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2第二章理想光学系统(精通)

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第二章理想光学系统详解

第二章理想光学系统详解

xx f f
像方焦点右方25mm处成一虚像
x=?
x = -400 f’2 = 10000 f’ = ? f’ = -100
x’=? x’ = 25
y f x
y x f
y’ = -25/(-100)*20=5 mm
例：有一光组将物放大3倍，成像在影屏上，当透镜向 物体方向移动18mm时，物象放大率为4倍。求光组焦距。
F H
F′ H′
F′
H
F
H′
4. 节点
全等
定义：角放大率为+1的一对共轭点。（γ ＝+1） 性质：通过这对共轭点的光线方向不变 。 若光学系统在同一介质中，则节点与主点重合。
焦距如何计算、测量？
无限远轴上点
A
f h
h F
tgU
f h tgU
E1 Q
G1 -U
O1 H
Q’ Ek
Gk U’
H’ Ok
第二章 理想光学系统
§ 2－1 理想光学系统与共线成象理论
理想光学系统：对任意大的物体，以任意宽的光束成象均 是完善的（或物空间的同心光束经过光学系统后仍为同心 光束；或物空间一点对应象空间一点）。
共线成象理论：对于理想光学系统:
点共轭点
直线共轭直线
直线上的点共轭直线上的共轭点
SM R
R’ S’ M’
Ak’ F’
-f
f’
焦距如何计算、测量？
A
Q Q’
h F
F’ 可得到F’，但 f’ = ?
H H’
轴外平行光
Q
Q’
F W
-u’ H H’
f’
是否所有光学系统对无穷远 物成像时都可用此公式？

第2章 理想光学系统

第2章 理想光学系统

如果已知共轴光 学系统的一对主 平面和两个焦点 的位置，就能根 据它们找出物空 间任意物点的像！
理想光组可有任意多个折、反射球面或多个光组组成。 寻找理想光组的特征点、面——基点、基面，就可以代 表整个光组的光学特性，用以讨论成像规律。
※ 若 f ’ >0，为正光组（会聚光组） 若 f ’ <0，为负光组（发散光组）
B
F
H
B H

F
•
•
节点就是主轴上角 放大率正1（=+1） 的物像共轭点。 通过节点的光线方 向不变。
H
H
P
u
P
A
• •• •M M
K K
A
u
•
若：光学系统在空气中(光学系统两边介质 相同)， 由亥姆霍兹—拉格朗日定理可知 当 =1 时， =1 。
因此：这时两节点分别与两主点重合。
• 总能找到：在像方折射光 线中一定有一条光线与入 P 射光线平行,即u = u 。 • 根据主平面的性质，存在一对共轭点M、M' • 即入射光线PAM与出射光线M'B'F'平行，并且共轭。 （过M点只有一条光线平行于光束。）
A
M
• • M K
u
F
• 节点：这两条光线的延长线与光轴的交点K和 K'，分别称为物方节点和像方节点。
B A’ 2F ’ F’ H
H’
F
A 2F
B’
作图题都要写出作图步骤
第三节:理想光学系统的物像关系 3.解析法求像： x—以物方焦点 为原点的物距。 称为焦物距。 以F为起始点， x 方向与光线方向 一致为正。（图 中为-）
11
三、基点、基面的概念

2理想光学系统教程

2理想光学系统教程

轴外点成像


理想光学系统中，点物成点像 要确定物点的像，只需跟踪物点发出的两条光 线
B’ A B F F’
H
H’
A’
轴上点成像

做辅助光线 物（像）方平行线交于像（物）方焦面
A F
A’ H H’ F’
A
A’
F
H
H’
F’
两个光组对轴上点的成像

光组：给定基点、基面的光学系统 多光组：逐组运用图解法


透镜的光学间隔 等效焦距公式
透镜焦距 透镜光焦度
d f1 ' f2
f ' f1 ' f 2 '

nr1r2 f ' n 1 n r2 r1 n 1 d
物方主面H和像方主面H’

两对基点
无限远物点和像方焦点F’
物方焦点F和无限远像点

不同的系统，仅表现为这些基面、点不同 任意物点的像由基面、点决定
理想光学系统的图解法求像


给定系统的基面、点，利用光线通过它们的 性质，通过画图，追踪典型光线求出像 典型光线
平行于光轴的光线
通过焦点的光线 互相平行的光线 通过主面的光线
2 理想光学系统
共线成像理论 基点与基面 理想光学系统的物像关系 理想光学系统的放大率 理想光学系统的组合 透镜
理想光学系统的定义

任意宽度光束都成完善像的系统 目的：
衡量成像质量的标准 简化分析（无像差、无结构细节）

又名：高斯光学 特点：点对点、线对线、平面对平面
共轴理想成像系统的性质
f ' f n ' n

理想光学系统

理想光学系统
o 焦距：物方主点 H 到物方焦点 F 的距离叫物方焦距（the first / object focal length） ，f 表示。 像方主点 H’ 到像方焦点 F’ 的距离叫像方焦距（the second / image focal length） ，fˊ 表示。
f h
tan Uk
Uˊk
f h tan U1
目 录 Contents
理想光学系统与共线成像理论 理想光学系统的基点和基面 理想光学系统的物像关系 理想光学系统的放大率 理想光学系统的组合 透镜
24
第三节 理想光学系统的物像关系
一、图解法求像
1、典型光线及性质:
1）平行于光轴的光线，经系统后必经过像方焦点； 2）过物方焦点的入射光线，经系统后平行于光轴；
2. 物像相似性：
四、讨论
一个正方体经光学系统成像后，成为非立方体。物与像不具有相似性。
垂直于光轴的任一共轭平面具有物像相似性。
dl ' dl
nl '2 n'l2
=
n' n
2
y nl
y nl
相片
以后讨论共轴系统成像＝》 垂直于光轴的物平面和像平面
四、讨论
3. 共轭面和共轭点：
已知共轴理想光学系统 M 的两对共轭面 O1（ O1 ˊ）、 O2 （ O2 ˊ）的位 置和放大率β1、β2 求：任一物点O的共轭像点
共轴理想光学系统的基点和基面
★一对主点、一对主平面； ★一对节点、一对节平面； ★一对焦点、一对焦平面；
（共轭） （共轭） （非共轭）
（J）
（Jˊ）
共轴理想光学系统的简化图：用基点和基面的位置表征。
四、实际光学系统的基点位置和焦距计算

第2章理想光学系优秀课件

第2章理想光学系优秀课件

无限远物体的理想像高
❖ 测量装置右图所示
f 2
f1
y y
焦距测量原理
§2.4 理想光学系统的组合
一、双光组组合 1、组合示意图
双光组组合图
2、焦点位置公式
l F
f
2
1
f2
lF
f1
1
f
1
3、焦距公式
f
f1f2
f f2f1
1 2 d12
4、主点位置公式：
xH
f2 f1
弯月形凸透镜
❖ 弯月形凹透镜 它与双凸透镜相似。其如 右图所示，两半径值差别 较小时，能获得给定正光焦度
利用过节点的共轭光线彼此平行的特性，可以 用来测定光学系统的基点位置。 ❖ 例一如图所示：
节点位置的测定
例二如图所示 ❖ 用于拍摄大型团体照片的周视照相机
❖ 当物镜的转轴通过像方节点Jˊ，根据节点性 质，当物镜转动时，A1的像点A1 ˊ不会移动。
三、用平行光管测定焦距的原理
❖ 测量公式：
yftan
双凹镜
❖ 平凸透镜
由于r1>0，r2 =∞，所以：
f f r1 0 n 1
l H
d n
, lH
0
❖ 平凹透镜
由于有： r1<0，r2 =∞，所以：
f r1 n 1
l H
d n
, lH
0
平凸透镜 平 凹 透 镜
❖ 弯月形凸透镜 恒有fˊ>0，两个主平面 位于远离曲率中心处，如 右图所示
y
FH
H'
F' A'
A
y'
N
N'
B'

理想光学系统

理想光学系统

第三节 理想光学系统的物像关系
几何光学的基本内容之一是求像，即对于确定的 光学系统，给定物体的位置、大小、方向，求像的位 置、大小、正倒及虚实。常用的用以求取物象位置关 系的方法有二种：一为图解法，一为解析法。 一、图解法求像
图解法求像的定义
已知一个光学系统的主点(主面)和焦点的位置， 利用光线通过这些基点后表现的性质，对物空间给 定的点、线和面，通过画图追踪典型光线的方法求 像。
工程光学
石家庄铁道大学
机械工程学院
总第三讲
第二章 理想光学系统
Perfect Optical System

光学系统的具体结构（r、d、n） 实际光学系统与高斯（近轴）光学系统 研究光学系统成像的目的在于将高斯光学 完善成像的理论推广到任意大的空间，本 章的主要内容即介绍建立在高斯光学之上 的所谓理想光学系统，并研究理想光学系 统的主要光学参数、成像关系、放大率以 及光组组合和透镜。
可选择的典型光线和可利用的性质： ①平行于光轴入射的光线，经系统后过像方焦点； ②过物方焦点的光线，经过系统后平行于光轴； ③倾斜于光轴入射的平行光束经过系统后会交于像 方焦平面上的一点； ④自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜 于光轴的平行光束； ⑤共轭光线在主面上的投射高度相等。 欲在理想光学系统条件下确定像点位置，只需 求出其对应物点发出的两条特定光线在像空间的共 轭光线，其交点即为所求像点。
总第三讲
３、主点与主平面
Q
Q'
h
f
'
h tanU '
F
U
H
H'
U
'
h'
F'
f
h tan U

理想光学系统

当 2 1 时，

n' 2 n
三、角放大率 定义：
tgu' tgu
nytgu n' y' tgu' 有：
所以
tanu l ny n 1 tanu l n' y ' n'
n 1 1 f x f n f f x
1.在关于光轴的任一子午面内，成像性质不变。 2.位于光轴的物点其共轭像点一定位于光轴上； 子午面内的物点其共轭像点一定位于同一子午 面内； 垂直于光轴的物平面其共轭像平面也一定垂直 于光轴。 3.垂直于光轴的一对共轭平面内，物、像的几何 形状完全相似，即垂轴放大率相等。
理想光学系统具有以下基本特性：
第二章 理想光学系统
基点基面 成像特性
由静止图形构成的动态图片
§2.1
理想光学系统的基本特性 基点和基面
一、理想光学系统
它是一个理想模型，认为光学系统不仅在近 轴条件下可以完善成像，而且对任意宽的光束 （任意大的物体）都可以完善成像。
二、共线成像理论
这个系统对于任何一个物点发出的光线将 出射光线相交于一点形成一个唯一的像点。 对于多个物点集合成的线或面当然也形成 （成像）唯一的点或面，这种成像变换谓之 共线成像。
近轴光时
n
，则两焦距绝对值相
等，符号相反：
ff
4．拉亥不变量
ny tanu ny tanu
此式对任何能成 完善像的光学系 统均成立。
§2.3
理想光学系统的成像放大率
一、垂轴放大率
y' f x' nl y x f ' nl
二、轴向放大率 1.微小位移时的

光学系统


第一节 理想光学系统与共线成像理论
理想光学系统理论在1841年由高斯提出，1893年阿 贝发展了理想光学系统理论。 理想光学系统理论——高斯光学 对于实际使用的共轴光学系统，由于系统的对称 性，共轴理想光学系统所成的像还有以下性质： （1）位于光轴上的物点对应的共轭像点也必然位 于光轴上；位于过光轴的某一个截面内的物点对应 的共轭像点必位于该平面的共轭像面内；过光轴的 任意截面成像性质都是一样的。因此可以用过光轴 的截面代表一个共轴系统。
共轴理想光学系统所成像的性质
（2）垂直与光轴的平面物所成的共轭平面像的几何 形状完全与物相似，也就是说在整个物平面上无论 哪一部分，物和像的大小比例等于常数。像和物的 大小之比称为“放大率”，对于共轴理想光学系统 来说，垂直于光轴的同一平面上的各个部分具有相 同的放大率。 （3）一个光学系统，如果已知两对共轭面的位置和 放大率；一对共轭面的位置和放大率以及轴上的两 对共轭点的位置，则其它一切物点的像点都可以根 据这些已知的共轭面和共轭点来表示。

第一节 理想光学系统与共线成像理论
理想光学系统——像与物是完全相似的
这种“共线成像”理论的初始几何定义可归纳为：
第一节 理想光学系统与共线成像理论
理想光学系统——像与物是完全相似的 物空间 像空间 点 共轭点 直线 共轭直线 直线上的点 共轭直线上的共轭点 任一平面 一共轭平面
同样：物空间中每一同心光束在像空间中均有一共轭 同心光束与之对应。 简单的说：物空间的任一点、线、面都有与之相共轭 的点、线、面存在，且是唯一的。
第二节 理想光学系统的基点与基面
这些已知的共轭面和共轭点为共轴光学系统的 “基面”和“基点”。 基点就是一些特殊的点，基面就是一些特殊的面。 正是这些特殊的点与面的存在，从而使理想光学系 统的特性有了充分体现，只有掌握了这些基点基面 的特性，才能够分析计算理想光学系统。 基点：物方焦点，像方焦点；物方主点，像方主 点；物方节点，像方节点。 基面：物方主面，像方主面；物方焦面，像方焦 面。

工程光学第二章理想光学系统


二、共轴理想光学系统的成像性质
性质1：位于光轴上物点的共轭像点必然在光轴上；过光轴的 任意截面成像性质相同。 由此得到：
（1）可用一个过光轴的截面来代表一个共轴系统； （过光轴的截面一般称为子午面）
（2）垂直于光轴的物平面，其共轭像面必然垂直于光轴；
性质2：垂直于光轴的平面物与其共轭平面像必然是几何相似， 具有相同的放大率
第二节 理想光学系统的基点和基面
一、无限远的轴上物点和它对应的像点F′
内容提要：先讨论无限远物体轴上物点发出的光线 通过光学系统的特征→定义焦点、焦平面→主点、主平 面；再讨论位于无限远的物体轴外物点发出的光线通 过光学系统的特征及成像位置。
（一）无限远轴上物点发出的光线
A
-U
-L
A
B
E′
h
物方截距L→∞
焦平 面性 质
（5）共轭光线在一对主面上的投射高度相等。——主面性质
▲ 依据：理想的成像情况下，从一点发出的一束光线经光学 系统作用后仍交于一点。
▲ 方法：求物点发出的两条特定光线在像方空间的共轭光线， 二者的交点为共轭像点。
（一）轴外点B或一垂轴线段AB的图解法求像
（二）轴上物点成像——利用焦平面的性质 解法1：
F′
孔径角U→0
（二）像方焦点、焦平面；像方主点、主平面；像方焦距
1、像方焦点、焦平面
A
B
E′
F′
像方焦点F′——无限远轴上 物点的像点
像方焦平面——无限远处垂直于 光轴的物平面的共轭像。
2、像方主点、主平面、像方焦距
A
B
Q′
E′
h
f ' h tanU '
H′
像方主点H′

第二章 理想光学系统(2013总第3-5讲)


例1：绘制轴上虚物点A的像，物、像空间折射率相同。
F
H
H
A
F
A

F
H
H
A
F
A
例2：已知一对共轭的物点、像点，物、像空间折射率相同，画出焦点位置。
A
F
H
H
F
A
四、实际光学系统的基点位置和焦距的计算
例：已知三片型照相物镜的结构参数，求光学系统的基点位置和焦距。
结构参数
r/mm 26.67
F
BF
图2-8 无限远处轴外物点发出的光束
F
焦面特点：焦面上一点发出的所有光，经系统后一定
变成斜平行光束；而当斜平行光束射入时，一定会会聚于
焦面上一点。所以焦面实际上是许多不同方向的光的会聚 点的集合。而焦点则是焦面上的最特殊的点，它是平行于 光轴的光束的会聚点。
三、主点与主平面
Q'
Q
h f tan U
垂轴放大率β 轴向放大率 角放大率
三种放大率之间关系
拉赫不变量
二、球面反射镜成像
三种放大率的求法及几种特殊情形
三、共轴球面系统
共轴球面系统概念及其三个放大率的求法
第二章 理想光学系统 Perfect Optical System
本章主要内容
理想光学系统与共线成像理论
理想光学系统的基点与基面
理想光学系统的基点和基面
一、无限远的轴上物(像)点和它对应的像(物)点 光线由A发出，投射高度为h。
A
F′
U
h
L
图2-5无限远轴上物点和它对应的像点
h tan U L
任何光学系统的口径大小有限，即入射光线能进入光学系统的高度相 对较小。当物方截距为无穷大时，物方孔径角为零，入射光线与光轴平行。
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h1 r1
经过计算得 l 67.4907, u 0.121869,
焦距为 f h 82.055, tan u
主点位置l f 14.5644在最后折射面
左侧14.5644mm处
2020/6/15
14
3：物像关系
几何光学目的就是求像，（对于确定的光学系 统，给定物体的位置、大小、方向，求像的位 置、大小、正倒及虚实）。
2020/6/15
31
例题2
已知一个透镜把物体放大 -2倍，当透镜向物 体移近20mm时，放大倍数为 -3倍，求一开始 的物距以及透镜的焦距？
1
l l
1
1
f 1
l 2 l 1 (2)
3 (l 20) 1 (3)
l l f
l 180mm, f 2 (180) 120mm, 3
B
A
F
A’ F’
B’
注意：图像法只能求得像的大致位置，至 于具体位置在哪，完全不清楚！因此需要 一种可以定量求得像的位置的方法！！！
2020/6/15
24
解析法（牛顿公式以焦点为基准）
-x
A
FM
-f
H -y
x‘
M’ B’
f'
y’
H’ F’ A’
B
N
N’
-l
ABF MHF
MH
FH
l’
y
f
AB FA y x
二：选择主平面和焦点，在一定程度上决定了 光学系统的成像特性，加上后面的解析公式可 以更加方便的计算。
三：选择主平面的好处：将实际光学系统中多 次折射反射等效于共轭光线的一次偏折代替。
2020/6/15
11
节点、节平面
应用：拍摄超大相片
由于镜头往往不够大，所
像方节点
以使照相机物镜绕着节点
F
物方节点
牛顿公式推导得到的垂轴放大率公式 y f yx
x
f
去掉x, x得到 fy tanU f y tanU
-U F -f
-x
U f’ F’
x
此公式对于理想光学系统总是成立的
近轴时fyu f y u
另外在近轴时我们有nuy nuy J拉赫不变量
物方焦平面 像方焦平面
两式相除 f f n n
2020/6/15
32
轴向放大率和角放大率
关于轴向放大率和角放大率，由于理想光学系 统是近轴光学的一种理想化推广，因此很显然， 近轴区域的公式可以适用的，我们只需注意一 点，在近轴区域中我们假定tanU = sin U = U 而在理想光学系统中，这一点不能用（只能在 角度很小时用），除此之外一切照旧。比如对 照第一章的（1－25）（1－27）（1－28）和 本章的（2－19）（2－23）（2－24）就可以 发现是一致的。
第二章 理想光学系统（精通）
2020/6/15
1
理想光学系统中的基本概念
1. 理想光学系统(又称高斯光学）将近轴光学理 论推广到任意空间，理想模型，都能完善成像。
2. 共轭：高斯光学中，物像点一一对应关系，称 为共轭。
3. 共线成像：点对点、直线对直线、平面对平面 的成像变换称为共线成像。
4：光轴：沿光轴的光线不会改变方向，即使经 过透镜后也不会改变！
3、一个共轴理想光学系统，如果已知两对共轭面的位置 和放大率，或者一对共轭面的位置和放大率，以及轴上两 对共轭点的位置，则其它一切物点的共轭像点都可以根据 这些已知的共轭面和共轭点来表示
2020/6/15
3
性质一的理解（第一句话）
光轴上物点其共轭像点必在光轴上：过光轴的 光线方向不变！
轴上物点
一般如果左右两边介质不同，那么主点节点不 重合！！
2020/6/15
35
Hale Waihona Puke 三种特殊基点基面的性质2020/6/15
29
例1 玻璃棒
一个长500mm，折射率为1.5的玻璃棒，两端 为球面，其半径分别为50mm，100mm，现将 一个高为1mm的箭头垂直放置于离左端球面 顶点200mm处的轴上，问像距多少？整个玻 璃棒的垂轴放大率为多少？
2020/6/15
30
对第一个折射面：n1 1, n1 1.5, r1 50mm,l1 200mm
A
F
H
H’ F’
A’
利用了两条性质: 1：过A点沿光轴做一条光线，方向不会改变。
2：所有从物方焦平面上一点发出的光线经过透镜后都成 为相互平行的光线。
2020/6/15
22
轴上物点的图像求解方法二 两光线交点确定一个像点
M
M’
B
N
N’
A
F
H
H’ F’ A’
2020/6/15
23
轴外物点的图像求解
2020/6/15
19
性质五的理解
光线
共轭光线
显然两条光线的透射高度一样！！
2020/6/15
20
五条性质的总结
前面四条可以归结为一条:所有过焦平面的点， 其出射光线必为一些相互平行的光线！！
第五条很显然！
2020/6/15
21
轴上物点的图像求解方法一 两光线交点确定一个像点
M
M’
B
N
N’
l l
fl
l l f
单个球面折射公式：n n n n , nl ,反射公式：1 1 2
l l r
nl
l l r
注意区别！
2020/6/15
28
光路计算的总体原则、注意事项
1：画出光路图，典型光线 2：标出几何大小，特别注意每个字母的正负 3：选择适当的公式 4：检查物理意义是否正确 5：逐面进行计算
y y
PD PD
由于角度a是任意的，所以直线PB,PB上任意的共轭点都有
相同的比例！！
aa P’
2020/6/15
8
性质三的理解
•一个共轴理想光学系统，如果已知两对共轭面的位置和放大率， •或者一对共轭面的位置和放大率，以及轴上两对共轭点的位置， •则其它一切物点的共轭像点都可以根据这些已知的共轭面和共 •轭点来表示。
O
A
B
O1
O2
B’
O1’ A’
O2’
2020/6/15
9
2：理想光学系统的基点基面
通常将理想光学中（高斯光学）已知的共轭面和共轭点分别称为共轴系统的 “基面”和“基点”，原则上有无穷多。
一般将：一对主点，焦点，节点，主平面，焦平面，节平面称为光学系统的 基点和基面。节点是指角放大率为一的点。注意像方焦距是H’F’,从主点H’ 算起到焦点F’
1.5 l1
1 200
1.5 1 50
l1
300mm, 1
n1l1 n1l1
1
对第二个折射面：n2 1.5, n2 1, r2 100mm,l2 l1 d 200mm
1 l2
1.5 200
1 1.5 100
l2
400mm, 2
n2l2 n2l2
1.5 * (400) 200
3
12 3
ny tanU ny tanU J 拉赫不变量
2020/6/15
34
节点 n 1 1
n
光学系统中角放大率等于＋1的一对共轭点称 为节点。
如果光学系统两边的介质一样，当垂轴放大率 为+1时（主平面），角放大率就为+1，此时 主点和节点重合。
换句话说，当两边介质折射率一样时，主点就 是节点。此时，我们可以充分利用性质：过主 点的共轭光线方向不变这一性质。
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第一节 共轴理想光学系统的成像性质
1、位于光轴上的物点对应的共轭像点必然在光轴上；位 于过光轴的某一截面内的物点对应的共轭像点必位于该物 面的共轭像面内；过光轴的任意截面成像性质都相同；垂 直于光轴的物平面，它的共轭像平面也必然垂直于光轴 （很有用）。
2、垂直于光轴的平面物与其共轭平面像的几何形状完全 相似，即：在垂直于光轴的同一平面内，物体的各部分具 有相同的放大率β。
结构参数如下（长度单位为mm）
r
d
n
26.67
189.67 -49.66 25.47 72.11
5.20
7.95 1.6 6.7
1.6140 1.6754
-35.00
2.8
1.6140
i1
l1
r1
r1
u1,当光线平行入射时，l1
,
u1
0
lim (l1
l1 ,u1 0
r1
r1
u1 )
lim (l1u1 ) r l1,u10 1
转动逐个拍摄，延长曝光 时间，最后将拍摄得的像
组合。
焦平面
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证明：如果一个光学系统两边介质相同，那么 主平面和节平面重合；如果两边介质不同，那 么不重合。
问题：像方焦点能否位于像方主平面的左侧？
如果可以，那么在左侧时代表什么意思？
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例子 三片型照相机
2。过物方焦点的光线，经过系统后平行于光轴；
3。倾斜于光轴入射的平行光束经过系统后会交于像方焦平面上的一点； 4。自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜于光轴的平行光束； 5。共轭光线在主平面上的投射高度相等。 由于光路可逆，事实上，1，2可以等同看待，3，4也可以等同看待
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近轴和理想光学系统放大率关系
近轴系统
垂轴放大率 y nl
y nl
轴向放大率 dl n 2
dl n
角放大率 u l n u l n