,
an bn
a b1 1 (pq)n1
它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq
为公比的等比数列．
特别地，如果是a n 等比数列，c是不等 于０的常数，那么数列 c a n 也是等比数列．
探究
对于例４中的等比数列 a n 与bn ，数
3.某种汽车购车时的价格是10万元，每年的折旧率是15％，这辆车 各年开始的价值（单位：万元）分别是：
10， 10×0.85，10×0.852，10×0.853 ，… 。
③
思考：以上三个数列有什么共同特点？
等比数列的定义
数列①②③的共同特点是：从第二项起，每 一项与前一项的比等于同一个常数。
定义：一般地，如果一个数列从第二项起，
，求该数列前七项之积。
3、在等比数列{an}中, a2 2, a5 54 ,求a8.
●
●
●
●
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：
＿a＿n=＿2 n－＿1 ＿＿
上式还可以写成
an
1 2n 2
an 8 7
·
可见，表示这个等比数列
6
的各点都在函数
y
1 2
2x
5
的图象上，如右图所示。
4
·
3
2
·
结论： 等比数列an 的图象是1 其对·应的
函数的图象上一些孤立 的点 0 1 2 3 4 n
a1=__11_6 __.
小结
4.由下列等比数列的通项公式，求首项与公比：
⑴an=2n ；
2
an
1 4
•10n.
解：⑴a1=2，q＝2
⑵a1
10 4
5 ,q 2
10
小结
5.已知数列x，x(1－x)，x(1－x)2，…是等比数列，则实数x的取值 范围是＿＿D ＿
A.x≠1
B.x≠0，或x≠1
C.x≠0
⑴. 1，1 ，1 ，1， 。 248
⑵. －1，－2，－4，－8， 。 ⑶. －1，2，－4，8， 。 ⑷. －1，－1，－1，－1， 。 ⑸. 1，0，1，0， 。 ⑹. 0，－1，0，－1， 。
(是，q 1 ) 2
（是，q＝2） （是，q=－2） （是，q＝1）
（不是） （不是）
是
( 1）n 2
( 1)n 3
(1)n 6
是
结论：如果 a
n
b n 是项数相同的等
比数列，那么an bn也是等比数列．
证明：设数列an的公比为p，bn 的公比为
q，那么数列an bn 的第n项与第n+1项分
别与为a1ba11(ppnq1)n．b1qn1 与 a1pn b1qn ，即 a b1 1(pq)n1
是 列
an bn
也一定是等比数列吗？
知识拓展
一、通项公式的推广
an am qnm
二、等比数列的性质
若m, n, p, q N , 且m n p q,
则a m a n a p aq
三、等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列：
（1）1，±3， 9
２和１８，求它的第１项和第２项．
解 ：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
a3 12, a4 18,
即a1q a1q
2 3
12 18
解得
a1
16 3
q3 2
an a1 • qn1
因此，
16 3
a2
a1q
3
8 2
答：这个数列的第1项与第2项分别是
16 与8.
3
练习
2n 3n 6n
图象
例题讲解
分析：可由等比数列的知识求解
例２ 见课本Ｐ５７
补充练习 1.等比数列｛an｝中，a1＝1，q＝－3，则a8＝－__3_7 _, an=（__－__3_）__n_－_1_.
2.等比数列｛an｝中，a1＝2，a9＝32，则q＝___2_。
3.一个等比数列的第9项是16，公比是－2，则它的第1项
a2 q, a3 q,
a1
a2
a4 q, a3
……
an q(n 2) an 1
a2 • a3 • a4 • an
a1 a2 a3
an 1
qq＝q n1
( n－1)个
等比数列的通项公式： an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0
等比数列的图象１
等比数列
写出下面三个问题中的数列。
1.依次写出下面四个边长为1的正方形中的黄色部分的面积:
1 2
1
1
4
8
1 16
①
2.某市近十年的国内生产总值从2000亿元开始，每年以10％的速度 增长，近十年的国内生产总值（单位：亿元）分别是：
2000，2000×1.1， 2000×1.12，…， 2000×1.19 。 ②
（2）-1， ±2 ，-4
（3）-12，±6 ，-3
（4）1，±1 ，1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，
那么G叫做a与b的等比中项。
G ab 即G2 ab
练习：
1、在等比数列{an}中，
已知 a1 5,a9a10 100,求 a18。
2、在等比数列bn 中，b4 3
每一项与它前一项的比等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等比数列，这个常数
叫做等比数列的公比，公比通常用字母q
表示（q≠0）
用数学符号表示：
an an1
q(q
0, n 2, n N ) an 是等比数列。
等差数列的 定义
练习：
观察以下数列，判定它是否是等比数列，若是，写出公比；
若不是说出理由。
D.x≠0, 且x≠1
6.在等比数列中，已知首项为 9
项数是＿B＿＿
8
1
，末项为
，公比为 2
3
3
，则
A.3
B.4
C.5
D.6
小结
例３．一个等比数列的第３项和第４
项分别是１２和１８，求它的第１项和 第２项．
(分析：要求第１项和第２项，必 先求公比q. 可利用方程的思想进行求解。)
． 例３ 一个等比数列的第３项和第４项分别是１
怎样推导等比数列的通项公式?
等差推导
已知等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q，求an．
方法一: 由定义： an q 得到： a n 1
a2 = a1q， a3=a2q=a1q2， a4=a3q=a2q2=a1q3， ……
由此得到 an=a1qn-1
方法二：由定义： an