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§4.3 周期信号的频谱

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信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)

信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)


T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1

~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e

jn0t
1 Cn T0

T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )

第四章 周期信号的频域分析

第四章 周期信号的频域分析

c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值

4.3 周期信号的频谱及特点

4.3 周期信号的频谱及特点
A、计算|Fn |和θn
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：

信号与系统 -第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

信号与系统 -第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

A2cos(2 t+ 2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(n t+ n)称为n次谐波。
第4-13页
■
信号与系统电子教案
4.2 傅里叶级
例1：将图示方波信号f(t)展开为数傅里叶级数。
f (t)
1
T T 0 T T 3T
t
2 1 2
2
解：f (t)为T 3, 2 / T 2 / 3的周期信号，傅里叶系数为
号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使 得 信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
第4-5页
■
信号与系统电子教案
y C2v
y
0
A
x C1v x
4.1 信号分解为正交函 数
y C2vy
0 C3v
zz
A C1vx x
第4-6页
■
信号与系统电子教案
4.1 信号分解为正交函
二、信号正交与正交函数数集
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
傅里叶简介
法国数学家、物理学家。1768年3月21日生 于 欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。
1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著 名
的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数 的无穷级数。
■
信号与系统电子教案
4.2 傅里叶级
A0
2
1 An
n1
e j n jn t
1数
2 An n1
e j n jn
t
令A0=A0
。
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0 ，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个 正交矢量集。

4_3 连续周期信号的频谱

4_3 连续周期信号的频谱
0 2 π T0

x(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减 x(t)连续时，一阶导数不连续时，Cn按1/n2的速度衰减
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~ x (t )
集中信号大多数功率的频率范围
A T0
Cn
A

T0
O
2
2π
2π

2
T0
t


0
0 2 π T0

通常将包含主要谐波分量的频率范围 (0 ~ 2π/ ) 称为周期矩形信号的有效频带宽度 B 2p 信号的有效带宽和时域持续时间成反比。
Cn
n A Sa( 0 ) T0 2
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~ x (t )

-2 1
0

2
t
解:
1 Cn T0

T0 2 T 0 2
(t )e x
jn0t
dt
1 1 1 1 0 jn0 t jn0t jn0t x ( t )e d t ( t )e d t t e dt 0 1 2 1 2
Poisson求和公式
连续周期信号的频谱
~ x (t )
A
n A Cn Sa( 0 ) T0 2
2π
A T0
Cn
2π
T0
O
2

2
T0
t


0

周期矩形信号的时域波形
~ x (t )

周期矩形信号的频谱
Cn
1/ 2

《周期信号的频谱》PPT课件

《周期信号的频谱》PPT课件

n
n0
• 例：
试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽内谐波分量所具有的平 均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。
fT (t)
A
T
T
t
2
2
• 解： 周期矩形脉冲的傅立叶复系数为：
Fn
A
T
S
a(n1)＝A
2T
sinn(1)
2
n1
2
将A=1，T=1/4，=1/20，代入：
F n 0 . 2 S ( n 1 a / 4 ) 0 0 . 2 S ( n / a 5 )
信号的平均功率为：P1 T/2 f2(t)dt0.2
T T/2
包含在有效带宽内的各谐波平均功率为：
有效带宽为： 0~2(rad/s) 0~40(ra/sd)
1 8
在带宽范围内有基波、二次、三次、四次谐波分量：
T(t) (tnT)
n
δT(t)
n=0, 1, 2, ….
-3T -2T -T 0 T 2T 3T t
系数：
F n
1 T
T 2
T 2
f (t )e jn1t d t
1
T 2
( t ) e d jn 1t t
T
T 2
1 T
则 ： f (t )
F e jn1t n
n
T (t )
An、n 均为 n1 的复函数，
分别组成 f(t) 的第 n 次谐波分量的振幅和相位。
振幅频谱
频谱图
相位频谱
以振幅为纵坐标所画出的谱线图 以ω为横坐标
以相位为纵坐标所得到的谱线图
• 试画振幅谱和相位谱
矩形波

§4.3 周期信号的频谱

§4.3 周期信号的频谱

n
Fn
2

2
P5n
F02
F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4
1 P T
T
2
2222来自 0.181而总功率 二者比值
0
f 2 (t )dt 0.2
P5 n 90.5% P
▲ ■ 第 13 页
2．频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 2π 1 B 或B f ，带宽与脉宽成反比。 对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率 区间定义为频带宽度。


2

2
T
t
1 Fn T
T 2 T 2
f (t ) e

2
jnt
1 e jnt T jn

2
n n sin( ) sin 2 2 2 T n T n
2
1 2 jnt dt e dt T 2

令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
第 10 页

周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号）， 那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。

4.3 连续周期信号的频谱-

4.3 连续周期信号的频谱-

C1

1 2
e j4 ,
C1

1 2
e j4,
C3 e j2,
C3 e j2
Cn 0, n 1；n 3.
| Cn |
幅度谱
1
1
1
1
2
2

30 0 0 0
30
n
4 相位谱
2

30 0 0 0
30
2
4
连续周期信号的频谱
~x (t) A
Cn

Cn
A T0
...
...
1 1
t
40
40
2π
2π




0
A=1，T0=1/4， = 1/20， 0= 2/T0 = 8
0 2π T0
Cn 0.2Sa (n0 / 40) 0.2Sa (nπ / 5)
第一个零点出现在
2


40

8


2
2
3 x(t)
0
t
-3
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
C1

1 2
e j4 ,
C1

1 2
e j4,
C3 e j2,
Cn 0, n 1；n 3.
C3 e j2
连续周期信号的频谱
3 x(t)
0
t
-3
x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)

1/ 2,
n0
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~x (t)
Cn

第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱

第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱

1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn

，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n

jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0

T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0

T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T

f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1

4.3 连续周期信号的频谱-

4.3 连续周期信号的频谱-

衰减特性： 幅度频谱|Cn|随谐波n0增大时逐渐衰减，
并最终趋于零
Cn
A T0
2π
2π




0
0 2π T0
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~x (t) A
T0

O

T0
t
2
2
Cn
A T0
2π
2π



0
0 2π T0
通常将包含主要谐波分量的频率范围(0 ~ 2π/ )
Cn 0, n 1；n 3.
C3 e j2
连续周期信号的频谱
3 x(t)
0
t
-3
x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)
C1

1 2
e j4 ,
C1

1 2
e j4,
C3 e j2,
C3 e j2
Cn 0, n 1；n 3.
~x (t) A
T0

O

T0
t
2
2
Cn

A
T0
Sa( n0 )
2
Cn
A T0
2π
2π



0
0 2π T0
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱特性
离散特性：周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成
Cn
A T0
2π
2π



0
0 2π T0
连续周期信号的频谱特性
连续周期信号的频谱
~x(t)

Cn e jn0t

周期信号的频谱的特点

周期信号的频谱的特点

周期信号的频谱的特点对于周期信号，其频谱特点主要有以下几个方面：1.频谱呈现出离散的频率分量：周期信号的频谱是由一系列离散的频率分量组成的，这些频率分量可以看作是正弦波的谐波。

具体来说，周期信号的基波频率对应着信号的周期，而高次谐波频率对应着信号的周期的整数倍。

因此，周期信号的频谱呈现出离散的频率分量。

2.频率分量的幅值逐渐衰减：对于周期信号的频谱，随着频率的增大，各个频率分量的幅值逐渐衰减。

这是因为周期信号的频谱是由一系列频率为整数倍的正弦波叠加而成的，而高次谐波频率对应着幅度较小的频率分量。

因此，随着频率的增大，高次谐波频率分量的幅值逐渐变小，频谱呈现出幅度逐渐衰减的特点。

3.频谱具有对称性：对于实信号的周期信号，其频谱具有对称性。

具体来说，周期信号的频谱关于零频率轴对称。

这是因为周期信号的频谱是由实信号频谱叠加而成的，而实信号频谱及其傅里叶变换的共轭都是对称的，因此周期信号的频谱具有对称的特点。

4.频谱的带宽与周期信号的周期有关：对于周期信号，其频谱的带宽与信号的周期有关。

具体来说，频谱的带宽在理论上等于周期的倒数。

这是因为在频谱中，由于频率分量的间隔等于周期的倒数，频谱的带宽也等于周期的倒数。

5.频谱的相位对称性：对于周期信号，它的频谱在幅度谱的基础上还有相位谱。

频谱的相位是随着频率变化的，由于周期信号的频率分量是正弦波，而正弦波的相位是以周期为单位的，所以频谱的相位也具有周期性。

具体来说，频谱的相位存在对称性，即频率分量的相位和其对称频率分量的相位相差180度。

这是由于正弦波的周期性特点决定的。

综上所述，周期信号的频谱特点包括频谱呈现出离散的频率分量、频率分量的幅值逐渐衰减、频谱具有对称性、频谱的带宽与周期信号的周期有关，以及频谱的相位对称性等。

这些特点在信号处理和通信系统中具有重要的理论和实际意义，为信号的分析、处理和传输提供了基础。

§4.3 周期信号的频谱

§4.3 周期信号的频谱

τ
T 图中 = 5τ
τ
T
Fn
2 π
O
τ
Ω 2Ω
ω
（）Fn是复函 （此 5
(1)包络线形状：抽样函数 (2) 包络线形状： 其最大值在 n = 0处，为 。 T 2 π 4 第一个零点坐标： （ )第一个零点坐标： 离散谱（谐波性） (3)离散谱（谐波性） τ 2π nΩτ 令 = π →ω = nΩ＝ 当ω = n 时取值 2 τ
▲ ■ 第 11 页
三.频带宽度
1.问题提出 1.问题提出
τ
T
Fn
2 π
O
Ω 2Ω
τ
ω
第一个零点集中信号绝大部分能量（平均功率） 第一个零点集中信号绝大部分能量（平均功率） 绝大部分能量 收敛性知 信号的功率集中在低频段。 由频谱的收敛性 由频谱的收敛性知，信号的功率集中在低频段。
▲ ■ 第 12 页
例1
例2
双边频谱，负频率，只有数学意义，无物理意义. 双边频谱，负频率，只有数学意义， 物理意义.
f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对 jn t和 是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对e 是实函数 e-jn t，才能保证 的实函数的性质不变。 才能保证f(t)的实函数的性质不变 的实函数的性质不变。
▲ ■ 第 4页
单边频谱图例1 单边频谱图例1
例：周期信号 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 的平均功率P 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率P。 出它的单边频谱图， 解：改写f(t)的表达式，即 的表达式， 1 π 2π π π 1 π f (t) = 1+ cos t − + π + cos t − −
▲ ■ 第 14 页

§4.3 周期信号的傅里叶级数

§4.3 周期信号的傅里叶级数
5
例4-3-1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。
f (t )
1


T

T 2
0
1
T 2
T
3T 2
t
T 0 2 T 2 2 an 2T f (t ) cos(nt )dt T (1) cos(nt )dt 2 1 cos(nt )dt T 2 T 2 T 0 0 T 2 1 2 1 [ sin(nt )] T [sin(nt )] 2 T n T n 0 2
1 1 1 j n Fn An e ( An cos n jAn sin n ) (a n jbn ) 2 2 2
1 T

T 2 T 2
1 f (t ) cos( nt ) d t j T

T 2 T 2
1 f (t ) sin( nt ) d t T
2
2．级数形式
2 周期信号 f t , 周期为 T , 基波角频率为 2F T
n =1基波分量 直流分量
在满足狄氏条件时，可展成

f ( t ) a0 an cos nt bn sin nt
n 1
1
n >1谐波分量
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
14
三．两种系数之间的关系及频谱图
1 Fn T
0
T
f (t )e j nt d t
利用欧拉公式
1 T 1 f (t ) cos nt d t j T 0 T 1 a n jbn 2
0
T
f (t ) sin nt d t
Fn
1 T
1 T
0

4.3周期信号的频谱

4.3周期信号的频谱
4.3周期信号的频谱
一、频谱的概念
广义上，信号某些特征量随信号频率变化的关系称信号频谱
画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱即周期信号的各次谐波幅值，相位随频率的变 化关系。
频谱的分类
幅度频谱:以角频率 （或角频率 ）为横坐标，以 An / Fn 为 纵坐标 相位频谱：以频率 （或角频率 ）为横坐标，以 n 为纵 坐标 （A0为直流分量幅度；An为n次谐波的振幅； n 为n次谐波 的初相角）
A0 2 1 2 1 A0 2 2 T [( ) T 0 A n ] ( ) A n T 2 2 2 n 1 n 1 2
周期信号的功率等于直流分量的功率和各次谐波的功 率之和。 1 | Fn | An 2
1 P T
n

T 2 T 2
谐波性
频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。
结论
周期信号的频谱特点：
（1）离散性
（2）谐波性 （3）收敛性
信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽 度,即第一个零点以内的这段频率范围称为信号的频带宽度或 者信号的带宽。
B
2π

结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。 即 越大，其wB越小；反之， 越小，其wB 越大。 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部 分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不 会对信号产生明显影响。
（3）频谱结构与波形参数的关系（T1, ）
（1）设f(t)中的 E不变，不变， 当周期1变化时，频谱如何变化？
(1)


1 s 20
1 s 20
T1
T1

周期信号的离散频谱

周期信号的离散频谱
对于实际滤波器，由于它的特性曲线没有明显的转折点，通频带中 幅频特性也并非常数，因此需要用更多的参数来描述实际滤波器的性能， 主要参数有纹波幅度、截止频率、带宽、品质因数、倍频程选择性等。
1）纹波幅度
在一定频率范围内，实际滤波器的幅频特性可能呈波纹变化。
其波动幅度为d
波动幅度d与幅频特性的平均值A0相f比c ，越小越好，一般应远小于
4.1.2 角度调制与解调原理
在简谐载波中 z(t) A0 cos[0t 0 (t)] A0 cos (t)
(t) 称为瞬时相位。对瞬时相位微分，得
(t )
d (t ) dt
0
d (t) dt
(t) 称为瞬时角频率
对于载波 z(t) A0 cos(t)
如果保持振幅 A0为常数，让载波瞬时角频率ω(t) 随测试信号 x(t)的变化 而变化，则称此种调制方式为频率调制（FM Frequency Modulation）。如果 载波的相位φ(t)随测试信号 x(t)的变化而变化，则称这种调制方式为相调制 （PM Phase Modulation） 。由于频率或相位的变化最终都使载波的相位角 发生变化，故统称FM和PM为角度调制。在角度调制中，角度调制信号和测 试信号的频谱都发生了变化，所以，角度调制是一种非线性调制。
1 0t
图4-7
A0
[e j 2fc (t 0
j2 (理t 想滤0波) 器
理 2想A滤0 f波c s器in2的2f脉cf(ct冲(t响0应)0 )
)2 A0
efc
0
j
2fc
] (t 0 ) 0
0
1 2 fc
t
2A0 fc sin c2fc (t 0 )
实这际种滤h理(波t)想的器滤波的波形频器表域是明图不，形可在不能输可实入能现δ出(的t现)到。直来角之锐前变，，滤也波不器会就在应有该限早频有率与上该完输全入截相

周期信号的频谱的特点

周期信号的频谱的特点

1周期信号的频谱的特点周期信号的频谱一个周期信号f(t),只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之 和。

其各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。

不同的周 期信号，其展开式组成情况也不尽相同。

在实际工作中，为了表征不同信号的谐 波组成情况，时常画出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱， 它是信号频域表示的一种方式。

描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱。

根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单 边频谱和双边频谱。

1 单边频谱若周期信号f (t)的傅里叶级数展开式为式(3-15),即f(t) = A )-二 A nCoS(n 」t ：n )(3-24)n T则对应的振幅频谱A n 和相位频谱J 称为单边频谱。

例3-3求图3-4所示周期矩形信号f (t)的单边频谱图。

由f (t)波形可知，f (t)为偶函数，其傅里叶系数4 T/2冇〒0 f （t ）C0S n Jdt =b n =02sin （n 二 /4）a匚1 0∖ a n CoSn 「t = _ ∙ a^4nn若周期信号f (t )的傅里叶级数展开式为式(3-17),即则F n 与n 0所描述的振幅频谱以及F n 的相位ar CtanF n =S 与氏所描述的相位 频谱称为双边频谱。

例3-4画出图3-4所示矩形周期信号f (t)的双边频谱图形2sin(2 代cosrW因此AOA n2sin(n 二 /4)A =0.45 A 2 : 0.32 A 3 ： 0.15 A =0A 5 ■- 0.09A 6 ■ 0.106单边振幅频谱如图 3-5 所示。

0.450.32木 f(t)0.25'0.150.09第°6-4- /20 /24 a t图3 - 400筮尖尬眈 6⅛∕图3 - 5f(t)f(t∏ V F n e jntn =-oC ∣(3 - 25)解 由式(3-18)和图3-4可知A arcta nF n—I —■ ■ ∙~~~~• •~~•~■-5」--「0 门3」51图3-6从上例频谱图上可以看出，单边振幅频谱是指 代=2^与正n 值的关系，双 边振幅频谱是指F n 与正负n 值的关系。

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第四章-1

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第四章-1

图形上， 时域波形与频谱图的关系
能量的角度，时域与频域的对应关系 响应的角度
四 线性时不变系统对周期信号的响应
一 波形对称性与谐波特性的关系
f ( t ) a 0 [a n cos(nt ) bn sin( nt )]，t 0 t t 0 T
n 1

2 , n 1,2,...} T f ( t ) a 0 [a n cos(nt ) bn sin( nt )]，t 0 t t 0 T
正余弦信号集
n 1
{sin( nt ),1, cos(nt ),

f ( t ) c 0 c n cos(nt n ) f ( t ) d 0 d n sin( nt n )
n 1 n 1
1 t 0 T a 0＝ f ( t )dt T t0 2 t 0 T an f ( t ) cos(nt )dt T t0 2 t 0 T bn f ( t ) sin( nt )dt T t0
a0 c0 d 0
2 2 cn d n an bn
f ( t ) a0 [an cos(nt ) bn sin( nt )] ，t 0 t t 0 T
n1

在上式两边同乘以 1、 cos nt、 sin nt，并在 (t 0 , t 0 T )
1 t 0 T f ( t )dt T t 0 2 t 0 T an f ( t ) cos(nt )dt T t0 2 t 0 T bn f ( t ) sin( nt )dt t 0 T a 0＝
区间上积分，得到：
a0 c0 d 0
2 2 cn d n an bn
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面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频
谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。
图示
▲
■
第2页
频谱图示（单边）
幅度频谱
An ~
或
Fn ~ 曲线
An A1
A0
2
A3
离散谱，谱线
相位频谱
n ~ 曲线
O 3
n
O 3
▲
■
第 15 页
四、周期信号的功率
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
P 1
T
T 0
f
2 (t)dt
(
A0 2
)2
n1
1 2
An2
| Fn
n
|2
4.3-11/12
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。
n≥0时， |Fn| = An/2。
这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。
o
12
6
4
3
ω
(a)
P 1 1 1 2 1 1 2 37 2 2 2 4 32
o
ω
12 6 4
3
2 3
(b)
▲
■
第7页
例2
已知f
(t
)
1
s
in
1t
2
cos
1t
cos
21t
π 4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
■
第8页
已知f
(t
)
1
sin1t
2
cos
1t
cos
21t
π 4
■
第9页
双边频谱图
f (t) 1
1
e j1t e j1t
2 e j1t e j1t
1
2 e
j1t
π 4
2
e
jn1t
π 4
2j
2
2
整理 f
(t)
1
1
1 2j
e
j1t
1
1 2j
e
j1t
1 2
j π e4
e
j21t
1 2
e
j
π 4
e
j
21t
2
F0
1
Fn
n2
F2
e jn1t
举例：有一幅度为1，脉冲宽
f(t) 1
度为的周期矩形脉冲，其周
0
期为T，如图所示。求频谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e d jnt t
1 T
2
e
jnt
dt
2
2
2
1 e jnt T jn
2
2
2
sin(
n
2
)
T n
T
sin n
2
n
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
…
▲
■
第 14 页
2．频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。
一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：
B
2π
或B f
1，带宽与脉宽成反比。
对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率 区间定义为频带宽度。
3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
■
第6页
f
(t)
1
1 2
cos
4
t
3
1 4
cos
3
t
2
3
1 cos t
2 4 3
是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；
1 co)的(π/3)/(π/12
)=4次谐波分量；
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
An
A0 1
2
n
3
1
21
4
2 4 3 4 3 6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率P。
■
第5页
单边频谱图例1
例：周期信号 f(t) = 1 1 cos t 2 1 sin t
2 4 3 4 3 6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率P。
■
第3页
频谱概念
对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物
理意义。为什么引入负频率？
f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnΩt和 e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
例1
例2
▲
■
第4页
单边频谱图例1
例：周期信号 f(t) = 1 1 cos t 2 1 sin t
Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为π 。 ▲
■
第 12 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有离散性。谱线位置是基频Ω的整 数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 ➢T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
T
t
▲
■
第 11 页
Fn
Sa( n ) Sa( n )
T 2TT
, n = 0 ,±1，±2，…
图中T 5
Fn
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n 0处，为 。
(3)离散谱
（4)第一个零点坐标：2π T
（5当）ωFn是nΩ实时函取数值，幅度/令相n位 2
n＝ 2π
1
e
j
π 4
2
F1 F2
1
1 2j
1
e
j
π 4
2
1.12e j0.15π
F1
1
1 2j
1.12e
j0.15π
n
Fn
0.15 π
0.25 π
0.5 1.12 1 1.12 0.5
2 1 1 O 1 21
21 1
0.25π
1
O
21
0.15π
▲
■
第 10 页
二、周期信号频谱的特点
§4.3 周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点 • 频带宽度
•周期信号的功率
■
第1页
一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变
化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信
号的频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、
相位随频率的变化关系，即
将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平
总平均功率=直流、各次谐波的平均功率之和
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。
▲
■
第 16 页
周期矩形脉冲信号的功率
例4.3-1
P 1
T
以τ 1 s,T 1s为例，取前 5
T f 2 (t)dt
0
次谐波
Fn
n
2
5
P5n F02 F1 2 F2 2 F3 2 F4 2 F1 2 F2 2 F3 2 F4 2
，
例2 请画出其幅度谱和相位谱。
解：化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15π
)
cos
21t
π 4
三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
单边频谱图
An
A1 2.24
A0
A2
21
1
O 1 21
n
0.25π
1
O
2 1
0.15π
A0 1 2 A1 5 2.236 A2 1
0 0 1 0.15π 2 0.25π
0.1806 而总功率 P 1 T f 2 (t)dt 0.2
T0
二者比值 P5n 90.3% P
▲
■
第 17 页
解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
f (t) 1 1 cos t 2 1 cos t
2 4 3 4 3 6 2
显然1是该信号的直流分量。
1 2
cos
4
t
3
的周期T1
=
8
1 4
cos
3
2
3
的周期T2
=
6
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12
➢ 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），
那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。
▲
■
第 13 页
三．频带宽度
1.问题提出
Fn
T
2π
O 2
第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）
由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。