2.3刹车距离与二次函数

2.3 刹车距离与二次函数一、填空题:1.抛物线y=-3x2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标是_________,与x轴的交点坐标是_____.3.把抛物线y=x2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______.4.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2,向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.二、解答题:6.求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式:(1)通过点(-3,2);(2)与y=12x2的开口大小相同,方向相反;(3)当x的值由0增加到2时,函数值减少4.7.一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y万元,求y与x的函数关系式.8.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x2-1,求m,n 的值.9.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB 位置时,水面宽,水位上升3米达到警戒线MN 位置时 ,水面宽,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?10.在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,BC=x,AD=y,AB=1,求y 与x 间的函数关系.DBCA11.有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4分米,抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米,要在铁皮下截下一矩形ABCD,使矩形顶点B,C 落在边MN 上,A,D 落在抛物线上, 像这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?(提示:以MN 所在的直线为x 轴建立适当的直角坐标系)BND M C A12.图(1)是棱长为a的小正方体,图(2)、图(3)这样的小正方体摆放而成,按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第一层、第二层……第n层,第n层的小正方体的个数记为s,解答下列问题:(1)按要求填表:(2)写出n=10时(3)根据上表中的数据,把s作为点的纵坐标,n作为点的横坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图像上吗?如果在某一函数的图像上, 求s与n间的关系.(1)(2)(3)13.如图,AB是高为1.46米的窗户(窗户朝南),该窗户的遮阳篷呈抛物线形, 在图中坐标系内的表达式为y=-x2+0.25. 已知该地一年中冬至日正午时刻太阳光线与地面的夹角最小为α,夏至日正午时刻太阳光线与地面的夹角最大为β,且β=73°30′. 若该遮阳篷使冬至日正午时刻太阳光线刚好全部射入室内, 夏至日正午时刻太阳光刚好全部不射入室内.求α的度数及遮阳篷顶部到窗户上沿的距离.ODβαxBCyA答案:1.下 y轴 (0,5) 高大 52.(0,-1)1,02⎛⎫-⎪⎝⎭和1,02⎛⎫⎪⎝⎭3.y=x2+34.下,35.1 4 -6.(1)2=a×(-3)2-1,9a=3,a=13,故y=13x2-1;(2)由已知得a=12-,故y=12-x2-1;(3)当x=0时,y=-1;当x=2时,y=a×22-1.故a×22-1=-5,a=-1,即y=-x2-1.7.y=60(1-x)8.将y=mx2+n向下平移2个单位,得到y=mx2+n-2,故由已知可得m=3,n-2=-1,从而m=3,n=1.9.以AB为x轴,对称轴为y轴建立直角坐标系,设抛物线的代数表达式为y=ax2+ c.则B点坐标为(2,0),N点坐标为,3),故0=24a+c,3=12a+c,解得a=-14,c=6,即y= -14x2+6.其顶点为(0,6),(6-3)÷0.25=12小时. 10.由已知可得△BCD∽△BAC,故BC BD AB BC=,即BC2=AB·BD,由BC=x,AB=1,BD=1-y 得1-y= x2,y=-x2+1. 11.以MN为x轴、对称轴为y轴,建立直角坐标系,则N点坐标为(2,0), 顶点坐标为(0,4).设y=ax2+c,则c=4,0=4a+4,a=-1,故y=-x2+4.设B点坐标为(x,0),c点坐标为( -x,0), 则A点坐标为(x,-x2+4),D点坐标为(-x,-x2+4).故BC=AD=2x,AB=CD=-x2+4.周长为4x+2(-x2+4).从而有-2x2+8+4x=8,-x2+2x=0,得x1=0,x2=2.当x=0时,BC=0;当x=2时,AB=-x2+4=0.故铁皮的周长不可能等于8分米.12.(1)6 10 (2)55 (3)略(4)S=12n2+12n.13. 由y=0,得-x2+0.25=0,得x=0.5(舍负),故OD=0.5(米).在Rt△AOD中,AO=OD·tan∠ADO=0.5tanβ=0.5×tan73°30′≈1.69.又AB=1.46,故OB≈0.23米.在Rt△BOD中,tan∠BDO=0.230.5BOOD==0.46,故∠BDO≈24°42′.即α=24°42′.令x=0,得y=0.25,故OC= 0.25,从而BC=0.25+0.23=0.48米.。

2.3 刹车距离与二次函数 导学案【学习目标】1、 会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y=x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响2、 能说出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象开口方向、对称轴和顶点坐标【学习重点】二次函数y=ax 2、y=ax 2＋c 的图象和性质【学习难点】由函数图象概括出y=ax 2、y=ax 2＋c 的性质． 【课前自学】1、 二次函数y= x 2 与y=- x 2的性质： 2、在同一坐标系中作二次函数y=x 2和y=2x 2的图象 (2)在直角坐标系（表一）中描点：(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y ＝x 2和y=2x 2的图象．相同点：不同点：归纳：二次函数y=ax 2图象的开口大小与 有关，若|a|越大，函数图象开口越 ，函数值的增长速度越 。

【新课学习】 探究：认识和理解二次函数y=2x 2、y=2x 2+1和y=2x 2-1的性质X1、在同一平面内画出函数y=2x2、y=2x 2+1和y=2x 2-1的图象。

(2)在直角坐标系（表二）中描点：(3)用光滑的曲线连接各点， 便得到函数y=2x 2、y=2x 2+1和y=2x 2-1的图象．2222归纳：当c ＞0时，把y=ax 2（a ≠0）的图象向 平移 个单位得到y=ax 2＋c （a ≠0，c ≠0）的图象，它的顶点坐标是 。

当c ＜0时，把y=ax 2（a ≠0）的图象向 平移 个单位得到y=ax 2＋c （a ≠0，c ≠0）的图象，它的顶点坐标是 。

【巩固练习】1、y=2x 2-3的图象可以看成函数y=2x 2的图象向 平移 个单位2、函数y=- x 2+2开口向 ，顶点坐标是 , 当x= 时，y 有最 值，y=4、把y ＝x 2的图象向下平移2个单位得到的图象是函数y= 的图象。

5、将y=-2x 2+1的图像向下平移1个单位，将得到函数y= 的图象 【课堂小结】这节课你学到了什么? 【课后作业】同步伴读Ｐ1012.3 刹车距离与二次函数 当堂训练1、下列各组函数中，开口方向、对称轴和顶点坐标都相同的是（ ） A 、y=2x 2和y=-2x 2B 、y=2x 2和y=x 2C 、y=2x 2 和y=-21x 2 D 、y=2x 2 和y=x 2+1 2、对于二次函数y=-x 2+1,开口向 ，顶点坐标是 。

《2.3 刹车距离与二次函数》学案学习目标:1.通过实例会用描点法画出二次函数的图象。

2．通过图象了解二次函数的性质。

学习过程:一．复习巩固：二次函数y=x 2 与y=-x 2的性质：抛物线 y=x 2 y=-x 2 对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值二、探究新知：1．问题引入：完成课本p47—48页 2．动手操作、探究：在同一平面内画出函数y=2x 2与y=2x 2+1的图象。

比较它们的性质，你可以得到什么结论？抛物线 y=ax 2y=ax 2+k对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值3．例题讲解：在同一坐标系中，作出函数①y=－3x 2，②y=3x 2，③y=21x 2，④y=－21x 2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=21x 2比y=3x 2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－21x 2比y=－3x 2大（或小）多少？三．课堂练习：1．已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）． （1）求a 、m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x 取何值时，二次函数y=a x 2中的y 随x 的增大而减小； （4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积．2．有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．3．请写出两个只有顶点不同的二次函数表达式 。

4．请写出两个只有开口方向不同的二次函数表达式 。

四：课后小结：五：课后作业：P49习题2.3第1题 六：课后反思：。

2．3 刹车距离与二次函数教学目标：1．会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y=x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．2．能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．知识回顾：1．比较二次函数2ax y =与2ax y -=的性质：新知探究：2、下面直角坐标系中，已给出了y ＝2x 2的图像，请你在同一直角坐标系内作出函数y ＝2x 2+1 、函数y ＝2x 2-1的图象．并比较它们的性质．3、小结：（2）. y ＝ax 2+c 的图象可以看成y=ax 2的图象整体上下移动得到的，当c>0时, 向 平移 个单位，当c<0时，向 移动 个单位。

4、刹车距离与二次函数的关系．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s ＝1001v 2确定，雨天行驶时，这一公式为s ＝501v 2． （1）下图的坐标系中是s ＝1001v 2的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐标系内作出函数s=501v 2的图象．（2）、如果车速是60km/h ，那么在雨天和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？课后反馈一、填空题：1. 二次函数y = ax 2的图象是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当a<0时，在对称轴 侧，y 随x 的增大而减小；2、二次函数y=5x 2的图像是 ，它的开口方向 、对称轴 ，顶点坐标 ,最值 ，增减性：在对称抽左侧 ，在对称轴右侧 。

3、二次函数y=-5x 2-5的图像是 ，它的开口方向 、对称轴 ，顶点坐标最值 ，增减性：在对称抽左侧 ，在对称轴右侧 。

4. 若点P （m ，4）是抛物线y = 12x 2上的一点，则m = ； 5. 抛物线y=-3x 2+2可以看成是由抛物线y=-3x 2-4向 平移 个单位得到的. 6. 抛物线y=－4x 2－4，当x= 时，y 有最 值，此时y= ．7. 将函数y=2x 2+4的图象沿x 轴对折,得到图象的函数解析式为 .8、写出两个开口向上，对称轴是y 轴，最值是y=-8的二次函数关系式 。

2·3刹车距离与二次函数
10050
比较x= 1001v 2和s ＝50
1v 2的图象 相同点： (1)它们都是抛物线的一部分
(2)二者都位于s 轴的左侧．
(3)函数值都随v 值的增大而增大．
不同点： (1)s=
50
1 v 2的图象在s= 1001 v 2的图象的内侧． (2)s= 501v 2的s 比s ＝ 1001 v 2中的S 增长速度快． 3.y=2x 2的图象与二次函数y ＝x 2
的图象的相同点与不同点：
相同点：开口方向相同，都向上．对称轴都是y 轴． 顶点都是原点，坐标为(0，0)． 在y 轴左侧，都是y 值随x 值的增大而减小；在y 轴右侧，都是y 值随x 值的增大而增大．都有最低点，即原点．函数都有最小值．
不同点：y ＝2x 2的图象在y ＝x 2的图象的内侧．y ＝2x 2中函数值的增长速度较快．
4. y ＝ax 2与y=ax 2+c 的图象比较：
y ＝ax 2与y=ax 2+c 的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同，函
数的最大值或最小值不同．y＝ax2+c的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的，当c>O时,向上移动│c│个单位，当c<0时，向下移动│c│个单位．
1．某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式.
【解析】
设涵洞所在抛物线的函数解析式为y=ax2+2.4根据题意有A(-0.8,0)
B(0.8,0)
将x=0.8, y=0 代入y=ax2+2.4得
0=0.64a+2.4
∴a=-
∴所在抛物线的函数解析式为
y=-x2+2.4。

2x y§2.3 刹车距离与二次函数(1)学习目标：1、经历探索二次函数y=a x 2和y=a x 2＋c 的图象的作法和性质的过程2、会作出y=a x 2和y=a x 2＋c 的图象，并能比较它们与y= x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响3、能说出y=a x 2＋c 与y=a x 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 学习重点：二次函数y=a x 2、y=a x 2＋c 的图象和性质 学习过程：一、 复习旧知，温故知新二次函数y=x 2 与y=－x 2的性质： 二、创设情境，引入新知二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝－x 2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？ 它们的函数图象又是怎样的呢？ 三、合作探究，发现新知1、在同一坐标系中作二次函数y=x2、y=2x 2 和y=4x 2的图象，并分析它的特征。

(1)列表：x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2 … 9 41149… y=2x 2 … … y=4x 2 ……(2)在直角坐标系（右图）中描点，(3)用光滑的曲线连接各点，得到函数y ＝x 2，y=2x 2和y=4x 2的图象，分析它的相同点与不同点相同点：它们的图象都是一条 ，开口都向 ，对称轴都是 ，顶点坐标都是 ，增减性规律都一致，函数都有最 值，当x ＝0时，y 最小= 。

不同点：函数图象开口大小不同，|a|越大，函数图象开口越 ,函数值的增长速度越 。

【小结】：二次函数y=ax 2（a ＞0）图象抛物线 y=x 2 y=－x 2对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值的开口大小与 有关。

若|a|越大，函数图象开口越 ,函数值的增长速度越 。

2、类比y=x 2与y ＝－x 2图象性质的联系，试一试不画出二次函数y=－x 2、y=－2x 2 和y=－4x 2的图象，分析它的特征。

相同点：它们的图象都是一条 ，开口都向 ，对称轴都是 ，顶点坐标都是 ，增减性规律都一致，函数都有最 值，当x ＝0时，y 最大= 。

课题 第二章 刹车距离与二次函数执教人：枣庄市实验学校 岳德凤课型：新授课授课时间：2013 年 12 月 20 日 星期五 第 1 节课教学目标：1．能作出 y＝ax2 和 y＝ax2＋c 的图象．并研究它们的性质． 2．比较 y＝ax2 和 y＝ax2＋c 的图象与 y＝x2 的异同．理解 a 与 c 对二次函数图象的影 响． 3．经历探索二次函数 y＝ax2 和 y＝ax2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将 表格、表达式、图象三者联系起来的经验． 4．通过比较 y＝ax2，y＝ax2＋c 与 y＝x2 的图象和性质的比较，培养学生的比较、鉴别 能力．教学重点：y ax2 和 y ax2 c 图象的作法和性质.教学难点：能够比较 y ax2 、 y ax2 和 y ax2 c 的图象的异同，理解 a 与 c 对二次函数图象的影响.教学方法：合作探究，对比总结.教 具准备：课件，多媒体教学过程:第一环节 创设情境 师:我们已经学习了二次函数的定义，会画函数 y＝x2 与 y＝－x2 的图象，知道它们的图象是（），并且还研究了抛物线的有关性质．如 y＝x2 图象开口（ ），有最（ ）对称轴是（ ），顶点坐标是（ ）y 随 x 的增大而如何变化（ ）．生齐答：抛物线，向上，低点，y 轴，原点，在对称轴的左侧 y 值随 x 值的增大而减小；在对称轴轴右侧，y 值随 x 值的增大而增大．（师注意观察每一个学生回答的情况）（学生的 状态很好，对前面学的知识掌握的不错）（有一个学生举手，师示意他起立）生：学生状态很好，积极踊跃. 生：老师我想说说函数 y＝－ x 2 的图像和有关性质. 师：你这么积极，你就说吧！ 生：老师你画一个二次函数 y＝-x2 草图，y＝-x2 图象开口向下，有最高点，对称轴是 y 轴，顶点坐标是原点，（我按照学生说的二次函数 y＝-x2 的特点画了草图，学生说 y 随 x 的变化情况更喜欢看着图像来说，因为图像更直观）在对称轴的左侧 y 值随 x 值的增大而增 大；在对称轴轴右侧，y 值随 x 值的增大而减小． 师:你说的真好. 师：那么二次函数是否只有 y＝x2 与 y＝－x2 这两种呢？本节课我们继续学习其他形式 的二次函数．引出课题————2.3 刹车距离与二次函数 设计意图：引导学生回忆上节课学的最简单的二次函数，以便引出本节课内容。